Αύγουστος 2010

Γίνε κι εσύ Mentalist

Μπορείτε να εντυπωσιάσετε φίλους και συμμαθητές με ένα εύκολο «μαγικό» κόλπο που θα δούμε στο σημερινό μας άρθρο. Πιστεύω να γνωρίζετε ότι πολλά από αυτά τα «μαγικά» δεν είναι τίποτ’ άλλο από εφαρμογές της θεωρίας που μαθαίνουμε στο σχολείο στα διάφορα μαθήματα (Μαθηματικά, Φυσική, Χημεία κ.α.). Ειδικά το σημερινό μας «μαγικό» το μόνο που προϋποθέτει για να μπορέσει να το κάνει κάποιος είναι η πράξη της αφαίρεσης που μάθαμε στο Δημοτικό, ενώ για να το εξηγήσει είναι αρκετά τα κριτήρια διαιρετότητας που μαθαίνουμε ήδη από την Α΄ Γυμνασίου.

Για να το δούμε αναλυτικά:

Continue reading «Γίνε κι εσύ Mentalist»

Το Πυθαγόρειο θεώρημα είναι παντού. Τυχαίο; Δεν νομίζω.

: Από το Πυθαγόρειο της Σάμου-Τόπος καταγωγής του Πυθαγόρα

Οι περισσότεροι άνθρωποι που έχουν τελειώσει το σχολείο, όσα χρόνια κι αν έχουν περάσει από τότε, θυμούνται τη σχολική τους ζωή κι έχουν να μας διηγηθούν πολλά περιστατικά από αυτήν. Περιστατικά που αφορούν σε γεγονότα που διαδραματίστηκαν στην τάξη την ώρα του μαθήματος, στο διάλειμμα, στις εκδρομές κ.α. Από τα μαθήματα που διδάχτηκαν λίγα πράγματα θα θυμούνται (εκτός κι αν τα χρησιμοποιούν στη δουλειά τους, όπως ο γράφων). Ένα από αυτά που δεν πρόκειται να ξεχάσει ποτέ κανείς, έστω και κατ’ όνομα, είναι το Πυθαγόρειο θεώρημα.

Ο λόγος που το Πυθαγόρειο θεώρημα μένει «καρφωμένο» για πάντα στο μυαλό όλων μας δεν είναι γιατί ήταν (είναι και θα είναι) από τα SOS και κάθε χρόνο συμπεριλαμβάνεται στα θέματα των εξετάσεων του Γυμνασίου αλλά γιατί το ακούσαμε και το εφαρμόσαμε άπειρες θα έλεγα φορές στη Γεωμετρία, στην Άλγεβρα, στη Τριγωνομετρία αλλά και σε άλλα μαθήματα όπως η Φυσική, ακόμη και τα Καλλιτεχνικά.

Γιατί όμως το Πυθαγόρειο, ένα τόσο απλό θεώρημα, να θεωρείται από τα σημαντικότερα και να έχει τόσες πολλές εφαρμογές; Κατά τη δική μου άποψη ο λόγος είναι ότι αναφέρεται κι εφαρμόζεται σε τρίγωνα και μάλιστα ορθογώνια. Αν ρίξετε μια ματιά γύρω σας θα δείτε ότι ο κόσμος μας κατακλύζεται από ορθές γωνίες και ορθογώνια τρίγωνα. Και γενικά ένα πολύγωνο μπορεί εύκολα να χωριστεί σε τρίγωνα και κάθε τρίγωνο μπορεί να χωριστεί σε ορθογώνια τρίγωνα.

Ας δούμε όμως τι λέει το Πυθαγόρειο θεώρημα:

Το τετράγωνο της υποτείνουσας οποιουδήποτε ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών του.
Δηλαδή,

$\alpha^2=\beta^2+\gamma^2$

Σημειώσεις:

Ορθή γωνία είναι η γωνία Α που είναι 90 μοίρες.

Κάθετες πλευρές είναι οι πλευρές της ορθής γωνίας οι ΑΒ=γ και ΑΓ=β.

Υποτείνουσα είναι η πλευρά που βρίσκετε απέναντι από την ορθή γωνία δηλαδή η ΒΓ=α που μάλιστα είναι και η μεγαλύτερη πλευρά του τριγώνου. (δείτε κι αυτό)

Πότε χρησιμοποιούμε το θεώρημα

Διαβάζοντας προσεκτικά το θεώρημα καταλαβαίνουμε αμέσως ότι αναφέρεται σε μια σχέση που ισχύει σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο. Κα πιο συγκεκριμένα η σχέση αυτή μας πληροφορεί για το τι συμβαίνει με τα μήκη των πλευρών του. Με αυτή την ισότητα που μας δίνει το θεώρημα μπορούμε να υπολογίσουμε μια πλευρά του αρκεί να γνωρίζουμε το μήκος των άλλων δύο πλευρών (Σχόλιο).

