Main menu
Μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες
Γνωρίζουμε ότι τα μαθηματικά είναι ένα αξιωματικό σύστημα δηλαδή ένα σύστημα με αξιώματα, ορισμούς και προτάσεις. Η προσπάθεια να αποδεσμευθούν από τα αισθητά πράγματα σύμφωνα με τον Πλάτωνα και επομένως από τα συγκεκριμένα σχήματα άνοιξε το δρόμο που τελικά οδήγησε σε ένα τέτοιο σύστημα. Αυτό γιατί όταν δεν μπορεί να προκύψει η αλήθεια με τρόπο εμπειρικό και με βάση την άμεση εποπτεία του σχήματος, τότε δε μένει άλλη επιλογή απ' το να αποδεικνύεται η αλήθεια με λογικούς συλλογισμούς. Έτσι,η αλήθεια των προτάσεων έπρεπε να προκύπτει από προτάσεις που ήδη είχαν αποδειχθεί, δηλαδή τελικά να είναι συνέπειες των αξιωμάτων.Επομένως κάθε νέα έννοια που προέκυπτε στην πορεία έπρεπε να οριστεί με ακρίβεια.
Οι Έλληνες είχαν πεισθεί ότι τα μαθηματικά και οι γνώσεις που αυτά έδιναν ανήκαν σ' ένα κόσμο διαφορετικό απ' τον κόσμο της εμπειρίας και τις γνώσεις που προκύπτουν απ' αυτόν. Αυτός ήταν και ο λόγος που οικοδόμησαν πάνω σ' αυτή τους την πεποίθηση τη γεωμετρία.
Από νωρίς το 5ο αίτημα του Ευκλείδη μπήκε στο στόχαστρο των μαθηματικών, αφού πίστευαν ότι δεν μπορεί να μην αποδεικνύεται μια πρόταση για την οποία η αντίστροφή της αποδεικνύεται σχετικά εύκολα. Έτσι, τους έγινε έμμονη η ιδέα ότι θα μπορούσαν να το αποδείξουν. Και όμως παρά τις προσπάθειές τους απέτυχαν.
Η αποτυχία για μια απευθείας απόδειξη του 5ου αιτήματος από τα υπόλοιπα 9 αξιώματα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας (κάθε υποκατάστατο εμπεριείχε άμεσα ή έμμεσα μια υπόθεση σχετικά με τι συνέβαινε πολύ μακριά στο χώρο, δηλαδή πήγαιναν πιο μακριά απ' την εμπειρία), έστρεψε από νωρίς την προσοχή των μαθηματικών προς τη δυνατότητα μιας έμμεσης απόδειξής του, με τη μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο. Τα αξιώματα του Ευκλείδη ήταν 10, αν κάποιος μπορούσε να αποδείξει μια υπόθεση σχετικά με τις παράλληλες ευθείες με χρήση των άλλων 9 αξιωμάτων, θα λυνόταν το πρόβλημα.
Οι λόγοι για τους οποίους οι μαθηματικοί ασχολήθηκαν για 20 αιώνες με το 5ο αίτημα του Ευκλείδη είναι απ' τη μια μεριά ότι η Ευκλείδεια Γεωμετρία ήταν σ' όλο αυτό το χρονικό διάστημα ο μοναδικός κλάδος των Μαθηματικών που είχε λογική θεμελίωση, οπότε οι μαθηματικοί για να είναι σίγουροι ότι στηρίζονται σε γερά θεμέλια, κατέφευγαν σ' αυτήν, και απ' την άλλη ότι η απόλυτη εμπιστοσύνη στην αλήθεια της Ευκλείδειας Γεωμετρίας είχε επεκταθεί και πέρα από τα Μαθηματικά και την έκανε υπόδειγμα θεμελίωσης για τις άλλες επιστήμες.
Η πιο ριζοσπαστική εξέλιξη, που άλλαξε τη διαλεκτική ανάπτυξη απ' τον 19ο αιώνα, ήταν οι μη Ευκλείδειες γεωμετρίες, δηλαδή η ανακάλυψη ότι το μοντέλο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας δεν είναι αυτό που ερμηνεύει με τον καλύτερο τρόπο τις ιδιότητες του χώρου που μας περιβάλλει. Η δυνατότητα της ύπαρξης άλλων Γεωμετριών ( μη Ευκλείδειων) που δίνουν πιο αποτελεσματικές ερμηνείες του φυσικού χώρου, αποτέλεσε μια επιστημονική επανάσταση που ανέτρεψε βαθιά ριζωμένες αντιλήψεις (επιστημολογικό εμπόδιο).Η ιστορία των μη Ευκλείδειων Γεωμετριών έχει τις ρίζες της στον ίδιο τον Ευκλείδη με όσα είπαμε παραπάνω, όμως η αμφισβήτηση της Ευκλείδειας Γεωμετρίας άρχισε να εμφανίζεται στις αρχές του 19ου αιώνα με την αμφισβήτηση της βαθιά εδραιωμένης αντίληψης ότι οι μαθηματικές προτάσεις εκφράζουν απόλυτες αλήθειες. Ο πρώτος που κατανόησε το γεγονός ότι η γεωμετρία της φύσης μπορεί να είναι διαφορετική από την Ευκλείδεια ήταν ο Gauss που έφτασε στο συμπέρασμα ότι η άρνηση του 5ου αιτήματος μπορεί να οδηγήσει σε μια λογικά συνεπή θεωρία που ονόμασε μη Ευκλείδεια Γεωμετρία. Ο Gauss, πέρα από τα αποσπάσματα των επιστολών του, δεν άφησε δυστυχώς κάποιο συστηματικό έργο πάνω στη μη Ευκλείδεια Γεωμετρία που είχε συλλάβει. Ένας λόγος γι αυτό είναι ότι δεν ήθελε ίσως να διακινδυνεύσει το μεγάλο κύρος του στην αναπόφευκτη αντιπαράθεση με την Καντιανή φιλοσοφία (το κατεστημένο της εποχής του), που είχε βασική αρχή της την Ευκλείδεια δομή και αντίληψη του χώρου.
