Κατεύθυνση Γ΄

Όριο Συνάρτησης που δεν έχω τον τύπο της (2/2)

Το άρθρο αναφέρεται στη χρήση του κριτηρίου παρεμβολής (θεώρημα σάντουιτς) για το υπολογισμό του ορίου μιας συνάρτησης που δεν γνωρίζω τον τύπο της παρά μόνο μια ανισότητα στην οποία συμμετέχει η συνάρτηση που μας ενδιαφέρει. Γίνεται επίσης αναφορά και στη περίπτωση «μηδενικής επί φραγμένης». Το άρθρο απευθύνεται σε μαθητές της Γ΄ Λυκείου θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

Σε προηγούμενο άρθρο μας, είδαμε πως μπορούμε να υπολογίσουμε το όριο μιας συνάρτησης f για την οποία δεν μας έχουν δώσει τον τύπο της αλλά μας έχουν δώσει ένα όριο μιας άλλης συνάρτησης, έστω g, στον τύπο της οποίας εμφανίζεται και η f. Στο συγκεκριμένο άρθρο είδαμε πως έχουμε τη δυνατότητα να φτιάξουμε εμείς έναν τύπο για τη συνάρτηση f ( λύνοντας τον τύπο της g ως προς f ) και στη συνέχεια να υπολογίσουμε κατά τα γνωστά το όριο της f.

paremvoli — Κριτήριο Παρεμβολής ή Sandwich Theorem

Σήμερα θα συνεχίσουμε τη «υπόθεση» αυτή για να δούμε τι μπορούμε να κάνουμε στην περίπτωση που και πάλι δεν γνωρίζουμε τον τύπο της συνάρτησης f αλλά ούτε και κάποιο όριο στο οποίο να συμμετέχει αυτή. Σύμφωνα με αυτά που υπάρχουν στην ύλη μας αυτό που θα πρέπει οπωσδήποτε να έχουμε για να βρούμε το όριο είναι μια «διπλή ανισότητα» στο κέντρο της οποίας να βρίσκεται η συνάρτηση f και στα άκρα αυτής δύο συναρτήσεις, έστω g και h, οι οποίες να έχουν το ίδιο όριο όταν το x τείνει στο x₀. Δηλαδή να έχουμε κάτι τέτοιο:

$g(x) \le f(x) \le h(x)$ που να ισχύει για κάθε x που περιέχεται σε μια περιοχή του x₀

κι επιπλέον να ισχύει: $\underset{x \to x_0}{\mathop{\lim}}g(x)=\underset{x \to x_0}{\mathop{\lim}}h(x)=l$

τότε και η συνάρτηση f θα συγκλίνει σε ένα αριθμό ο οποίος υποχρεούται να βρίσκεται ανάμεσα στο l και στο l και προφανώς δεν μπορεί να είναι άλλος από τον l. Έτσι λοιπόν θα ισχύει $\underset{x \to x_0}{\mathop{\lim}}f(x)=l$ .

Αυτό που είδαμε παραπάνω, δηλαδή αν η f είναι «φραγμένη» από πάνω και από κάτω από δύο συναρτήσεις που έχουν το ίδιο όριο στο x₀ τότε και αυτή θα έχει το ίδιο όριο όταν το x τείνει στο x₀ είναι το λεγόμενο «Κριτήριο Παρεμβολής»

Έστω οι συναρτήσεις g,f,h για τις οποίες ισχύουν:
(α) $g(x) \le f(x) \le h(x)$ για κάθε x που βρίσκεται κοντά στο x₀ και

(β) $\underset{x \to x_0}{\mathop{\lim}}g(x)=\underset{x \to x_0}{\mathop{\lim}}h(x)=l$

τότε θα ισχύει, $\underset{x \to x_0}{\mathop{\lim}}f(x)=l$

Ας δούμε ένα απλό παράδειγμα για να καταλάβουμε πότε και πως χρησιμοποιούμε το κριτήριο παρεμβολής και στη συνέχεια διαβάστε τις λυμένες ασκήσεις που βρίσκονται παρακάτω όπου θα δούμε τι γίνεται όταν η συνάρτηση της οποίας θέλω να βρω το όριο δεν βρίσκεται στο κέντρο της διπλής ανισότητας ή ακόμη χειρότερα τι κάνουμε όταν δεν μας έχουν δώσει καθόλου αυτή τη διπλή ανισότητα.

Παράδειγμα:

Η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο $\mathbb{R}$ και για κάθε $x \in \mathbb{R}$ ισχύει η σχέση: $-x^2+2x \le f(x) \le x^2 +2x$ . Να βρεθεί το όριο της f στο 0.

Λύση:

Έστω $g(x)=-x^2+2x$ , τότε $\underset{x \to 0}{\mathop{\lim}}g(x)=0$ και

$h(x)=x^2+2x$ , για την οποία ισχύει $\underset{x \to 0}{\mathop{\lim}}h(x)=0$ . Από το κριτήριο παρεμβολής ισχύει ότι $\underset{x \to 0}{\mathop{\lim}}f(x)=0$

[wptabs mode=»horizontal»][wptabtitle]Άσκηση 1[/wptabtitle] [wptabcontent]Η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο $\mathbb{R}$ και για κάθε $x \in \mathbb{R}$ ισχύει η σχέση: $|f(x)-1|<|x^2+x|$ . Να βρεθεί το όριο της f στο 0.