Πράγματι,

αν υποθέσουμε ότι $\beta=6cm,\gamma=8cm$ , τότε η υποτείνουσα α θα είναι ίση με

$\alpha^2=\beta^2+\gamma^2$

$\alpha^2=(6cm)^2+(8cm)^2$

$\alpha^2=36cm^2+64cm^2$

$\alpha^2=100cm^2$

$\sqrt{\alpha^2}=\sqrt{100cm^2}$

άρα $\alpha=10cm$

Που χρησιμοποιούμε το θεώρημα

Προσοχή, η σχέση που μας δίνεται μέσω του Πυθαγορείου, όπως μας πληροφορεί και το ίδιο το θεώρημα ισχύει σε όλα τα ορθογώνια τρίγωνα αυτό όμως που δεν μας λέει είναι αν ισχύει και σε άλλα τρίγωνα. Η απάντηση είναι όχι και μας δίνεται από ένα άλλο θεώρημα, το «αντίστροφο του Πυθαγορείου» που λέει ότι:

Αν σε κάποιο τρίγωνο ισχύει: το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς του να είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του, τότε το τρίγωνο αυτό είναι σίγουρα ορθογώνιο. Εννοείται ότι η μεγαλύτερη πλευρά θα είναι η υποτείνουσα και η γωνία που βρίσκεται απέναντι από τη μεγαλύτερη πλευρά θα είναι ορθή.

Μετά από αυτά μπορούμε πλέον να λέμε ότι η σχέση που δίνει το Πυθαγόρειο θεώρημα ισχύει σε όλα τα ορθογώνια τρίγωνα και μόνο σε αυτά. Έτσι μπορούμε με τη σχέση αυτή όχι μόνο να υπολογίζουμε μια πλευρά ενός ορθογωνίου τριγώνου (αν γνωρίζουμε τις άλλες δύο πλευρές του) αλλά και να ελέγχουμε αν ένα τρίγωνο είναι ορθογώνιο ή όχι. Αρκεί γι’ αυτό να γνωρίζουμε τα μήκη των πλευρών του χωρίς να χρειάζεται να μετρήσουμε τις γωνίες του (που πολλές φορές είναι και δυσκολότερο). Ας δούμε ένα παράδειγμα.

Το τρίγωνο με πλευρές $\alpha=3,\beta=4,\gamma=5$ είναι ορθογώνιο αφού το άθροισμα των τετραγώνων των δύο μικρότερων πλευρών του είναι $\alpha^2+\beta^2=3^2+4^2=9+16=25$ και το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς του είναι το ίδιο $\gamma^2=5^2=25$

ενώ το τρίγωνο με πλευρές $k=3,l=4,m=6$ δεν είναι αφού $k^2+l^2=3^2+4^2=9+16=25$ και $m^2=6^2=36$ .

Σχόλιο:

δεν είναι υποχρεωτικό να γνωρίζουμε δύο πλευρές για να υπολογίσουμε την τρίτη. Αυτό που είναι υποχρεωτικό είναι να υπάρχει μόνο ένας άγνωστος στην ισότητα $\alpha^2=\beta^2+\gamma^2$ . Για παράδειγμα, αφού θα έχετε διαβάσει ολόκληρο το άρθρο, δοκιμάστε να υπολογίσετε τις δύο ίσες πλευρές ενός ορθογωνίου και ισοσκελούς ταυτόχρονα τριγώνου του οποίου η υποτείνουσα είναι ίση με $\sqrt{2}$

Επιστροφή…>>

Δείτε εδώ οπτικοποιημένες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος:

Απόδειξη Πυθαγόρα, Ευκλείδη, Leonardo da Vinci.

Επίλυση δευτεροβάθμιας εξίσωσης

Αφού είδαμε θεωρητικά το πως μπορούμε να βρούμε τις λύσεις μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης, καλό θα ήταν να το εφαρμόσουμε και στην πράξη

Continue reading «Επίλυση δευτεροβάθμιας εξίσωσης»

Θέλω να μάθω … πως να βρίσκω τις λύσεις σε μια εξίσωση 2ου βαθμού

Εξίσωση 2ου βαθμού (ή δευτεροβάθμια εξίσωση) είναι η εξίσωση που περιέχει έναν άγνωστο (π.χ. τον x) και έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή $\alpha\chi^2+\beta\chi+\gamma=0$ με $\alpha\neq0$ .

