Ετικέτα: Εξίσωση Ευθείας

Θέλω να μάθω…πως δείχνουμε ότι τρία σημεία είναι συνευθειακά

Η βασική μεθοδολογία με την οποία αποδεικνύουμε ότι τρία σημεία με γνωστές συντεταγμένες είναι συνευθειακά (βρίσκονται και τα τρία στην ίδια ευθεία). Στο άρθρο θα βρείτε τρεις διαφορετικούς τρόπους επίλυσης τέτοιων προβλημάτων.

Συνευθειακά Σημεία

(Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου)

Μπορούμε να αποδείξουμε ότι τρία σημεία είναι συνευθειακά με τρεις διαφορετικούς τρόπους ανάλογα με το σημείο στο οποίο έχουμε φτάσει στην ύλη μας στο σχολείο (Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου).
Έστω λοιπόν ότι έχουμε τα σημεία Α(1,3), Β(2,5) και Γ(4,9)

  • 1ος τρόπος, με διανύσματα
    Κατ’ αρχάς φτιάχνουμε δύο διανύσματα με άκρα αυτά τα σημεία έστω τα \overrightarrow{AB} και \overrightarrow{B\Gamma}  (Υπενθύμιση 1η),

        \[\overrightarrow{AB}=(2-1,5-3)=(1,2)\]

    και

        \[\overrightarrow{B\Gamma}=(4-2,9-5)=(2,4)\]

    στη συνέχεια αποδεικνύουμε ότι αυτά τα διανύσματα είναι παράλληλα είτε με τους συντελεστές διεύθυνσης (Υπενθύμιση 2η)

        \[\lambda_{\overrightarrow{AB}}=2/1=\lambda_{\overrightarrow{A\Gamma}}=4/2=2\]

     είτε με την ορίζουσα (Υπενθύμιση 3η)

        \[\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{B\Gamma})=\begin{vmatrix}1 \:2 \\ 2\: 4\end{vmatrix}=1\cdot 4-2\cdot2=0\]

     Αυτό όμως ταυτόχρονα μας δείχνει ότι τα σημεία Α,Β και Γ είναι συνευθειακά γιατί για να είναι παράλληλα τα δύο διανύσματα θα πρέπει είτε να βρίσκονται σε παράλληλους φορείς πράγμα αδύνατο αφού έχουν ένα κοινό σημείο, το Β είτε να βρίσκονται στον ίδιο φορέα στην ίδια ευθεία δηλαδή.

[box type=»info»] Υπενθύμιση 1η:

αν A(x_A,y_A) και B(x_B,y_B) δύο σημεία τότε το διάνυσμα 

    \[\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,y_B-y_A)\]

[/box]

[box type=»info»] Υπενθύμιση 2η:

Ένα διάνυσμα \overrightarrow{a}=(x,y) έχει συντελεστή διεύθυνσης \lambda=\frac{y}{x} εννοείται x \neq0[/box]

[box type=»info»] Υπενθύμιση 3η:

\det(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\begin{vmatrix}x_a \: y_a \\ x_b \:y_b\end{vmatrix}[/box]

Επιστροφή ^^^

  • 2ος τρόπος, με ευθείες
    Με το ίδιο σκεπτικό μπορούμε να δείξουμε ότι τα τρία σημεία βρίσκονται στην ίδια ευθεία αποδεικνύοντας ότι δύο ευθείες από αυτές που διέρχονται από τα Α,Β, και Γ είναι παράλληλες (δηλαδή έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης).Έτσι λοιπόν βρίσκουμε το συντελεστή διεύθυνσης της ΑΒ και ΒΓ(Υπενθύμιση 4η) κι έχουμε

        \[\lambda_{AB}=\frac{5-3}{2-1}=\lambda_{B\Gamma}=\frac{9-5}{4-2}=2\]

    Δύο ευθείες όμως με ένα κοινό σημείο (το Β) δεν γίνεται να είναι παράλληλες. Τι συμβαίνει τότε; Οι δύο ευθείες ταυτίζονται δηλαδή δεν είναι δύο αλλά μόνο μία ευθεία.

 

[box type=»info»] Υπενθύμιση 4η:

αν μια ευθεία (ε) διέρχεται από τα σημεία A(x_A,y_A) και B(x_B,y_B) τότε ο συντελεστής διεύθυνσής της είναι:

    \[\lambda=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\]

[/box]

 

  • 3ος τρόπος, με τρίγωνα
    Συνευθειακά Σημεία
    Κάντε κλικ στην εικόνα για να «παίξετε»

    Αρκεί να δείξουμε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ έχει εμβαδό ίσο με 0, γιατί αυτό απλά σημαίνει ότι δεν υπάρχει τρίγωνο ΑΒΓ δηλαδή τα σημεία Α,Β και Γ δεν σχηματίζουν τρίγωνο γιατί βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία (συνευθειακά). Έτσι λοιπόν στο παράδειγμά μας έχουμε

        \[(AB\Gamma)=\frac{1}{2}\left|\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{B\Gamma})\right|=0\]

        \[\Leftrightarrow \det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{B\Gamma})=0\]

    που ισχύει (τις πράξεις τις κάναμε προηγούμενα στον 1ο τρόπο).

