Απαλλαγή από τις Απόλυτες Τιμές

Στο άρθρο αυτό θα δούμε με τη βοήθεια μιας άσκησης τι πρέπει να κάνουμε για να απαλλαγούμε από τις απόλυτες τιμές όταν αυτό είναι απαραίτητο.

Κατ΄αρχάς ας θυμηθούμε πως ορίζεται η απόλυτη τιμή ενός αριθμού:
$|a|=a$ αν a>0
$|a|=0$ αν a=0
$|a|=-a$ αν a<0

Βλέπουμε λοιπόν ότι για να απαλλαγούμε από τα απόλυτα πρέπει να γνωρίζουμε αν το περιεχόμενο της απόλυτης τιμής είναι θετικό, μηδέν ή αρνητικό γιατί σε κάθε περίπτωση ενεργούμε διαφορετικά.

Για παράδειγμα, αν x<3 τότε $|x-3|=-(x-3)=3-x$ κι αυτό γιατί; γιατί μας έχουν δώσει ότι x<3 άρα θα είναι x-3<3-3 $\Leftrightarrow$ x-3<0 (αφαιρέσαμε κι από τα δυο μέλη το 3 ώστε να δημιουργήσουμε στη δοθείσα ανισότητα το περιεχόμενο του απολύτου).

Για να δούμε τώρα μια άσκηση πάνω στο συγκεκριμένο θέμα. Continue reading «Απαλλαγή από τις Απόλυτες Τιμές»

Eμβοές προκαλεί η καθημερινή 10λεπτη χρήση κινητού

Οι επιστήμονες του Ιατρικού Πανεπιστημίου της Βιέννης ανέλυσαν στοιχεία που συνέλεξαν από 200 άτομα, εκατό από τα οποία έπασχαν από εμβοές. Όπως διαπιστώθηκε, η εμφάνιση του ενοχλητικού ήχου ήταν κατά 70% πιθανότερη σε όσους μιλούσαν περισσότερο από δέκα λεπτά ημερησίως στο κινητό τους αναφέρει ηΚαθημερινή (22/7/2010). Μέχρι σήμερα έχει αποδειχθεί ότι εμβοές προκαλούνται από δυνατούς θορύβους, τραυματισμούς στο κεφάλι και κάποια φάρμακα.
Οι Αυστριακοί επιστήμονες επισημαίνουν ότι οι δικές τους διαπιστώσεις μπορεί να μην αποδεικνύουν την ευθύνη του κινητού αλλά καθιστούν αναγκαία την περαιτέρω έρευνα.

Όπως υπογραμμίζουν, ακόμα και αν το κινητό προκαλεί εμβοές σε μικρό ποσοστό των χρηστών, ο κίνδυνος είναι σημαντικός για τη δημόσια υγεία λόγω της διάδοσης της μικρής συσκευής. Επίσης επισημαίνουν ότι αν και πολλοί πιστεύουν ότι οι εμβοές είναι ασήμαντο πρόβλημα, είναι δυνατό να επηρεάσουν την ποιότητα ζωής των πασχόντων. Εκτός όμως από την αύξηση κατά 70% των εμβοών που προκαλεί η δεκάλεπτη καθημερινή χρήση του κινητού, διαπιστώθηκε ότι όσοι είχαν χρησιμοποιήσει συνολικά το κινητό τους για περισσότερες από 160 ώρες είχαν κατά 60% περισσότερες πιθανότητες να υποφέρουν από τέτοιες ακουστικές ενοχλήσεις.

Ο συντονιστής της μελέτης, δρ Χανς Πέτερ Χούτερ, τόνισε ότι υπάρχουν βιολογικοί μηχανισμοί που εξηγούν γιατί τα κινητά τηλέφωνα προκαλούν προβλήματα στην ακοή. Πιθανώς η κυκλοφορία του αίματος στο κεφάλι να μεταβάλλεται από τη χρήση του τηλεφώνου όταν περπατάμε. Επίσης, ο κοχλίας του αυτιού και ο δρόμος που ακολουθούν τα ηχητικά σήματα βρίσκονται σε μια περιοχή του εγκεφάλου που απορροφά σημαντική ποσότητα ακτινοβολίας από το κινητό.

