Οκτώβριος 2010

Παραγοντοποίηση

Τι είναι η παραγοντοποίηση;

Παραγοντοποίηση είναι η μετατροπή ενός αριθμού, ή μιας αλγεβρικής παράστασης σε γινόμενο.

Γιά παράδειγμα μπορούμε να παραγοντοποιήσουμε τον αριθμό 12 και να τον γράψουμε 2^.6, αφού 12=2^.6. Οι αριθμοί 2 και 6 λέγονται παράγοντες (ή διαιρέτες) του 12. Με την ανάλυση αριθμού σε γινόμενο δεν θα ασχοληθούμε εδώ, αυτό το

κάναμε πολλά χρόνια πριν στο Δημοτικό και στη Α΄ Γυμνασίου (θυμηθείτε την ανάλυση ενός σύνθετου αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων, όπου το 12 το γράφαμε $12=2^2\cdot 3$ ). Στο άρθρο αυτό θα δούμε με ποιούς τρόπους μπορούμε μια αλγεβρική παράσταση να τη παραγοντοποιήσουμε, δηλαδή να την μετατρέψουμε σε γινόμενο. Πριν ξεκινήσουμε όμως ας κάνουμε μερικές παρατηρήσεις και πρώτα απ’ όλα να πούμε ότι δεν παραγοντοποιούνται όλες οι αλγεβρικές παραστάσεις άλλες γίνονται γινόμενο κι άλλες όχι. Επίσης να πούμε ότι οι τρόποι που θα παρουσιάσουμε εδώ δεν είναι οι μοναδικοί αλλά είναι μόνο αυτοί που μπορεί να χρησιμοποιήσει ένας μαθητής της Γ΄ Γυμνασίου με αυτά που έχει διδαχθεί μέχρι τώρα και σύμφωνα με τη νέα ύλη (έκδοση light δηλαδή). Για τους μαθητές της Α΄ Λυκείου έχουμε επιπλέον τρόπους και για τους μαθητές της Β΄ Λυκείου ακόμη περισσότερους.

Πως γίνεται η παραγοντοποίηση

Όταν μας δωθεί μια αλγεβρική παράσταση και για κάποιο λόγο πρέπει να την μετατρέψουμε σε γινόμενο ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα:

Ελέγχουμε αν μπορούμε να εφαρμόσουμε τη μέθοδο του Κοινού Παράγοντα. Αν ναι έχει καλώς την εφαρμόζουμε και τελειώσαμε (συνήθως) αν όχι τότε πάμε στην
Μέθοδο της Ομαδοποίησης αλλά αν δεν εφαρμόζεται ούτε κι αυτή θα κοιτάξουμε μήπως μπορούμε να
Κάνουμε χρήση των Ταυτοτήτων
Εξετάζουμε μήπως η παράσταση που έχουμε είναι τριώνυμο

Ας δούμε όμως αυτές τις μεθόδους αναλυτικά:

[su_tabs style=1]

[su_tab title=»Κοινός Παράγοντας»]

Στην αλγεβρική παράσταση 2χ+2ψ+14ω, τα 2χ, 2ψ και 14ω λέγονται «όροι» της παράστασης. Στον όρο 2χ οι 2 και χ λέγονται παράγοντες του 2χ, ανάλογα το2 και ψ έιναι οι παράγοντες του 2ψ και οι 14 και ω οι παράγοντες του 14ω.
Παρατηρούμε ότι ο αριθμός 2 είναι «κοινός παράγοντας» αφού εμφανίζεται σε όλους τους όρους. Στους 2χ και 2ψ είναι προφανές ενώ στον όρο 14ω είναι κρυμμένος μέσα στο 14 (14=2^.7).
Όταν λοιπόν στην παράσταση που θέλουμε να μετατρέψουμε σε γινόμενο είμαστε «τυχεροι» και υπάρχει κοινός παράγοντας τότε κάνουμε χρήση της επιμεριστικής ιδιότητας ( α(β+γ)=αβ+αγ ). Έτσι η παράσταση 2χ+2ψ+14ω γίνεται 2χ+2ψ+14ω=2χ+2ψ+2^.7ω=2(χ+ψ+7ω) που έγινε γινόμενο και τελειώσαμε.

Όταν κοιτάμε μήπως υπάρχει κάποιος κοινός παράγοντας, κοιτάμε για κοινό αριθμό ή κοινό γράμμα ή ακόμη και για κοινή παρένθεση. Δείτε τα παραδείγματα παρακάτω:
2χ-αχ+βχ²=χ(2 – α+βχ), κοινός παράγοντας ήταν το χ που υπήρχε παντου αφού 2χ-αχ+βχ²=2χ-αχ+βχχ.
3κ(χ+ψ)+6α(χ+ψ)-12β(χ+ψ)=3(χ+ψ)(κ+2α-4β), κοινός παράγοντας ήταν το 3 που είναι κρυμμένο και στο 6 και στο 12 αλλά και η παρένθεση (χ+ψ).

Παρατηρήσεις:

(α) Για να βρούμε τι θα γράψουμε μέσα στη παρένθεση αφού βγάλουμε τον κοινό παράγοντα, διαιρούμε κάθε όρο με τον κοινό παράγοντα (αν και συνήθως είναι προφανές και δεν κάνουμε τη διαίρεση).

