Σύνθεση Συναρτήσεων

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου. Πως βρίσκω αν ορίζεται η σύνθεση δύο συναρτήσεων και πως υπολογίζω τον τύπο της. Θα δείτε και λυμένα παραδείγματα «σύνθεσης» και «αποσύνθεσης» συναρτήσεων.

Η σύνθεση των συναρτήσεων f και g

ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

Τη φετινή σχολική χρονιά με κάποιες τάξεις του σχολείου μας επισκεφτήκαμε ένα  εργοστάσιο που εμφιάλωνε κρασί. Εκεί είδαμε ένα μηχάνημα που από τη μία μεριά έμπαιναν τα άδεια μπουκάλια κι από την άλλη έβγαιναν γεμάτα κρασί. Στη συνέχεια μια άλλη μηχανή έπαιρνε αυτά τα μπουκάλια και τα σφράγιζε. Στο τέλος μια ακόμη μηχανή κολλούσε σε αυτά ετικέτες ανάλογα με το περιεχόμενό τους. Κάπως έτσι μπορούμε να φανταστούμε και τις συναρτήσεις σαν μηχανές δηλαδή όπου από την μία μεριά δέχονται αντικείμενα και είναι προγραμματισμένες έτσι ώστε να μεταμορφώνουν αυτά τα αντικείμενα σε κάτι άλλο και να μας τα δίνουν πάλι μεταμορφωμένα. Κι όπως κάθε μηχάνημα έχει τις προδιαγραφές του για το τι αντικείμενα μπορεί να δεχτεί και το πρόγραμμά του που καθορίζει τι δουλεία μπορεί να κάνει, έτσι και οι συναρτήσεις έχουν τις προδιαγραφές τους για το τι αντικείμενα μπορούν να δεχτούν (οι συναρτήσεις που διδασκόμαστε στο σχολείο δέχονται μόνο αριθμούς, αλλά δεν υπάρχουν μόνο αυτές)- αυτό στα μαθηματικά το λέμε Πεδίο Ορισμού της συνάρτησης– κι έχουν κι ένα πρόγραμμα που μας δείχνει τι ακριβώς μπορεί να κάνει η συνάρτηση -αυτό είναι ο τύπος της.

Σχηματικά λοιπόν θα μπορούσαμε να παραστήσουμε τις συναρτήσεις έτσι όπως φαίνονται στις παρακάτω εικόνες 1 και 2.
Όπου βλέπουμε μια μηχανή (=συνάρτηση) με το όνομα f στην οποία μπαίνουν όλοι οι πραγματικοί αριθμοί (έχει πεδίο ορισμού όλο το R) και από την άλλη βγαίνουν 4 φορές μεγαλύτεροι αφού ο τύπος της f είναι f(x)=4x(εικόνα1)

Η συνάρτηση f(x)=4x
εικόνα 1: Η συνάρτηση f(x)=4x

Και στην εικόνα 2 παρακάτω βλέπουμε τη συνάρτηση g που δέχεται μόνο θετικούς αριθμούς (αφού έχει πεδίο ορισμού το R+) και μας δίνει τις τετραγωνικές τους ρίζες μιας και ο τύπος της είναι g(x)=\sqrt{x} (εικόνα 2).

Η συνάρτηση g(x)
εικόνα 2: Η συνάρτηση g – τετραγωνική ρίζα

Στο εργοστάσιο που αναφέραμε παραπάνω είδαμε ότι μπορούμε να συνδέσουμε τις μηχανές έτσι ώστε η μία να δουλεύει μετά την άλλη και η δεύτερη να παίρνει για μετατροπή τα αντικείμενα που παράγει η πρώτη. Το ίδιο μπορούμε να κάνουμε και με τις συναρτήσεις, να «συνδέσουμε» αυτές έτσι ώστε να αποτελούν μία μηχανή. Στα μαθηματικά τη «σύνδεση» αυτή των συναρτήσεων την ονομάζουμε «ΣΥΝΘΕΣΗ»  και συμβολίζεται με ένα κυκλάκι «ο». Έτσι λοιπόν θα μπορούσαμε να συνθέσουμε τη συνάρτηση g με τη συνάρτηση f με τέτοιο τρόπο ώστε να δουλεύει πρώτα η f και μετά η g σαν μία μηχανή (δείτε την εικόνα 3 παρακάτω). Τότε θα προέκυπτε μια νέα συνάρτηση (που τη συμβολίζουμε με gof και τη διαβάζουμε «σύνθεση των f και g») η οποία τι δουλειά θα έκανε;  Θα έπαιρνε η f τα x και θα τα έκανε 4x, στη συνέχεια η g θα έπαιρνε τα 4x και θα μας έδινε τις τετραγωνικές τους ρίζες. Ας το δούμε όμως και λίγο πιο «μαθηματικά»: Ο τύπος της νέας συνάρτησης θα ήταν

    \[(gof)(x)=g(f(x))=\sqrt{4x}=2\sqrt{x}\]

