Ασκήσεις Μιγαδικών

Λυμένες βασικές ασκήσεις στους μιγαδικούς αριθμούς χωρισμένες σε κατηγορίες για να αντιληφθούμε καλύτερα τον τρόπο που αντιμετωπίζουμε τισ ασκήσεις των μιγαδικών.

ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

Μετά τη θεωρία που ολοκληρώσαμε στο προηγούμενο άρθρο ήρθε η ώρα να λύσουμε μερικές ασκήσεις για να δούμε πως μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτά που μάθαμε

[wptabs mode=»horizontal»]

[wptabtitle]Δυνάμεις του i[/wptabtitle] [wptabcontent]

Άσκηση1:

Να υπολογίσετε τις παραστάσεις:

  1. i^6+i^{16}+i^{26}+i^{36}+i^{46}+i^{56}
  2. \frac{1}{i^{11}}+\frac{1}{i^{41}}+\frac{1}{i^{75}}+\frac{1}{i^{1023}}

Λύση:

Για τις δυνάμεις του i πρέπει να γνωρίζουμε ότι:i
i0=1, i1=i, i2= -1,i3= -i, i4=1 και μάλιστα η τελευταία ισότητα θα έλεγα ότι είναι η πιο σημαντική αφού μας επιτρέπει να υπολογίζουμε μεγάλες δυνάμεις του i και αυτό γιατί αν έχουμε να υπολογίσουμε το iΔ διαιρούμαι το Δ με το 4 κι έστω ότι βρίσκουμε πηλίκο π και υπόλοιπο υ, τότε σύμφωνα με την ταυτότητα της διαίρεσης θα έχουμε Δ=4π+υ οπότε θα ισχύει iΔ=i4π+υ=i4π.iυ=1.iυ=iυ. Πράγμα που σημαίνει τελικά ότι όταν έχουμε να υπολογίσουμε δυνάμεις του i που ο εκθέτης είναι μεγαλύτερος του 4, διαιρούμαι τον εκθέτη με το 4 και κρατάμε μόνο το υπόλοιπο. Για παράδειγμα το i10=i2= -1 αφού η διαίρεση του 10 με το 4 αφήνει υπόλοιπο 2.
Πάμε τώρα στην άσκησή μας

  1. i6=i2= -1 αφού η διαίρεση του 6 με το 4 αφήνει υπόλοιπο 2
    i16=i0=1 αφού η διαίρεση του 16 με το 4 αφήνει υπόλοιπο 0
    i26=i2= -1 αφού η διαίρεση του 26 με το 4 αφήνει υπόλοιπο 2
    i36=i0=1 αφού η διαίρεση του 36 με το 4 αφήνει υπόλοιπο 0
    i46=i2= -1 αφού η διαίρεση του 46 με το 4 αφήνει υπόλοιπο 2
    i56=i0=1 αφού η διαίρεση του 56 με το 4 αφήνει υπόλοιπο 0

        \[i^6+i^{16}+i^{26}+i^{36}+i^{46}+i^{56}=\]

        \[-1+1-1+1-1+1=0\]

  2. i11=i3= -i αφού η διαίρεση του 11 με το 4 αφήνει υπόλοιπο 3
    i41=i1=i αφού η διαίρεση του 41 με το 4 αφήνει υπόλοιπο 1
    i75=i3 -i αφού η διαίρεση του 75 με το 4 αφήνει υπόλοιπο 3
    i1023=i3= -i αφού η διαίρεση του 1023 με το 4 αφήνει υπόλοιπο 3

        \[\frac{1}{i^{11}}+\frac{1}{i^{41}}+\frac{1}{i^{75}}+\frac{1}{i^{1023}}=\]

        \[\frac{1}{-i}+\frac{1}{i}+\frac{1}{-i}+\frac{1}{-i}=-\frac{2}{i}\]

Άσκηση2:

Να αποδείξετε ότι (1+i)^{20}=(1-i)^{20}

Λύση:

Το να υπολογίσουμε το (1+i)20 απαιτεί χρήση ταυτότητας που δεν γνωρίζουμε, κάνουμε εμείς λοιπόν την ταυτότητα που ξέρουμε ( άθροισμα στο τετράγωνο) ελπίζοντας να βγει κάτι χρήσιμο (που είναι σίγουρο ότι θα βγει)

    \[(1+i)^2=1^2+2i+i^2=1+2i-1=2i\]

