Γυμνάσματα Αριθμοθεωρίας

Θεωρία Αριθμών

Λεπτομέρειες

Κατηγορία: Θεωρία Αριθμών

Δημοσιεύτηκε στις Δευτέρα 21 Ιανουαρίου 2013 20:48

Γράφτηκε από τον/την Κασαπίδης Γεώργιος

Εμφανίσεις: 4015

ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΣΑΠΙΔΗΣ — ΓΥΜΝΑΣΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΟΘΕΩΡΙΑΣ

Γυμνάσματα 21 — 30

24. Να αποδειχτεί ότι: $\frac{\pi}{2}=\prod_{n=1}^{\infty}\frac{2n}{2n-1}\frac{2n}{2n+1}$

ΛΥΣΗ

23. Αν υποθέσουμε οτι η πράξη του πολλαπλασιασμού δεν είναι προσεταιριστική, πόσα διαφορετικά γινόμενα θα ορίζονται απο ένα γινόμενο ν παραγόντων με μια συγκεκριμένη διάταξη;
[Για παράδειγμα αν είχαμε τρείς παράγοντες α,β,γ,τότε θα ορίζονταν 2 διαφορετικά γινόμενα τα (αβ)γ και α(βγ). Αν είχαμε 4 διαφορετικούς παράγοντες α,β,γ,δ τότε θα ορίζονταν τα εξής 5 διαφορετικά γινόμενα: (αβ)(γδ), ((αβ)γ)δ, (α((βγ))δ, (α((βγ)δ)),(α((β(γδ))).]

ΛΥΣΗ

22. Θεωρούμε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων χΟψ και συμβολίζουμε με S(n), (n φυσικός), το πλήθος των σημείων με ακέραιες συντεταγμένες που απέχουν απο το Ο απόσταση όχι μεγαλύτερη του n. Να υπολογίσετε το όριο $\lim_{n\to{\infty}}\frac{S(n)}{n^2}$

ΛΥΣΗ

21. Έστω η αριθμητική πρόοδος a_n=7n-3 , n?N , n>0 . Να αποδειχτεί ότι
υπάρχει φυσικός n>0 ώστε a_n=999…9 (m σε πλήθος εννιάρια) για κατάλληλο (οσοδήποτε μεγάλο) φυσικό αριθμό m.

ΛΥΣΗ

Γυμνάσματα 11 — 20

20. Αποδείξτε ότι ο αριθμός $[(2+\sqrt{3})^n]$ είναι περιττός για κάθε θετικό ακέραιο n.

ΛΥΣΗ

19. Δείξτε ότι για κάθε πρώτο αριθμό p, ο αριθμός $A_{p}=(p-1)!(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{p-1})$ διαιρείται δια του p.

ΛΥΣΗ

18. Δείξτε ότι

α) Αν το Α=α⁴+β⁴+γ⁴+δ⁴είναι διαιρετό με το 5, τότε είναι διαιρετό και με το 625.

β) Αν το α³+β³+γ³είναι διαιρετό δια του 7, τότε 7/αβγ.

γ) Αν το α²+β²είναι διαιρετό με το 7, τότε και οι αριθμοι α,β διαιρούνται με το 7.

ΛΥΣΗ

17. Έστω p πρώτος $p\equiv 1mod4, q=\frac{p-1}{2}, a=q!$

Δείξτε ότι

α) Υπάρχουν x,y>0 με $0<x,y< \sqrt{p}$ τέτοιοι ώστε $a^2x^2-y^2 \equiv 0 modp$

β) $p=x^2+y^2$

ΛΥΣΗ

Αναπαράσταση πρώτων αριθμών ως άθροισμα δυο τετραγώνων

16. Αν ν(1)=0 και για κάθε n>1 ν(n)=πλήθος των διαφορετικών πρώτων παραγόντων του n, και f=μ*ν (όπου * το συνελικτικό γινόμενο των συναρτήσεων μ,ν) να αποδειχτεί ότι f(n)=0 ή 1.

ΛΥΣΗ

15. Αν ν φυσικός αριθμός, να δειχτεί ότι η εξίσωση φ(χ)=ν, όπου φ η συνάρτηση Euler, έχει το πολύ πεπερασμένου πλήθους λύσεις.

ΛΥΣΗ

14. Να λυθεί η εξίσωση χ²–dψ²=1, όπου d φυσικός που δεν είναι τέλειο τετράγωνο.