 [θυμηθείτε τι είπαμε πιο πάνω η g δεν θα παίρνει τα x αλλά τα f(x), αυτά που παράγει η f, γι’ αυτό γράφουμε g(f(x)) ]

Η σύνθεση των συναρτήσεων f και g
Η σύνθεση των συναρτήσεων f και g , gof με τύπο (gof)(x)=g(f(x))

Ένα ερώτημα όμως που μπαίνει τώρα είναι μπορούμε πάντα να συναρμολογούμε δύο συναρτήσεις και αυτές να δουλεύουν; Μπορούμε δηλαδή πάντα να συνθέτουμε συναρτήσεις; Η απάντηση είναι απλή, για να συνθέσουμε δύο συναρτήσεις θα πρέπει αυτά που παράγει η συνάρτηση που δουλεύει πρώτη να μπορούν να εισαχθούν στη συνάρτηση που δουλεύει δεύτερη. Στο παράδειγμα πιο πάνω είδαμε ότι η f έχει πεδίο ορισμού όλο το R έτσι κάθε αριθμός μπορεί να «μπει» στην f και να βγει τετραπλάσιος. Η συνάρτηση g όμως δεν μπορεί να δεχτεί όλους τους αριθμούς που παράγει η f παρά μόνο τους θετικούς αφού έχει πεδίο ορισμού το R+. Αυτό σημαίνει ότι η νέα μας συνάρτηση η gof έχει πεδίο ορισμού το R+. Γενικότερα μιλώντας τώρα για να ορίζεται η gof θα πρέπει η f να παράγει αριθμούς που να μπορεί να δεχτεί η g, δηλαδή να υπάρχουν f(x) που να μπορεί η g να τα δεχτεί. Και να το δούμε λίγο πιο «επιστημονικά» θα πρέπει να υπάρχουν f(x) που να ανήκουν στο πεδίο ορισμού της g. Καταλήγοντας λοιπόν όταν μας δώσουν δύο συναρτήσεις έστω f,g και μας ζητήσουν την gof πρέπει πρώτα να βρούμε το πεδίο ορισμού της και αν αυτό είναι μη κενό τότε μπορούμε να βρούμε και τον τύπο της συνάρτησης. Το πεδίο ορισμού της gof  είναι: {τα x που ανήκουν στο πεδίο ορισμού της f, για τα οποία όμως οι εικόνες τους να ανήκουν στο πεδίο ορισμού της g} δηλαδή

    \[D_{gof}=\left\{x\in D_f : f(x)\in D_{g}\right\}\]

(η άνω και κάτω τελεία «:» σημαίνει «έτσι ώστε»). Πρακτικά αυτό σημαίνει ότι λύνουμε το σύστημα των δύο περιορισμών του x \in D_f και του f(x) \in D_g αλλά αυτό θα το δούμε στα λυμένα παραδείγματα που θα ακολουθήσουν.
[box type=»info»] 
Η σύνθεση των συναρτήσεων f και g έχει:

Πεδίο Ορισμού το D_{gof}=\left\{x\in D_f : f(x)\in D_{g}\right\} και
Τύπο τον (gof)(x)=g(f(x))[/box]

Παρατηρήσεις:

  1. Προσέξτε ότι όταν λέμε «η σύνθεση των f και g» γράφουμε gof. Δηλαδή το gof διαβάζεται ¨αράβικα» από τα δεξιά προς τ’ αριστερά κι αυτό γιατί διαβάζουμε πρώτα αυτή που «δουλεύει» πρώτη. Έτσι για την gof έχουμε ότι δουλεύει πρώτα η f και στη συνέχεια η g, ενώ για την fog έχουμε την g να δουλεύει πρώτα και την f μετά.
  2. Αν σε κάποιον έχει σχηματιστεί η εντύπωση ότι ισχύει fog=gof αυτή είναι λανθασμένη μπορεί σε κάποιες συγκεκριμένες περιπτώσεις να ισχύει δεν ισχύει όμως πάντα ως ιδιότητα της σύνθεσης συναρτήσεων και πολύ εύκολα μπορούμε να το διαπιστώσουμε αυτό από το συγκεκριμένο παράδειγμα που είδαμε προηγούμενα. Αν βάλουμε την f  να δουλέψει πρώτη και της δώσουμε τον αριθμό 4 αυτή θα τον τετραπλασιάσει και θα τον κάνει 16 στη συνέχεια η g θα υπολογίσει την τετραγωνική ρίζα του 16 και θα μας δώσει τον αριθμό 4. Στη περίπτωση όμως που δώσουμε το 4 πρώτα στην g θα μας το κάνει 2 (αφού θα βρει την ρίζα του) και στη συνέχεια η f θα μας δώσει το 8 (αφού θα τετραπλασιάσει το 2).

Μπορούμε τώρα να δούμε μερικά λυμένα παραδείγματα πάνω στη σύνθεση των συναρτήσεων

[wptabs mode=»horizontal»]

[wptabtitle] Σύνθεση[/wptabtitle]

[wptabcontent]Δίνονται οι συναρτήσεις f και g με τύπους f(x)=\frac{e^x}{x} και g(x)=lnx. Να βρεθούν οι gof και fog.

Πεδίο Ορισμού Σύνθεσης
Πρέπει τα x να ανήκουν στο πεδίο ορισμού της f και τα f(x) να ανήκουν στο πεδίο ορισμού της g

Λύση:
Το πεδίο ορισμού της f είναι το D_f=\mathbb{R}-\{0\}, γιατί το x είναι παρονομαστής και δεν πρέπει να μηδενίζεται.
Το πεδίο ορισμού της g είναι το D_g=(0,+ \infty) , γιατί το x είναι «περιεχόμενο» λογαρίθμου κι επιβάλλεται να είναι μη αρνητικό.
Το πεδίο ορισμού της gof θα το βρούμε ως εξής:
Αναζητούμε τα

    \[{x \in D_f\]

για τα οποία όμως να ισχύει

    \[f(x) \in D_g }\]

, δηλαδή θέλουμε

\left\{\begin{matrix}x \in D_f\\ \kappa\alpha \iota \\ f(x)\in D_g \end{matrix}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x \in \mathbb{R}-\{0\}\\ \kappa \alpha \iota \\ \frac{e^x}{x} \in (0,+ \infty) \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x \neq 0\\ \kappa \alpha \iota \\ \frac{e^x}{x}>0 \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x \neq 0\\ \kappa \alpha \iota \\ x>0 \end{matrix}

Η κοινή λύση αυτών των δύο περιορισμών (που είναι η x>0) μας δίνει και το πεδίο ορισμού της σύνθεσης των f και g άρα D_{gof}=(0,+\infty) .
Ο δε τύπος της gof είναι

    \[(gof)(x)=g(f(x))=lnf(x)=ln( \frac{e^x}{x})\]

    \[=lne^{x} - lnx=x-lnx\]

[gn_spoiler title=»κάντε κλικ στο + για διευκρινίσεις»] 1. κατά τη λύση της ανισότητας \frac{e^x}{x}>0 αγνοήσαμε τον αριθμητή γιατί γνωρίζουμε ότι το ex είναι πάντα θετικό άρα για να είναι το κλάσμα θετικό μας αρκούσε ο παρονομαστής να είναι θετικός.
2. Για να βρούμε τον τύπο της σύνθεσης στον τύπο της g βάλαμε όπου x το f(x) και χρησιμοποιήσαμε και ιδιότητες λογαρίθμων να να γίνει ο τύπος πιο απλός. Έτσι κάναμε χρήση της ιδιότητας

    \[log_a(\frac{x}{y})=log_ax-log_ay\]

και της

    \[log_aa^x=x\]

Επειδή θα δουλέψετε άπειρες φορές φέτος με την ex και την lnx σας θυμίζω ότι:

    \[lne^{x}=x\]

    \[e^{lnx}=x\]

εννοείται x>0

[/gn_spoiler]

Ας βρούμε τώρα και το πεδίο ορισμού της fog:

θέλουμε \left\{\begin{matrix}x \in D_g\\ \kappa \alpha \iota\\g(x) \in D_f\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x \in (0,+\infty)\\ \kappa \alpha \iota\\lnx \in \mathbb{R}-\{0\}\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x >0\\ \kappa \alpha \iota\\lnx\neq0\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x >0\\ \kappa \alpha \iota\\lnx\neq ln1\end{matrix}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x >0\\ \kappa \alpha \iota\\x\neq1\end{matrix}

Δηλαδή καταλήγουμε στο ότι

    \[D_{fog}=(0,1) \cup (1,+\infty)\]

ενώ ο τύπος της fog είναι

    \[(fog)(x)=f(g(x))=\frac{e^{g(x)}}{g(x)}=\frac{e^{lnx}}{lnx}=\frac{x}{lnx}\]