πηγή: e-paideia

Επανάληψη στη Θεωρία των Μαθηματικών της Β΄ Γυμνασίου

Εξίσωση:

Εξίσωση είναι μια ισότητα που περιέχει τουλάχιστον μια μεταβλητή (έναν άγνωστο).

Ο αριθμός που επαληθεύει την εξίσωση λέγεται ρίζα ή λύση της εξίσωσης.

Μια εξίσωση που δεν έχει λύση λέγεται αδύνατη

Μια εξίσωση που έχει άπειρες λύσεις λέγεται αόριστη ή και ταυτότητα.

Πυθαγόρειο Θεώρημα:

Ορθογώνιο Τρίγωνο, α=υποτείνουσα, β και γ = κάθετες

Το τετράγωνο της υποτείνουσας ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των κάθετων πλευρών του.

Δηλαδή ισχύει: αν A=90^o τότε α²=β²+γ²

(Αντίστροφο) Αν σε ένα τρίγωνο το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του, τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. Εννοείται ότι υποτείνουσα θα είναι η μεγαλύτερη πλευρά κι επομένως ορθή θα είναι η γωνία που βρίσκεται απέναντι από αυτή.

Δηλαδή ισχύει: αν α²=β²+γ² τότε A=90^o

Τετραγωνική ρίζα:

Τετραγωνική ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α (συμβολίζεται: $\sqrt\alpha$ ) είναι ένας μη αρνητικός αριθμός ο οποίος αν υψωθεί στο τετράγωνο μας δίνει τον αριθμό α.

Δηλαδή ισχύει: $\left(\sqrt\alpha\right)^2=\alpha$ με $\alpha\geqq 0$

Ιδιότητες: εννοείται και
- $\sqrt0=0$ και $\sqrt1=1$
- $\sqrt{\alpha\beta}=\sqrt\alpha\cdot\sqrt\beta$
- $\sqrt\frac{\alpha}{\beta}=\frac{\sqrt\alpha}{\sqrt\beta}$ $\beta\neq0$
- $\sqrt{\alpha^2}=\left(\sqrt\alpha\right)^2=\alpha$

Τριγωνομετρία:

Εφαπτομένη οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου ονομάζουμε το λόγο της απέναντι πλευράς προς την προσκείμενη κάθετη πλευρά.
Δηλαδή,

Όταν αυξάνεται μια οξεία γωνία αυξάνει και η εφαπτομένη της.
Ημίτονο οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου είναι ο λόγος της απέναντι πλευράς προς την υποτείνουσα του τριγώνου.
Δηλαδή,
Όταν αυξάνει μια οξεία γωνία αυξάνει και το ημίτονό της.
Το ημίτονο οποιασδήποτε οξείας γωνίας είναι αριθμός μικρότερος του 1, αφού η απέναντι κάθετη πλευρά είναι μικρότερη της υποτείνουσας.
Συνημίτονο οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου είναι ο λόγος της προσκείμενης κάθετης πλευράς του τριγώνου προς την υποτείνουσά του.
Δηλαδή,
Όταν μεγαλώνει μια οξεία γωνία μειώνεται το συνημίτονό της.
Το συνημίτονο οποιασδήποτε οξείας γωνίας είναι μικρότερο του 1, αφού η προσκείμενη κάθετη πλευρά του τριγώνου (που βρίσκεται στον αριθμητή) είναι πάντα μικρότερη από την υποτείνουσα (που βρίσκεται στον παρονομαστή).

