Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο Μιχαηλίδης Ευστάθιος

Γατάκια Ας Ανακρίνουμε τη φύση

4^ο Μάθημα (Ενεργειακή προσέγγιση)

63. Σε μία ΑΑΤ να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις: α) της κινητικής ενέργειας με την απομάκρυνση, β) της δυναμικής ενέργειας με την απομάκρυνση.

64. Σώμα εκτελεί ΑΑΤ. Σε ποιες θέσεις η κινητική ενέργεια της ταλάντωσης ισούται με τα 9/16 της δυναμικής;

65. Αν τετραπλασιάσουμε την ενέργεια μιας ΑΑΤ πως μεταβάλλεται: α) η περίοδος β) η μάζα, γ) το πλάτος, δ) η μέγιστη ταχύτητα και ε) η σταθερά επαναφοράς;

66.Ελατήριο σταθεράς Κ τοποθετείται κατακόρυφα με το πάνω άκρο του στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο. Ένα σώμα μάζας Μ = 1kg δένεται στο κάτω άκρο του ελατηρίου και η επιμήκυνση που προκαλεί σε αυτό είναι χ₁ = 0,1m. Μετακινούμε το σώμα κατά Δχ και το αφήνουμε ελεύθερο. Στο σώμα κατά την διάρκεια της κίνησης του η μέγιστη δύναμη που ασκείται από το ελατήριο είναι 50Ν.

Α. Να αποδείξετε ότι το σώμα θα εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση και να υπολογίσετε την περίοδο της.

Β. Να βρείτε την ενέργεια της ταλάντωσης

Γ. Να γράψετε τις εξισώσεις της απομάκρυνσης της ταχύτητας και της επιτάχυνσης σε συνάρτηση με τον χρόνο και να κάνετε τις αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις.

Δ. Να βρείτε την μέγιστη δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης και την μέγιστη δυναμική ενέργεια του ελατηρίου.

67. Σώμα μάζας m = 0,2kg εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με συχνότητα f = 2,5 Hz. Το πλάτος ταλάντωσης είναι Α = 20 cm .
α . Να υπολογιστούν η σταθερά D της ταλάντωσης και η ολική ενέργεια του ταλαντούμενου σώματος
β . Τη χρονική στιγμή t = 0 το σώμα βρίσκεται στο θετικό ημιάξονα , κινείται προς την ακραία θέση ταλάντωσής του και η κινητική ενέργεια του είναι τριπλάσια από τη δυναμική του.  Να γραφεί η εξίσωση της απομάκρυνσης του σώματος από τη θέση ισορροπίας του .

68. Ενα ελατήριο αμελητέας μάζας και σταθεράς Κ κόβεται στο μέσο. Τα δύο μισά ελατήρια στερεώνωνται από δύο σταθερά σημεία και τα ελεύθερα άκρα τους συνδέονται μεταξύ τους. Σώμα μάζας m κρέμεται από το κάτω μέρος. Οταν το σώμα αφεθεί ελεύθερο θα εκτελέσει ταλάντωση. Να βρεθεί η συχνότητα. (Τύπος)

69. Σώμα μάζας m κρέμεται στο ένα άκρο ελατηρίου αμελητέας μάζας και σταθεράς Κ, το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο σε σταθερό σημείο. Το σώμα εκτελεί κατακόρυφη αρμονική ταλάντωση της οποίας η ολική ενέργεια είναι 0,5 J και η περίοδος 0,4π s. Κατά τη χρονική στιγμή  t = 0 s το σώμα περνά από τη θέση ισορροπίας και κατά τη χρονική στιγμή t = 0,05π s έχει απομάκρυνση χ=14,1 cm. Να βρεθούν:  

α) η μάζα m του σώματος.          β) η σταθερά Κ του ελατηρίου.

γ) το πλάτος Α της ταλάντωσης.  

δ) η ταχύτητα, η κινητική ενέργεια και η δυναμική ενέργεια του σώματος όταν η απομάκρυνση του είναι χ=12 cm.

ε) το μικρότερο χρονικό διάστημα που απαιτείται για να κινηθεί το σώμα από τη θέση χ₁=6 cm κάτω από τη θέση ισορροπίας στη θέση χ₂=14 cm πάνω από τη θέση ισορροπίας.

στ) Να παρασταθεί γραφικά η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου

          ι) σε συνάρτηση με την απομάκρυνση από θέση ισορροπίας.

         ιι) σε συνάρτηση με το χρόνο t                            (Κύπρος 1984)

70. Σώμα μάζας Μ=0,3 kg είναι στερεωμένο στο πάνω μέρος ελατηρίου σταθεράς Κ=50 Ν/m. Το σύστημα σώμα ελατήριο είναι αρχικά ακίνητο. Από ύψος h=3,2 m πλαστελίνη μάζας m=0,1kg πέφτει πάνω στο σώμα Μ και συσσωματώνεται με αυτό. Ζητούνται:

α) Η απώλεια ενέργειας κατά την κρούση.

β) Η μέγιστη συμπίεση του ελατηρίου από την αρχική θέση.

