Τι είναι η παραγοντοποίηση;
Παραγοντοποίηση είναι η μετατροπή ενός αριθμού, ή μιας αλγεβρικής παράστασης σε γινόμενο.
Γιά παράδειγμα μπορούμε να παραγοντοποιήσουμε τον αριθμό 12 και να τον γράψουμε 2.6, αφού 12=2.6. Οι αριθμοί 2 και 6 λέγονται παράγοντες (ή διαιρέτες) του 12. Με την ανάλυση αριθμού σε γινόμενο δεν θα ασχοληθούμε εδώ, αυτό το
κάναμε πολλά χρόνια πριν στο Δημοτικό και στη Α΄ Γυμνασίου (θυμηθείτε την ανάλυση ενός σύνθετου αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων, όπου το 12 το γράφαμε ). Στο άρθρο αυτό θα δούμε με ποιούς τρόπους μπορούμε μια αλγεβρική παράσταση να τη παραγοντοποιήσουμε, δηλαδή να την μετατρέψουμε σε γινόμενο. Πριν ξεκινήσουμε όμως ας κάνουμε μερικές παρατηρήσεις και πρώτα απ’ όλα να πούμε ότι δεν παραγοντοποιούνται όλες οι αλγεβρικές παραστάσεις άλλες γίνονται γινόμενο κι άλλες όχι. Επίσης να πούμε ότι οι τρόποι που θα παρουσιάσουμε εδώ δεν είναι οι μοναδικοί αλλά είναι μόνο αυτοί που μπορεί να χρησιμοποιήσει ένας μαθητής της Γ΄ Γυμνασίου με αυτά που έχει διδαχθεί μέχρι τώρα και σύμφωνα με τη νέα ύλη (έκδοση light δηλαδή). Για τους μαθητές της Α΄ Λυκείου έχουμε επιπλέον τρόπους και για τους μαθητές της Β΄ Λυκείου ακόμη περισσότερους.
Πως γίνεται η παραγοντοποίηση
Όταν μας δωθεί μια αλγεβρική παράσταση και για κάποιο λόγο πρέπει να την μετατρέψουμε σε γινόμενο ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα:
- Ελέγχουμε αν μπορούμε να εφαρμόσουμε τη μέθοδο του Κοινού Παράγοντα. Αν ναι έχει καλώς την εφαρμόζουμε και τελειώσαμε (συνήθως) αν όχι τότε πάμε στην
- Μέθοδο της Ομαδοποίησης αλλά αν δεν εφαρμόζεται ούτε κι αυτή θα κοιτάξουμε μήπως μπορούμε να
- Κάνουμε χρήση των Ταυτοτήτων
- Εξετάζουμε μήπως η παράσταση που έχουμε είναι τριώνυμο
Ας δούμε όμως αυτές τις μεθόδους αναλυτικά:
[su_tabs style=1]
[su_tab title=»Κοινός Παράγοντας»]
Στην αλγεβρική παράσταση 2χ+2ψ+14ω, τα 2χ, 2ψ και 14ω λέγονται «όροι» της παράστασης. Στον όρο 2χ οι 2 και χ λέγονται παράγοντες του 2χ, ανάλογα το2 και ψ έιναι οι παράγοντες του 2ψ και οι 14 και ω οι παράγοντες του 14ω.
Παρατηρούμε ότι ο αριθμός 2 είναι «κοινός παράγοντας» αφού εμφανίζεται σε όλους τους όρους. Στους 2χ και 2ψ είναι προφανές ενώ στον όρο 14ω είναι κρυμμένος μέσα στο 14 (14=2.7).
Όταν λοιπόν στην παράσταση που θέλουμε να μετατρέψουμε σε γινόμενο είμαστε «τυχεροι» και υπάρχει κοινός παράγοντας τότε κάνουμε χρήση της επιμεριστικής ιδιότητας ( α(β+γ)=αβ+αγ ). Έτσι η παράσταση 2χ+2ψ+14ω γίνεται 2χ+2ψ+14ω=2χ+2ψ+2.7ω=2(χ+ψ+7ω) που έγινε γινόμενο και τελειώσαμε.