π.χ. Στην παράσταση 4χψ²+2χ²ψ-2χψ κοινός παράγοντας είναι το 2χψ κι έτσι θα γράψουμε 2χψ^.(κάτι). Για να βρούμε αυτό το κάτι κάνουμε 4χψ²/2χψ+2χ²ψ/2χψ-2χψ/2χψ=2ψ+χ-1.
Τελικά 4χψ²+2χ²ψ-2χψ=2χψ(2ψ+χ-1).

(β) Για να ελέγξουμε αν η παραγγοντοποίηση έγινε σωστά μπορούμε να κάνουμε επιμεριστική στο αποτέλεσμα και θα πρέπει οπωσδήποτε να προκύψει το πρώτο μέλος.

Έτσι στο προηγούμενο παράδειγμα έχουμε 2χψ(2ψ+2χ-1)=2χψ^.2ψ+2χψ^.2χ-2χψ^.1=4χψ²+4χ²ψ-2χψ.

(γ) Μερικές φορές είναι χρήσιμο να βγάζουμε κοινό παράγοντα κάποιον αριθμό που μπροστά του να έχει πρόσημο – . Σε αυτές τις περιπτώσεις οι όροι που παραμένουν στην παρένθεση έχουν αντίθετο πρόσημο από αυτό που είχαν. Για παράδειγμα στην παράσταση 2χ – 2ψ μπορώ να βγάλω κοινό παράγοντα το 2 και να γίνει 2χ – 2ψ=2(χ-ψ) αλλά θα μπορούσα να βγάλω κοινό παράγοντα και το -2, αν το ήθελα, τότε θα είχαμε 2χ – 2ψ = -2(-χ+ψ).

(δ) Αν κάποιος παράγοντας εμφανίζεται με διαφορετικές δυνάμεις επιλέγουμε να βγάλουμε κοινό παράγοντα αυτόν με τη μικρότερη δύναμη. π.χ. 2α³(χ+ψ)²+4α²(χ+ψ)³=2α²(χ+ψ)²(α+2(χ+ψ))=2α²(χ+ψ)²(α+2χ+2ψ).

[/su_tab]

[su_tab title=»Ομαδοποίηση»]

Επειδή δεν θα είμαστε πάντα τυχεροί να έχουμε κοινό παράγοντα όπως στην περίπτωση της παράστασης 2αχ+4αψ+3βχ+6βψ, τότε κοιτάμε μήπως αν χωρίσουμε τους όρους σε ομάδες καταφέρουμε να βρούμε κοινό παράγοντα. Πράγματι οι όροι 2αχ και 4αψ έχουν κοινό παράγοντα το 2α, οπότε 2αχ+4αψ=2α(χ+2ψ), ενώ οι όροι 3βχ και 6βψ έχουν κοινό παράγοντα το 3β, οπότε 3βψ+6βψ=3β(χ+2ψ). Για να δούμε τι μπορούμε να κάνουμε τώρα, μέχρι στιγμής έχουμε 2αχ+4αψ+3βχ+6βψ=2α(χ+2ψ)+3β(χ+2ψ). Οι όροι από 4 έγιναν 2 και μάλιστα έχουν κοινό παράγοντα την παρένθεση (χ+2ψ), άρα

2αχ+4αψ+3βχ+6βψ=2α(χ+2ψ)+3β(χ+2ψ)=(χ+2ψ)(2α+3β).

Η μέθοδος που ακολουθήσαμε εδώ λέγεται «ομαδοποίηση» ή παραγοντοποίηση κατά ομάδες και ο λόγος είναι προφανής αφού αναγκαστήκαμε να χωρίσουμε την παράσταση σε ομάδες και να βγάλουμε κοινό παράγοντα σε κάθε ομάδα χωριστά.

Παρατηρήσεις:

(α) Στη μέθοδο της ομαδοποίησης ποτέ δεν τελειώνουμε αμέσως αλλά υπάρχουν πάντα δύο στάδια. Αφού τελειώσουμε την παραγοντοποίηση κάθε ομάδας πρέπει οι παρενθέσεις που θα μείνουν να είναι ίδιες ώστε να ξαναβγεί κοινός παράγοντας.

(β) Αν οι παρενθέσεις που θα μείνουν κατά το πρώτο στάδιο δεν είναι ίδιες μάλλον έχουμε διαλέξει λάθος ομάδες. Ξαναδοκιμάζουμε λοιπόν παίρνοντας διαφορετικές ομάδες. π.χ. Για να παραγοντοποιήσω την αχ³+2αβ+βχ²+2α²χ κάνω τα εξής: αχ³+2αβ+βχ²+2α²χ=(αχ³+2αβ)+(βχ²+2α²χ)=α(χ³+2β)+χ(βχ+2α²) και δεν μπορώ να συνεχίσω στο δεύτερο στάδιο αφού οι παρενθέσεις δεν είναι ίδιες κι επομένως δεν έχω κοινό παράγοντα. Αν όμως διαλέξουμε διαφορετικές ομάδες: αχ³+2αβ+βχ²+2α²χ=(αχ³+βχ²)+(2αβ+2α²χ)=χ²(αχ+β)+2α(β+αχ)=(αχ+β)(χ²+2α) είμαστε εντάξει.