Ανάλογα ποσά:

Δυο ποσά (x και y) λέγονται ανάλογα όταν πολλαπλασιάζοντας τις τιμές του ενός ποσού με κάποιον αριθμό, πολλαπλασιάζονται και οι αντίστοιχες τιμές του άλλου ποσού με τον ίδιο αριθμό.
Δυο ποσά x και y είναι ανάλογα αν και μόνο αν το πηλίκο των αντίστοιχων τιμών τους είναι σταθερό.
Δηλαδή, x και y ανάλογα αν και μόνο αν ισχύει $\frac{y}{x}=a$ ή $y=ax$
Η γραφική παράσταση της $y=ax$ είναι ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και σχηματίζει γωνία (ω) με τον ημιάξονα Οx που έχει εφαπτομένη ίση με το α, δηλαδή $a=\epsilon\phi\omega$

Ποσά αντιστρόφως ανάλογα:

Δυο ποσά (x και y) λέμε ότι είναι αντιστρόφως ανάλογα όταν πολλαπλασιάζοντας τις τιμές του ενός ποσού με κάποιον αριθμό, διαιρούνται με τον ίδιο αριθμό οι αντίστοιχες τιμές του άλλου ποσού.
Τα ποσά x και y είναι αντιστρόφως ανάλογα αν και μόνο αν το γινόμενο των αντίστοιχων τιμών τους είναι σταθερό. Δηλαδή, x,y αντίστροφα αν και μόνο αν ισχύει $yx=a$ ή $y=\frac{a}x$
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης
$y=\frac{a}x$

αποτελείται από δυο κλάδους και λέγεται «υπερβολή».

Επίκεντρη – Εγγεγραμμένη:

Επίκεντρη λέγεται η γωνία που έχει την κορυφή της στο κέντρο ενός κύκλου.
Το τόξο του κύκλου που περιέχεται στις πλευρές της επίκεντρης το λέμε αντίστοιχο τόξο της επίκεντρης.
Η επίκεντρη γωνία είναι σε μοίρες ίση με το αντίστοιχο τόξο της.
Εγγεγραμμένη σε κύκλο γωνία λέγεται η γωνία που έχει τη κορυφή της σε κύκλο και οι πλευρές της τέμνουν τον κύκλο αυτό.
Το τόξο του κύκλου που βρίσκεται μεταξύ των πλευρών της εγγεγραμμένης γωνίας λέγεται αντίστοιχο τόξο της γωνίας.
Η εγγεγραμμένη γωνία είναι σε μοίρες ίση με το μισό του αντίστοιχου τόξου της.
Κάθε εγγεγραμμένη γωνία που έχει ως αντίστοιχο τόξο ένα ημικύκλιο είναι ορθή. (ή αλλιώς κάθε εγγεγραμμένη που βαίνει σε ημικύκλιο είναι ορθή).
Εγγεγραμμένες στον ίδιο κύκλο (ή σε ίσους κύκλους) γωνίες που έχουν το ίδιο αντίστοιχο τόξο είναι ίσες.
Σχέση Επίκεντρης και Εγγεγραμμένης γωνίας.
Μια επίκεντρη γωνία είναι διπλάσια από κάθε εγγεγραμμένη που έχει το ίδιο αντίστοιχο τόξο με αυτήν.

Κύκλος:

Τύποι στο Κύκλο
Μήκος Κύκλου	$\Gamma=2\cdot\pi\cdot\rho$
Μήκος Τόξου	$S=2\cdot\pi\cdot\rho\cdot\frac{\mu}{360^0}$
Εμβαδό Κύκλου	$E=\pi\cdot\rho^2$
Εμβαδό Κυκλικού Τομέα	$E_\kappa=\pi\cdot\rho^2\cdot\frac{\mu}{360^o}$
Γ:μήκος κύκλου, Ε: εμβαδό κύκλου, S:μήκος τόξου, Ε_κ: εμβαδό κυκλικού τομέα, ρ: ακτίνα, μ: μοίρες τόξου, π=3,14

Εμβαδά Επίπεδων Σχημάτων:

Τύποι Εμβαδών
Τετράγωνο	$E=\alpha^2$
Παραλληλόγραμμο	$E=\beta\cdot\upsilon$
Τρίγωνο	$E=\frac{1}2\cdot\beta\cdot\upsilon$
Τραπέζιο	$E=\frac{1}2\left(\beta_1+\beta_2\right)\cdot\upsilon$
α:πλευρά τετραγώνου, β, β₁, β₂: βάσεις, υ:ύψος