Όταν κοιτάμε μήπως υπάρχει κάποιος κοινός παράγοντας, κοιτάμε για κοινό αριθμό ή κοινό γράμμα ή ακόμη και για κοινή παρένθεση. Δείτε τα παραδείγματα παρακάτω:
2χ-αχ+βχ2=χ(2 – α+βχ), κοινός παράγοντας ήταν το χ που υπήρχε παντου αφού 2χ-αχ+βχ2=2χ-αχ+βχχ.
3κ(χ+ψ)+6α(χ+ψ)-12β(χ+ψ)=3(χ+ψ)(κ+2α-4β), κοινός παράγοντας ήταν το 3 που είναι κρυμμένο και στο 6 και στο 12 αλλά και η παρένθεση (χ+ψ).
Παρατηρήσεις:
(α) Για να βρούμε τι θα γράψουμε μέσα στη παρένθεση αφού βγάλουμε τον κοινό παράγοντα, διαιρούμε κάθε όρο με τον κοινό παράγοντα (αν και συνήθως είναι προφανές και δεν κάνουμε τη διαίρεση).
π.χ. Στην παράσταση 4χψ2+2χ2ψ-2χψ κοινός παράγοντας είναι το 2χψ κι έτσι θα γράψουμε 2χψ.(κάτι). Για να βρούμε αυτό το κάτι κάνουμε 4χψ2/2χψ+2χ2ψ/2χψ-2χψ/2χψ=2ψ+χ-1.
Τελικά 4χψ2+2χ2ψ-2χψ=2χψ(2ψ+χ-1).
(β) Για να ελέγξουμε αν η παραγγοντοποίηση έγινε σωστά μπορούμε να κάνουμε επιμεριστική στο αποτέλεσμα και θα πρέπει οπωσδήποτε να προκύψει το πρώτο μέλος.
Έτσι στο προηγούμενο παράδειγμα έχουμε 2χψ(2ψ+2χ-1)=2χψ.2ψ+2χψ.2χ-2χψ.1=4χψ2+4χ2ψ-2χψ.
(γ) Μερικές φορές είναι χρήσιμο να βγάζουμε κοινό παράγοντα κάποιον αριθμό που μπροστά του να έχει πρόσημο – . Σε αυτές τις περιπτώσεις οι όροι που παραμένουν στην παρένθεση έχουν αντίθετο πρόσημο από αυτό που είχαν. Για παράδειγμα στην παράσταση 2χ – 2ψ μπορώ να βγάλω κοινό παράγοντα το 2 και να γίνει 2χ – 2ψ=2(χ-ψ) αλλά θα μπορούσα να βγάλω κοινό παράγοντα και το -2, αν το ήθελα, τότε θα είχαμε 2χ – 2ψ = -2(-χ+ψ).
(δ) Αν κάποιος παράγοντας εμφανίζεται με διαφορετικές δυνάμεις επιλέγουμε να βγάλουμε κοινό παράγοντα αυτόν με τη μικρότερη δύναμη. π.χ. 2α3(χ+ψ)2+4α2(χ+ψ)3=2α2(χ+ψ)2(α+2(χ+ψ))=2α2(χ+ψ)2(α+2χ+2ψ).