Λυμένες Ασκήσεις στην Εξίσωση της Ευθείας

4 λυμένες ασκήσεις στην εξίσωση της ευθείας.

Αφού έχουμε διαβάσει τα άρθρα:

  1. Η εξίσωση της ευθείας (θεωρία)
  2. Προσδιορισμός του συντελεστή διεύθυνσης μιας ευθείας (θεωρία – μεθοδολογία)

μπορούμε να δούμε μερικά παραδείγματα για να κατανοήσουμε καλύτερα το πως δουλεύουμε σε ασκήσεις που μας ζητάνε να

lines
Σύνθεση με ευθείες γραμμές :)

βρούμε την εξίσωση κάποιας ευθείας.

Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας (ε) στις παρακάτω περιπτώσεις:

1. Διέρχεται από το σημείο Α(2,1) και σχηματίζει με τον άξονα χ΄χ γωνία ω=45ο.

Λύση: Η εξίσωση που ζητάμε θα έχει τη μορφή: \psi=\lambda\chi+\beta.

Όμως λ=εφω=εφ45ο=1, κι έτσι η εξίσωση παίρνει τη μορφή \psi=\chi+\beta.

Κι επειδή το σημείο Α(2,1) είναι σημείο αυτής της ευθείας θα πρέπει να ισχύει: 1=2+\beta, δηλαδή β=-1.

Οπότε η ζητούμενη ευθεία είναι η \psi=\chi-1.

2. Διέρχεται από το σημείο Α(1,-1) και είναι παράλληλη στην ευθεία (δ): 2χ+ψ-1=0.

Λύση: Η ευθεία που ζητάμε είναι της μορφής \psi=\lambda\chi+\beta. Επειδή ε//δ θα ισχύει λε=λδ, αλλά ο συντελεστής διεύθυνσης της (δ) είναι λδ=-2, (γιατί (δ): 2χ+ψ-1=0 ή (δ): ψ=-2χ+1) κι έτσι λε=λδ=-2.

Η ευθείας μας λοιπόν έχει τώρα τη μορφή \psi=-2\chi+\beta. Περνάει όμως από το σημείο Α(1,-1) πράγμα που σημαίνει ότι θα ισχύει -1=-2(+1)+\beta\Leftrightarrow\beta=1. Τελικά η ευθεία (ε) είναι η \psi=-2\chi+3.

3. Διέρχεται από το Α(-1,1) και είναι κάθετη στην (δ):ψ=-2χ-1.

Λύση: λδ=-2, όμως (ε) κάθετη με τη (δ) άρα έχουμε \lambda_\epsilon\cdot\lambda_\delta=-1\Leftrightarrow\lambda_\epsilon=1/2. Η ευθεία που ψάχνουμε λοιπόν θα είναι κάπως έτσι: ψ=1/2χ+β.

Για να βρούμε το β τώρα μας αρκεί το γνωστό σημείο της ευθείας το Α(-1,1) γιατί ξέρουμε ότι θα ισχύει 1=\frac{1}{2}\cdot(-1)+\beta\Leftrightarrow\beta=\frac{3}{2} άρα η ευθεία μας είναι η ψ=1/2χ+3/2.

4. Τέμνει τους άξονες στα σημεία Α(4,0) και Β(0,4)

linesΛύση: Υπολογίζουμε το λ, \lambda=\frac{\psi_2-\psi_1}{\chi_2-\chi_1}=\frac{4-0}{0-4}=-1. Επομένως η εξίσωση της ευθείας θα έχει τη μορφή ψ=-χ+β. Όσον αφορά στο β τώρα θα χρησιμοποιήσουμε ένα από τα δύο σημεία από τα οποία διέρχεται η ευθεία που ζητάμε. Έστω λοιπόν ότι χρησιμοποιούμε το Β(0,4) και με αντικατάσταση παίρνουμε 4=-0+β ή β=4. Καταλήξαμε λοιπόν στο ότι η ζητούμενη ευθεία είναι η ψ=-χ+4.

Παρατηρήσεις:

Οι παρακάτω παρατηρήσεις αφορούν μαθητές της Β΄και Γ΄τάξης του Λυκείου που ακολουθούν τη θετική ή την τεχνολογική κατεύθυνση.