Η θεωρία της Α΄ Γυμνασίου σε 26 ερωτήσεις με τις απαντήσεις τους

Ερώτηση 1
Ποιοι αριθμοί ονομάζονται πρώτοι και ποιοι σύνθετοι; Να δώσετε και παραδείγματα.
«Απάντηση 1»
Όταν ένας αριθμός διαιρείται μόνο με τον εαυτό του και τη μονάδα λέγεται πρώτος. Παράδειγμα:2,3,13,17,..
Ένας αριθμός που δεν είναι πρώτος λέγεται σύνθετος. Παράδειγμα:8,12,35,…
Ερώτηση 2
i. Τι είναι τα κριτήρια διαιρετότητας;
ii. Να γράψετε τα κριτήρια διαιρετότητας για τους αριθμούς 2,3,5 και 9.
«Απάντηση 2»
i. Οι κανόνες με τους οποίους διακρίνουμε αν ένας αριθμός διαιρείται με τους αριθμούς 2,3,4,…,5 κ.τ.λ. λέγονται κριτήρια διαιρετότητας.
ii. Ένας αριθμός διαιρείται με
a. Το 2, όταν λήγει σε 0,2,4,6,8
b. Το 5,όταν λήγει σε 0,5
c. Το 3, όταν το άθροισμα των ψηφιών του είναι 3,6 ή 9
d. Το 9, όταν το άθροισμα των ψηφιών του είναι 9
Ερώτηση 3
Ποια είναι η σειρά με την οποία εκτελούνται οι πράξεις ( προτεραιότητα πράξεων) σε μια αριθμητική παράσταση που
i. Δεν έχει παρενθέσεις
ii. έχει παρενθέσεις