[/su_tab]
[su_tab title=»Ομαδοποίηση»]
Επειδή δεν θα είμαστε πάντα τυχεροί να έχουμε κοινό παράγοντα όπως στην περίπτωση της παράστασης 2αχ+4αψ+3βχ+6βψ, τότε κοιτάμε μήπως αν χωρίσουμε τους όρους σε ομάδες καταφέρουμε να βρούμε κοινό παράγοντα. Πράγματι οι όροι 2αχ και 4αψ έχουν κοινό παράγοντα το 2α, οπότε 2αχ+4αψ=2α(χ+2ψ), ενώ οι όροι 3βχ και 6βψ έχουν κοινό παράγοντα το 3β, οπότε 3βψ+6βψ=3β(χ+2ψ). Για να δούμε τι μπορούμε να κάνουμε τώρα, μέχρι στιγμής έχουμε 2αχ+4αψ+3βχ+6βψ=2α(χ+2ψ)+3β(χ+2ψ). Οι όροι από 4 έγιναν 2 και μάλιστα έχουν κοινό παράγοντα την παρένθεση (χ+2ψ), άρα
2αχ+4αψ+3βχ+6βψ=2α(χ+2ψ)+3β(χ+2ψ)=(χ+2ψ)(2α+3β).
Η μέθοδος που ακολουθήσαμε εδώ λέγεται «ομαδοποίηση» ή παραγοντοποίηση κατά ομάδες και ο λόγος είναι προφανής αφού αναγκαστήκαμε να χωρίσουμε την παράσταση σε ομάδες και να βγάλουμε κοινό παράγοντα σε κάθε ομάδα χωριστά.
Παρατηρήσεις:
(α) Στη μέθοδο της ομαδοποίησης ποτέ δεν τελειώνουμε αμέσως αλλά υπάρχουν πάντα δύο στάδια. Αφού τελειώσουμε την παραγοντοποίηση κάθε ομάδας πρέπει οι παρενθέσεις που θα μείνουν να είναι ίδιες ώστε να ξαναβγεί κοινός παράγοντας.
(β) Αν οι παρενθέσεις που θα μείνουν κατά το πρώτο στάδιο δεν είναι ίδιες μάλλον έχουμε διαλέξει λάθος ομάδες. Ξαναδοκιμάζουμε λοιπόν παίρνοντας διαφορετικές ομάδες. π.χ. Για να παραγοντοποιήσω την αχ3+2αβ+βχ2+2α2χ κάνω τα εξής: αχ3+2αβ+βχ2+2α2χ=(αχ3+2αβ)+(βχ2+2α2χ)=α(χ3+2β)+χ(βχ+2α2) και δεν μπορώ να συνεχίσω στο δεύτερο στάδιο αφού οι παρενθέσεις δεν είναι ίδιες κι επομένως δεν έχω κοινό παράγοντα. Αν όμως διαλέξουμε διαφορετικές ομάδες: αχ3+2αβ+βχ2+2α2χ=(αχ3+βχ2)+(2αβ+2α2χ)=χ2(αχ+β)+2α(β+αχ)=(αχ+β)(χ2+2α) είμαστε εντάξει.
(γ) Αν οι παρενθέσεις που θα μας μείνουν κατά το πρώτο στάδιο της παραγοντοποίησης κατά ομάδες είναι αντίθετες αυτό διορθώνεται εύκολα αρκεί να βγάλουμε κοινό παράγοντα τον αντίθετο από αυτό που βγάλαμε. Δείτε το χ3 – χ2 – 2χ +2=χ2(χ-1)+2(-χ+1). Οι παρενθέσεις είναι αντίθετες, το διορθώνω είτε βγάζοντας κοινό παράγοντα στη πρώτη ομάδα το – χ2 αντί για το χ2 είτε το -2 στη δεύτερη ομάδα αντί γιά το 2 κι έτσι θα έχουμε χ3 – χ2 – 2χ +2=χ2(χ-1)+2(-χ+1)=χ2(χ-1) – 2(χ-1)=(χ-1)(χ2 – 2).