Λύση:

Στην άσκηση αυτή το πρώτο πρόβλημα που έχουμε είναι ότι δεν μας έχουν δώσει μια διπλή ανισότητα. Αυτο όμως ξεπερνιέται πολύ εύκολα αρκεί να θυμηθούμε μια ιδιότητα των απολύτων τιμών: $|x| \le \theta \Leftrightarrow - \theta \le x \le \theta$ οπότε η σχέση που μας δώσανε θα πάρει τη μορφή $-|x^2+x| \le f(x)-1 \le |x^2+x|$ και να τη η διπλή ανισότητα!

Το δεύτερο πρόβλημα που έχουμε εδώ είναι ότι η συνάρτηση f που μας ενδιαφέρει δεν είναι μόνη της στο κέντρο της ανισότητας αυτής, υπάρχει μαζί της και το -1. Κι αυτό όμως το πρόβλημα λύνεται εύκολα προσθέτοντας σε κάθε μέλος της ανισότητας το +1. Έτσι παίρνουμε

$-|x^2+x| \le f(x)-1 \le |x^2+x| \Leftrightarrow$

$-|x^2+x|+1 \le f(x)-1+1 \le |x^2+x|+1 \Leftrightarrow$

$-|x^2+x|+1 \le f(x) \le |x^2+x|+1$

Τώρα είμαστε έτοιμοι να εφαρμόσουμε το κριτήριο παρεμβολής κι έχουμε, $g(x)=-|x^2+x|+1$ , $h(x)=|x^2+x|+1$ επίσης $\underset{x \to 0}{\mathop{\lim}}g(x)= \underset{x \to 0}{\mathop{\lim}}h(x)=1$ οπότε συμπεραίνουμε ότι $\underset{x \to 0}{\mathop{\lim}}f(x)=1$ .
Δείτε και την άσκηση 2 ^^^[/wptabcontent]

[wptabtitle]Άσκηση 2[/wptabtitle] [wptabcontent]Δίνεται η συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ για την οποία ισχύει: $|f(x)-2| \le x^2$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ . Να βρείτε τα παρακάτω όρια

(α) $\underset{x \to 0}{\mathop{\lim}}f(x)$ και

(β) $\underset{x \to 0}{\mathop{\lim}}\frac{f(x)-\sqrt{x+4}}{x}$

Λύση:

(α) Όπως και στην προηγούμενη άσκηση πρώτα φτιάχνω τη διπλή ανισότητα:

$|f(x)-2| \le x^2\Leftrightarrow$

$-x^2 \le f(x)-2 \le x^2 \Leftrightarrow$

τώρα απομονώνω την f στο κέντρο της ανισότητας:

$2-x^2 \le f(x) \le 2+x^2$

κι επειδή $\underset{x \to 0}{\mathop{\lim}}(2-x^2)=\underset{x \to 0}{\mathop{\lim}}(2+x^2)=2$ θα ισχύει και $\underset{x \to 0}{\mathop{\lim}}f(x)=2$ .

(β) Έστω $g(x) =\frac{f(x)-\sqrt{x+4}}{x}$ κι αναζητώ το όριο της g στο 0. Παρατηρώ ότι αν χρησιμοποιήσω αυτό που βρήκα στο (α) ερώτημα (ότι $\underset{x \to 0}{\mathop{\lim}}f(x)=2$ ) καταλήγω σε απροσδιόριστη μορφή 0/0. Έτσι λοιπόν αναγκάζομαι να περάσω την g στο κέντρο της διπλής ανισότητας ως εξής:

$2-x^2 \le f(x) \le 2+x^2\Leftrightarrow$

$2-x^2-\sqrt{x+4} \le f(x)-\sqrt{x+4} \le 2+x^2-\sqrt{x+4}\Leftrightarrow$

και φτάσαμε στο σημείο που για να εμφανιστεί η g πρέπει να διαιρέσουμε με το x.

[box type=»warning»] Προσοχή όμως γιατί,

όταν διαιρούμε μια ανισότητα με αρνητικό αριθμό αλλάζει η φορά της!!! [/box]

κι επειδή δεν γνωρίζουμε τι πρόσημο έχει το x θα διακρίνουμε δυο περιπτώσεις:

Περίπτωση 1η: Για x>0, θα έχουμε

$\frac{2-x^2-\sqrt{x+4}}x \le \frac{f(x)-\sqrt{x+4}}x \le \frac{2+x^2-\sqrt{x+4}}x\Leftrightarrow$

$\frac{2-x^2-\sqrt{x+4}}x \le g(x) \le \frac{2+x^2-\sqrt{x+4}}x$

όμως $\underset{x \to 0}{\mathop{\lim}}\frac{2-x^2-\sqrt{x+4}}x=\underset{x \to 0}{\mathop{\lim}}\frac{2+x^2-\sqrt{x+4}}x= -\frac{1}4$