άρα

    \[(1+i)^{20}=(1+i)^{2\cdot 10}=((1+i)^2)^{10}=(2i)^{10}=\]

    \[=2^{10}\cdot i^{10}=2^{10}\cdot i^2=-2^{10}\]

Όμοια

    \[(1-i)^2=1^2-2i+i^2=1-2i-1=-2i\]

άρα

    \[(1-i)^{20}=(1-i)^{2\cdot 10}=((1-i)^2)^{10}=(-2i)^{10}=\]

    \[=2^{10}\cdot i^{10}=2^{10}\cdot i^2=-2^{10}\]

κι έτσι δείξαμε ότι  (1+i)^{20}=(1-i)^{20}

Η μεθοδολογία εδώ είναι: για να υπολογίσουμε μεγάλες δυνάμεις ενός μιγαδικού z, υπολογίζουμε πρώτα μικρές δυνάμεις z2, z3, … μέχρι να πετύχουμε κάποια δύναμη του z που να είναι πραγματικός ή φανταστικός αριθμός. Στη συνέχεια εκμεταλλευόμαστε αυτό το αποτέλεσμα ώστε να βρούμε τον zν.

κάντε κλικ εδώ για να επιστρέψετε στην κορυφή και μετά κλικ στη καρτέλα «Έννοια Μιγαδικού – Πράξεις» για να διαβάσετε τη συνέχεια

[/wptabcontent][wptabtitle]Έννοια του μιγαδικού – Πράξεις[/wptabtitle]

[wptabcontent]

Άσκηση1:

Δίνεται ο μιγαδικός z=6i-(3-4i)x-3yi-(3i-2)x+(4-2yi) με x,y \in \mathbb{R}. Να γράψετε τον z στη μορφή a+bi και στη συνέχεια να βρείτε:

  1. Το x ώστε ο z να είναι φανταστικός
  2. Τη σχέση που συνδέει τα x και y ώστε ο z  να είναι πραγματικός
  3. Τα x και y ώστε να ισχύει z=0

Λύση:

Κατ’ αρχάς απαλλασσόμαστε από τις παρενθέσεις και συμμαζεύουμε (τους πραγματικούς με τους πραγματικούς και τους φανταστικούς με τους φανταστικούς). 

    \[z=6i-(3-4i)x-3yi-(3i-2)x+(4-2yi)\]

 

    \[z=6i-3x+4xi-3yi-3xi+2x+4-2yi\]

οπότε

    \[(4-x)+(x-5y+6)i\]

  1. Για να ισχύει z\in \mathbb{I} πρέπει το πραγματικό του μέρος να είναι ίσο με μηδέν, δηλαδή 4 – x=0, άρα x=4
  2. Για να είναι ο z πραγματικός πρέπει το φανταστικό του κομμάτι να είναι 0. Πρέπει δηλαδή να ισχύει x – 5y+6=0 κι αυτή είναι η σχέση που συνδέει τα x και y.
  3. Για να έχουμε τώρα z=0 θα πρέπει και το φανταστικό αλλά και το πραγματικό μέρος του z να είναι ίσο με 0. Δηλαδή,

        \[z=0\Leftrightarrow x=4 \: \kappa\alpha\iota \: x-5y+6=0 \Leftrightarrow\]

        \[x=4 \: \kappa\alpha\iota \: 4-5y+6=0\]

    άρα x=4 και  y=2

Άσκηση2:

Αν z=\frac{5-9i}{7+4i} και w=\frac{5+9i}{7-4i} να δείξετε ότι ο z+w είναι πραγματικός και ότι ο z – w είναι φανταστικός.

Λύση:

Πρώτα θα φέρουμε τους μιγαδικούς στη μορφή a+bi κι επειδή είναι πηλίκο πολ/ζουμε αριθμητή και παρονομαστή με τον συζυγή του παρονομαστή. Παράλληλα για να γλυτώσουμε πράξεις καλό είναι να θυμηθούμε ότι αν z=a+bi, τότε z \cdot \overline{z}=|z|^2=a^2+b^2. Έχουμε λοιπόν,

    \[z=\frac{5-9i}{7+4i}=\frac{(5-9i)(7-4i)}{(7+4i)(7-4i)}\]

    \[z=\frac{35-20i-63i+36i^2}{7^2+4^2}\]

    \[z=\frac{(35-36)+(-20-63)i}{65}\]

    \[z=-\frac{1}{65}-\frac{83}{65}i\]

Όμοια

    \[w=\frac{(5+9i)(7+4i)}{(7-4i)(7+4i)}\]

    \[w=\frac{35+20i+63i+36i^2}{65}\]

    \[w=\frac{(35-36)+(20+63)i}{65}=-\frac{1}{65}+\frac{83}{65}i\]

Επομένως πράγματι ισχύουν z+w=(-\frac{1}{65}-\frac{83}{65}i)+(-\frac{1}{65}+\frac{83}{65}i)=-\frac{2}{65} που είναι πραγματικός και z-w=(-\frac{1}{65}-\frac{83}{65}i)-(-\frac{1}{65}+\frac{83}{65}i)=-2\frac{83}{65}i που είναι φανταστικός.

