Νοεμβρίου 2011

Γενικής Παιδείας Γ΄ Λυκείου

Υπάρχουν ασκήσεις στις οποίες ζητείται το όριο μιας συνάρτησης f της οποίας όμως δεν μας έχουν δώσει τον τύπο κι έτσι φαίνεται δύσκολο το να υπολογιστεί το όριο αυτό. Προφανώς όμως κάτι θα μας έχουν δώσει για την συνάρτηση αυτή και συνήθως μας δίνουν είτε ένα όριο στο οποίο συμμετέχει και η συνάρτηση f είτε μια διπλή ανισότητα στο κέντρο της οποίας υπάρχει η f. Αυτές τις δύο περιπτώσεις θα μελετήσουμε εδώ αλλά θα χωρίσουμε το άρθρο στα δύο για δύο κυρίως λόγους πρώτα γιατί προβλέπεται να είναι μεγάλο και θα σας κουράσει και δεύτερον γιατί η πρώτη περίπτωση (δεν δίνεται η f αλλά ένα όριο στο οποίο συμμετέχει η f ) αφορά και τους μαθητές της γενικής παιδείας ενώ η δεύτερη περίπτωση (δεν δίνεται η f αλλά δίνεται διπλή ανισότητα που στο κέντρο της εμφανίζεται η f ) αφορά μόνο μαθητές θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης.

Ας ξεκινήσουμε λοιπόν με ένα παράδειγμα όπου

μας ζητούν το $\underset{x \to 3}{\mathop{\lim}}f(x)$

καθώς και το $\underset{x \to 3}{\mathop{\lim}} \frac{f(x)-2}{x^2-3x}$

ενώ μας δίνουν ότι ισχύει: $\underset{x \to 3 }{\mathop{\lim }} \frac{f(x)-2x+4}{x-3}=10$

Βλέπουμε λοιπόν εδώ ότι δεν γνωρίζουμε ποια είναι η συνάρτηση f το μόνο που ξέρουμε είναι ένα όριο στο οποίο όμως συμμετέχει και η συνάρτηση f. Θα προσπαθήσουμε λοιπόν να φτιάξουμε έναν «ψεύτικο» τύπο για τη συνάρτηση που μας ενδιαφέρει.

Αυτό το πετυχαίνουμε θεωρώντας σαν συνάρτηση όλο το «περιεχόμενο» του ορίου που μας έχουν δώσει. Δηλαδή, το $\frac{f(x)-2x+4}{x-3}$ το θεωρούμε σαν μια συνάρτηση την οποία και ονομάζουμε g.

Έχουμε τώρα γνωστά δύο πράγματα,

ένα ότι $g(x)=\frac{f(x)-2x+4}{x-3}$ και

δεύτερον ότι το $\underset{x \to 3}{\mathop{\lim}}g(x)=10$

Την πρώτη σχέση την λύνουμε ως προς f(x) και έτσι προκύπτει ο «ψεύτικος τύπος» για την f:

$f(x)=(x-3)g(x)+2x-4$ απ’ όπου θα υπολογίσουμε το όριο της f με τη βοήθεια προφανώς και του γνωστού ορίου της g.

Πράγματι,

$\underset{x \to 3}{\mathop{\lim}}f(x)$ $=\underset{x \to 3}{\mathop{\lim}} (x-3)g(x)+2x-4=0 \cdot 10+2 \cdot 3-4=2$

Ας υπολογίσουμε τώρα και το άλλο όριο,

$\underset{x \to 3}{\mathop{\lim}}\frac{f(x)-2}{x^2-3x}$ παρατηρούμε ότι είναι της μορφής 0/0 (μην ξεχνάμε ότι το όριο της f το βρήκαμε 2). Πρέπει λοιπόν να κάνουμε άρση της απροσδιοριστίας «εμφανίζοντας και εξαφανίζοντας» τον παράγοντα x-3 που ευθύνεται για το 0/0 (καλό είναι να θυμηθείς πως γίνεται αυτό κάνοντας μια γρήγορη ανάγνωση εδώ), έτσι