ΤΟ ΘΕΜΑ ΤΟΥ ΜΗΝΑ

Μαθηματικά Ταξίδια

logo101

Δεν είναι διόλου αδύνατη λογικά η υπόθεση πως ολόκληρη η ζωή μας είναι ένα όνειρο στο οποίο εμείς οι ίδιοι δημιουργούμε όλα τα αντικείμενα που προβάλλουν μπροστά μας. Αλλά μ’όλο που αυτό δεν είναι λογικά αδύνατο, δεν υπάρχει κανένας απολύτως λόγος να δεχθούμε πως είναι και αληθινό.

Ράσσελ

ΑΓΑΠΗΜΕΝΑ

Αυτό το ξέρατε;

Numeri Idonei (convenient)

Numeri idonei
What are these numeri idonei of Euler? Also called convenient
numbers, they were used conveniently by Euler to produce prime
numbers.
Now I will explain what the numeri idonei are. Let n ≥ 1. If q is an
odd prime and there exist integers x, y ≥ 0 such that q = x² + ny² ‚
then:
(i) gcd(x, ny) = 1;
(ii) if q = x₁² + ny₁² with integers x 1 , y 1 ≥ 0, then x = x 1 and y = y 1 .
We may ask the following question. Assume that q is an odd in–
teger, and that q = x ² + ny ² , with integers x, y ≥ 0, such that
conditions (i) and (ii) above are satisfied. Is q a prime number?
The answer depends on n. If n = 1, the answer is “yes”, as Fer–
mat knew. For n = 11, the answer is “no”: 15 = 2 2 + 11 · 1 2 and
conditions (i) and (ii) hold, but 15 is composite. Euler called n a
numerus idoneus if the answer to the above question is “yes”.
Euler gave a criterion to verify in a finite number of steps whether
a given number is convenient, but his proof was flawed. Later, in
1874, Grube found the following criterion, using in his proof results
of Gauss, which I will mention soon. Thus, n is a convenient number
if and only if for every x ≥ 0 such that q = n + x ² ≤ 4n/3 , if q = rs
and 2x ≤ r ≤ s, then r = s or r = 2x.
For example, 60 is a convenient number, because
60 + 1 ² = 61 (),
60 + 2 ² = 64 = 4 · 16 = 8 · 8,
60 + 3 ² = 69 (),
60 + 4 ² = 76 ()
and the numbers marked with a () do not have a factorization of
the form indicated.
Euler showed, for example, that 1848 is a convenient number,
and that
q = 18518809 = 197 ² + 1848 · 100 ²
is a prime number. At Euler’s time, this was quite a feat.
Gauss understood convenient numbers in terms of his theory of
binary quadratic forms. The number n is convenient if and only if
each genus of the form x ² + ny ² has only one class.
Here is a list of the 65 convenient numbers found by Euler:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 18, 21, 22, 24, 25,
28, 30, 33, 37, 40, 42, 45, 48, 57, 58, 60, 70, 72, 78, 85, 88, 93,
102, 105, 112, 120, 130, 133, 165, 168, 177, 190, 210, 232, 240,
253, 273, 280, 312, 330, 345, 357, 385, 408, 462, 520, 760, 840,
1320, 1365, 1848.
Are there other convenient numbers? Chowla showed that there
are only finitely many convenient numbers; later, finer analytical
work (for example, by Briggs, Grosswald, and Weinberger)
implied that there are at most 66 convenient numbers.
The problem is difficult. The exclusion of an additional numerus
idoneus is of a kind similar to the exclusion of a hypothetical tenth358
imaginary quadratic field (by Heegner, Stark, and Baker), which
I have already mentioned.

My numbers, my friends /Paulo Ribenboim

Δείτε επίσης εδώ για numeris idonei

ΨΥΧΑΓΩΓΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Λεπτομέρειες

Λεπτομέρειες: Κατηγορία: ΨΥΧΑΓΩΓΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ; Εμφανίσεις: 17323

Έμπνευσης. Προβλήματα Λογικής.

Λογικά Πάζλ
Γιαπωνέζικη μέθοδος πολλαπλασιασμού

Ιστορία των αριθμών. Τα αριθμητικά ψηφία και η σημασία τους.

Στην υγειά σας

mug and torus morph

«Ο Αρχιμήδης θα μνημονεύεται όταν ο Αισχύλος θα έχει ξεχαστεί, γιατί ενώ οι γλώσσες πεθαίνουν, οι μαθηματικές ιδέες είναι αθάνατες. Ίσως “αθανασία» είναι μια ανόητη λέξη, αλλά μάλλον ο μαθηματικός έχει την καλύτερη τύχη, ό,τι και αν αυτό σημαίνει.»