Όταν μας δώσουν μια εξίσωση για να βρούμε τις λύσεις της και δεν είναι στη παραπάνω μορφή δεν γνωρίζουμε αν πράγματι είναι δευτεροβάθμια εξίσωση ή όχι. Γι’ αυτό είμαστε υποχρεωμένοι να κάνουμε κάποια «προεργασία» ώστε να είμαστε σε θέση να αντιληφθούμε το βαθμό της εξίσωσης και κατόπιν να ψάξουμε να βρούμε τις λύσεις. Γιατί με άλλο τρόπο δουλεύουμε στις εξισώσεις πρώτου βαθμού, με άλλο σε αυτές που είναι δεύτερου βαθμού, διαφορετικά στις τριτοβάθμιες κ.ο.κ. Όσον αφορά στις πρωτοβάθμιες εξισώσεις έχουμε δώσει τη μεθοδολογία εδώ.

Η «προεργασία» λοιπόν που πρέπει να γίνει είναι ήδη γνωστή, θα πρέπει:

να απαλλάξουμε την εξίσωση από τους παρονομαστές που τυχόν έχει

(πολλαπλασιάζοντας όλους τους όρους με το ΕΚΠ των παρονομαστών)

να διώξουμε τις παρενθέσεις
(με χρήση της επιμεριστικής ιδιότητας) και τέλος
να κάνουμε αναγωγή όμοιων όρων
(να «συμμαζέψουμε» την εξίσωση προσθέτοντας μεταξύ τους τους όμοιους όρους)

Σε αυτό το σημείο είμαστε σε θέση να δούμε το βαθμό της εξίσωσης και αν

ο άγνωστος δεν είναι υψωμένος σε καμία δύναμη, τότε έχουμε να λύσουμε μια πρωτοβάθμια εξίσωση κατά τα γνωστά (χωρίζουμε γνωστούς – άγνωστους κ.τ.λ.)
η μεγαλύτερη δύναμη στην οποία εμφανίζεται ο άγνωστος είναι το τετράγωνο, τότε είμαστε στη περίπτωση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης και η διαδικασία που ακολουθούμε για να βρούμε τις λύσεις είναι η παρακάτω:

Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο ένα μέλος ώστε η εξίσωση να πάρει τη μορφή
$\alpha\chi^2+\beta\chi+\gamma=0$
Ξεκαθαρίζουμε ποιοι αριθμοί παίζουν το ρόλο των α, β και γ (α: ο συντελεστής του χ², β: ο συντελεστής του χ και γ ο σταθερός όρος).
Με τη βοήθεια των α, β, γ και του τύπου
$\Delta=\beta^2-4\alpha\gamma$

υπολογίζουμε ένα νέο αριθμό τον Δ που λέγεται «Διακρίνουσα» (διάβασε το Σχόλιο1 παρακάτω)
Από το «είδος» αυτού του αριθμού, του Δ, εξαρτάται κα το πως θα προχωρήσουμε παρακάτω. Και πιο συγκεκριμένα:
- αν η Διακρίνουσα (Δ) είναι αρνητικός αριθμός, τότε η εξίσωση μας δεν έχει λύσεις, είναι όπως λέμε σε τέτοιες περιπτώσεις αδύνατη
- αν η Διακρίνουσα (Δ) είναι θετικός αριθμός, τότε η εξίσωση έχει 2 λύσεις διαφορετικές μεταξύ τους και που τις υπολογίζουμε από τους τύπους
  $\chi_1=\frac{-\beta-\sqrt{\Delta}}{2\alpha}$
  
  και
  $\chi_2=\frac{-\beta+\sqrt{\Delta}}{2\alpha}$
  
  (διάβασε το Σχόλιο2)
- αν η Διακρίνουσα (Δ) είναι ίση με 0, τότε η εξίσωση έχει δύο ίσες λύσεις (ή όπως συνήθως λέμε μια διπλή λύση) που μπορούμε να υπολογίσουμε από τον τύπο
  $\chi_1=\chi_2=\frac{-\beta}{2\alpha}$
  
  (Σχόλιο3)

Συνοπτικά η διαδικασία που ακολουθούμε ώστε να βρούμε τις λύσεις σε μια εξίσωση της μορφής

$\alpha\chi^2+\beta\chi+\gamma=0$

καθώς και οι περιπτώσεις που μπορούν να προκύψουν φαίνονται στο σχήμα που ακολουθεί:

Λυμένα παραδείγματα για να κατανοήσουμε καλύτερα αυτά που αναφέραμε θα δείτε στο επόμενο άρθρο.