Στο παράδειγμα που λύσαμε ασχοληθήκαμε με την περίπτωση που μας δίνουν δύο συναρτήσεις και μας ζητούν να βρούμε την σύνθεσή τους. Υπάρχουν όμως και ασκήσεις στις οποίες μας δίνουν τον τύπο της σύνθεση των δύο συναρτήσεων καθώς και τον τύπο της μιας εξ αυτών. Μας ζητούν όμως να βρούμε ποια είναι η άλλη συνάρτηση. Την κατηγορία αυτή την ονόμασα «αποσύνθεση» μόνο και μόνο για την ξεχωρίζουμε. Ο όρος αυτός μαθηματικά δεν υπάρχει γι’ αυτό μην ξεγελαστείτε και τον χρησιμοποιήσετε. Για να δείτε πως εργαζόμαστε σε τέτοιου είδους ασκήσεις κάντε κλικ εδώ για να οδηγηθείτε στην αρχή της σελίδας και στη συνέχεια κάντε κλικ στη καρτέλα Αποσύνθεση[/wptabcontent]
[wptabtitle] Αποσύνθεση[/wptabtitle]
[wptabcontent]Εδώ θα ασχοληθούμε με την περίπτωση που μας δίνουν την σύνθεση δύο συναρτήσεων έστω την gof και την μία από τις f και g και μας ζητούν την άλλη. Θα αναγκαστούμε όμως να χωρίσουμε τις ασκήσεις σε δύο κατηγορίες ανάλογα με το ποια από τις δύο μας δίνουν:

Κατηγορία 1: Μας δίνουν αυτή που «δουλεύει» δεύτερη ( η εύκολη περίπτωση)
Άσκηση: Δίνονται οι συναρτήσεις  (gof)(x)=2x και g(x)=x-1 . Βρείτε την f.
Λύση: Μας έχουν δώσει ότι

    \[(gof)(x)=g(f(x))=2x\]

εμείς βρίσκουμε ότι

    \[(gof)(x)=g(f(x))=f(x)-1\]

εξισώνουμε αυτά τα δύο

    \[f(x)-1=2x\]

και βλέπουμε ότι έχουμε μια εξίσωση α΄ βαθμού με άγνωστο το f(x). Λύνουμε την εξίσωση αυτή και βρήκαμε την f:

    \[f(x)=2x+1\]

Κατηγορία 2: Μας δίνουν αυτή που «δουλεύει» πρώτη
Άσκηση: Δίνονται οι συναρτήσεις  (gof)(x)=2x και f(x)=2x+1 . Βρείτε την g.
Λύση: Μας έχουν δώσει ότι  

    \[g(f(x))=2x\]

και μας ζητάνε τον τύπο της g. Αυτό που μας ενοχλεί εδώ είναι το f(x) που υπάρχει στη σχέση που μας δώσανε εμείς θα θέλαμε να λέει g(x) ή g(t) ή g(u) κ.τ.λ. γιατί δεν παίζει ρόλο το όνομα που έχει η μεταβλητή σε μια συνάρτηση. Μπορούμε λοιπόν αυτό που μας ενοχλεί να κάνουμε πως δεν το βλέπουμε. Πως; Θα το ονομάσουμε κάπως αλλιώς (όπως θέλει ο καθένας, εγώ θα το πω t, δηλαδή θα βάλω όπου f(x)=t) κι έτσι θα απαλλαχτούμε από αυτό. Αντί να έχουμε τον τύπο της g(f(x)) θα έχουμε τον τύπο της g(t). Όμως ο τύπος της g(t) θα πρέπει να έχει μέσα σαν μεταβλητή μόνο το t κι όχι και το x, θα πρέπει λοιπόν να ξέρω τι σχέση έχει το x με το t για να μπορώ να διώξω και αυτό. Αν σας φαίνεται μπερδεμένο δείτε πόσο απλά γίνεται στην πράξη:

Μας έχουν δώσει ότι \left\{\begin{matrix}f(x)=2x+1\\ \theta {\epsilon}' \tau \omega\: f(x)=t\end{matrix} οπότε έχω

\left\{\begin{matrix}t=2x+1\\ \kappa \alpha \iota \\x=\frac{t-1}{2}\end{matrix} (λύσαμε ως προς x)

Αυτά τα χρησιμοποιώ στον τύπο που μου δώσανε

    \[g(f(x))=2x\]

ο οποίος θα γίνει

    \[g(t)=2\frac{t-1}{2}\Leftrightarrow g(t)=t-1\]

Κι έτσι βρήκαμε ότι η g έχει τύπο

    \[g(x)=x-1\]