G. H. Hardy

Σύνδεσμοι

ΚΑΙΡΟΣ

ΦΙΛΟΞΕΝΙΑ

Περιοδικό ΚΒΑΝΤΟΥΜ
Δευτέρα 03 Ιουνίου 2019 09:45
Πλαγιογώνια Συστήματα Συντεταγμένων
Πέμπτη 17 Ιανουαρίου 2019 08:17
Τσιρόλαμο Καρντάνο
Δευτέρα 31 Δεκεμβρίου 2018 19:30
Λούκα Πατσιόλι
Δευτέρα 31 Δεκεμβρίου 2018 19:28
Ινδοαραβικό σύστημα αρίθμησης
Δευτέρα 31 Δεκεμβρίου 2018 19:25
ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΙ ΔΙΑΛΟΓΟΙ
Παρασκευή 16 Μαρτίου 2018 18:57
Ο Δρόμος του Διόφαντου
Σάββατο 02 Δεκεμβρίου 2017 20:42
Κάποιες αξιοσημείωτες ιδιότητες των οριζουσών
Σάββατο 08 Ιουλίου 2017 23:14
Η διάσταση των χώρων Banach
Κυριακή 18 Ιουνίου 2017 09:28
Η νστη παράγωγος της συνάρτησης 1/sqrt(1-x^2)
Τρίτη 06 Ιουνίου 2017 19:08
Τετραγωνικές καμπύλες στο επίπεδο
Σάββατο 03 Ιουνίου 2017 11:23
Ακρότατα Συναρτήσεων Πολλών Μεταβλητών
Πέμπτη 27 Απριλίου 2017 15:23
Γυμνάσματα Αριθμοθεωρίας
Τρίτη 10 Ιανουαρίου 2017 17:45
Ο θαυμαστός παράδεισος του κυρίου Κάντορ
Δευτέρα 19 Δεκεμβρίου 2016 15:40
Από το θεώρημα του Πάππου στην Προβολική Γεωμετρία
Τετάρτη 31 Αυγούστου 2016 12:56
Η Γωνιά της Φυσικής
Δευτέρα 30 Μαΐου 2016 15:44
φ
Παρασκευή 13 Μαΐου 2016 19:12
Φυσική
Σάββατο 24 Ιανουαρίου 2015 13:35
ΤΟ ΘΕΜΑ ΤΟΥ ΜΗΝΑ
Σάββατο 24 Ιανουαρίου 2015 12:52
Συναρτήσεις ζ και L
Τετάρτη 01 Οκτωβρίου 2014 20:48
Θεώρημα Fermat για Ν=3 και Ν=4
Παρασκευή 29 Αυγούστου 2014 13:12
ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ
Τετάρτη 13 Αυγούστου 2014 17:16
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΛΟΜΠΑΤΣΕΦΣΚΙ
Τρίτη 12 Αυγούστου 2014 19:53
Επίσκεψη στο CERN
Τετάρτη 30 Ιουλίου 2014 09:26
ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Πέμπτη 19 Δεκεμβρίου 2013 19:46
Η ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΗ ΔΥΝΑΜΗ ΕΝΟΣ ΠΡΩΤΟΥ ΠΟΥ ΔΙΑΙΡΕΙ ΕΝΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΟ
Δευτέρα 26 Αυγούστου 2013 14:36
ΑΥΓΟΥΣΤΟΣ 2013
Δευτέρα 26 Αυγούστου 2013 09:48
Moodle Γκέντελ
Κυριακή 23 Ιουνίου 2013 17:14
ΕΠΙΠΕΔΟΧΩΡΑ
Τρίτη 16 Απριλίου 2013 21:18
ΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
Παρασκευή 22 Φεβρουαρίου 2013 19:23
ΘΕΩΡΗΜΑ DARBOUX’S
Παρασκευή 22 Φεβρουαρίου 2013 18:09
Η ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΤΟΥ ΔΕΚΑΔΙΚΟΥ ΑΝΑΠΤΥΓΜΑΤΟΣ ΕΝΟΣ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ
Δευτέρα 03 Δεκεμβρίου 2012 00:48
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ GALOIS
Σάββατο 01 Σεπτεμβρίου 2012 19:43
ΝΟΥΣ ΚΑΙ ΕΓΚΕΦΑΛΟΣ
Πέμπτη 30 Αυγούστου 2012 16:33
Ντετερμινισμός και ελεύθερη βούληση
Πέμπτη 30 Αυγούστου 2012 15:35
Το πρόβλημα της ύπαρξης του εξωτερικού κόσμου
Πέμπτη 30 Αυγούστου 2012 13:34
ΔΙΧΟΚΑΘΕΤΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΥ
Τετάρτη 01 Αυγούστου 2012 11:29
ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΜΗ ΠΛΗΡΟΤΗΤΑΣ ΓΚΕΝΤΕΛ
Κυριακή 29 Ιουλίου 2012 12:08
ΒΙΟΡΥΘΜΙΚΟΙ ΚΥΚΛΟΙ
Σάββατο 28 Ιουλίου 2012 18:52
ΥΠΕΡΒΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΟΥ LIOUVILLE
Σάββατο 28 Ιουλίου 2012 18:16
ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΓΙΣΤΟΥ ΕΜΒΑΔΟΥ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΟ ΣΕ ΚΥΚΛΟ
Σάββατο 28 Ιουλίου 2012 18:06
ΔΙΑΤΑΞΗ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ
Σάββατο 28 Ιουλίου 2012 16:20
ΣΧΕΣΕΙΣ ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑΣ ΣΤΟ Ζ ΣΥΜΒΙΒΑΣΤΕΣ ΩΣ ΠΡΟΣ ΤΗΝ ΠΡΟΣΘΕΣΗ