ΛΥΣΗ

13. Στο θέμα (12) δείξτε επιπλέον ότι αν α φυσικός αριθμός με α>0 και α=α_npⁿ+α_n_–1pⁿ^–1+…+α₁p+α₀ με 0?α_i<p είναι η ανάλυση του α στη βάση p, τότε

$a(p)=\sum_{m=1}^{\infty}[\frac{a}{p^m}]=\frac{a-(a_n+a_{n-1}+...a_1+a_0)}{p-1}$

Στη συνέχεια να δειχτεί ότι η ακριβής δύναμη του πρώτου p η οποία διαιρεί τον αριθμό $\binom{a+b}{a}$ ισούται με το άθροισμα των «κρατούμενων» στην παράσταση του αθροίσματος α+b στη βάση p.

ΛΥΣΗ

12. Δείξτε ότι [χ]! = $\prod_{p\leqx}p^{a(p)}$ όπου $a(p)=\sum_{m=1}^{\infty}[\frac{x}{p^m}]$

ΛΥΣΗ

Η ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΗ ΔΥΝΑΜΗ ΕΝΟΣ ΠΡΩΤΟΥ ΠΟΥ ΔΙΑΙΡΕΙ ΕΝΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΟ

11. Αν d(n) συμβολίζει το πλήθος των (θετικών) διαιρετών του φυσικού αριθμού n, να αποδειχτεί ότι $\sum_{t/n}d(t)^3=(\sum_{t/n}d(t))^2$

ΛΥΣΗ

Γυμνάσματα 1 –10

10. Αν p περιττός πρώτος φυσικός αριθμός και q=(p-1)/2 τότε να αποδειχτεί ότι (q!)²+(-1)^q ? 0modp, δηλαδή ο p διαιρεί τον (q!)²+(-1)^q.

ΛΥΣΗ

9. Αν p πρώτος αριθμός και α ακέραιος με (α,p)=1 τότε α^p-1?1modp (μικρό θεώρημα Fermat)

ΛΥΣΗ

8. Αν p είναι πρώτος αριθμός, δείξτε ότι (p-1)! ?-1modp. (Θεώρημα Wilson).

ΛΥΣΗ

7. Η (ελλειπτική) εξίσωση χ²+1=ψ³ έχει τη μοναδική λύση (χ,ψ)=(0,1)

ΛΥΣΗ

6. α) Αν α²/β² δείξτε ότι α/β

β) Αν αβ=χ² και (α,β)=1 δείξτε ότι οι ακέραιοι α,β είναι τέλεια τετράγωνα.

ΛΥΣΗ 1

Για μια διαφορετική λύση δείτε την εργασία μου ΑΡΙΘΜΟΘΕΩΡΗΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

1. Αν α ακέραιος μεγαλύτερος της μονάδας, να αποδειχθεί ότι : (α^κ–1,α^λ–1)=α^(κ,λ)–1 για όλους τους θετικούς ακέραιους κ,λ.

ΛΥΣΗ

2. Αν επιλέξουμε τυχαία ν+1 αριθμούς απο τους 1,2,3,…,2ν, να αποδειχτεί οτι υπάρχουν

πάντοτε τουλάχιστον δύο, ώστε ο ένας απ’αυτούς να διαιρεί τον άλλο.

ΛΥΣΗ

3. Αν συναπ=1/3 δείξτε οτι ο πραγματικός αριθμός α είναι άρρητος.

ΛΥΣΗ

4. Έστω S_n το άθροισμα των αρχικών n πρώτων αριθμών. Να αποδειχθεί ότι για κάθε φυσικό αριθμό n υπάρχει ένας ακέραιος που το τετράγωνό του βρίσκεται μεταξύ των S_n και S_n+1.

ΛΥΣΗ

5. Τα σημεία του επιπέδου με συντεταγμένες ακέραιους αριθμούς τα ονομάζουμε και συνδεσμικά σημεία. Τα συνδεσμικά σημεία (α,β) και (γ,δ) λέγονται αμοιβαίως ορατά, όταν το ευθύγραμμο τμήμα που τα ενώνει δεν περιέχει κανένα άλλο συνδεσμικό σημείο.

Δείξτε ότι τα (α,β) , (γ,δ) είναι αμοιβαίως ορατά αν και μόνο αν ΜΚΔ(α-γ,β-δ)=1

ΛΥΣΗ