[/su_tab]
[su_tab title=»Ταυτότητες»]
Αν τελικά είμαστε πολύ «άτυχοι» και οι δύο προηγούμενοι τρόποι δεν μπορούν να εφαρμοστούν ελέγχουμε μήπως στην παράσταση υπάρχουν ταυτότητες που μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε. Πιο συγκεκριμένα οι ταυτότητες που πιθανόν να υπάρχουν είναι αυτές που διδαχθήκαμε φέτος, δηλαδή οι:
- άθροισμα ή διαφορά στο τετράγωνο
(1)
- άθροισμα ή διαφορά στο κύβο
(2)
- διαφορά τετραγώνων
(3)
Μια ένδειξη για το ποια ταυτότητα μπορεί να υπάρχει στην παράσταση αποτελεί το πλήθος των όρων που υπάρχουν στην παράσταση.Έτσι αν υπάρχουν 2 όροι πιθανόν να έχουμε την ταυτότητα (3), αν υπάρχουν 3 όροι πιθανόν να υπάρχει η ταυτότητα (1) και τέλος με 4 όρους ίσως να «παίζει» η ταυτότητα (2). π.χ. Θέλουμε να παραγοντοποιήσουμε την παράσταση x2 – 10x+25 και κοινός παράγοντας δεν υπάρχει, σε ομάδες δεν μπορούμε να η χωρίσουμε θα ελέγξουμε την περίπτωση των ταυτοτήτων. Βλέπουμε ότι έχουμε 3 όρους οπότε υποψιαζόμαστε την ταυτότητα a2 – 2ab+b2. Παρατηρώντας την παράσταση (κι αφού ξέρω τι ψάχνω να βρω) βλέπω το x2 και το 52(=25) και γι’ αυτό το λόγο δοκιμάζω την (x – 5)2 που μου δίνει x2 – 2.x.5+52=x2 – 10x+25. Βγήκε αυτό που ελπίζαμε άρα μπορούμε τώρα να γράψουμε x2 – 10x+25=(x – 5)2.
[/su_tab]
[su_tab title=»Συνδυασμοί»]
Να σημειώσουμε εδώ ότι οι τρεις μέθοδοι που παρουσιάστηκαν προηγουμένως είναι οι συνηθέστεροι αλλά όπως αναφέραμε και πιο πάνω δεν είναι οι μοναδικοί και ότι υπάρχουν ασκήσεις που χρειάζεται να συνδυάσουμε τις παραπάνω μεθόδους ή και να αυτοσχεδιάσουμε καμιά φορά. Ας δούμε δύο τέτοιες περιπτώσεις:
π.χ.1 Για να παραγοντοποιήσω την παράσταση x2+5x+6, βλέπω ότι δεν υπάρχει κοινός παράγοντας σε ομάδες δεν χωρίζεται (γιατί έχω μόνο 3 όρους ) αλλά ούτε ταυτότητες υπάρχουν. Παρ’ όλα αυτά θα μπορούσαμε να κάνουμε ένα τέχνασμα ώστε οι όροι από 3 να γίνουν 4 κι έτσι να δουλέψω με την μέθοδο της ομαδοποίησης. Σπάω λοιπόν τον όρο 5x σε 2x+3x (επέλεξα αυτά τα νούμερα γιατί είναι «κρυμένα» μέσα στο 6 που έχω στην παράσταση, μην παραλείψετε να διαβάσετε την «Παρατήρηση» στο τέλος του άρθρου). Τώρα να δούμε τι πετύχαμε
Παρατήρηση: Το ότι επιλέξαμε να σπάσουμε το 5χ σε 2χ+3χ όπως αναφέρθηκε και παραπάνω δεν ήταν τυχαίο. Είναι μια ολόκληρη μέθοδος που την παρουσιάζει και το σχολικό βιβλίο ως η «μέθοδος τριωνύμου» που με λίγα λόγια λέει το εξής:
Όταν θέλω να μετατρέψω σε γινόμενο μια παράσταση της μορφής προσπαθώ να βρω δυο αριθμούς που αν τους προσθέσω να κάνουν Α ενώ αν τους πολλαπλασιάσω να κάνουν Γ. Αν καταφέρω να βρω αυτούς τους αριθμούς, έστω ότι αυτοί είναι ο κ και ο λ, τότε το τριώνυμο παίρνει τη μορφή . Έτσι λοιπόν στο παραπάνω παράδειγμα είχαμε:
Για το τριώνυμο αναζητούμε ένα ζευγάρι αριθμών που θα πρέπει να έχει γινόμενο ίσο με 6 και άθροισμα ίσο με 5. Πριν απαντήσουμε αμέσως ποιοι είναι αυτοί οι αριθμοί ας σκεφτούμε λίγο:
- Ξεκινάμε από το γινόμενο διότι υπάρχουν λίγες απαντήσεις. Ενώ άθροισμα 5 μπορώ να σχηματίσω με άπειρα ζευγάρια ακεραίων (π.χ. (2,3) , (6,-1) , (100,-95) κ.α.) , γινόμενο 6 μπορώ να σχηματίσω μόνο με τους: (1,6) , (2,3) , (-1,-6) και (-2,-3).