Σάββατο 28 Ιουλίου 2012 16:12
ΣΧΕΔΟΝ ΑΔΥΝΑΤΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΣΕ ΧΩΡΟΥΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ
Σάββατο 28 Ιουλίου 2012 16:01
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΣΗΣ
Σάββατο 28 Ιουλίου 2012 15:54
ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ
Σάββατο 28 Ιουλίου 2012 15:44
ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΙ ΠΟΥΘΕΝΑ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Σάββατο 28 Ιουλίου 2012 15:36
ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΙ
Σάββατο 28 Ιουλίου 2012 15:27
ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΛΩΝ ΚΑΙ ΠΛΗΘΑΡΙΘΜΩΝ
Σάββατο 28 Ιουλίου 2012 15:19
ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑΣ ΤΟΥ ΠΑΣΧΑ
Σάββατο 28 Ιουλίου 2012 15:10
Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΓΑΜΜΑ
Σάββατο 28 Ιουλίου 2012 15:03
Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΟΥ ΤΑΜΠΛΟ ΣΤΗ ΛΟΓΙΚΗ
Σάββατο 28 Ιουλίου 2012 14:43
ΑΚΑΔΗΜΙΑ ΠΛΑΤΩΝΟΣ
Σάββατο 28 Ιουλίου 2012 14:34
ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ-ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ
Σάββατο 28 Ιουλίου 2012 14:26
ΑΡΙΘΜΟΘΕΩΡΗΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Σάββατο 28 Ιουλίου 2012 14:19
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΟΡΙΣΙΜΟΤΗΤΑ
Σάββατο 28 Ιουλίου 2012 14:11
ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΓΙΝΟΜΕΝΩΝ ΠΕΡΙΟΔΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
Σάββατο 28 Ιουλίου 2012 13:54
Θεώρημα Gauss-Lucas
Σάββατο 28 Ιουλίου 2012 11:57
Γιατί πλην επι πλην κάνει συν;
Σάββατο 28 Ιουλίου 2012 11:45
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ
Δευτέρα 16 Ιουλίου 2012 18:48
Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
Δευτέρα 16 Ιουλίου 2012 18:41
ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ
Παρασκευή 13 Ιουλίου 2012 23:28
ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ 1
Παρασκευή 13 Ιουλίου 2012 22:36
ΠΑΠΑΓΓΕΛΗ ΧΡΙΣΤΙΝΑ
Σάββατο 07 Ιουλίου 2012 16:41
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
Δευτέρα 21 Μαΐου 2012 19:06
RUSSELL
Παρασκευή 18 Μαΐου 2012 17:39
ΨΥΧΑΓΩΓΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Κυριακή 13 Μαΐου 2012 14:25
$Εκπαιδευτικοί Προβληματισμοί$
Εκπαιδευτικοί Προβληματισμοί
Κυριακή 13 Μαΐου 2012 11:18
ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ
Σάββατο 12 Μαΐου 2012 11:29
ΚΥΡΙΑΚΟΣ ΓΡΗΓΟΡΙΑΔΗΣ
Σάββατο 12 Μαΐου 2012 07:09
ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ
Πέμπτη 10 Μαΐου 2012 18:42
ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΙ ΔΙΑΛΟΓΟΙ
Σάββατο 28 Απριλίου 2012 16:24
ΣΧΟΛΕΙΑ
Σάββατο 28 Απριλίου 2012 12:53
ΒΑΣΙΛΗΣ ΣΥΜΕΩΝΙΔΗΣ
Σάββατο 28 Απριλίου 2012 12:22
ΡΑΣΕΛ
Σάββατο 28 Απριλίου 2012 12:04
ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ
Παρασκευή 27 Απριλίου 2012 22:30
ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ
Παρασκευή 27 Απριλίου 2012 22:30
ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ
Παρασκευή 27 Απριλίου 2012 22:28
ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ
Παρασκευή 27 Απριλίου 2012 22:27
ΑΥΓΟΥΣΤΟΣ
Παρασκευή 27 Απριλίου 2012 22:27

Μαθηματικά Ταξίδια

ΑΓΑΠΗΜΕΝΑ

ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ

Αυτό το ξέρατε;

Έμπνευσης. Προβλήματα Λογικής.

Στην υγειά σας

Σύνδεσμοι

ΚΑΙΡΟΣ

ΦΙΛΟΞΕΝΙΑ

ΑΡΘΡΑ ΙΣΤΟΤΟΠΟΥ

Περιοδικό ΚΒΑΝΤΟΥΜ

Πλαγιογώνια Συστήματα Συντεταγμένων

Τσιρόλαμο Καρντάνο

Λούκα Πατσιόλι

Ινδοαραβικό σύστημα αρίθμησης

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΙ ΔΙΑΛΟΓΟΙ

Ο Δρόμος του Διόφαντου

Κάποιες αξιοσημείωτες ιδιότητες των οριζουσών

Η διάσταση των χώρων Banach

Η νστη παράγωγος της συνάρτησης 1/sqrt(1-x^2)

Τετραγωνικές καμπύλες στο επίπεδο

Ακρότατα Συναρτήσεων Πολλών Μεταβλητών

Γυμνάσματα Αριθμοθεωρίας

Ο θαυμαστός παράδεισος του κυρίου Κάντορ

Από το θεώρημα του Πάππου στην Προβολική Γεωμετρία

Η Γωνιά της Φυσικής

φ

Φυσική

ΤΟ ΘΕΜΑ ΤΟΥ ΜΗΝΑ

Συναρτήσεις ζ και L

Θεώρημα Fer­mat για Ν=3 και Ν=4

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΛΟΜΠΑΤΣΕΦΣΚΙ

Επίσκεψη στο CERN

ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Η ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΗ ΔΥΝΑΜΗ ΕΝΟΣ ΠΡΩΤΟΥ ΠΟΥ ΔΙΑΙΡΕΙ ΕΝΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΟ

ΑΥΓΟΥΣΤΟΣ 2013

Moo­dle Γκέντελ

ΕΠΙΠΕΔΟΧΩΡΑ

ΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΘΕΩΡΗΜΑ DARBOUX’S

Η ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΤΟΥ ΔΕΚΑΔΙΚΟΥ ΑΝΑΠΤΥΓΜΑΤΟΣ ΕΝΟΣ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ GALOIS

ΝΟΥΣ ΚΑΙ ΕΓΚΕΦΑΛΟΣ

Ντετερμινισμός και ελεύθερη βούληση

Το πρόβλημα της ύπαρξης του εξωτερικού κόσμου

ΔΙΧΟΚΑΘΕΤΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΜΗ ΠΛΗΡΟΤΗΤΑΣ ΓΚΕΝΤΕΛ

ΒΙΟΡΥΘΜΙΚΟΙ ΚΥΚΛΟΙ

ΥΠΕΡΒΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΟΥ LIOUVILLE

ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΓΙΣΤΟΥ ΕΜΒΑΔΟΥ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΟ ΣΕ ΚΥΚΛΟ

ΔΙΑΤΑΞΗ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΣΧΕΣΕΙΣ ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑΣ ΣΤΟ Ζ ΣΥΜΒΙΒΑΣΤΕΣ ΩΣ ΠΡΟΣ ΤΗΝ ΠΡΟΣΘΕΣΗ

ΣΧΕΔΟΝ ΑΔΥΝΑΤΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΣΕ ΧΩΡΟΥΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΣΗΣ

ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ

ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΙ ΠΟΥΘΕΝΑ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΙ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΛΩΝ ΚΑΙ ΠΛΗΘΑΡΙΘΜΩΝ

ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑΣ ΤΟΥ ΠΑΣΧΑ

Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΓΑΜΜΑ

Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΟΥ ΤΑΜΠΛΟ ΣΤΗ ΛΟΓΙΚΗ

ΑΚΑΔΗΜΙΑ ΠΛΑΤΩΝΟΣ

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ-​ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ

ΑΡΙΘΜΟΘΕΩΡΗΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΟΡΙΣΙΜΟΤΗΤΑ

ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΓΙΝΟΜΕΝΩΝ ΠΕΡΙΟΔΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Θεώρημα Fermat για Ν=3 και Ν=4

Moodle Γκέντελ

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ-ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