Έτσι, στις αρχές της δεκαετίας του 1830 δημοσιεύτηκαν σχεδόν ταυτόχρονα, αλλά ανεξάρτητα το ένα από το άλλο, τα δύο πρώτα ολοκληρωμένα έργα μη Ευκλείδειας Γεωμετρίας. Οι συγγραφείς τους, ο Ρώσος Lobatchevsky, καθηγητής στο Πανεπιστήμιο του Καζάν, και ο Ούγγρος στρατιωτικός Bolyai, που αναγνωρίζονται γενικά σαν οι δημιουργοί της μη Ευκλείδειας Γεωμετρίας, ξεκίνησαν όπως και οι προηγούμενοι γεωμέτρες, με σκοπό να αποδείξουν το 5ο αίτημα του Ευκλείδη. Αναγνωρίζοντας όμως ότι αυτό δεν μπορεί να γίνει με τα υπόλοιπα 9 αξιώματα της Γεωμετρίας, πήραν σαν υπόθεση την άρνηση του Ευκλείδειου αιτήματος και προσπάθησαν, όπως έκανε ο Saccheri 100 χρόνια πριν απ' αυτούς, να φτάσουν σε κάποια αντίφαση. Βασική ιδέα: η υιοθέτηση ενός άλλου αξιώματος παραλληλίας και η δόμηση μιας νέας γεωμετρίας, διαφορετικής από του Ευκλείδη που να περιγράφει καλά τον χώρο. Και τα κατάφεραν. Θεώρησαν ότι υπάρχουν δύο ευθείες γραμμές που περνούν από σημείο εκτός ευθείας και οι οποίες δεν την τέμνουν, δηλαδή είναι παράλληλες.
Τα συμπεράσματα στα οποία οδηγήθηκαν, βρισκόταν πράγματι σε ασυμφωνία με τη διαίσθηση, αλλά ο Lobatchevsky και ο Bolyai είχαν συνειδητοποιήσει μια μεγάλη αλήθεια: αυτό που βρίσκεται σε αντίθεση με το καθιερωμένο για το χώρο δεν είναι κατ' ανάγκη λογικά αντιφατικό και επομένως μπορούμε να το επεξεργαστούμε θεωρητικά. Το έργο των Gauss - Lohatchevsky - Bolyai οδήγησε στα εξής συμπεράσματα:
α) Το Ευκλείδειο αίτημα είναι αδύνατο να αποδειχτεί, αφού η άρνηση του δεν οδηγεί σε κάποια λογική αντίφαση.
β) Με την προσθήκη της αντίθετης πρότασης στα αξιώματα της Γεωμετρίας είναι δυνατό να δημιουργηθεί μια λογικά άψογη και κατανοητή Γεωμετρία, διαφορετική από την Ευκλείδεια.
γ) Η αλήθεια των αποτελεσμάτων μιας τέτοιας Γεωμετρίας μπορεί να διαπιστωθεί μόνο πειραματικά.
Αποτέλεσμα της εμφάνισης της νέας γεωμετρίας, ήταν η προώθηση ιδεών που οδήγησαν σε μια από τις μεγαλύτερες μαθηματικές δημιουργίες του 19ου αιώνα, τη Γεωμετρία του Riemann. Ο Γερμανός μαθηματικός Riemann ήρθε να στηρίξει, αλλά και να επεκτείνει τις νέες ιδέες, απ' τη μια μεριά με τις μελέτες του για την Ελλειπτική Γεωμετρία, και απ' την άλλη με τη γενίκευση των Μη Ευκλείδειων Γεωμετριών (σύγχρονη θεωρία των διαφορικών πολλαπλοτήτων). Η μη Ευκλείδεια γεωμετρία του Riemann είναι περισσότερο μαθηματική δημιουργία. Το αξίωμα του Ευκλείδη μάς λέει τι πρέπει να συμβαίνει στο φυσικό χώρο πολύ μακρύτερα απ' την ανθρώπινη εμπειρία. Ο Riemann βρήκε και άλλο αξίωμα με το ίδιο πρόβλημα: Μια ευθεία γραμμή εκτείνεται άπειρα μακριά κατά τη διεύθυνσή της.
Αντικατάσταση: Η γραμμή δεν έχει όρια (σε σχέση με το ότι εκτείνεται άπειρα μακριά) και επειδή δε μας λέει η εμπειρία για την ύπαρξη παράλληλων, πρότεινε ότι συναντιούνται όλες οι γραμμές.
Τελικά, ήρθε και η πειραματική επαλήθευση μερικών βασικών προβλέψεων της θεωρίας της σχετικότητας (όπως η καμπύλωση των φωτεινών ακτίνων στο διάστημα), που δεν μπορούσε να εξηγήσει η στηριγμένη στην παραδοχή ενός απόλυτου Ευκλείδειου χώρου κλασική Φυσική και αυτή η επαλήθευση υπήρξε η πανηγυρική δικαίωση των πρωτοπόρων δημιουργών της μη Ευκλείδειας Γεωμετρίας.