γ) Το πλάτος της ταλάντωσης του συστήματος αν αυτή θεωρηθεί αμείωτη.

δ) Η περίοδος της ταλάντωσης.

ε) Η θέση ισορροπίας της ταλάντωσης αυτής.

71. Ενα σώμα εκτελεί γραμμική αρμονική ταλάντωση με περίοδο Τ και βρίσκεται στη θέση μέγιστης απομάκρυνσης του. O χρόνος ο οποίος χρειάζεται για να μετατραπούν τα 75% της δυναμικής του ενέργειας σε κινητική είναι:

Α. Τ/2        Β. Τ/4         Γ. 3Τ/4         Δ. Τ/6          Ε. Τ/12

72. Να κάνετε την γραφική παράσταση της κινητικής ενέργειας Κ, σε συνάρτηση με το χρόνο, σώματος μάζας m που εκτελεί Α.Α.Τ. της μορφής χ=Aημ(ωt+π/2)

73. Ένα σύστημα εκτελεί Α.Α.Τ. και η ενέργεια του είναι Ε= 10 J. Η ενέργεια που πρέπει να προσφέρουμε στο σύστημα για να διπλασιάσουμε το πλάτος της ταλάντωσης είναι:    α) 10 J    β) 20 J   γ) 30 J   δ) 40 J

74. Ένα σώμα με μάζα 2 Kg εκτελεί Α.Α.Τ. και τη χρονική στιγμή t=0 sec είναι χ=0 m και υ=0 m/s. Όταν το σώμα μεταβαίνει από τη θέση x₁=0 m στη θέση χ₂ = Α m, η μεταβολή της ορμής του είναι ΔΡ = - 10 Ν.s. Να βρείτε τη δυναμική ενέργεια του σώματος τη χρονική στιγμή t=T/6.

75. Σώμα μάζας m εξαρτάται από κατακόρυφο ελατήριο και διεγείρεται σε εξαναγκασμένη ταλάντωση από εξωτερική περιοδική δύναμη σταθερής συχνότητας λίγο μεγαλύτερης από την ιδιοσυχνότητα του συστήματος ελατήριο - σώμα (ταλαντωτής). Στο σώμα προσθέτουμε ακόμη μία μικρή μάζα Δm. Ποια από τις πιο κάτω προτάσεις είναι λανθασμένη:

Α. Η συχνότητα της ταλάντωσης θα μείνει η ίδια.

Β. Η ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή θα μικρύνει.

Γ. Το πλάτος της ταλάντωσης θα μεγαλώσει.

Δ. Η ιδιοπερίοδος του ταλαντωτή θα μεγαλώσει.

Ε. Θα απομακρυνθούμε από τον συντονισμό.

76. Ενα σώμα μάζας 2 kg ισορροπεί πάνω σε οριζόντια εξέδρα η οποία κινείται κατακόρυφα κατά τέτοιο τρόπο ώστε κατά τη χρονική στιγμή t το ύψος της πάνω από τη μέση θέση ισορροπίας της μετρούμενο σε μέτρα, δίνεται από την εξίσωση: ψ=0,1ημωt   (t σε s).

Η κυκλική συχνότητα ω αυξάνεται σιγά - σιγά, ενώ το πλάτος διατηρείται σταθερό. Στην κυκλική συχνότητα ω₁ το σώμα μόλις αρχίζει να χάνει επαφή με την εξέδρα. Να βρείτε:

α) Την τιμή της κυκλικής συχνότητας ω₁.

β) Τη μέγιστη δύναμη που εξασκείται από την εξέδρα στο σώμα όταν ω=ω₁.

γ) το μέγιστο ύψος που θα φτάσει το σώμα αν η κυκλική συχνότητα ξαφνικά διπλασιαστεί σε 2ω₁ όταν η εξέδρα βρίσκεται στην πιο χαμηλή θέση της διαδρομής της.

δ) Πόσο χρόνο χρειάζεται το σώμα για να φτάσει στο μέγιστο ύψος του, μετά τη χρονική στιγμή που θα βρίσκεται στο χαμηλότερο σημείο της διαδρομής του.

(Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10 m/s²).           (Κύπρος 1991)

77. Συμπαγής μεταλλικός κύλινδρος με πυκνότητα d=2,7.10⁺³ kg.m^-3, εμβαδό βάσης S=5.10^-4 m² και ύψος h= 0,16 m, στερεώνεται στον πυθμένα δοχείου με ελατήριο σταθεράς Κ= 328 Ν/m. Το υγρό που περιέχει το δοχείο έχει πυκνότητα d_υ=13,6.10⁺³ kg.m^-3 και ο κύλινδρος είναι βυθισμένος ως το μέσο του ύψους όταν ισορροπεί.

α) Να βρείτε την τάση του ελατηρίου, όταν ο κύλινδρος ισορροπεί.

β) Να δείξετε ότι ο κύλινδρος κάνει αρμονική ταλάντωση όταν εκτρέπεται λίγο από τη θέση ισορροπίας κατά μήκος της κατακορύφου θεωρώντας την στάθμη του υγρού στο δοχείο σταθερή και την τριβή αμελητέα.