κάντε κλικ εδώ για να επιστρέψετε στην κορυφή και μετά κλικ στη καρτέλα «Συζυγής και Μέτρο» για να διαβάσετε τη συνέχεια

[/wptabcontent][wptabtitle]Συζυγής και Μέτρο Μιγαδικού[/wptabtitle]

[wptabcontent]

Άσκηση1:

(α) Να βρείτε τους μιγαδικούς που επαληθεύουν την ισότητα z \cdot \overline{z} +(z-\overline{z})=3+2i

(β) Να βρεθεί ο μιγαδικός για τον οποίο ισχύει \overline{z}=z^2

Λύση:

Στις περισσότερες ασκήσεις θέτουμε z=x+yi και προσπαθούμε από τη σχέση που μας έχουν δώσει να υπολογίσουμε τα x και y οπότε θα μάθουμε και ποιος είναι ο z. Το ίδιο θα κάνουμε κι εδώ.

(α) Έστω λοιπόν ότι ο z=x+yi, τότε θα έχουμε

    \[z \cdot \overline{z}=|z|^2=x^2+y^2\]

και

    \[z-\overline{z}=2yi\]

έτσι η σχέση 

    \[z \cdot \overline{z} +(z-\overline{z})=3+2i\]

γίνεται

    \[x^2+y^2+2yi=3+2i\]

από την οποία παίρνουμε δύο ισότητες (γιατί για να είναι ίσοι δύο μιγαδικοί πρέπει να έχουν ίσα και τα πραγματικά τους μέρη αλλά και τα φανταστικά τους) τις:

(σχέση 1) x^2+y^2=3

(σχέση 2) 2y=2

από την οποία προκύπτει y=1. Την τιμή αυτή του y αντικαθιστούμε στην σχέση 1 που μας δίνει

    \[x^2+1^2=3 \Leftrightarrow x^2=2\]

δηλαδή

    \[x=-\sqrt{2}\]

 ή

    \[x=\sqrt{2}\]

. Τελικά οι λύσεις που βρήκαμε από τη λύση του παραπάνω συστήματος είναι

    \[(x,y)=(-\sqrt{2},1)\]

ή

    \[(x,y)=(\sqrt{2},1)\]

επομένως οι μιγαδικοί αριθμοί που ψάχναμε είναι οι

    \[z_1=-\sqrt{2}+i\]

ή

    \[z_2=\sqrt{2}+i\]

(β) Κι εδώ θέτουμε z=x+yi κι αναζητούμε τα x και y ώστε να ισχύει η 

    \[\overline{z}=z^2\Leftrightarrow\]

    \[x-yi=(x+yi)^2 \Leftrightarrow\]

    \[x-yi=x^2+2xyi+y^2i^2\Leftrightarrow\]

    \[x-yi=(x^2-y^2)+2xyi\]

αυτό όμως μπορεί να ισχύει μόνο αν ισχύουν ταυτόχρονα οι σχέσεις:

(σχέση 1)   x^2-y^2=x \Leftrightarrow x^2-x=y^2\Leftrightarrow x(x-1)=y^2

(σχέση 2)   2xy=-y \Leftrightarrow 2xy+y=0 \Leftrightarrow y(2x+1)=0

η σχέση 2 μας δίνει δύο λύσεις τις

  • y=0, η οποία αν αντικατασταθεί στην σχέση 1 δίνει

        \[x(x-1)=0\]

    δηλαδή  

        \[x=0\]

      ή  

        \[x=1\]

    άρα

        \[z_1=0+0i=0\]

      ή  

        \[z_2=1+0i=1\]

  • 2x+1=0\Leftrightarrow x=-\frac{1}{2}   , η οποία αν αντικατασταθεί στην σχέση 1 δίνει

        \[(-\frac{1}{2})^2-(-\frac{1}{2})=y^2\Leftrightarrow y^2=\frac{3}{4}\]

    δηλαδή  

        \[y=-\frac{\sqrt{3}}{2}\]

      ή  

        \[y=\frac{\sqrt{3}}{2}\]

    άρα  

        \[z_3=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\]

      ή  

        \[z_4=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\]

Άσκηση2:

Να βρεθεί το μέτρο του μιγαδικού z=( \frac{2+i}{1-3i} ) ^2

Λύση:

Εδώ δεν συμφέρει να κάνουμε πράξεις για να φέρουμε τον z στη μορφή a+bi αλλά θα πρέπει να εκμεταλλευτούμε τις ιδιότητες του μέτρου:

    \[|z|=\left|\left( \frac{2+i}{1-3i}\right) ^2\right|\]

 

    \[|z|=\left( \left|\frac{2+i}{1-3i}\right|\right) ^2\]

 

    \[|z|=\left( \frac{|2+i|}{|1-3i|} \right) ^2\]

 

    \[|z|=\left( \frac{2^2+1^2}{1^2+3^2} \right) ^2=\left(\frac{5}{10}\right)^2=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\]

Άσκηση3:

Αν για τον μιγαδικό z ισχύει |z+9|=3|z+1|, αποδείξτε ότι |z|=3

Λύση:

  • 1ος τρόπος:
    Μια ασφαλής αλλά κουραστική μέθοδος είναι να θέσουμε   z=x+yi   , οπότε

        \[z+9=(x+9)+yi\]

    και

        \[|z+9|^2=(x+9)^2+y^2=x^2+18x+81+y^2\]

        \[z+1=(x+1)+yi\]

    και

        \[|z+1|^2=(x+1)^2 +y^2=x^2+2x+1+y^2\]

    άρα η σχέση που μας δώσανε γίνεται

        \[|z+9|^2=9|z+1|^2\]

        \[x^2+18x+81+y^2=9x^2+18x+9+9y^2\Leftrightarrow\]

        \[8x^2+8y^2=72\Leftrightarrow\]

        \[x^2+y^2=9\Leftrightarrow|z|^2=9\Leftrightarrow|z|=3\]

  • 2ος τρόπος:
    Η καλύτερη μέθοδος είναι να δουλέψουμε με τις ιδιότητες ως εξής:

        \[|z+9|=3|z+1|\Leftrightarrow\]

        \[|z+9|^2=9|z+1|^2\Leftrightarrow\]

        \[(z+9)\overline{(z+9)}=9(z+1)\overline{(z+1)}\Leftrightarrow\]

        \[(z+9)(\overline{z}+9)=9(z+1)(\overline{z}+1)\Leftrightarrow\]

        \[z\overline{z}+9z+9\overline{z}+81=9(z\overline{z}+z+\overline{z}+1)\Leftrightarrow\]

        \[z\overline{z}+9z+9\overline{z}+81=9z\overline{z}+9z+9\overline{z}+9)\Leftrightarrow\]

        \[8z \overline{z}=72\Leftrightarrow z\overline{z}=9\Leftrightarrow |z|^2=9 \Leftrightarrow |z|=3\]

κάντε κλικ εδώ για να επιστρέψετε στην κορυφή

[/wptabcontent] [/wptabs]

Μια τεράστια συλλογή ασκήσεων και σημειώσεων για τους μιγαδικούς θα βρείτε εδώ

Μιγαδικοί με το μέτρο

Τι εκφράζει το μέτρο ενός μιγαδικού;
Πως μπορούμε να το υπολογίσουμε;
Ποιες οι ιδιότητες του μέτρου;

Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού
Το μέτρο ενός μιγαδικού είναι η απόστασή του μιγαδικού από την αρχή των αξόνων

Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ

Εισαγωγή – Ορισμός

Σε προηγούμενο άρθρο, που κάναμε την εισαγωγή στους μιγαδικούς αριθμούς, είδαμε ότι ένας μιγαδικός αριθμός μπορεί να παρασταθεί στο μιγαδικό επίπεδο και σαν ένα διάνυσμα (μπορείτε να ρίξετε μια ματιά εδώ να το θυμηθείτε). Αυτό μας δίνει το «δικαίωμα» να ορίσουμε και το μέτρο ενός μιγαδικού ακριβώς όπως είχαμε ορίσει το μέτρο ενός διανύσματος στη Β΄Λυκείου. Δηλαδή, το μέτρο ενός μιγαδικού z=a+bi είναι το μήκος του διανύσματος \overrightarrow{OM} όπου Ο η αρχή των αξόνων και Μ το σημείο με συντεταγμένες Μ(a,b). Έτσι λοιπόν μπορούμε εύκολα με το Πυθαγόρειο θεώρημα να καταλήξουμε στο:

 

αν z=a+bi, τότε το μέτρο του z (συμβολίζεται |z| ) και είναι ίσο με

    \[\left| z \right|=\left| a+bi\right|=\sqrt{a^2+b^2}\]

metro
παράδειγμα για το πως υπολογίζουμε το μέτρο

Παρατηρήσεις

  • Το μέτρο ενός μιγαδικού δεν είναι μιγαδικός αλλά πραγματικός αριθμός και μάλιστα μη αρνητικός, δηλαδή

        \[\left | z \right |\geq0\]

  • Στην περίπτωση που ο z είναι πραγματικός η έννοια του μέτρου ταυτίζεται με την έννοια της απόλυτης τιμής.
  • Το μέτρο ενός μιγαδικού είναι ίσο με το μέτρο του συζυγούς του (δείτε εδώ τι είναι ο συζυγής) και αυτό γιατί αν z=a+bi, τότε ισχύει \left | \overline{z} \right |=\left|a-bi\right|=\sqrt{a^2+\left(-b\right)^2}=\sqrt{a^2+b^2}=\left|z\right| άρα \left|\overline{z}\right|=\left|z\right|
  • Συνήθως στις ασκήσεις για να «γλιτώνουμε την ταλαιπωρία» της τετραγωνικής ρίζας αντί για το μέτρο του z υπολογίζουμε το |z|2=a2+b2 και μάλιστα ισχύει:

        \[\left|z\right|^2=z \cdot \overline{z}\]

    και αυτό γιατί

        \[z\cdot \overline{z}=(a+bi)(a-bi)=a^2-b^2i^2=a^2+b^2=|z|^2\]

    (θυμίζουμε i2=-1)

  • To μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών είναι ίσο με την απόσταση των εικόνων τους. Δηλαδή η παράσταση |z-w| γεωμετρικά δηλώνει την απόσταση των μιγαδικών z και w στο μιγαδικό επίπεδο.

Ας δούμε τώρα όλες τις ιδιότητες του μέτρου

Ιδιότητες

αν z=a+bi και w=x+yi, τότε

το μέτρο του z είναι ίσο με το μέτρο του συζυγούς του

    \[|z|=\sqrt{a^2+b^2}\geq0\]

    \[|\overline{z}|=|z|=|-z|=|-\overline{z}|\]

    \[|z|^2=z \cdot \overline{z}\]

    \[|z \cdot w|=|z| \cdot |w|\]

    \[\left|\frac{z}{w}\right|=\frac{ \left|z\right|}{ \left|w\right|}\]

    \[|z^{\nu}|=|z|^{\nu}\]

    \[\left | \left | z \right |-\left | w \right | \right |\leq \left | z+w \right |\leq \left | z \right | +\left | w \right |\]

Αυτά τα λίγα είχαμε να πούμε για το μέτρο του μιγαδικού θα ακολουθήσει άρθρο με λυμένα παραδείγματα (update: κάντε κλικ εδώ να δείτε τα λυμένα παραδείγματα) ώστε να μάθουμε να χρησιμοποιούμαι τις παραπάνω ιδιότητες καθώς και ένα ακόμη με την πολύ σημαντική ενότητα των γεωμετρικών τόπων. Γι’ αυτό μείνετε «συντονισμένοι».

Πράξεις με μιγαδικούς

Αφού γνωρίσαμε το σύνολο των μιγαδικών αριθμών ήρθε ο καιρός να δούμε και πως μπορούμε να κάνουμε πράξεις μέσα σε αυτό το σύνολο. Πριν ξεκινήσουμε όμως καλό θα ήταν να αναφερθούμε και στη ισότητα των μιγαδικών. Έστω λοιπόν ότι έχουμε δύο μιγαδικούς, τον z1=x1+y1i και τον z2=x2+y2i, τότε

Ισότητα μιγαδικών

Δύο μιγαδικοί z_1=x_1+y_1i , z_2=x_2+y_2i θα λέμε ότι είναι ίσοι αν έχουν ίσα πραγματικά αλλά και φανταστικά μέρη. Δηλαδή,z_1=z_2\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} x_1=x_2\\ \kappa \alpha \iota \\ y_1=y_2 \end{matrix}

Από εδώ προκύπτει και το πότε ένας μιγαδικός θα είναι ίσος με 0. Πράγματι ένας μιγαδικός z=x+yi θα είναι ίσος με μηδέν (0=0+0i) αν και μόνο αν ισχύει x=0 και y=0.

Πρόσθεση κι αφαίρεση:

Πρόσθεση Μιγαδικών

Για να προσθέσουμε (ή να αφαιρέσουμε) μιγαδικούς προσθέτουμε (ή αφαιρούμε) τα πραγματικά τους μέρη και το ίδιο κάνουμε με

τα φανταστικά τους μέρη. Δηλαδή,z_1+z_2=(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i z_1-z_2=(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i

Παράδειγμα: (3+12i)+(5-4i)=(3+5)+(12-4)i=8+8i

Πολλαπλασιασμός μιγαδικών:

Γιά να πολλαπλασιάσουμε τους μιγαδικούς z1 και z2 κάνουμε χρήση της γνωστής μας επιμεριστικής ιδιότητας κι έτσι έχουμε,

    \[z_1\cdot z_2=(x_1+y_1i)(x_2+y_2i)=x_1x_2+x_1y_2i+y_1x_2i+y_1y_2i^2=\]

    \[(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i\]

(θυμηθείτε ότι i2=-1)

Αν ο z1 είναι πραγματικός, δηλαδή z1=λ, τότε λz2=λ(x2+y2i)=λx2+λy2i.

Παράδειγμα: (1-2i)(3-4i)=3-4i-6i+8i2=3-8-4i-6i=-5-10i

Μέχρι εδώ όλα καλά κι εύκολα το μόνο που μας έμεινε ακόμη είναι να δούμε πως διαιρούμε μιγαδικούς αριθμούς. Πριν όμως αναφερθούμε στη διαίρεση θα χρειαστεί να ορίσουμε τον «συζυγή» ενός μιγαδικού. Κάτι αντίστοιχο είχαμε κάνει και για να ορίσουμε την πράξη της διαίρεσης στους ρητούς αριθμούς. Πρώτα είδαμε τι ονομάζεται αντίστροφος ενός αριθμού και μετά είπαμε ότι γιά να διαιρέσουμε δύο ρητούς πολλαπλασιάζουμε τον διαιρετέο με τον αντίστροφο του διαιρέτη. Κάτι ανάλογο κάνουμε κι εδώ.

Συζυγής ενός μιγαδικού:Συζυγείς Μιγαδικοί

Αν θεωρήσουμε το μιγαδικό z=x+yi, ονομάζουμε συζυγή του z και τον συμβολίζουμε με \bar{z} τον μιγαδικό x-yi. Δηλαδή 

    \[z=x+yi\Leftrightarrow\bar{z}=x-yi\]

Προφανώς ισχύουν και τα παρακάτω:

Ο z είναι πραγματικός αν και μόνο αν z=\bar{z} και ο z είναι φανταστικός αν και μόνο αν z=-\bar{z}

Την απόδειξη των παραπάνω καθώς και άλλες σχέσεις που αφορούν στο συζυγή ενός μιγαδικού θα δούμε σε επόμενο άρθρο για να μη βγούμε τώρα εκτός θέματος. Αυτό που θα χρειαστούμε όμως για τη διαίρεση, που σκοπεύουμε να καταλήξουμε, είναι η σχέση:

αν z=x+yi, τότε ισχύει:

    \[z \bar{z}=x^2+y^2\]

Πράγματι,

    \[z \bar{z}=(x+yi)(x-yi)=x^2-y^2i^2=x^2+y^2\]

Τώρα νομίζω είμαστε έτοιμοι να ορίσουμε και τη διαίρεση

Διαίρεση μιγαδικών:

Γιά να βρούμε το πηλίκο  δύο μιγαδικών z1 και z2, πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε με τον συζυγή του παρονομαστή. Δηλαδή,

    \[\frac{z_1}{z_2}=\frac{z_1 \bar{z_2}}{z_2 \bar{z_2}}=\frac{z_1 \bar{z_2}}{x_2^2+y_2^2}\]

Παράδειγμα: \frac{1-2i}{3+4i}=\frac{(1-2i)(3-4i)}{(3+4i)(3-4i)}=\frac{3-4i-6i+8i^2}{3^2+4^2}= \frac{-5-10i}{25}=-\frac{5}{25}-\frac{10}{25}i=-\frac{1}5-\frac{2}5i