«Απάντηση 3»
Για να υπολογίσουμε την τιμή μιας αριθμητικής παράστασης έχουμε συμφωνήσει να εκτελούμε τις πράξεις με την παρακάτω σειρά:
i. αν δεν υπάρχουν παρενθέσεις:
a. υπολογίζουμε τις δυνάμεις
b. κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις
c. κάνουμε τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις.
ii. Αν υπάρχουν παρενθέσεις:
εκτελούμε και πάλι τις πράξεις με την παραπάνω σειρά ξεκινώντας όμως πρώτα μέσα από τις παρενθέσεις.
Ερώτηση 4
i. Ποια είναι η βασική μονάδα μέτρησης του μήκους;
ii. Γράψτε τα πολλαπλάσια και τις υποδιαιρέσεις της.
iii. Τι είναι το ναυτικό μίλι;
«Απάντηση 4»
i. Η βασική μονάδα μέτρησης του μήκους είναι το 1 μέτρο (1m)
ii. Τα πολλαπλάσια του μέτρου είναι: δεκάμετρο-εκατόμετρο-χιλιόμετρο.
οι υποδιαιρέσεις του μέτρου είναι: δεκατόμετρο-εκατοστόμετρο-χιλιοστόμετρο.
iii. Το ναυτικό μίλι (ν.μ.) είναι μονάδα μέτρησης του μήκους και χρησιμοποιείται στη ναυτιλία. 1ν.μ.=1852m
Ερώτηση 5
i. Ποια η μονάδα μέτρησης του εμβαδού;
ii. Ποια η μονάδα μέτρησης του όγκου;
iii. Τι είναι το στρέμμα;
iv. Τι είναι το λίτρο;
«Απάντηση 5»
i. Μονάδα μέτρησης του εμβαδού είναι το τετραγωνικό μέτρο ( $m^2$ ), που είναι ένα τετράγωνο με πλευρά 1 μέτρο.
ii. Μονάδα μέτρησης του όγκου είναι το κυβικό μέτρο( $m^3$ ) , που είναι ένας κύβος με ακμή 1 μέτρο.
iii. Στη χώρα μας για τη μέτρηση μεγάλων επιφανειών, κυρίως αγρών και δασικών εκτάσεων, το στρέμμα, που είναι 1000 τ.μ.
iv. Στη περίπτωση που θέλουμε να εκφράσουμε τον όγκο υγρών χρησιμοποιούμε σαν μονάδα μέτρησης το 1 λίτρο (είναι 1/1000 του $m^3$ ). Συνηθισμένη υποδιαίρεση του λίτρου είναι το ml. 1ml=1/1000 του λίτρου (1ml=1 $cm^3$ ).
Ερώτηση 6
Πότε δύο ή περισσότερα κλάσματα λέγονται ομώνυμα και πότε ετερώνυμα;
«Απάντηση 6»
Δύο ή περισσότερα κλάσματα που έχουν τον ίδιο παρονομαστή λέγονται ομώνυμα. Τα κλάσματα που έχουν διαφορετικούς παρονομαστές λέγονται ετερώνυμα.
Ερώτηση 7
i. Πως συγκρίνουμε δύο ομώνυμα κλάσματα;
ii. Πως συγκρίνουμε δύο ετερώνυμα κλάσματα;
«Απάντηση 7»
i. Όταν δύο κλάσματα είναι ομώνυμα, μεγαλύτερο είναι εκείνο που έχει μεγαλύτερο αριθμητή.
ii. Όταν έχουμε να συγκρίνουμε δύο ετερώνυμα κλάσματα τα μετατρέπουμε πρώτα σε ομώνυμα και κατόπιν να συγκρίνουμε σύμφωνα με τον προηγούμενο κανόνα.
Ερώτηση 8
Πως συγκρίνουμε ένα κλάσμα με τη μονάδα;
«Απάντηση 8»
Αν σε ένα κλάσμα
* ο αριθμητής είναι μικρότερος από τον παρονομαστή, τότε το κλάσμα είναι μικρότερο από το 1
* ο αριθμητής είναι ίσος με τον παρονομαστή, τότε το κλάσμα είναι ίσο με το 1
* ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή, τότε το κλάσμα είναι μεγαλύτερο από το 1.
Ερώτηση 9
i. τι είναι η απλοποίηση κλάσματος;
ii. Πότε ένα κλάσμα λέγεται ανάγωγο;
«Απάντηση 9»
i. Όταν διαιρούμε τους όρους ενός κλάσματος με ένα κοινό διαιρέτη τους προκύπτει ένα νέο κλάσμα ίσο με το αρχικό αλλά με μικρότερους όρους. Η διαδικασία αυτή λέγεται απλοποίηση κλάσματος.
ii. Ανάγωγο λέγεται το κλάσμα που δεν απλοποιείται.
Ερώτηση 10
i. Πως προσθέτουμε ομώνυμα κλάσματα;
ii. Πως προσθέτουμε ετερώνυμα κλάσματα;
«Απάντηση 10»
i. Για να προσθέσουμε δύο ομώνυμα κλάσματα, κρατάμε τον ίδιο παρονομαστή και προσθέτουμε τους αριθμητές τους.
ii. Για να προσθέσουμε δύο ετερώνυμα κλάσματα τα μετατρέπουμε πρώτα σε ομώνυμα και μετά τα προσθέτουμε σύμφωνα με τον προηγούμενο κανόνα.
Ερώτηση 11
i. Πως αφαιρούμε ομώνυμα κλάσματα;
ii. Πως αφαιρούμε ετερώνυμα κλάσματα;
«Απάντηση 11»
i. Για να αφαιρέσουμε δύο ομώνυμα κλάσματα, κρατάμε τον ίδιο παρονομαστή και αφαιρούμε τους αριθμητές τους.