(γ) Αν οι παρενθέσεις που θα μας μείνουν κατά το πρώτο στάδιο της παραγοντοποίησης κατά ομάδες είναι αντίθετες αυτό διορθώνεται εύκολα αρκεί να βγάλουμε κοινό παράγοντα τον αντίθετο από αυτό που βγάλαμε. Δείτε το χ³ – χ² – 2χ +2=χ²(χ-1)+2(-χ+1). Οι παρενθέσεις είναι αντίθετες, το διορθώνω είτε βγάζοντας κοινό παράγοντα στη πρώτη ομάδα το – χ² αντί για το χ² είτε το -2 στη δεύτερη ομάδα αντί γιά το 2 κι έτσι θα έχουμε χ³ – χ² – 2χ +2=χ²(χ-1)+2(-χ+1)=χ²(χ-1) – 2(χ-1)=(χ-1)(χ² – 2).

[/su_tab]

[su_tab title=»Ταυτότητες»]

Αν τελικά είμαστε πολύ «άτυχοι» και οι δύο προηγούμενοι τρόποι δεν μπορούν να εφαρμοστούν ελέγχουμε μήπως στην παράσταση υπάρχουν ταυτότητες που μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε. Πιο συγκεκριμένα οι ταυτότητες που πιθανόν να υπάρχουν είναι αυτές που διδαχθήκαμε φέτος, δηλαδή οι:

άθροισμα ή διαφορά στο τετράγωνο
$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$

(1)
άθροισμα ή διαφορά στο κύβο
$a^3\pm3a^2b+3ab^2\pm b^3=(a\pm b)^3$

(2)
διαφορά τετραγώνων
$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$

(3)

Μια ένδειξη για το ποια ταυτότητα μπορεί να υπάρχει στην παράσταση αποτελεί το πλήθος των όρων που υπάρχουν στην παράσταση.Έτσι αν υπάρχουν 2 όροι πιθανόν να έχουμε την ταυτότητα (3), αν υπάρχουν 3 όροι πιθανόν να υπάρχει η ταυτότητα (1) και τέλος με 4 όρους ίσως να «παίζει» η ταυτότητα (2). π.χ. Θέλουμε να παραγοντοποιήσουμε την παράσταση x² – 10x+25 και κοινός παράγοντας δεν υπάρχει, σε ομάδες δεν μπορούμε να η χωρίσουμε θα ελέγξουμε την περίπτωση των ταυτοτήτων. Βλέπουμε ότι έχουμε 3 όρους οπότε υποψιαζόμαστε την ταυτότητα a² – 2ab+b². Παρατηρώντας την παράσταση (κι αφού ξέρω τι ψάχνω να βρω) βλέπω το x² και το 5²(=25) και γι’ αυτό το λόγο δοκιμάζω την (x – 5)² που μου δίνει x² – 2^.x^.5+5²=x² – 10x+25. Βγήκε αυτό που ελπίζαμε άρα μπορούμε τώρα να γράψουμε x² – 10x+25=(x – 5)².

[/su_tab]

[su_tab title=»Συνδυασμοί»]

Να σημειώσουμε εδώ ότι οι τρεις μέθοδοι που παρουσιάστηκαν προηγουμένως είναι οι συνηθέστεροι αλλά όπως αναφέραμε και πιο πάνω δεν είναι οι μοναδικοί και ότι υπάρχουν ασκήσεις που χρειάζεται να συνδυάσουμε τις παραπάνω μεθόδους ή και να αυτοσχεδιάσουμε καμιά φορά. Ας δούμε δύο τέτοιες περιπτώσεις:

π.χ.1 Για να παραγοντοποιήσω την παράσταση x²+5x+6, βλέπω ότι δεν υπάρχει κοινός παράγοντας σε ομάδες δεν χωρίζεται (γιατί έχω μόνο 3 όρους ) αλλά ούτε ταυτότητες υπάρχουν. Παρ’ όλα αυτά θα μπορούσαμε να κάνουμε ένα τέχνασμα ώστε οι όροι από 3 να γίνουν 4 κι έτσι να δουλέψω με την μέθοδο της ομαδοποίησης. Σπάω λοιπόν τον όρο 5x σε 2x+3x (επέλεξα αυτά τα νούμερα γιατί είναι «κρυμένα» μέσα στο 6 που έχω στην παράσταση, μην παραλείψετε να διαβάσετε την «Παρατήρηση» στο τέλος του άρθρου). Τώρα να δούμε τι πετύχαμε