Σχόλιο1:

Η παράσταση $\beta^2-4\alpha\gamma$ συμβολίζεται με Δ και λέγεται «Διακρίνουσα». Η ονομασία δεν είναι τυχαία γιατί η διακρίνουσα μας βοηθάει να διακρίνουμε το πλήθος των ριζών (λύσεων) της εξίσωσης. Πράγματι,

Δ<0 $\Leftrightarrow$ 0 λύσεις
Δ=0 $\Leftrightarrow$ 1 λύση διπλή
Δ>0 $\Leftrightarrow$ 2 λύσεις διαφορετικές

Επιστροφή

Σχόλιο2:

Οι δύο αυτοί τύποι μπορούν να γραφούν σε έναν πιο συμμαζεμένο:

$\chi_1,\chi_2=\frac{-\beta\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$

Επιστροφή

Σχόλιο3:

Στην πραγματικότητα ο τύπος αυτός δεν είναι κάποιος νέος τύπος που πρέπει να απομνημονεύσουμε αρκεί να ξέρουμε απ’ έξω τον προηγούμενο τύπο αφού από εκεί προκύπτει και αυτός μόνο που τώρα το Δ είναι 0. Πράγματι,

$\chi=\frac{-\beta\pm\sqrt{\Delta}}{2\alpha}=\frac{-\beta\pm\sqrt{0}}{2\alpha}=\frac{-\beta\pm0}{2\alpha}=\frac{-\beta}{2\alpha}$

Επιστροφή

Θέλω να μάθω … πως λύνεται μια εξίσωση 1ου βαθμού

Μεθοδολογία επίλυσης εξίσωσης 1ου βαθμού και λυμένο παράδειγμα.

Κατ’ αρχάς να ξεκινήσουμε από τον τίτλο του άρθρου που είναι λάθος, γιατί αυτό που θα δούμε σ αυτή τη δημοσίευση είναι η διαδικασία που ακολουθούμε ώστε να βρούμε τη λύση μιας εξίσωσης 1ου βαθμού και αυτή (η διαδικασία) λέγεται επίλυση κι όχι λύση (το τι είναι λύση το έχουμε γράψει εδώ).

Ας δούμε λοιπόν ποια βήματα πρέπει να ακολουθούμε ώστε να βρίσκουμε σε οποιαδήποτε εξίσωση 1ου βαθμού, αν έχει λύση και ποια είναι αυτή ή αν δεν έχει λύσεις (αδύνατη). Σκοπός μας είναι μέσα από τη διαδικασία που θα ακολουθήσουμε, σε οποιαδήποτε πρωτοβάθμια εξίσωση κι αν μας έχει δοθεί, να καταλήξουμε στη πιό απλή μορφή εξίσωσης που υπάρχει και είναι αυτή:

$\alpha\cdot\chi=\beta$ , όπου το $\alpha$ και το $\beta$ μπορεί να είναι οποιοσδήποτε αριθμός

Με τέσσερα απλά βήματα (στη χειρότερη περίπτωση) μπορούμε να καταλήξουμε στη μορφή $\alpha\cdot\chi=\beta$ . Τα βήματα είναι τα παρακάτω που θα τα δούμε λύνοντας ταυτόχρονα κι ένα παράδειγμα:

Continue reading «Θέλω να μάθω … πως λύνεται μια εξίσωση 1ου βαθμού»

Θέλω να μάθω…πως διώχνω τους παρονομαστές από μια εξίσωση

Απαλοιφή παρονομαστών

Η διαδικασία που ακολουθούμε ώστε να «διώξουμε» τους παρονομαστές από μια ισότητα, λέγεται απαλοιφή παρονομαστών.

Αν λοιπόν είμαστε άτυχοι κι η εξίσωσή μας έχει παρονομαστές θα πρέπει να τους διώξουμε για να … «κάνουμε τη ζωή μας πιο εύκολη». Το να «εξουδετερώσεις» ή να «εξαφανίσεις» ένα παρονομαστή που εμφανίζεται σε μια ισότητα (ή σε μια εξίσωση, αφού κι αυτή ισότητα είναι) είναι πολύ εύκολη υπόθεση , αρκεί ένας πολλαπλασιασμός.