- Από τα παραπάνω ζευγάρια μόνο το ζευγάρι 2 και 3 πληροί τις προϋποθέσεις που έχουμε αφού το άθροισμά τους είναι 5 το δε γινόμενό τους είναι 6.
- Άρα έχουμε
Τα παραπάνω μπορούμε να τα τακτοποιήσουμε και σε ένα πινακάκι ως εξής:
|
|||
κ | λ | Γινόμενο = +6 | Άθροισμα = +5 |
+1 | +6 | +6 | +7 |
+2 | +3 | +6 | +5 |
-1 | -6 | +6 | -7 |
-2 | -3 | +6 | -5 |
|
Αυτή τη μέθοδο την παρουσιάζουμε εδώ συνοπτικά και δεν χρειάζεται να επιμείνουμε άλλο γιατί σε μερικά μαθήματα παρακάτω θα μάθουμε μια άλλη μέθοδο παραγοντοποίησης του τριωνύμου η οποία δεν παρουσιάζει τους περιορισμούς που παρουσιάζει αυτή η μέθοδος (όπως για παράδειγμα ότι εφαρμόζεται μόνο στην περίπτωση που ο συντελεστής του x2 είναι 1)
π.χ.2 Έστω ότι θέλω να παραγοντοποιήσω την παράσταση x4 -x3+x2 – 1. Αφού δεν υπάρχει κοινός παράγοντας πάμε για ομαδοποίηση με x4 – x3 τη μια ομάδα (που έχει κοινό παράγοντα το x3) και x2 – 1 την άλλη ομάδα που δεν έχει κοινό παράγοντα αλλά είναι ταυτότητα x2 – 1=(x – 1)(x+1). Άρα θα έχω
[/su_tab]
[su_tab title=»plus»]
Αφού είδαμε κάθε μια μέθοδο χωριστά ίσως θα ήταν καλύτερα τώρα να βλέπαμε την παραγοντοποίηση και με μια άλλη ματιά. Πιο πάνω στο άρθρο αυτό αναφέραμε ότι για να παραγοντοποιήσουμε μια αλγεβρική παράσταση ελέγχουμε με τη σειρά: ΚΟΙΝΟ ΠΑΡΑΓΟΝΤΑ >> ΟΜΑΔΕΣ >> ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ >> ΤΡΙΩΝΥΜΟ. Όμως από τους όρους που έχει αυτή η αλγεβρική παράσταση κάποιες από τις παραπάνω μεθόδους θα μπορούσαν να αποκλειστούν (π.χ. με 2 όρους δεν μπορείς να κάνεις ομαδοποίηση). Έτσι θα μπορούσαμε να σκεφτόμαστε κι ως εξής:
2 όρους | 3 όρους | 4+ όρους |
Κοινός Παράγοντας | ||
Ταυτότητα
|
Τριώνυμο | Ομαδοποίηση |
Ταυτότητα
|
Ταυτότητα
|
[/su_tab]
[/su_tabs]