$x^2+5x+6=x^2+2x+3x+6=$

$x(x+2)+3(x+2)=(x+2)(x+3)$

Παρατήρηση: Το ότι επιλέξαμε να σπάσουμε το 5χ σε 2χ+3χ όπως αναφέρθηκε και παραπάνω δεν ήταν τυχαίο. Είναι μια ολόκληρη μέθοδος που την παρουσιάζει και το σχολικό βιβλίο ως η «μέθοδος τριωνύμου» που με λίγα λόγια λέει το εξής:
Όταν θέλω να μετατρέψω σε γινόμενο μια παράσταση της μορφής $x^2+Ax+\Gamma$ προσπαθώ να βρω δυο αριθμούς που αν τους προσθέσω να κάνουν Α ενώ αν τους πολλαπλασιάσω να κάνουν Γ. Αν καταφέρω να βρω αυτούς τους αριθμούς, έστω ότι αυτοί είναι ο κ και ο λ, τότε το τριώνυμο παίρνει τη μορφή $(x+\kappa)(x+\lambda)$ . Έτσι λοιπόν στο παραπάνω παράδειγμα είχαμε:

Για το τριώνυμο $x^2+5x+6$ αναζητούμε ένα ζευγάρι αριθμών που θα πρέπει να έχει γινόμενο ίσο με 6 και άθροισμα ίσο με 5. Πριν απαντήσουμε αμέσως ποιοι είναι αυτοί οι αριθμοί ας σκεφτούμε λίγο:

Ξεκινάμε από το γινόμενο διότι υπάρχουν λίγες απαντήσεις. Ενώ άθροισμα 5 μπορώ να σχηματίσω με άπειρα ζευγάρια ακεραίων (π.χ. (2,3) , (6,-1) , (100,-95) κ.α.) , γινόμενο 6 μπορώ να σχηματίσω μόνο με τους: (1,6) , (2,3) , (-1,-6) και (-2,-3).
Από τα παραπάνω ζευγάρια μόνο το ζευγάρι 2 και 3 πληροί τις προϋποθέσεις που έχουμε αφού το άθροισμά τους είναι 5 το δε γινόμενό τους είναι 6.
Άρα έχουμε $x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$

Τα παραπάνω μπορούμε να τα τακτοποιήσουμε και σε ένα πινακάκι ως εξής:

$x^2+5x+6=(x+\kappa)(x+\lambda)$
κ	λ	Γινόμενο = +6	Άθροισμα = +5
+1	+6	+6	+7
+2	+3	+6	+5
-1	-6	+6	-7
-2	-3	+6	-5
$x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$

Αυτή τη μέθοδο την παρουσιάζουμε εδώ συνοπτικά και δεν χρειάζεται να επιμείνουμε άλλο γιατί σε μερικά μαθήματα παρακάτω θα μάθουμε μια άλλη μέθοδο παραγοντοποίησης του τριωνύμου η οποία δεν παρουσιάζει τους περιορισμούς που παρουσιάζει αυτή η μέθοδος (όπως για παράδειγμα ότι εφαρμόζεται μόνο στην περίπτωση που ο συντελεστής του x² είναι 1)

π.χ.2 Έστω ότι θέλω να παραγοντοποιήσω την παράσταση x⁴-x³+x² – 1. Αφού δεν υπάρχει κοινός παράγοντας πάμε για ομαδοποίηση με x⁴ – x³ τη μια ομάδα (που έχει κοινό παράγοντα το x³) και x² – 1 την άλλη ομάδα που δεν έχει κοινό παράγοντα αλλά είναι ταυτότητα x² – 1=(x – 1)(x+1). Άρα θα έχω

$x^4-x^3+x^2-1=(x^4-x^3)+(x^2-1)=$

$x^3(x-1)+(x-1)(x+1)=$

$(x-1)(x^3+(x+1))=(x-1)(x^3+x+1)$

[/su_tab]

[su_tab title=»plus»]

Αφού είδαμε κάθε μια μέθοδο χωριστά ίσως θα ήταν καλύτερα τώρα να βλέπαμε την παραγοντοποίηση και με μια άλλη ματιά. Πιο πάνω στο άρθρο αυτό αναφέραμε ότι για να παραγοντοποιήσουμε μια αλγεβρική παράσταση ελέγχουμε με τη σειρά: ΚΟΙΝΟ ΠΑΡΑΓΟΝΤΑ >> ΟΜΑΔΕΣ >> ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ >> ΤΡΙΩΝΥΜΟ. Όμως από τους όρους που έχει αυτή η αλγεβρική παράσταση κάποιες από τις παραπάνω μεθόδους θα μπορούσαν να αποκλειστούν (π.χ. με 2 όρους δεν μπορείς να κάνεις ομαδοποίηση). Έτσι θα μπορούσαμε να σκεφτόμαστε κι ως εξής:

Παραγοντοποίηση με
2 όρους	3 όρους	4+ όρους
Κοινός Παράγοντας
Ταυτότητα $A^2-B^2$	Τριώνυμο	Ομαδοποίηση
	Ταυτότητα $(A\pm B)^2$	Ταυτότητα $(A\pm B)^3$

[/su_tab]

[/su_tabs]

Θέλω να μάθω να λύνω … τριγωνομετρικές εξισώσεις

Τριγωνομετρική εξίσωση λέγεται η εξίσωση στην οποία ο άγνωστος είναι «φυλακισμένος» μέσα σε κάποιο τριγωνομετρικό αριθμό. Οι τριγωνομετρικές εξισώσεις (λόγω της περιοδικότητας που παρουσιάζουν οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις) έχουν άπειρες λύσεις που χωρίζονται σε δύο ομάδες. Για να μπορέσουμε να λύσουμε τριγωνομετρικές εξισώσεις θα πρέπει να ελευθερώσουμε τον άγνωστο μέσα από τον τριγωνομετρικό αριθμό, για να το πετύχουμε αυτό ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα:

Βήμα 1⁰

Απομονώνουμε τον τριγωνομετρικό αριθμό που περιέχει τον άγνωστο στο ένα μέλος.

Βήμα 2⁰

Βρίσκουμε μια «αρχική λύση» για την εξίσωσή μας, δηλαδή μια γωνία από 0^οεως 360^ο που να ικανοποιεί την εξίσωση.

Βήμα 3⁰

Χρησιμοποιούμε τους παρακάτω τύπους λύσεων, ανάλογα με την περίπτωση:

Τύποι λύσεων για τριγωνομετρικές εξισώσεις

Εξίσωση	Λύσεις ( ${k\in\mathbb{Z}}$ )
$\eta\mu X=\eta\mu\Theta$	$X=2k\pi+\Theta$ ή $X=2k\pi+(\pi-\Theta)$
$\sigma\upsilon\nu X=\sigma\upsilon\nu\Theta$	$X=2k\pi\pm\Theta$
$\epsilon\phi X=\epsilon\phi\Theta$	$X=k\pi+\Theta$
$\sigma\phi X=\sigma\phi\Theta$	$X=k\pi+\Theta$

Ας δούμε κι ένα παράδειγμα για να καταλάβουμε καλύτερα τη διαδικασία επίλυσης μιας τριγωνομετρικής εξίσωσης:

Άσκηση: Να λυθεί η εξίσωση $2\sigma\upsilon\nu x-1=0$

Λύση:

Βήμα 1⁰: απομονώνουμε το συνημίτονο (το θεωρούμε ως άγνωστο, χωρίζουμε γνωστούς από άγνωστους και διαιρούμε με το συντελεστή του άγνωστου)

$2\sigma\upsilon\nu x-1=0\Leftrightarrow$

$2\sigma\upsilon\nu x=1\Leftrightarrow$

$\sigma\upsilon\nu x=1/2$

Βήμα 2⁰: Βρίσκουμε μια γωνία στο διάστημα [0 – 2π] που να ικανοποιεί την εξίσωση αυτή.

Η γωνία π/3 έχει συνημίτονο ίσο με 1/2, δηλαδή

$\sigma\upsilon\nu(\pi/3)=1/2$ και $\sigma\upsilon\nu x=1/2$

άρα ισχύει

$\sigma\upsilon\nu x=\sigma\upsilon\nu(\pi/3)$

Βήμα 3^ο: Από τους τύπους των λύσεων παίρνω,

$x=2k\pi+\pi/3$ ή $x=2k\pi-\pi/3$ με $k\in\mathbb{Z}$

Περισσότερες λυμένες ασκήσεις μπορείτε να βρείτε εδώ.

Μιγαδικοί αριθμοί (say no to racism)

Τους πραγματικούς αριθμούς τους γνωρίζουμε από το Γυμνάσιο τους φανταστικούς τους μάθαμε πρόσφατα, καιρός τώρα να μάθουμε και τους μιγαδικούς.
Οι πραγματικοί λοιπόν «παντρεύτηκαν» με τους φανταστικούς και γέννησαν ένα νέο είδος αριθμών που ονομάζουμε μιγαδικούς (τυχαίο; δε νομίζω). Οι αριθμοί αυτοί είναι της μορφής $x+yi$ με τα x,y πραγματικούς και το i η γνωστή φανταστική μονάδα. Οι μιγαδικοί είναι ένα νέο σύνολο αριθμών (συμβολίζεται $\mathbb{C}$ ) που περιέχει μέσα του και το σύνολο των πραγματικών (συμβολίζεται $\mathbb{R}$ ) αλλά και το σύνολο των φανταστικών αριθμών (συμβολίζεται $\mathbb{I}$ ),δηλαδή $\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$ και $\mathbb{I}\subset\mathbb{C}$ Κι αυτό γιατί οι μιγαδικοί σαν παιδιά των πραγματικών και των φανταστικών, έχουν «γονίδια» και από τους δύο γονείς. Το πρώτο μέρος του μιγαδικού, το x δηλαδή, λέγεται πραγματικό μέρος ενώ το y λέγεται φανταστικό μέρος. Αν για λόγους ευκολίας βαφτίσουμε z τον μιγαδικό $x+yi$ , δηλαδή
αν $z=x+yi$ , τότε το πραγματικό του μέρος συμβολίζεται με Re και ισχύει $Re(z)=x$ το δε φαντασικό του μέρος συμβολίζεται με Im και ισχύει $Im(z)=y$ .
Κι αν έχουμε,
Im(z)=y=0, τότε ο z είναι πραγματικός κι άρα όλοι οι πραγματικοί είναι μιγαδικοί,
ενώ αν έχουμε
Re(z)=x=0, τότε ο z είναι φανταστικός κι επομένως όλοι οι φανταστικοί είναι μιγαδικοί.
Καταλήγοντας έχουμε,
Αν $z=x+yi$ , τότε