ii. Για να αφαιρέσουμε δύο ετερώνυμα κλάσματα τα μετατρέπουμε πρώτα σε ομώνυμα και μετά τα αφαιρούμε σύμφωνα με τον προηγούμενο κανόνα.
Ερώτηση 12
i. Πως πολλαπλασιάζουμε δύο κλάσματα;
ii. Πως διαιρούμε δύο κλάσματα;
«Απάντηση 12»
i. Για να πολλαπλασιάσουμε δύο κλάσματα πολλαπλασιάζουμε αριθμητή με αριθμητή και παρονομαστή με παρονομαστή.
ii. Για να διαιρέσουμε δύο κλάσματα πολλαπλασιάζουμε το πρώτο κλάσμα με το αντίστροφο του δεύτερου κλάσματος.
Ερώτηση 13
i. Ποιοι αριθμοί λέγονται αντίστροφοι; (δώστε και παράδειγμα)
ii. Όλοι οι αριθμοί έχουν αντίστροφο;
iii. Υπάρχει αριθμός που είναι ίσος με τον αντίστροφό του;
«Απάντηση 13»
i. Δύο αριθμοί που έχουν γινόμενο 1 λέγονται αντίστροφοι. Παράδειγμα οι αριθμοί 7/5 και 5/7.
ii. Ο αριθμός 0 δεν έχει αντίστροφο
(γιατί ότι πολλαπλασιάζετε με το μηδέν μηδενίζεται και επομένως δεν μπορεί το γινόμενο να είναι 1).
iii. Ο αριθμός 1 έχει αντίστροφο τον αριθμό 1.
(γιατί 1.1=1)
Ερώτηση 14
Τι ονομάζουμε κλίμακα ενός χάρτη;
«Απάντηση 14»
Ο λόγος της απόστασης δύο σημείων στο χάρτη προς την πραγματική απόσταση των δύο αντίστοιχων σημείων λέγεται κλίμακα του χάρτη. (εννοείται ότι οι αποστάσεις είναι μετρημένες με την ίδια μονάδα.)
Ερώτηση 15
Τι είναι η απόσταση δύο σημείων;
«Απάντηση 15»
Απόσταση δύο σημείων ονομάζουμε το μήκος του τμήματος που τα ενώνει.
Ερώτηση 16
Τι ονομάζουμε μέσο ευθύγραμμου τμήματος;
«Απάντηση 16»
Μέσο ευθύγραμμου τμήματος ονομάζουμε ένα σημείο, που ανήκει στο τμήμα και χωρίζει αυτό σε δύο ίσα τμήματα.
Ερώτηση 17
Τι είναι η διάμεσος τριγώνου;
«Απάντηση 17»
Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει μια κορυφή ενός τριγώνου με το μέσο της απέναντι πλευράς, λέγεται διάμεσος του τριγώνου. Προφανώς κάθε τρίγωνο έχει τρεις διαμέσους που αν σχεδιαστούν σωστά παρατηρούμε ότι διέρχονται και οι τρεις από το ίδιο σημείο (λέγεται κέντρο βάρους του τριγώνου).
Ερώτηση 18
Τι ονομάζουμε ύψος τριγώνου;
«Απάντηση 18»
Η απόσταση της κορυφής ενός τριγώνου από την απέναντι πλευρά λέγεται ύψος του τριγώνου.
Ερώτηση 19
i. Ποιες είναι οι σχετικές θέσεις δύο ευθειών στο επίπεδο;
ii. Πότε δύο ευθείες του επιπέδου λέγονται παράλληλες;
«Απάντηση 19»
i. Δύο ευθείες που ανήκουν στο ίδιο επίπεδο μπορεί να είναι τεμνόμενες ή παράλληλες.
ii. Δύο ευθείες που ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται λέγονται παράλληλες.
Ερώτηση 20
i. Τι είναι κύκλος;
ii. Πότε λέμε ότι μια ευθεία εφάπτεται σε ένα κύκλο;
«Απάντηση 20»
i. Κύκλος με κέντρο Ο και ακτίνα ρ είναι το επίπεδο σχήμα που όλα του τα σημεία απέχουν από το Ο απόσταση ίση με ρ.
ii. Όταν μια ευθεία έχει ένα μόνο κοινό σημείο με ένα κύκλο τότε η ευθεία λέγεται εφαπτομένη του κύκλου. Το κοινό σημείο της ευθείας και του κύκλου λέγεται σημείο επαφής. Η ακτίνα στο σημείο επαφής και η εφαπτομένη σχηματίζουν ορθή γωνία.
Ερώτηση 21
i. Τι ονομάζουμε μεσοκάθετο ενός ευθύγραμμου τμήματος;
ii. Ποια είναι η χαρακτηριστική ιδιότητα της μεσοκαθέτου;
«Απάντηση 21»
i. Η ευθεία που διέρχεται από το μέσο ενός τμήματος και είναι κάθετη σ’ αυτό λέγεται μεσοκάθετος του τμήματος.
ii. Κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ενός τμήματος ισαπέχει από τα άκρα του τμήματος.
Ερώτηση 22
i. Σε ποιες κατηγορίες χωρίζουμε τα τρίγωνα όταν το χαρακτηριστικό ως προς το οποίο τα εξετάζουμε είναι οι πλευρές τους;
ii. Σε ποιες κατηγορίες χωρίζουμε τα τρίγωνα όταν το χαρακτηριστικό ως προς το οποίο τα εξετάζουμε είναι οι γωνίες τους;

