Φεβρουάριος 2011

Κατ’ αρχάς ας δούμε τι εννοούμε όταν λέμε «κλασματικές εξισώσεις». Πολλοί μπορεί να θεωρούν ότι μια εξίσωση που έχει κλάσματα είναι μια κλασματική εξίσωση. Αυτό όμως δεν είναι σωστό γιατί μια εξίσωση τη λέμε κλασματική μόνο στη περίπτωση που υπάρχει άγνωστος σε ένα τουλάχιστον παρονομαστή της. Έτσι λοιπόν η εξίσωση $\frac{x^2-1}3-\frac{x+3}5=x-2$ ναι μεν έχει κλάσματα αλλά δεν είναι κλασματική αφού δεν υπάρχει άγνωστος σε κανένα παρονομαστή, ενώ η εξίσωση $\frac{6}{x^2+3x}+\frac{x+2}{x}=\frac{x+1}{x+3}$ σύμφωνα με αυτά που προαναφέραμε είναι μια κλασματική εξίσωση αφού ο άγνωστος x «κυκλοφορεί» σε παρονομαστές. Δηλαδή ο x «δουλεύει υπογείως (ύπουλα)» πράγμα επικίνδυνο όπως θα δούμε παρακάτω.

Στη συνέχεια θα επιλύσουμε μια κλασματική εξίσωση για να δούμε ποια μέθοδο ακολουθούμε και τι πρέπει να προσέξουμε.

Να βρείτε τις λύσεις της παρακάτω εξίσωσης $\frac{6}{x^2+3x}+\frac{x+2}{x}=\frac{x+1}{x+3}$

[wptabs mode=»horizontal»] [wptabtitle] Επίλυση[/wptabtitle] [wptabcontent]


$\frac{6}{x^2+3x}+\frac{x+2}{x}=\frac{x+1}{x+3}$ Όπως σε όλες τις κατηγορίες εξισώσεων το πρώτο πράγμα που πρέπει να κάνουμε είναι να απαλλαγούμε από τους παρονομαστές (αν υπάρχουν)
$\frac{6}{x(x+3)}+\frac{x+2}{x}=\frac{x+1}{x+3}$ Για να το πετύχουμε αυτό πρέπει να παραγοντοποιήσουμε όσους από τους παρονομαστές παραγοντοποιούνται. Στην άσκησή μας ο μόνος που μπορεί να παραγοντοποιηθεί είναι ο $x^2+3x=x(x+3)$ (βγάλαμε κοινό παράγοντα το x). Στη συνέχεια αντικαθιστούμε τους παρονομαστές με τους νέους τους παραγοντοποιημένους.
$x(x+3)\frac{6}{x(x+3)}+x(x+3)\frac{x+2}{x}=x(x+3)\frac{x+1}{x+3}$ Τώρα είμαστε σε θέση να βρούμε το Ε.Κ.Π., που είναι το γινόμενο όλων των παρονομαστών με την προϋπόθεση όμως κάθε παράγοντας να εμφανίζεται μία μόνο φορά και μάλιστα στη μεγαλύτερη δύναμη. Στο παράδειγμά μας το Ε.Κ.Π.=χ(χ+3). Πολλαπλασιάζουμε τώρα όλους τους όρους της εξίσωσης με το Ε.Κ.Π.
$6+(x+3)(x+2)=x(x+1)$ Μετά από τις απλοποιήσεις έχουμε μια εξίσωση χωρίς παρονομαστές, όπως φαίνεται δίπλα. Σειρά τώρα για «αποχώρηση» έχουν οι παρενθέσεις ώστε να απελευθερώσουμε το x. Αυτό γίνεται με τη βοήθεια της επιμεριστικής ιδιότητας
$6+x^2+2x+3x+6=x^2+x$ $6+x^2+5x+6=x^2+x$ $12+4x=0$ $4x=-12$ $x=-\frac{12}4$ Συμμαζεύοντας λίγο (κάνουμε αναγωγή όμοιων όρων) θα προκύψει μια εξίσωση 1ου (οπότε χωρίζουμε γνωστούς – άγνωστους κτλ) ή 2ου βαθμού (τα μεταφέρουμε όλα στο ένα μέλος, υπολογίζουμε τη διακρίνουσα κτλ). Στην άσκηση που προσπαθούμε να λύσουμε τώρα παρότι δείχνει δεύτερου βαθμού (αφού έχει x²) αν τη δουλέψουμε λίγο θα δούμε ότι μετά την αναγωγή των όμοιων όρων θα προκύψει μια εξίσωση πρώτου βαθμού οπότε
$x=-3$ βρίσκουμε τελικά πως η εξίσωση που μας δόθηκε έχει λύση τον αριθμό -3.

Μετά από αρκετό κόπο θα έλεγα φτάσαμε στο να βρούμε ότι η εξίσωση $\frac{6}{x^2+3x}+\frac{x+2}{x}=\frac{x+1}{x+3}$ έχει λύση το x=-3.