γ) Να υπολογίσετε την συχνότητα της ταλάντωσης.

Δίνονται: Ανωση = d_υ . g . Vβυθισμ.σώματος  και g = 10 m/s².

                                            (Κύπρος 1992)

78. Πλαστιλίνη μάζας Μ kg πέφτει ελεύθερα από απόσταση h m πάνω σε κατακόρυφο ελατήριο με το ένα άκρο στερεωμένο στο δάπεδο. Η πλαστιλίνη σταματά την κάθοδο της, όταν προκαλέσει συμπίεση χο m. H σταθερά του ελατηρίου είναι Κ Ν/m, και η μάζα του αμελητέα. Η μάζα της πλαστελίνης Μ σε kg είναι ίση με; (σε συνάρτηση g, h, K, χο).

79. Δίσκος μάζας 4 Kgr στηρίζεται στο πάνω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθερής 24 Ν/m. Πάνω στο δίσκο βρίσκεται πουλί μάζας 1/7  Kgr και το σύστημα αρχικά ισορροπεί. Aν το πουλί πετάξει κατακόρυφα προς τα πάνω με ταχύτητα 4 m/sec, βρείτε το πλάτος ττης ταλάντωσης που θα κάνει ο δίσκος. Δίνεται το g=10 m/sec2.

80. Ένα σώμα έχει μάζα 100 gr και εκτελεί Α.Α.Τ. πλάτους Α= 8 cm και συχνότητας 10 Hz. Τη χρονική στιγμή t=0 sec το σώμα έχει απομάκρυνση χ=4 cm και κινείται κατά τη θετική φορά. Να βρείτε:

α) Την ενέργεια της ταλάντωσης.

β) Να γράψετε τις χρονικές εξισώσεις της δυναμικής και της κινητικής ενέργειας του σώματος.

81. Ένα σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. και την χρονική στιγμή t=0 sec είναι χ=0 m και υ=0 m/s. Όταν η απομάκρυνση του σώματος είναι χ= 0,2 m, η κινητική του ενέργεια είναι οκταπλάσια της δυναμικής του, ενώ η επιτάχυνση έχει τιμή α = - 20 m/s². Nα γράψετε τις χρονικές εξισώσεις της απομάκρυνσης και της ταχύτητας.

82. Σώμα μάζας m είναι δεμένο στη μία άκρη ελατηρίου σταθεράς k= 200 N/m η άλλη άκρη του οποίου είναι στερεωμένη σε ακλόνητο σημείο και το σύστημα εκτελεί Α.Α.Τ. σε λείο οριζόντιο επίπεδο με περίοδο Τ= π/4 s. Η ενέργεια της ταλάντωσης είναι 6,25 J και την χρονική στιγμή  t = 0 sec είναι F = - Fo/2, όπου Fo το μέγιστο μέτρο της δύναμης που δέχεται το σώμα, ενώ υ>0.

α) Να βρείτε τη μάζα του σώματος.

β) Να γράψετε την εξίσωση της ταχύτητας και να την παραστήσετε γραφικά με το χρόνο για μία περίοδο.

83. Σώμα μάζας 2 Kg κρέμεται από ελατήριο σταθεράς k = 200 N/m καιτο σύστημα ισορροπεί. Τραβάμε το σώμα κατακόρυφα προς τα κάτω έτσι ώστε το ελατήριο να τεντώσει ακόμα κατά Α= 5 cm και στη συνέχεια το αφήνουμε ελεύθερο (t=0 s). Να βρείτε:

α) Την ταχύτητα του σώματος όταν για πρώτη φορά περάσει από τη θέση χ= 3 cm.

β) Το λόγο της δυναμικής προς την κινητική ενέργεια της ταλάντωσης την ίδια χρονική στιγμή.

γ) Να γράψετε την εξίσωση υ=f(t).

84. Μία μεταλλική ράβδος με ιδιοσυχνότητα 10 Hz συνδέεται με έναν ταλαντωτή. Καθώς η συχνότητα του ταλαντωτή αυξάνεται από 6 Hz - 14 Hz το πλάτος της ταλάντωσης της ράβδου:

Α. αυξάνεται σταθερά

Β. ελαττώνεται σταθερά

Γ. αυξάνεται σε μια μέγιστη τιμή και ακολούθως παραμένει σταθερά

Δ. ελαττώνεται σε μία ελάχιστη τιμή και ακολούθως αυξάνεται

Ε. αυξάνεται σε μία μέγιστη τιμή και ακολούθως ελαττώνεται

85. Δύο σώματα Α και Β έχουν μάζες m και 2m ανίστοιχα. Τα σώματα κρέμονται με μη εκτατά νήματα αμελητέας μάζας που έχουν μήκη L και 2L αντίστοιχα, από δύο διαφορετικά σημεία οριζόντιας οροφής. Στη συνέχεια τα σώματα αναγκάζονται να διαγράφουν κυκλικές τροχιές πάνω στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο που απέχει από την οροφή ύψος h (κωνικά εκκρεμή). Να βρείτε:

α) το λόγο των περιόδων των δύο κυκλικών κινήσεων και

β) το λόγο των τάσεων των δύο νημάτων