«Απάντηση 22»
i. Τα είδη των τριγώνων ως προς τις πλευρές τους είναι:
a. Ισόπλευρο, το τρίγωνο που έχει τρεις πλευρές ίσες.
b. Ισοσκελές, το τρίγωνο που έχει δύο πλευρές ίσες.
c. Σκαληνό, το τρίγωνο που όλες του οι πλευρές είναι άνισες.
ii. Τα είδη των τριγώνων ως προς τις γωνίες τους είναι:
a. Αμβλυγώνιο, το τρίγωνο που έχει μια γωνία αμβλεία.
b. Ορθογώνιο, το τρίγωνο που έχει μια γωνία ορθή.
c. Οξυγώνιο, το τρίγωνο που όλες του τις γωνίες οξείες.
Ερώτηση 23
Ποια τα είδη γωνιών;
«Απάντηση 23»
Τα είδη των γωνιών είναι:
i. Ορθή, η γωνία 90°
ii. Οξεία, η γωνία που είναι μικρότερη από 90°
iii. Αμβλεία, η γωνία που είναι μεγαλύτερη από 90°
Ακόμη χαρακτηριστικές περιπτώσεις γωνιών είναι και οι
iv. Μηδενική, η γωνία 0°
v. Ευθεία, η γωνία 180°
vi. Πλήρης, η γωνία 360°.
Ερώτηση 24
i. Ποιες γωνίες λέγονται παραπληρωματικές και ποιες κατακορυφήν;
ii. Ποια σχέση συνδέει δύο κατακορυφήν γωνίες;
iii. Πόσο είναι το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου;
«Απάντηση 24»
i. Δύο γωνίες που έχουν άθροισμα 180°, λέγονται παραπληρωματικές.
Κατακορυφήν λέγονται δύο γωνίες όταν έχουν την ίδια κορυφή και οι πλευρές της μιας γωνίας είναι προεκτάσεις των πλευρών της άλλης γωνίας.
ii. Δύο κατακορυφήν γωνίες είναι ίσες.
iii. Το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι 180°.
Ερώτηση 25
i. Ποια είδη παραλληλογράμμων γνωρίζετε;
ii. Ποιες είναι οι ιδιότητες του παραλληλογράμμου;
«Απάντηση 25»
i. Τα είδη των παραλληλογράμμων είναι:
a. Πλάγιο παραλληλόγραμμο
b. Ορθογώνιο, το παραλληλόγραμμο που έχει όλες του τις γωνίες ίσες (=90°)
c. Ρόμβος, το παραλληλόγραμμο που έχει όλες τις πλευρές του ίσες.
d. Τετράγωνο, το παραλληλόγραμμο που έχει τις πλευρές του ίσες και τις γωνίες του ίσες (=90°).
ii. Σε κάθε παραλληλόγραμμο ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες:
a. Οι απέναντι πλευρές του είναι παράλληλες
b. Οι απέναντι πλευρές του είναι ίσες
c. Οι απέναντι γωνίες είναι ίσες
d. Οι διαγώνιες διχοτομούνται.
Ερώτηση 26
Πως υπολογίζουμε το εμβαδόν
i. Τριγώνου
ii. Παραλληλογράμμου
iii. Τραπεζίου;
«Απάντηση 26»
i. Το εμβαδόν ενός τριγώνου είναι ίσο με το μισό του γινομένου της βάσης του επί το ύψος.