$z\in\mathbb{I}\Leftrightarrow x=0$

και

$z\in\mathbb{R}\Leftrightarrow y=0$

Γραφική παράσταση μιγαδικού – Μιγαδικό επίπεδο

Ήδη ξέρουμε τον άξονα των πραγματικών αριθμών κατ’ αντιστοιχία μπορούμε να φτιάξουμε και τον άξονα των φανταστικών αριθμών κάθετο στον άξονα των πραγματικών που να τέμνονται στο 0 (το μοναδικό κοινό στοιχείο των δύο συνόλων). Έτσι δημιουργούμε ένα νέο σύστημα συντεταγμένων που λέγεται Μιγαδικό επίπεδο (βλέπε σχήμα 1)
και κάθε μιγαδικός αριθμός z=a+bi μπορεί να παρασταθεί με ένα σημείο του επιπέδου με συντεταγμένες Μ(z)=(a,b) ή με ένα διάνυσμα (σχ.2) που έχει αρχή το Ο(0,0) και τέλος το σημείο Μ(a,b)

Επίλυση της τριγωνομετρικής εξίσωσης ημχ=α

Έχουμε δει σε προηγούμενο άρθρο ότι εξίσωση είναι μια ισότητα που περιέχει τουλάχιστον έναν άγνωστο. Αν όμως ο άγνωστος είναι «φυλακισμένος» μέσα σε κάποιο τριγωνομετρικό αριθμό (ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη ή συνεφαπτομένη) τότε έχουμε μια ειδική κατηγορία εξισώσεων που λέγονται τριγωνομετρικές εξισώσεις. Παράδειγμα η εξίσωση $2\sigma\upsilon\nu(x)=-1$ και η $\epsilon\phi(2x+\frac{\pi}{3})=1$ είναι τριγωνομετρικές εξισώσεις αφού το x είναι κλεισμένο μέσα σε τριγωνομετρικό αριθμό, ενώ η εξίσωση $2\epsilon\phi(\frac{\pi}4)=x+1$ δεν είναι γιατί παρότι υπάρχει ενας τριγωνομετρικός αριθμός, ο άγνωστος x κυκλοφορεί ελύθερος.

Παράδειγμα

Μια τριγωνομετρική εξίσωση όπως η $\eta\mu\chi=\frac{1}2$ μας ρωτάει: «ποια γωνία έχει ημίτονο ίσο με 1/2;» Η πρώτη γωνία που μας έρχεται στο μυαλό είναι η π/6 (=30^ο). Είναι όμως η μοναδική γωνία που έχει ημίτονο ισο με 1/2; Η απάντηση αν το σκεφτούμε λίγο είναι προφανώς όχι αφού εκτός από τη γωνία π/6 και η γωνία π-π/6 (=5π/6=150^ο) ,που είναι η παραπληρωματική της π/6, έχει ημίτονο ίσο με 1/2. Θυμηθείτε ότι οι παραπληρωματικές γωνίες έχουν ίδιο ημίτονο ( το μάθαμε στο Γυμνάσιο ) πράγμα που φαίνεται από τον τριγωνομετρικό κύκλο (ρίξτε μια ματιά στην εικόνα) αλλά και από τη γραφική παράσταση του ημιτόνου. Αλλά κι όλες οι γωνίες που (ανεξαρτήτως πόσες στροφές έχουμε κάνει στον τριγωνομετρικό κύκλο) καταλήγουν στο π/6 ή στο π-π/6, έχουν κι αυτές ημίτονο ίσο με 1/2.

Δηλαδή

	0 στροφές+π/6	1 στροφή+π/6	2 στροφές+π/6	3 στροφές+π/6	k στροφές +π/6
χ	π/6	2π+π/6	2(2π)+π/6	3(2π)+π/6	k(2π)+π/6
ημχ	1/2	1/2	1/2	1/2	1/2

	0 στροφές+(π-π/6)	1 στροφή+(π-π/6)	2 στροφές+(π-π/6)	3 στροφές+(π-π/6)	k στροφές +(π-π/6)
χ	(π-π/6)	2π+(π-π/6)	2(2π)+(π-π/6)	3(2π)+(π-π/6)	k(2π)+(π-π/6)
ημχ	1/2	1/2	1/2	1/2	1/2

Βλέπουμε λοιπόν ότι υπάρχουν άπειρες γωνίες με ημίτονο 1/2, χωρισμένες σε δύο ομάδες, αυτές που καταλήγουν στο π/6 και αυτές που καταλήγουν στο (π-π/6), ‘ετσι αν θέλαμε να τις γράψουμε όλες αναλυτικά δεν θα μπορούσαμε. Μπορούμε όμως να τις περιγράψουμε και να πούμε ότι: χ=2kπ+π/6 ή χ=2kπ+(π-π/6), όπου το k είναι ακέραιος αριθμός (στην πραγματικότητα το k είναι «μετρητής στροφών» ,

