Επίλυση δευτεροβάθμιας εξίσωσης

Αφού είδαμε θεωρητικά το πως μπορούμε να βρούμε τις λύσεις μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης, καλό θα ήταν να το εφαρμόσουμε και στην πράξη

Άσκηση1
Να βρείτε τους φυσικούς αριθμούς χ που ικανοποιούν τη σχέση

$\frac{2\chi^2+1}2-\frac{2\chi}3=1-\frac{2-x}6$

«Λύση1»
θα προσπαθήσουμε να κάνουμε τη σχέση(εξίσωση) που μας έχουν δώσει όσο το δυνατόν πιο απλή ξεκινώντας από το να διώξουμε τους παρονομαστές. Αυτό γίνεται αν πολλαπλασιάσουμε όλους τους όρους με το ΕΚΠ των παρονομαστών 2,3 και 6 που είναι το 6 οπότε προκύπτει:

$\frac{2\chi^2+1}2-\frac{2\chi}3=1-\frac{2-x}6\Leftrightarrow$

$6\frac{2\chi^2+1}{2}-6\frac{2\chi}{3}=6\cdot1-6\frac{2-x}{6}$

που μετά τις απλοποιήσεις γίνεται:

$3(2\chi^2+1)-2\cdot2\chi=6-(2-\chi)$

προσέξτε ότι όταν ένας αριθμητής αποτελείται από δύο ή περισσότερους όρους είμαστε υποχρεωμένοι να τον βάλουμε σε παρένθεση μετά την απαλοιφή των παρονομαστών.

Τώρα θα διώξουμε τις παρενθέσεις κάνοντας επιμεριστική ιδιότητα και προσέχοντας μη τυχόν και υπάρχει «-» έξω από κάποια παρένθεση γιατί τότε θα πρέπει να αλλάξουμε πρόσημα σε όλους τους όρους που βρίσκονται μέσα στη παρένθεση αυτή. Έτσι έχουμε,

$3(2\chi^2+1)-2\cdot2\chi=6-(2-\chi)\Leftrightarrow$

$6\chi^2+3-4\chi=6-2+\chi$

Έφυγαν και οι παρενθέσεις και μας μένει τώρα η αναγωγή των όμοιων όρων. Επειδή όμως παρατηρούμε ότι η εξίσωση είναι 2ου βαθμού (αφού υπάρχει ο όρος $6\chi^2$ ) θα τα μαζέψουμε όλα στο ένα μέλος, έστω στο πρώτο, και μετά θα κάνουμε την αναγωγή.

$6\chi^2+3-4\chi=6-2+\chi\Leftrightarrow$

$6\chi^2+3-4\chi-6+2-\chi=0\Leftrightarrow$

$6\chi^2-5\chi-1=0$

Από εδώ και κάτω θα ακολουθήσουμε τη διαδικασία που είδαμε στο προηγούμενο άρθρο. Πιο συγκεκριμένα ,

Ξεκαθαρίζουμε ποιοι αριθμοί παίζουν το ρόλο των α, β και γ
$\alpha=6$ , $\beta=-5$ και $\gamma=-1$
Υπολογίζουμε τη Διακρίνουσα
$\Delta=\beta^2-4\alpha\gamma$

$\Delta=(-5)^2-4(+6)(-1)$

$\Delta=25+24=49$

Αφού η Διακρίνουσα μας προέκυψε θετική, γνωρίζουμε ότι η εξίσωση θα έχει 2 διαφορετικές λύσεις τις οποίες και θα υπολογίσουμε από τους γνωστούς τύπους
Υπολογίζουμε τις λύσεις
$\chi_1,\chi_2=\frac{-\beta\pm\sqrt{\Delta}}{2\alpha}$

$\chi_1,\chi_2=\frac{-(-5)\pm\sqrt{49}}{2(+6)}$

$\chi_1,\chi_2=\frac{5\pm7}{12}$

άρα $\chi_1=\frac{5+7}{12}$ ή $\chi_2=\frac{5-7}{12}$
επομένως $\chi_1=\frac{12}{12}=1$ ή $\chi_2=\frac{-2}{12}=-\frac{1}{6}$

Έτσι λοιπόν καταλήξαμε στο ότι η εξίσωση $\frac{2\chi^2+1}2-\frac{2\chi}3=1-\frac{2-x}6$ έχει λύση τον αριθμό 1 ή τον -1/6. Αλλά ο αριθμός -1/6 δεν είναι φυσικός κι επομένως δεν μπορούμε να τον συμπεριλάβουμε στην απάντησή μας η οποία θα πρέπει να είναι:

Ο φυσικός αριθμός που ικανοποιεί τη σχέση $\frac{2\chi^2+1}2-\frac{2\chi}3=1-\frac{2-x}6$ είναι ο αριθμός 1.

Άσκηση2
Να υπολογιστεί η υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου που οι κάθετες πλευρές του είναι ρίζες της εξίσωσης $y^2-2y=-1$

«Λύση2»
Πρώτα απ’ όλα θα βρούμε τις ρίζες (λύσεις) της δευτεροβάθμιας εξίσωσης

$y^2-2y=-1\Leftrightarrow$

$y^2-2y+1=0$

$\alpha=1,\beta=-2,\gamma=1$ άρα

$\Delta=\beta^2-4\alpha\cdot\gamma=(-2)^2-4(1)(1)=4-4=0$

αφού η διακρίνουσα είναι ίση με 0 η εξίσωσή μας έχει δύο ίσες λύσεις τις

$y_1=y_2=\frac{-\beta}{2\alpha}=\frac{2}{2}=1$

.
Πάμε τώρα στο ορθογώνιο τρίγωνο για το οποίο γνωρίζουμε το μήκος των κάθετων πλευρών του ότι είναι 1 και 1 (είναι ισοσκελές) και θέλουμε να βρούμε το μήκος της υποτείνουσάς του. Για το λόγο αυτό χρησιμοποιούμε το Πυθαγόρειο θεώρημα.
Πράγματι έστω x η υποτείνουσα, τότε έχουμε:

$x^2=1^2+1^2\Leftrightarrow$

$x^2=2$

κι έτσι

$x=\sqrt{2}$

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης