Main menu
Ιστορικές διαδρομές
κάποιες σκέψεις …
Σήμερα είναι κοινά παραδεκτό ότι οι μαθηματικοί νόμοι στις φυσικές επιστήμες είναι απλά προσεγγιστικές περιγραφές και, παρότι είναι ακριβείς, δεν είναι τίποτε παραπάνω από τον τρόπο που έχει ο άνθρωπος να βλέπει και να καταλαβαίνει τη φύση. Διαφορετικές προσεγγίσεις μπορεί να ταιριάζουν το ίδιο καλά και να δίνουν λύση στο πρόβλημα που υπάρχει. Αν στο μέλλον κάποια άλλη προσέγγιση ταιριάζει καλύτερα, τότε η παλαιότερη εγκαταλείπεται και υιοθετείται η καινούρια. Ιστορικά παρατηρούμε ότι, όταν η ιδέα ωριμάσει, μπορούν φωτισμένα μυαλά, ακόμη και ανεξάρτητα γεωγραφικά και χρονικά το ένα απ? το άλλο, να φτάσουν στην ίδια νοητική σύλληψη και συγχρόνως οι μεταγενέστεροι να αγνοούν ότι το έργο που επιτέλεσαν οι παλαιότεροι είναι ίδιο ή και καλύτερο απ? το δικό τους. Αυτή η διαπολιτισμική συνιστώσα των μαθηματικών τους προσδίδει περίσσεια ομορφιά και μυστήριο.
Οι αποδείξεις του Αρχιμήδη για τη μέτρηση των εμβαδών και των όγκων καθορίζουν τα πρότυπα για την αυστηρή επεξεργασία των ορίων μέχρι τους σύγχρονους χρόνους. Αλλά ο τρόπος που αυτός ανακάλυψε αυτά τα αποτελέσματα παρέμεινε ένα μυστήριο έως το 1906, όταν ανακαλύφθηκε ένα αντίγραφο της χαμένης πραγματείας του Μέθοδος στην Κωνσταντινούπολη. Αυτό έφερε στο φως ότι ο Αρχιμήδης είχε χρησιμοποιήσει μια μέθοδο παρόμοια με εκείνη που αργότερα έγινε γνωστή ως Αρχή του Cavalieri.
O Zu Geng (450-
«Οι όγκοι δύο στερεών του ίδιου ύψους έχουν σταθερό λόγο, εάν τα εμβαδά των επίπεδων τομών σε ίσα ύψη έχουν τον ίδιο λόγο».
Αυτή η διατύπωση αποτελεί μια γενίκευση της Αρχής του Cavalieri.
Ο Bonaventura Cavalieri (1598-
Αρχή του Cavalieri για τα εμβαδά: Θεωρούμε δύο χωρία Ε και ε που ανήκουν στο ίδιο επίπεδο, και όλες τις ευθείες του επιπέδου που είναι παράλληλες προς σταθερή ευθεία και τέμνουν αμφότερα τα χωρία. Αν για καθεμιά από τις παράλληλες αυτές ευθείες τα ευθύγραμμα τμήματα της τομής έχουν ίσα μήκη, τότε: εμβαδόν Ε = εμβαδόν ε.
Αρχή του Cavalieri για τους όγκους: Θεωρούμε δύο στερεά V και v του χώρου, και όλα τα επίπεδα του χώρου που είναι παράλληλα προς σταθερό επίπεδο και κόβουν αμφότερα τα στερεά. Αν για καθένα από τα παράλληλα αυτά επίπεδα οι επίπεδες τομές έχουν ίσα εμβαδά, τότε: όγκος V = όγκος v.
Εκείνο που πρέπει, τελικά, να τονίσουμε είναι ότι το ιστορικό πλαίσιο μέσα στο οποίο ανατράφηκε μια μαθηματική έννοια αποτελεί τον κατάλληλο χώρο μέσα στον οποίο μπορεί να γίνει η επανάπλασή της από τους μαθητές. Ο τρόπος που σκέφτηκαν οι προγενέστεροι αποτελεί οδηγό για τον τρόπο που θα πρέπει να σκεφθούν οι μεταγενέστερες γενιές. Δεν αποτελεί σχήμα λόγου η φράση: «η ιστορία μας είναι κομμάτι του πολιτισμού μας».
Αναφορές:
[1] I.F.Sharygin, Όγκοι χωρίς ολοκληρώματα, περιοδικό Quantum, εκδόσεις Κάτοπτρο, τόμος 4/τεύχος 3, Ιούνιος 1997,σελ.36 – 37.
[2] Roger B. Nelsen, Αποδείξεις χωρίς λόγια, εκδόσεις Σαββάλας, Ιούλιος 1996, σελ.35.
[3] Πινάτσης Π (2006), Ιστορικές διαδρομές και διδακτικές προσεγγίσεις για την ογκομετρία στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση, Πρακτικά 23ου Συνεδρίου ΕΜΕ, Πάτρα.