Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
Πετρίδης Παντελής
  • Αρχική σελίδα
  • Σχολείο
  • Μαθηματικά
  • Τ.Π.Ε.
  • GeoGebra
  • Προγραμματισμός
  • Το πρόβλημα των δύο σοφών
  • Παραπομπές
    		•   
    Σύνθεση συναρτήσεων

    Στην παρακάτω εφαρμογή εμφανίζεται βήμα προς βήμα η διαδικασία σύνθεσης δύο συναρτήσεων.

    Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

    Επεκτάσεις:

    Το κατεξοχήν πλεονέκτημα της δυναμικής γεωμετρίας βρίσκεται στην κίνηση των σχημάτων και στην αλληλεπίδρασή τους με το χρήστη. Στην παρούσα εφαρμογή ο χρήστης μπορεί να μετατοπίσει τα γραφήματα (με "σύρσιμο" του ποντικιού). Μάλιστα αυτό αρχικά ήταν παράλειψη μου καθώς θα έπρεπε να "κλειδώσω" τη θέση των γραφημάτων. Στη συνέχεια τα γραφήματα παρέμειναν "ξεκλείδωτα" για την παρούσα παρατήρηση.

    Ακολουθήστε τα παρακάτω:
    Επιλέξτε την εμφάνιση των τριών γραφημάτων μόνο.
    Μετατοπίστε τα γραφήματα της f και της g και παρατηρήστε πώς επηρεάζουν το γράφημα της h. Θα διαπιστώσετε ότι η οριζόντια μετατόπιση της g και η κατακόρυφη μετατόπιση της f προκαλούν αντίστοιχες μετατοπίσεις στην h ενώ, ανάποδα, η κατακόρυφη μετατόπιση της g και η οριζόντια μετατόπιση της f προκαλούν αλλαγή στο γράφημα της h και όχι μια απλή μετατόπιση. Αυτό μας οδηγεί σε ένα συμπέρασμα που μπορεί να διατυπωθεί ως άσκηση ως εξής:
    Να δείξετε ότι αν f' κατακόρυφη μετατόπιση της f κατά c1 και g' οριζόντια μετατόπιση της g κατά c2, τότε h'=f'og' μετατόπιση της h=fog κατά c1 κατακόρυφα και c2 οριζόντια.

    Η λύση της άσκησης αυτής είναι σχετικά εύκολη. Το σημαντικό, όμως, είναι ότι προέκυψε επαγωγικά μέσα από την παρατήρηση, και ότι η παρατήρηση αυτή μας προσφέρθηκε μέσα από την εφαρμογή.
    Κάτι τέτοιο αναδεικνύει την χρησιμότητα και την προσφορά της δυναμικής γεωμετρίας. Από μία μικροεφαρμογή μπορούν να βγουν διάφορα συμπεράσματα. Βέβαια, ζητούμενο δεν είναι μόνο η διαπίστωση, αλλά μία γενικότερη τεκμηρίωση των παρατηρήσεων. Όμως τέτοιες προτάσεις μπορούν να προκύψουν μέσα από την παρατήρηση.

    Μπορείτε να βγάλετε και άλλα συμπεράσματα από τη συγκεκριμένη εφαρμογή; Δηλαδή, θα μπορούσατε να διατυπώσετε μία πρόταση που η αλήθεια της φανερώθηκε μέσα από την εφαρμογή και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι η πρόταση αυτή ισχύει;
    Π.χ. τι συμβαίνει όταν συνθέτουμε περιοδικές συναρτήσεις; Η σύνθεση είναι και αυτή περιοδική συνάρτηση; Επίσης, ποιες είναι οι θέσεις των ακροτάτων μίας σύνθεσης συναρτήσεων και ποια η σχέση τους με τις αρχικές συναρτήσεις;

    Δημιουργήθηκε με το πρόγραμμα GeoGebra
    ΔΗΜΟΣΙΕΥΤΗΚΕ: 16/5/2010
    Πετρίδης Παντελής, Μαθηματικός - Επικοινωνία: ppetridis@sch.gr - Τελευταία ενημέρωση: 26/6/2013 (/GeoGebra/Μέτρο αθροίσματος-διαφοράς διανυσμάτων-μιγαδικών)