Αν θέλετε να δείτε κι άλλες λυμένες ασκήσεις ανεβείτε πάνω και κάντε κλικ στην καρτέλα «Bonus»
[/wptabcontent]
[wptabtitle] Bonus[/wptabtitle]
[wptabcontent]Άσκηση 1: Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το διάστημα [5,9). Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g με τύπο g(x)=f(x+8) – f(1 –  2x)

Λύση: Για να έχει νόημα το f(x+8) καθώς και το f(1 – 2x) θα πρέπει το x+8 και το 1 – 2x να ανήκουν στο πεδίο ορισμού της f. Θα πρέπει δηλαδή να ισχύει

\left\{\begin{matrix}x+8 \in [5,9)\\ \kappa \alpha\iota\\1-2x \in [5,9)\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}5\leq x+8<9\\ \kappa \alpha\iota\\5\leq 1-2x<9\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}5-8\leq x+8-8<9-8\\ \kappa \alpha\iota\\5-1\leq 1-2x-1<9-1\end{matrix} \Leftrightarrow

\left\{\begin{matrix}-3\leq x<1\\ \kappa \alpha\iota\\4\leq -2x<8\end{matrix} \Leftrightarrow  \left\{\begin{matrix}-3\leq x<1\\ \kappa \alpha\iota\\2\leq -x<4\end{matrix} \Leftrightarrow  \left\{\begin{matrix}-3\leq x<1\\ \kappa \alpha\iota\\-4\leq x<-2\end{matrix} Τελικά το πεδίο ορισμού της g είναι η κοινή λύση των δύο προηγούμενων περιορισμών δηλαδή

    \[D_g=[-3,-2)\]

Άσκηση 2: Αν f(x)=αx+b με α όχι 0 και ισχύει (fof)(x)=f(x-2) – f(1 – x) για κάθε πραγματικό αριθμό x, να βρείτε τη συνάρτηση f .

Λύση: Για να βρούμε την f πρέπει να βρούμε τα α και b. Υπολογίζουμε λοιπόν ένα-ένα τα στοιχεία που περιέχονται στη σχέση που μας έδωσαν και στη συνέχεια τα αντικαθιστούμε σε αυτήν:

    \[f(1-x)=a(1-x)+b=a-ax+b\]

    \[f(x-2)=a(x-2)+b=ax-2a+b\]

    \[(fof)(x)=f(f(x))=af(x)+b\]

    \[=a(ax+b)+b=a^2x+ab+b\]

άρα η δοσμένη σχέση γίνεται

    \[a^2x+ab+b=ax-2a+b-a+ax-b\Leftrightarrow\]

    \[a^2x+(ab+b)=2ax-3a\]

Επειδή η σχέση αυτή θέλουμε να ισχύει για κάθε

    \[x \in \mathbb{R}\]

θα πρέπει αυτά τα δύο πολυώνυμα (το α2x+(αb+b) και το 2αx – 3α ) να είναι ίσα. Πράγμα που σημαίνει ότι \left\{\begin{matrix}a^2=2a\\ \kappa \alpha \iota\\ab+b=-3a\end{matrix} Λύνουμε την πρώτη που έχει μόνο έναν άγνωστο το α και ότι βρούμε το αντικαθιστούμε στη δεύτερη για να βρούμε και το b,

    \[a^2=2a\Leftrightarrow a^2-2a=0 \Leftrightarrow a(a-2)=0\Leftrightarrow\]

a=0  ή a=2 η λύση α=0  απορρίπτεται από την υπόθεση της άσκησης  άρα α=2 και η δεύτερη εξίσωση για α=2 μας δίνει 2b+b=-3.2 ή b=-2. Τελικά f(x)=2x-2.
[/wptabcontent]

[/wptabs]

Κράτα το

4 σκέψεις σχετικά με το “Σύνθεση Συναρτήσεων”

    1. Η συνάρτηση είναι πολυωνυμική κι επομένως έχει πεδίο ορισμού το σύνολο των πραγματικών αριθμών (D_f=\mathbb{R}). Ρίξε μια ματιά εδώ.
      Όσον αφορά στη λύση της εξίσωσης f(x)=0, έχουμε: Επειδή η εξίσωση είναι 3ου βαθμού θα πρέπει να μετατρέψουμε την παράσταση x^3-x^2 σε γινόμενο βγάζοντας κοινό παράγοντα το x^2 οπότε προκύπτει x^3-x^2=0 \Leftrightarrow x^2(x-1)=0 πράγμα που σημαίνει ότι ή χ=0 ή χ=1.

      Απάντηση

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *