Στοιβάζοντας κανονικά Οκτάγωνα
- Details
- Category: Εφαρμογές μαθηματικών
- Published on Wednesday, 15 October 2014 23:23
- Written by Super User
- Hits: 1029
Η τοποθέτηση αντικειμένω σε ένα χώρο, ώστε να γεμίσει αυτός όσο καλύτερα και περισσότερο γίνεται είναι ένα από τα ιδιαίτερα σημαντικά προβλήματα υπάρχει μεγάλο εύρος στη βιβλιογραφία για αυτό.
Ωστόσο, όταν η τοποθέτηση αφορά τη στοίβαξη περισσότερο κανονικών αντικειμένων, τότε αυτό μπορεί να μελετηθεί ως αυστηρά μαθηματικό πρόβλημα.
Στη συνέχεια ακολουθεί μία μετάφραση (με λίγες επεξηγηματικές πρόσθηκες του άρθρου Packing Regular Octagons από το blog της American Mathematical Society.
Στο προηγούμενο σχέδιο φαίνεται η πυκνότερη στοίβαξη (εννοούμε τη στοίβαξη η οποία αφήνει τα μικρότερα κενά στο επίπεδο) κανονικών οκταέδρων στο επίπεδο, όπως σχεδιάστηκε από τον Graeme McRae. Είναι ενδιαφέρουσα διότει αποτελεί ένα αντιπαράδειγμα του 2-διάστατου αναλόγου μίας εικασίας που έκανε ο Stanislaw Ulam (Πολωνο-Αμερικανός Μαθηματικός 1909-1984), της Εικασίας Στοιβάγματος του Ulam,
σύμφωνα με την οποία από όλα τα κυρτά σώματα (περιγραφικά σώματα που δεν έχουν πτυχές ή μαθηματικά σώματα στα οποία κάθε ευθύγραμμο τμήμα με άκρα μέσα στο σώμα αυτό βρίσκεται ολόκληρο επίσης μέσα σε αυτό το σώμα) στον 3-διάστατο Ευκλείδιο χώρο η σφαίρα έχει την μικρότερη μέγιστη δυνατή πυκνότητα ταξινόμησης. Μάλιστα για όμοιες σφαίρες αυτή η πυκνότητα είναι
This is the densest packing of regular octagons in the plane, drawn by Graeme McRae. It is interesting because it is a counterexample to the 2-dimensional analogue of a conjecture made in 3 dimensions by Stanislaw Ulam.
Ulam?s packing conjecture states that of all convex bodies in 3d Euclidean space, the ball has the smallest maximum packing density. Since congruent balls can be packed with a density of
- See more at: http://blogs.ams.org/visualinsight/2014/10/15/packing-regular-octagons/?utm_content=buffer2d542&utm_medium=social&utm_source=facebook.com&utm_campaign=buffer#sthash.InAkQTlt.dpufΕπιπλέον, η πρώην εικασία του Kepler , η οποία έχει πλέον αποδειχθεί και ισχύει ως θεώρημα, αναφέρει ότι καμία διάταξη ισομεγεθών σφαιρών δεν έχει μεγαλύτερη μέση πυκνότητα από αυτήν:
Η πυκνότητα της οποίας είναι ελαφρά μεγαλύτερη του 74%.
Η εικασία του Ulam λέει ότι για οποιοδήποτε άλλο κυρτό σώμα στον Ευκλείδιο 3-διάστατο χώρο, μπορούμε να στοιβάξουμε όμοια αντίτυπά του με πυκνότητα μεγαλύτερη του .
Το αντίστοιχο πρόβλημα στις 2 διαστάσεις (στο επίπεδο δηλαδή) θα έλεγε ότι κάθε κυρτό σχήμα στο Ευκλείδειο επίπεδο μπορεί να στοιβαχθεί με πυκνότητα τουλάχιστον:
Παρόλα αυτά η πυκνότερη τοποθέτηση κανονικών εξαγώνων, που φαίνεται στο αρχικό σχέδιο, έχει πυκνότητα μόλις:
η οποία αν και είναι μόλις 0.7 χιλιοστά μικρότερα, αποτελεί επαρκές αντιπαράδειγμα για την αντίστοιχη εικασία στο 2-διάστατο χώρο.
Η στοίβαξη των οκταγώνων του Graeme McRae ισχυρίζεται ότι είναι η πυκνότερη δυνατή για κανονικά οκτάγωνα στο άρθρο εδώ.
Γενικότερα, οι επικαλύψεις χώρων με κανονικά σχήματα λέγονται και πλακοστρώσεις (Tilings) και μπορεί να βρει κανείς ενδιαφέρουσες περισσότερες πληροφορίες εδώ , εδώ και κυρίως εδώ .
This is the densest packing of regular octagons in the plane, drawn by Graeme McRae. It is interesting because it is a counterexample to the 2-dimensional analogue of a conjecture made in 3 dimensions by Stanislaw Ulam.
Ulam?s packing conjecture states that of all convex bodies in 3d Euclidean space, the ball has the smallest maximum packing density. Since congruent balls can be packed with a density of
and Kepler?s conjecture, now a theorem, says this is a best possible, Ulam?s conjecture says that for any other convex body in R3, we can pack congruent copies of this body with a density more than π/18???.
The analogous conjecture in 2 dimensions would say that every convex region in the Euclidean plane can be packed with a density at least
However, the densest packing of regular octagons, shown above, has density only
It density is only about .0007 less, but this suffices to refute the conjecture!
There is another more famous packing of regular octagons, the truncated octagonal tiling:
- See more at: http://blogs.ams.org/visualinsight/2014/10/15/packing-regular-octagons/?utm_content=buffer2d542&utm_medium=social&utm_source=facebook.com&utm_campaign=buffer#sthash.InAkQTlt.dpufThis is the densest packing of regular octagons in the plane, drawn by Graeme McRae. It is interesting because it is a counterexample to the 2-dimensional analogue of a conjecture made in 3 dimensions by Stanislaw Ulam.
Ulam?s packing conjecture states that of all convex bodies in 3d Euclidean space, the ball has the smallest maximum packing density. Since congruent balls can be packed with a density of
and Kepler?s conjecture, now a theorem, says this is a best possible, Ulam?s conjecture says that for any other convex body in R3, we can pack congruent copies of this body with a density more than π/18???.
The analogous conjecture in 2 dimensions would say that every convex region in the Euclidean plane can be packed with a density at least
However, the densest packing of regular octagons, shown above, has density only
It density is only about .0007 less, but this suffices to refute the conjecture!
There is another more famous packing of regular octagons, the truncated octagonal tiling:
- See more at: http://blogs.ams.org/visualinsight/2014/10/15/packing-regular-octagons/?utm_content=buffer2d542&utm_medium=social&utm_source=facebook.com&utm_campaign=buffer#sthash.InAkQTlt.dpufThis is the densest packing of regular octagons in the plane, drawn by Graeme McRae. It is interesting because it is a counterexample to the 2-dimensional analogue of a conjecture made in 3 dimensions by Stanislaw Ulam.
Ulam?s packing conjecture states that of all convex bodies in 3d Euclidean space, the ball has the smallest maximum packing density. Since congruent balls can be packed with a density of
and Kepler?s conjecture, now a theorem, says this is a best possible, Ulam?s conjecture says that for any other convex body in R3, we can pack congruent copies of this body with a density more than π/18???.
The analogous conjecture in 2 dimensions would say that every convex region in the Euclidean plane can be packed with a density at least
However, the densest packing of regular octagons, shown above, has density only
It density is only about .0007 less, but this suffices to refute the conjecture!
There is another more famous packing of regular octagons, the truncated octagonal tiling:
- See more at: http://blogs.ams.org/visualinsight/2014/10/15/packing-regular-octagons/?utm_content=buffer2d542&utm_medium=social&utm_source=facebook.com&utm_campaign=buffer#sthash.InAkQTlt.dpufThis is the densest packing of regular octagons in the plane, drawn by Graeme McRae. It is interesting because it is a counterexample to the 2-dimensional analogue of a conjecture made in 3 dimensions by Stanislaw Ulam.
Ulam?s packing conjecture states that of all convex bodies in 3d Euclidean space, the ball has the smallest maximum packing density. Since congruent balls can be packed with a density of
and Kepler?s conjecture, now a theorem, says this is a best possible, Ulam?s conjecture says that for any other convex body in R3, we can pack congruent copies of this body with a density more than π/18???.
The analogous conjecture in 2 dimensions would say that every convex region in the Euclidean plane can be packed with a density at least
However, the densest packing of regular octagons, shown above, has density only
It density is only about .0007 less, but this suffices to refute the conjecture!
There is another more famous packing of regular octagons, the truncated octagonal tiling:
- See more at: http://blogs.ams.org/visualinsight/2014/10/15/packing-regular-octagons/?utm_content=buffer2d542&utm_medium=social&utm_source=facebook.com&utm_campaign=buffer#sthash.InAkQTlt.dpuftest latex
- Details
- Category: Latex
- Published on Tuesday, 16 September 2014 22:24
- Written by Super User
- Hits: 5249
MathJax TeX Test PageWhen $a \ne 0$, there are two solutions to \(ax^2 + bx + c = 0\) and they are $$x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}.$$
More Articles...
- Ανάθεση Μαθηματικών σε μη Μαθηματικούς
- Άλγεβρα Α΄λυκειου - Λύσεις Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας 2014
- Όμιλοι Αριστείας Μαθηματικών Σχ.Έτος 2014-15
- Αναβάθμιση Ιστοσελίδας
- 2η Ετήσια Ημερίδα Εργαστηρίου Άλγεβρας Ευαγγελικής Σχολής
- Λύσεις θεμάτων Γεωμετρίας Α΄λυκείου Τράπεζας Θεμάτων
- Επαγγέλματα του Μέλλοντος: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ το καλύτερο για το 2014
- 8ο Μαθηματικό Καλοκαιρινό Σχολείο Λεπτοκαρυά Πιερίας
- Πρόγραμμα συνεδρίου: Τα Μαθηματικά στα Π.Π.Σ. 2014
- Ημέρα και Μήνας του π
- Εξετάσεις και εξεταστέα ύλη Α΄λυκειου 2014
- Κύκλος Ομιλιών για την Απόδειξη στα Μαθηματικά
- Εξετάσεις Εισαγωγής στα Πρότυπα Πειραματικά Σχολεία 2014
- Συγχρονισμός ημερολογίου gmail και thunderbird
- Μαθηματικά και μετάφραση
- Ολοκληρώθηκε η αλλαγή της πολικότητας του μαγνητικού πεδίου του ήλιου
- Επιτυχόντες Διαγωνισμού Θαλής 2013
- Συνέδριο : Τα Μαθηματικά στα Πρότυπα Πειραματικά Σχολεία 2014
- Διαγώνισμα στο 1ο κεφ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ΄λυκείου
- Φόρουμ υποστήριξης και μάθησης του Π.Π. Λυκείου Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης
- Η μαγεία των αριθμών Fibonacci
- Απολλώνιος κύκλος
- Εικοσιδωδεκάεδρο 12
- 30o Συνέδριο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ε.Μ.Ε. Καρδίτσα 2013
- Αντίστροφη αναζήτηση pdf σε LaTex
- Ηλεκτρονική τάξη sch και μαθηματικά σύμβολα.
- Ο Πρόεδρος της Δημοκρατίας δέχεται τους μαθητές των Εθνικών Ολυμπιακών ομάδων (2013) στα Μαθηματικά
- Βιβλιογραφία για Μαθηματικές Ολυμπιάδες
- Οδηγίες Μαθηματικών 2013 - 14
- Μαθηματικά Γλυπτά
- Προβλήματα και μετατροπές στο text encoding κειμένων
- Όμιλοι αριστείας στο Π.Π. Λύκειο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης
- Εισαγωγή στη γεωμετρία των Fractal
- Πρόσβαση στην αναβαθμισμένη eclass 2013
- Tabula δυναμική γεωμετρία
- Φθινοπωρινή ισημερία ΣΗΜΕΡΑ
- Μπορείτε να εξηγήσετε πώς μπορεί να συμβαίνει αυτό;
- Υποστηρικτική τάξη μαθημάτων 2013-14 ΠΠΛ Ευαγγελικής Σχολής
- Σχ. Έτος 2013-14
- Τα εκατό καλύτερα βιβλία όλων των εποχών όπως επιλέχθηκαν από σύγχρονους συγγραφείς.
- Η Αστρονομία ΕΚΤΟΣ νέου σχολικού προγράμματος
- Ημερίδα εργαστηρίου άλγεβρας
- Επαναληπτικές ερωτήσεις Αστρονομίας Β΄λυκείου
- Σελίδες Νέων τεχνολογιών στην Εκπαίδευση
- 825 Λυμένες ασκήσεις Γεωμετρίας Α΄λυκείου
- Λυμένες Γενικής παιδείας 2013
- Θέματα Πανελλαδικών Εξετάσεων Μαθηματικά Κατεύθυνσης
- Στέγη Γραμμάτων και Τεχνών : Μαθηματικά: Γιατί;
- Επαναληπτικές ασκήσεις Κατεύθυνσης Β΄λυκείου
- Μερική έκλειψη σελήνης στις 25 Απριλίου 2013
- Αντιμετώπιση του άγχους των εξετάσεων 2013
- Επανάληψη Γεωμετρίας Α΄λυκείου 2012-13
- Σύνοψη θεωρίας Κατεύθυνσης Β΄λυκείου
- Επαναληπτικές ασκήσεις Άλγεβρα Α΄λυκείου
- Εφαρμογές της αλγεβρικής τοπολογίας σε συστήματα αισθητήρων
- Βιβλίο Μιγαδικών Ροδόλφου Μπόρη
- Εγκατάσταση και χρήση Geogebra
- Σύνοψη Ακολουθιών - Προόδων
- Μαθηματικά Γενικής Γ΄Λυκείου Ερωτήσεις Σ-Λ
- 2o Διεθνές συνέδριο Εφαρμογών Μαθηματικών και ΠΛηροφορικής ΣΣΕ
- Εικοσιδωδεκάεδρο Τεύχος 11
- Μη ευκλείδιες γεωμετρίες
- Σενάριο Προσδιορισμός ρίζας πολυωνύμου με προσέγγιση
- Η μεθοδολογία (του Γιάννη Ντάνη)
- Οδηγίες διδασκαλίας Μαθηματικών Λυκείου 2012-13
- Γεωμετρικές οφθαλμαπάτες ή ένας ακόμα λόγος να αναζητούμε αποδείξεις.
- Πόσο από το φεγγάρι βλέπουμε ;
- Δωρεάν και φθηνά βιβλία υπάρχουν παντού
- Ε.Μ.Ε. Καταστατική Γενική συνέλευση
- Εκπαιδευτική νομοθεσία
- Εκπαίδευση και εκπαιδευτικοί στην Ελλάδα(ΟΟΣΑ 2012)
- Ενημέρωση μαθητών για Πανελλαδικές εξετάσεις 2013
- Χάρτες του ουρανού.
- Οι δρόμοι του ημιτόνου.
- The joomla forum post assistant
- Ανάγνωση αρχείων djvu
- Πρώτες αλλαγές στο πρωτοσέλιδο της joomla σελίδας σας.
- Αποδείξεις χωρίς λόγια
- Προσθήκη Μαθηματικών τύπων στο Joomla Με χρήση Latex
- Εικασία 3ν + 1
- 2013
- Κέντρο κύκλου με διαβήτη
- Εκπτωτικός κατάλογος ΟΛΜΕ 2013 Α΄μέρος
- Πώς γράφετε μαθηματικά άρθρα και αποδέιξεις;
- Διαδώστε τα άρθρα της σελίδας σας με το twitterfeed
- Προβλήματα ασφάλειας σε εφαρμογές
- Σπεροειδής γαλαξίας NGC 3627
- Επαναληπτικά φυλλάδια Άλγεβρας Α΄λυκείου 4 , 5
- Ωριαία αξιολόγηση Μαθηματικά και στοιχεία στατιστικής Γ λυκείου 2012
- Επαναληπτικές ασκήσεις Μαθηματικών γενικής παιδείας Κεφάλαιο 1 - Χριστούγεννα 2012
- Πλανητικό σύστημα παρόμοιο με το δικό μας.
- Το τέλος της θεωρίας του Αϊνστάιν;
- Άλγεβρα Μαθηματικού Αιγαίου
- Δημιουργία ιστογράμματος συχνοτήτων σε Geogebra
- Μία συνοπτική ιστορία των μαθηματικών
- Visual Group Theory by Nathan Carter
- Problem solving in mathematics
- Καλλιστεία τετραπλεύρων (θεατρικό)
- 24 γράμματα
- Latable
- Θεωρία ομάδων
- Κρυπτογραφία και ομάδες πλεξιδίων
- Τα 100 μεγαλύτερα προβλήματα των μαθηματικών.
- Προτυπα και αριθμοί Catalan
- Εικοσιδωδεκάεδρο Τεύχος 10
- Σενάριο Μαθήματος Μετρικών σχέσεων σε κύκλο
- Paper Cutting Book
- Ενσωμάτωση αρχείων σε άρθρο (ΟΧΙ LINK)
- Εργαλεία Web2.0 στην εκπαίδευση
- Εγκατάσταση Xampp
- Συλλογή Θεμάτων Επανάληψης ΕΠΑΛ
- 1ο Πανελλήνιο Συνέδριο Κρυπτογραφίας 2012
- Θέατρο - Κινηματογράφος
- Latex Equation Editor
- Σενάριο Η συνάρτηση Ημίτονο
- Σενάριο Τέμνουσες Κύκλου Β΄Λυκείου
- Field's το μέγιστο βραβείο των μαθηματικών
- Αναβάθμιση ιστοσελίδας