για k=0 παίρνουμε τις γωνίες π/6 και π-π/6=5π/6,

για k=1 εχουμε κάνει μια στροφή και έχουμε καταλήξει στα σημεία π/6 και π-π/6 άρα έχουμε τις γωνίες 2π+π/6 και 2π+(π-π/6)=2π+5π/6 κ.ο.κ. δηλαδή

	k=-2	k=-1	k=0	k=1	k=2
χ	-4π+π/6	-2π+π/6	π/6	2π+π/6	4π+π/6
χ	-4π+5π/6	-2π+5π/6	5π/6	2π+5π/6	4π+5π/6

Γενίκευση

Μην ξεχνάτε ότι μέχρι εδώ ασχοληθήκαμε μόνο με ένα παράδειγμα, δηλαδή λύναμε την τριγωνομετρική εξίσωση $\eta\mu\chi=1/2$ . Τώρα ήρθε η ώρα να το γενικεύσουμε λίγο: Αν είχαμε να λύσουμε μια εξίσωση της μορφής

$\eta\mu\chi=\alpha$

θα έπρεπε να βρούμε μια γωνία από τον πρώτο κύκλο που να ικανοποιούσε αυτή την ισότητα (μια αρχική λύση ας πούμε), δηλαδή να βρούμε μια γωνία που να έχει ημίτονο ίσο με α. Έστω ότι την βρήκαμε κι η γωνία αυτή είναι η θ (πρέπει δηλαδή να ισχύει ημθ=α), τότε

οι λύσεις της
$\eta\mu\chi=\alpha\Leftrightarrow\eta\mu\chi=\eta\mu\theta$

θα είναι
$\chi=2k\pi+\theta , \chi=2k\pi+(\pi-\theta)$

Κάντε κλικ να δείτε και τις υπόλοιπες τριγωνομετρικές εξισώσεις καθώς και λυμένες ασκήσεις .

Βοήθειααα … οι Ταυτότητες!!!

Κάθε φορά που ξεκινάω να διδάξω τις ταυτότητες, βλέπω τους μαθητές να τις αντιμετωπίζουν με φόβο, ίσως και τρόμο, πριν καλά καλά τις δουν. Ακούω επιφωνήματα του στυλ «Αχ», «ΩΩΩχχ», «γιατί μας βασανίζετε κύριε» κτλ. Κι αναρωτιέμαι γιατί αυτή η αντιμετώπιση σε ένα αντικείμενο που είναι τόσο εύκολο μα και τόσο χρήσιμο. Οι ταυτότητες μας «λύνουν τα χέρια» σε πάρα πολλές περιπτώσεις που θέλουμε να κάνουμε πράξεις που με τον κλασσικό τρόπο ( την επιμεριστική ιδιότητα δηλαδή) θα θέλαμε περισσότερο χρόνο, περισσότερες πράξεις και φυσικά με μεγαλύτερη πιθανότητα να κάνουμε λάθος. Έχοντας αυτό το εργαλείο στα χέρια μας αποφεύγουμε τις πράξεις και περνάμε κατ’ ευθείαν στο αποτέλεσμα. Μάλιστα πολλές φορές έχω ακούσει την έκφραση «αφού μπορώ να κάνω επιμεριστική και να βρω το αποτέλεσμα γιατί θα πρέπει να μάθω κάτι καινούργιο;» και αμέσως θυμάμαι τις παλίες νοικοκυρές που αγόρασαν για πρώτη φορά πλυντήριο ( γιατί το απαιτούσαν οι καιροί ) αλλά το χρησιμοποιούσαν για να βάζουν επάνω τη σκάφη και να πλένουν με τον παραδοσιακό τρόπο με τη δικαιολογία ότι αυτά είναι λευκά ή ευαίσθητα και το πλυντήριο θα μου τα χαλάσει. Continue reading «Βοήθειααα … οι Ταυτότητες!!!»

The Power of … γιώτ (i)

ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

Στο άρθρο αυτό θα ασχοληθούμε με τις δυνάμεις του $i$ (διαβάζεται «γιώτ»). Ο $i$ είναι ένας αριθμός που δεν τον γνωρίζουμε αλλά αυτό στα μαθηματικά δεν μας απασχολεί και τόσο. Άλλωστε μέχρι τώρα έχουμε δει και άλλους πολλούς αριθμούς τους οποίους δεν ξέρουμε ακριβώς ποιοί είναι όπως για παράδειγμα τον αριθμό $\sqrt{2}$ γιά τον οποίο ξέρουμε μόνο μια ιδιότητά του (ότι δηλαδή $\sqrt{2}^2=2$ ) αλλά αυτή μας είναι αρκετή για να μπορούμε να δουλέψουμε με αυτόν σαν να ξέραμε ακριβώς ποιος είναι. Το ίδιο συμβαίνει και με τον αριθμό $e$ αλλά και με τον $i$ που θα δούμε σήμερα. Το μόνο γνωστό στοιχείο που έχουμε για αυτόν είναι ότι έχει την ιδιότητα, αν υψωθεί στο τετράγωνο είναι ίσος με -1, δηλαδή ισχύει:

$i^2=-1$

Αυτή η ιδιότητα του $i$ , που στην πραγματικότητα δεν είναι ιδιότητα αλλά ο ορισμός του, μας δίνει κάθε πληροφορία για το πως συμπεριφέρεται αυτός ο αριθμός και αυτό είναι που μας ενδιαφέρει κιόλας. Κατ’ αρχάς το πρώτο συμπέρασμα που μπορούμε να βγάλουμε είναι ότι δεν μπορεί να είναι πραγματικός αριθμός αφού μας είναι ήδη γνωστό ότι στο σύνολο των πραγματικών αριθμών ιχσύει $x^2\geq0$ , για κάθε πραγματικό αριθμό x. Άρα ο $i$ βρίσκεται έξω από το σύνολο των πραγματικών αριθμών σε κάποιο άλλο σύνολο (μόνος του ή όχι δεν έχει σημασία) που μας φάνηκε καλό να το ονομάσουμε σύνολο των «Φανταστικών αριθμών» (σε αντιδιαστολή με το σύνολο των πραγματικών) και τον $i$ τον ονομάσαμε «φανταστική μονάδα«. Continue reading «The Power of … γιώτ (i)»

Θέλω να μάθω τι είναι η αλγεβρική παράσταση

Πριν ξεκινήσουμε να πούμε τι είναι η αλγεβρική παράσταση καλό θα ήταν να δούμε πρώτα τι είναι η αριθμητική παράσταση.

Αριθμητική παράσταση

Μία παράσταση που αποτελείται από αριθμούς οι οποίοι συνδέονται μεταξύ τους με τα σύμβολα των πράξεων (πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό, δύναμη και πιθανόν παρένθεση), ονομάζεται αριθμητική παράσταση.
Έτσι αριθμητικές παραστάσεις είναι και οι: $2+3^2-1$ , $3\cdot2^3-(5-4)^3$
Όταν σε μια αριθμητική παράσταση εκτελέσουμε τις πράξεις προκύπτει ένας και μοναδικός αριθμός που λέγεται τιμή της αριθμητικής παράστασης. Στα δύο προηγούμενα παραδείγματα έχουμε:
$2+3^2-1=2+9-1=10$ και $3\cdot2^3-(5-4)^3=3\cdot2^3-1^3=3\cdot8-1=24-1=23$ (Σχόλιο)

Αλγεβρική παράσταση

Όταν όμως σε μια παράσταση εκτός από αριθμούς υπάρχουν και μεταβλητές (γράμματα δηλαδή που παριστάνουν αριθμούς) που συνδέονται μεταξύ τους με τα σύμβολα των πράξεων, τότε λέμε ότι έχουμε μια αλγεβρική παράσταση. Για παράδειγμα, αλγεβρικές παραστάσεις είναι οι
$2x+1$ , $x^2+y-1$ , $x^2+3(x-1)$

Στις αλγεβρικές παραστάσεις μπορούμε να αντικαταστήσουμε τα γράμματα με διάφορους αριθμούς (γι’ αυτό το λόγο λέγονται και μεταβλητές). Όταν σε μια αλγεβρική παράσταση αντικαταστήσουμε τα γράμματα που περιέχει με κάποιους αριθμούς αυτό που θα προκύψει θα είναι μια αριθμητική παράσταση, κι αν στη συνέχεια εκτελέσουμε και τις πράξεις θα καταλήξουμε να έχουμε έναν αριθμό.
Έτσι αν στην αλγεβρική παράσταση $2x+1$ αντικαταστήσουμε το x με τον αριθμό 3, θα έχουμε $2(3)+1=6+1=7$ . Ο αριθμός 7 λέγεται τιμή της παράστασης για x=3. Πιο καλά διαβάζουμε ως εξής: Η τιμή της παράστασης $2x+1$ για x=3 είναι 7.
Με παρόμοιο τρόπο βρίσκουμε ότι η τιμή της παράστασης

$x^2+y-1$

για x=1 και y=2 είναι

$(1)^2+(2)-1=1+2-1=2$

ενώ η τιμή της

$x^2+3(x-1)$

για χ=-4 είναι

$(-4)^2+3((-4) - 1)=16+3(-5)=16-15=1$

Δείτε εδώ βίντεο με θέμα τις αλγεβρικές παραστάσεις

_________________________________

Σχόλιο: Θυμηθείτε τη σειρά με την οποία πρέπει να κάνουμε τις πράξεις

Δυνάμεις
Πολλαπλασιασμοί – Διαιρέσεις
Προσθέσεις – αφαιρέσεις
Στην περίπτωση που υπάρχουν παρενθέσεις ξεκινάμε τις πράξεις μέσα από τις παρενθέσεις αλλά και πάλι με την προηγούμενη σειρά.

__________________________________Επιστροφή

Τι είναι η παραγοντοποίηση;

Πως γίνεται η παραγοντοποίηση

Βήμα 10

Βήμα 20

Βήμα 30

Τύποι λύσεων για τριγωνομετρικές εξισώσεις

Γραφική παράσταση μιγαδικού – Μιγαδικό επίπεδο

Παράδειγμα

Γενίκευση

Αριθμητική παράσταση

Αλγεβρική παράσταση

Βήμα 1⁰

Βήμα 2⁰

Βήμα 3⁰