Παρατήρηση 1:

Οι παραπάνω ασκήσεις θα μπορούσαν προφανώς να λυθούν πιο εύκολα με τη χρήση του τύπου

    \[\psi-\psi_0=\lambda(\chi-\chi_0)\]

όπου Μ(χ0,ψ0) ένα σημείο της ευθείας και λ ο συντελεστής διεύθυνσής της. Να το δούμε σαν εφαρμογή στην παρακάτω άσκηση:

Να βρεθεί η μεσοκάθετη του τμήματος ΑΒ με Α(-2,1) και Β(2,3)

Λύση: Ο συντελεστής διεύθυνσης της ΑΒ είναι

    \[\lambda_{AB}=\frac{\psi_2-\psi_1}{\chi_2-\chi_1}=\frac{3-1}{2+2}=1/2\]

κι επειδή η μεσοκάθετη της ΑΒ είναι κάθετη με την ΑΒ θα ισχυεί:

    \[\lambda\cdot\lambda_{AB}=-1\Leftrightarrow\lambda=-2\]

.

Η μεσοκάθετη της ΑΒ θα διέρχεται από το μέσο του ΑΒ που είναι το Μ(\frac{\chi_2+\chi_1}{2} ,\frac{ \psi_2+\psi_1}{2})  δηλαδή Μ(\frac{2-2}{2} , \frac{3+1}{2})=(0,2).

Έτσι η μεσοκάθετη έχει την εξίσωση:

    \[\psi-\psi_0=\lambda(\chi-\chi_0)\Leftrightarrow\psi-0=-2(\chi-2)\Leftrightarrow\psi=-2x+4\]

, αφού έχει συντελεστή διεύθυνσης το λ=-2 και διέρχεται απο το Μ(0,2).

Παρατήρηση 2:

Σε όλα όσα έχουμε αναφέρει μέχρι τώρα γιά την εξίσωση της ευθείας έχουμε κάνει μια σημαντική παράλειψη. Είδαμε πως γιά να βρούμε την εξίσωση μιας ευθείας πρέπει οπωσδήποτε να μας δίνεται ένα σημείο της έστω Μ(α,β). Από ‘κει και πέρα υπολογίζω το λ (μέσω της γωνίας που σχηματίζει με τον χ΄χ ή μέσω μιας σχέσης παραλληλίας ή μιας σχέσης καθετότητας ή τέλος από δύο σημεία της ευθείας). Και τελικά βρίσκω την εξίσωση από τον τύπο ψ=λχ+μ ή από τον \psi-\psi_0=\lambda(\chi-\chi_0). Κι εδώ βρίσκεται το λάθος γιατί από το σημείο Μ(α,β) διέρχονται άπειρες ευθείες αλλά οι παραπάνω τύποι μας δίνουν μόνο την οριζόντια και τις πλάγιες που διέρχονται από το Μ κι όχι την κατακόρυφη κι αυτό γιατί για την κατακόρυφη δεν υπάρχει (δεν ορίζεται) συντελεστής διεύθυνσης. Αυτό σημαίνει ότι με τον τύπο \psi-\beta=\lambda(\chi-\alpha) έχω «χάσει» μια ευθεία που διέρχεται από το Μ(α,β) και συγκεκριμμένα την χ=α. Πρέπει λοιπόν όταν ξεκινάμε να λύσουμε μια άσκηση στην οποία ψάχνουμε μια ευθεία που διέρχεται από κάποιο σημείο π.χ. το Μ(1,3) να λέμε: «από το Μ(1,3) διέρχονται οι ευθείες χ=1 (κατακόρυφη) και οι ευθείες ψ-3=λ(χ-1)» στη συνέχεια να εξετάζουμε αν η κατακόρυφη ικανοποιεί τα δεδομένα του προβλήματος οπότε είναι αυτή που ψάχνουμε κι αν όχι συνεχίζουμε με τις υπόλοιπες. Ας δούμε ένα παράδειγμα και τέλος γιατί έχω την εντύπωση ότι αρκετά σας κούρασα.

Να βρεθεί η ευθεία που είναι κάθετη στο διάνυσμα \vec{a}=(3,0) και διέρχεται από το Μ(4,5).

Λύση: Από το Μ(4,5) διέρχονται οι ευθείες χ=4 (κατακόρυφη) και οι ευθείες ψ-5=λ(χ-4). Επειδή ο συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος είναι λ=ψ/χ=0/3=0, το διάνυσμα είναι οριζόντιο (παράλληλο στον χ΄χ) κι έτσι η ευθεία που ζητάμε θα είναι κατακόρυφη κι αφού πρέπει να περνάει από το Μ(4,5) είναι η χ=4.