Κι όμως έχουμε κάνει ΜΕΓΑΛΟ ΛΑΘΟΣ κι αν έχεις κάνει το κόπο να φτάσεις μέχρι εδώ καλό θα ήταν να κάνεις κλικ στην καρτέλα «Περιορισμοί» για να δεις ποιο είναι το λάθος που κάναμε και πόσο σοβαρό είναι.

Επιστροφή^^^
[/wptabcontent]

[wptabtitle]Περιορισμοί[/wptabtitle] [wptabcontent]Όταν έχουμε να λύσουμε μια εξίσωση αναζητούμε ποια τιμή (ή ποιες τιμές) μπορεί να πάρει η άγνωστη μεταβλητή έτσι ώστε αν την αντικαταστήσουμε στην εξίσωση να προκύψει μια αληθής ισότητα (για παράδειγμα η λύση της εξίσωσης 2χ-8=0 είναι ο αριθμός 4 γιατί αν αντικαταστήσουμε το χ με τον αριθμό 4 θα προκύψει 2^.4-8=0 που είναι μια σωστή πρόταση.

Στο προηγούμενο όμως άρθρο είχαμε αναφερθεί στους περιορισμούς (κάντε κλικ εδώ για να το δείτε). Εκεί λοιπόν είπαμε ότι δεν έχει νόημα στα μαθηματικά κλάσμα με παρονομαστή το 0. Γιαυτό όταν λύνουμε κλασματικές εξισώσεις θα πρέπει εκ των προτέρων να θέτουμε περιορισμούς για τον άγνωστο. Δηλαδή από την αρχή να δηλώνουμε ότι για τον άγνωστο, έστω χ, δεν μπορούμε να δεχτούμε κάποιες τιμές γιατί μηδενίζουν κάποιον από τους παρονομαστές της εξίσωσης.

Κατά την επίλυση μιας εξίσωσης σε όποια κατηγορία κι αν ανήκει αυτή (1ου ή 2ου βαθμού ή και κλασματική) σε κάθε μας βήμα (όταν διώχνουμε παρονομαστές, παρενθέσεις κτλ) δημιουργούμε μια άλλη εξίσωση πιο απλή από την αρχική που έχει ως λύσεις της τις λύσεις της προηγούμενης αλλά πιθανόν να έχει κι άλλες (περισσότερες). Στο τέλος τις επιπλέον λύσεις θα πρέπει να τις απορρίψουμε, να μην τις δεχτούμε δηλαδή ως λύσεις της αρχικής εξίσωσης. Αυτό ακριβώς έχει συμβεί και με την εξίσωση $\frac{6}{x^2+3x}+\frac{x+2}{x}=\frac{x+1}{x+3}$ γιατί στην πορεία πήρε διάφορες μορφές μέχρι που κατέληξε να γίνει 4χ=-12. Εμείς βρήκαμε ότι χ=-3 αυτή όμως η λύση είναι η λύση της 4χ=-12 (γιατί αν βάλουμε όπου χ το -3 προκύπτει μια αληθής πρόταση η 4^.(-3)=-12 και όχι της $\frac{6}{x^2+3x}+\frac{x+2}{x}=\frac{x+1}{x+3}$ γιατί εδώ δεν μπορούμε καν να βάλουμε όπου χ το -3 αφού θα μας μηδενίσει κάποιους παρονομαστές (τον χ²+3χ και τον χ+3).

Τι πρέπει να κάνουμε λοιπόν σε τέτοιες περιπτώσεις;

Πρέπει να παίρνουμε τα μέτρα μας, δηλαδή να παίρνουμε περιορισμούς.

ΚΑΘΕ ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΗΣ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΜΗΝ ΓΙΝΕΤΑΙ ΙΣΟΣ ΜΕ 0

κι επειδή μέσα στο Ε.Κ.Π. είναι «κρυμμένοι» όλοι οι παρονομαστές της εξίσωσης είναι αρκετό να απαιτούμε

ΤΟ Ε.Κ.Π. ΝΑ ΜΗΝ ΓΙΝΕΤΑΙ ΠΟΤΕ ΙΣΟ ΜΕ 0 ( $E.K.\Pi.\neq 0$ ).

Στη συγκεκριμένη επομένως άσκηση θα έπρεπε την ώρα που βρήκαμε το Ε.Κ.Π. να γράφαμε: $E.K.\Pi.=x(x+3)\neq 0$ πράγμα που σημαίνει ότι και το x αλλά και το x+3 πρέπει να είναι διάφορα του 0 δηλαδή με άλλα λόγια δεν μπορούμε να δεχτούμε σαν λύσεις ούτε το 0 αλλά ούτε και το -3. Πιο σύντομα και πιο «μαθηματικά» όλα τα παραπάνω θα μπορούσαν να γραφούν ως εξής:

$E.K. /Pi=x(x+3)\neq 0 \Leftrightarrow$

$x\neq 0 \kappa\alpha\iota x+3\neq 0\Leftrightarrow$

$x\neq 0 \kappa\alpha\iota x\neq -3$

Βλέπουμε λοιπόν ότι η εξίσωση που λύναμε τελικά δεν έχει λύση το -3 , άρα δεν έχει καμία λύση ήταν δηλαδή αδύνατη. Ξεχνώντας όμως τους περιορισμούς «την πατήσαμε». Επιστροφή^^^
[/wptabcontent]

[wptabtitle]Σε Έκτακτη Περίπτωση[/wptabtitle] [wptabcontent]Αν σε κάποια περίπτωση αδυνατούμε να βρούμε τους περιορισμούς είτε γιατί κάποιος δυσκολεύεται είτε γιατί δεν προλαβαίνει (π.χ. σε διαγώνισμα) τότε μπορεί να αποφύγει τα παραπάνω και απλώς να ελέγξει αν οι λύσεις που βρήκε μηδενίζουν το Ε.Κ.Π. και
αν το Ε.Κ.Π. μηδενίζεται, τότε η λύση απορρίπτεται αν όχι γίνεται δεκτή.
Στην άσκησή μας το Ε.Κ.Π. = $x(x+3)$ για x=-3 γίνεται Ε.Κ.Π.=-3^.(-3+3)=-3^.0=0 κι επομένως η λύση x=-3 απορρίπτεται.

Μπορεί να σας κούρασα με την μεγάλη έκταση που είχε το άρθρο αλλά θεωρώ τις κλασματικές εξισώσεις λιγάκι δύσκολες για μαθητές Γ΄ Γυμνασίου αλλά και πολύ σημαντικές για τη συνέχεια. Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε τελικά είναι πως οι κλασματικές εξισώσεις λύνονται όπως και όλες οι υπόλοιπες δηλαδή:

διώχνουμε παρονομαστές (πολλαπλασιάζοντας με το Ε.Κ.Π.)
διώχνουμε παρενθέσεις (με επιμεριστική)
συμμαζεύουμε λίγο (αναγωγή όμοιων όρων)

έτσι προκύπτει μια εξίσωση 1ου ή 2ου βαθμού που λύνουμε ανάλογα και

τέλος

ΔΕΝ ΞΕΧΝΑΜΕ ΝΑ ΕΛΕΓΞΟΥΜΕ ΑΝ ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΠΟΥ ΒΡΗΚΑΜΕ ΠΕΡΝΟΥΝ ΤΟ (CRASH) TEST ΤΩΝ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΩΝ (δηλαδή να μην μηδενίζουν το Ε.Κ.Π.).

[/wptabcontent][/wptabs]

Όταν μαθαίνουμε κάποιους καινούργιους ορισμούς στα μαθηματικά θα πρέπει να είμαστε πολύ προσεκτικοί, να προσέχουμε και την παραμικρή λεπτομέρεια. Έτσι ξεκινώντας από την πρώτη τάξη όπου μάθαμε τι είναι το κλάσμα (το $\frac{a}{b}$ με $b\neq0$ λέγεται κλάσμα) στον ορισμό δηλώσαμε ότι ο παρονομαστής ενός κλάσματος δεν μπορεί να είναι ποτέ ίσος με το μηδέν. Δεν υπάρχει περίπτωση στην αριθμητική ποτέ να δούμε κάτι τέτοιο $\frac{5}{0}$ . Αριθμητική όμως κάναμε μόνο στο Δημοτικό, στο Γυμνάσιο και στο Λύκειο κάνουμε Άλγεβρα. Η βασική διαφορά που υπάρχει είναι ότι στην αριθμητική χρησιμοποιούμαι μόνο αριθμούς ενώ στην άλγεβρα χρησιμοποιούμε και γράμματα (τις μεταβλητές όπως λέγονται πιο σωστά). Έτσι λοιπόν από ‘δω και πέρα θα συναντήσουμε πάρα πολλές φορές κλάσματα που στον παρονομαστή τους θα περιέχουν και μεταβλητές, όπως αυτά $\frac{5}{a}$ , $\frac{a-1}{b-2}$ ή $\frac{13y}{5-x}$ . Στις περιπτώσεις λοιπόν αυτές θα πρέπει να δηλώνουμε δίπλα από κάθε τέτοιο κλάσμα ότι ο παρονομαστής δεν μπορεί να γίνει μηδέν και για να διευκολύνουμε και αυτόν που πρόκειται να διαβάσει αυτό που γράψαμε είναι καλύτερο να γράφουμε ποια τιμή δεν επιτρέπεται να πάρει η μεταβλητή που βρίσκεται στον παρονομαστή που έχουμε. Τα κλάσματα επομένως που γράψαμε παραπάνω το σωστό θα ήταν να τα γράψουμε κάπως έτσι: Continue reading «Οι Περιορισμοί στα Μαθηματικά του Γυμνασίου»

Μήνας: Φεβρουάριος 2011

Θέλω να μάθω … να λύνω κλασματικές εξισώσεις

Οι Περιορισμοί στα Μαθηματικά του Γυμνασίου