Για να διώξεις για παράδειγμα τον παρονομαστή 2, αρκεί να πολλαπλασιάσεις όλους τους όρους της ισότητας (στο πρώτο και στο δεύτερο μέλος) με το 2. Δείτε ένα παράδειγμα,

η $x+\frac{3}2=5x$ πολλαπλασιαζόμενη με το 2 γίνεται

$2x+2\cdot\frac{3}2=2\cdot5x$

$\Leftrightarrow2x+3=10x$

που είναι πλέον απαλλαγμένη από παρονομαστές.

Είναι προφανές ότι μπορούσαμε να πετύχουμε το σκοπό μας πολλαπλασιάζοντας όχι μόνο με το 2 αλλά με οποιοδήποτε από τα πολλαπλάσια του 2 όπως 4,6,8,…, επιλέξαμε όμως το μικρότερο για να έχουμε στην νέα εξίσωση που προκύπτει τους μικρότερους δυνατούς συντελεστές. Επίσης είναι προφανές ότι αν ήθελα να «εξαφανίσω» το 3, το 5 κ.ο.κ. από κάποιον παρονομαστή θα διάλεγα να πολλαπλασιάσω με το 3 ή το 5 αντίστοιχα.

Ένα εύλογο ερώτημα που μπαίνει εδώ είναι τι θα κάναμε αν είχαμε δύο ή περισσότερους διαφορετικούς παρονομαστές; Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να εξουδετερώσουμε το 2 και το 3. Η απάντηση είναι απλή και λογική (όπως απλά και λογικά είναι πάντα τα μαθηματικά): Θα πολλαπλασιάζαμε και με το 2 και με το 3 ταυτόχρονα, ή με άλλα λόγια θα πολλαπλασιάζαμε με το 6 (6 = 2.3). Και πάλι τονίζουμε ότι τη δουλεία μας μπορούσαμε να τη κάνουμε όχι μόνο με το 6 αλλά και με τους 12,18,24,…(πολλαπλάσια του 6) δηλαδή με κάθε κοινό πολλαπλάσιο των παρονομαστών 2 και 3. Εμείς όμως διαλέγουμε το μικρότερο κοινό πολλαπλάσιο, το Ε.Κ.Π. δηλαδή, γιατί «έτσι μας συμφέρει». Δείτε το,

$\frac{x}3+\frac{3}2=5x\Leftrightarrow$

$2\cdot3\cdot\frac{x}3+2\cdot3\cdot\frac{3}2=2\cdot3\cdot5x\Leftrightarrow$

$2x+3\cdot3=2\cdot3\cdot5x\Leftrightarrow$

$2x+9=30x$

Επομένως συνοψίζοντας,

[gn_box title=»tip» type=»info»] για να διώξουμε τους παρονομαστές από μια εξίσωση, πολλαπλασιάζουμε όλους τους όρους της εξίσωσης με το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών.[/gn_box]

Θέλω να μάθω … πότε μια εξίσωση λέγεται αδύνατη και πότε αόριστη

Στο προηγούμενο άρθρο μας αναφέραμε ότι εξίσωση είναι μια ισότητα που περιέχει τουλάχιστον μια μεταβλητή (ένα γράμμα που συνήθως αποκαλούμε άγνωστο) και ότι λύση ή ρίζα της εξίσωσης λέμε τον αριθμό που επαληθεύει την εξίσωση (δηλαδή τον αριθμό που αν πάρει τη θέση του γράμματος θα προκύψει μια αληθής ισότητα.
Επίσης είχαμε αναφέρει ότι μια εξίσωση μπορούμε να την θεωρούμε σαν μια ερωτηματική πρόταση σαν μια ερώτηση δηλαδή. Αλλά όπως θα έχετε παρατηρήσει κάποιες ερωτήσεις έχουν απαντήσεις (μία ή περισσότερες ) και κάποιες δεν έχουν. Ας δούμε λίγα παραδείγματα:

Ερώτηση	Απάντηση	Αριθμός Απαντήσεων
Ποια μέρα της εβδομάδας έχει 10 γράμματα;	Δεν υπάρχει	0
Πόσες είναι οι μέρες της εβδομάδας;	7	1
Ποιοι είναι οι καλοκαιρινοί μήνες;	Ιούνιος, Ιούλιος, Αύγουστος	3
Ποια χρονιά έχει 12 μήνες;	Όλες	Όποιον φυσικό αριθμό και να δώσετε ως απάντηση θεωρείται σωστό

Το ίδιο συμβαίνει και με τις εξισώσεις,

Continue reading «Θέλω να μάθω … πότε μια εξίσωση λέγεται αδύνατη και πότε αόριστη»