Πολυωνυμική προσέγγιση ελαχίστων τετραγώνων.
Δεδομένων ν σημείων, ζητούμενο είναι να βρεθεί το πολυώνυμο μ βαθμού (μ<ν) όπου το άθροισμα των τετραγώνων των (κατακόρυφων) αποστάσεων των σημείων αυτών από το γράφημα του πολυωνύμου είναι ελάχιστο. Εκτιμητής της προσέγγισης είναι ο συντελεστής προσδιορισμού r² ο οποίος παίρνει τιμές από 0 για την χειρότερη έως και 1 για την καλύτερη προσέγγιση.
Παρακάτω δίνεται ένα παράδειγμα για το πολύ 10 σημεία (ν = 1, 2, ..., 10 και μ = 0, 1, ..., ν-1). Μπορείτε να μετακινήσετε τα σημεία Α, Β, ..., Κ και να αλλάξετε το πλήθος τους ν και το βαθμό του πολυωνύμου μ.
Παρατηρήσεις:
- Για μ = 0, η προσέγγιση είναι η κατακόρυφη ευθεία y = yo, όπου yo η μέση τιμή των τεταγμένων των σημείων (yA, yB, ...).
- Για μ = 1, η προσέγγιση είναι η ευθεία ελαχίστων τετραγώνων και το r είναι ο συντελεστής γραμμικής συσχέτισης.
- Για μ = ν - 1, η προσέγγιση είναι το πολυώνυμο Lagrange, διέρχεται από όλα τα σημεία και ο συντελεστής προσδιορισμού είναι 1.
Εργαλείο για τη GeoGebra:
Το παρακάτω αρχείο είναι το εργαλείο για την προσέγγιση (θα πρέπει να έχετε εγκατεστημένη τη GeoGebra).
Σημειώστε ότι για να ορίσετε τα σημεία πρέπει να είναι μέσα σε λίστα. Αυτό γίνεται
α) από το λογιστικό φύλλο (επιλέγοντας μία περιοχή δύο στηλών και με δεξί κλικ "δημιουργία λίστας σημείων")
β) στην εισαγωγή γράψτε τα σημεία μέσα σε άγκιστρα, π.χ. "ΛίσταΣημείων = {Α,Β,Γ,Δ}". Τα σημεία Α, Β, Γ, Δ θα πρέπει να υπάρχουν ήδη.
Αφού δημιουργήσετε τη λίστα, κάντε κλικ πάνω της (στο χώρο της Άλγεβρας και έχοντας ήδη επιλέξει το εργαλείο από την εργαλειοθήκη). Στη συνέχεια θα σας ζητηθεί ο βαθμός του πολυωνύμου.
Αρχείο: ppet.ggt Παραπομπή: Πολυωνυμική προσέγγιση ελαχίστων τετραγώνων (το θεωρητικό μέρος).
Δημιουργήθηκε με το πρόγραμμα GeoGebra
ΔΗΜΟΣΙΕΥΤΗΚΕ: 20/5/2010 - ΕΝΗΜΕΡΩΘΗΚΕ: 26/1/2012 |