[wpspoiler name=»Δείτε εδώ γιατί» ]

$\underset{x \to 0}{\mathop{\lim}}\frac{2-x^2-\sqrt{x+4}}x=$

$\underset{x \to 0}{\mathop{\lim}}\frac{(2-x^2-\sqrt{x+4})(2-x^2+\sqrt{x+4})}{x(2-x^2+\sqrt{x+4})}=$

$\underset{x \to 0}{\mathop{\lim}}\frac{(2-x^2)^2-\sqrt{x+4}^2}{x(2-x^2+\sqrt{x+4})}=$

$\underset{x \to 0}{\mathop{\lim}}\frac{4-4x^2+x^4-x-4}{x(2-x^2+\sqrt{x+4})}=$

$\underset{x \to 0}{\mathop{\lim}}\frac{x^4-4x^2-x}{x(2-x^2+\sqrt{x+4})}=$

$\underset{x \to 0}{\mathop{\lim}}\frac{x(x^3-4x-1)}{x(2-x^2+\sqrt{x+4})}=$

$\underset{x \to 0}{\mathop{\lim}}\frac{x^3-4x-1}{2-x^2+\sqrt{x+4}}=$

$\frac{0-0-1}{2-0+\sqrt{0+4}}=-1/4$

Όμοια με την βοήθεια της συζυγούς παράστασης υπολογίζεται και το $\underset{x \to 0}{\mathop{\lim}}\frac{2+x^2-\sqrt{x+4}}{x}=-1/4$ [/wpspoiler] άρα το $\underset{x \to 0^+}{\mathop{\lim}}g(x)=-1/4$ (σχέση 1).

Περίπτωση 2η: Για x<0, θα έχουμε

$\frac{2-x^2-\sqrt{x+4}}x \ge \frac{f(x)-\sqrt{x+4}}x \ge \frac{2+x^2-\sqrt{x+4}}x\Leftrightarrow$

$\frac{2-x^2-\sqrt{x+4}}x \ge g(x) \ge \frac{2+x^2-\sqrt{x+4}}x$

όμως $\underset{x \to 0}{\mathop{\lim}}\frac{2-x^2-\sqrt{x+4}}x=\underset{x \to 0}{\mathop{\lim}}\frac{2+x^2-\sqrt{x+4}}x= -\frac{1}4$ άρα το $\underset{x \to 0^-}{\mathop{\lim}}g(x)=-1/4$ (σχέση 2).

Από τις (σχέση 1) , (σχέση 2) προκύπτει ότι το $\underset{x \to 0}{\mathop{\lim}}g(x)=-1/4$

Να δούμε και την άσκηση 3; ^^^ [/wptabcontent]

[wptabtitle]Άσκηση 3[/wptabtitle] [wptabcontent]Η άσκηση που θα λύσουμε τώρα δεν ανήκει κανονικά σε αυτή τη κατηγορία που εξετάζουμε τώρα αλλά θεώρησα καλό να λύσουμε ένα παράδειγμα επειδή ο τρόπος με τον οποίο λύνεται είναι ίδιος με όλες τις προηγούμενες ασκήσεις. Η άσκηση αυτή αναφέρεται στο πως βρίσκουμε το όριο μιας συνάρτησης η οποία είναι γινόμενο δύο άλλων συναρτήσεων μιας φραγμένης και μιας μηδενικής (δηλαδή έχει όριο ίσο με 0 ). Υπάρχει θεώρημα που δεν διδάσκεται στην Γ΄ Λυκείου που αποδεικνύει ότι «το γινόμενο μιας μηδενικής συνάρτησης επί μία φραγμένη είναι μηδενική». Ας δούμε όμως την άσκηση για να καταλάβουμε τι ακριβώς συμβαίνει.

Άσκηση: Να υπολογιστεί το όριο στο 0 της συνάρτησης $f(x)=x\cdot \eta\mu\frac{1}{x}$

Λύση: Ξεκινώντας να υπολογίσουμε το συγκεκριμένο όριο το πρώτο που σκεφτόμαστε είναι να αντικαταστήσουμε όπου x το 0

singraph — Το ημίτονο είναι φραγμένη συνάρτηση

όμως όπως θα δούμε σε επόμενη δημοσίευση όταν $x \to 0$ τότε $\frac{1}{x} \to \infty$ δυστυχώς δεν γνωρίζουμε το όριο του ημιτόνου στο άπειρο. Για να ξεπεράσουμε αυτό το πρόβλημα θα χρησιμοποιήσουμε το κριτήριο παρεμβολής. Χωρίς να μας έχει δωθεί κάποια διπλή ανισότητα. Δεν πειράζει όμως γιατί για δύο συγκεκριμένες συναρτήσεις την ημx αλλά και την συνx γνωρίζουμε εμείς μια διπλή ανισότητα από προηγούμενες τάξεις. Γνωρίζουμε ότι οι τιμές που παίρνει το ημίτονο και το συνημίτονο δεν μπορούν να βρίσκονται κάτω από το -1 ή πάνω από το 1 (αυτή ακριβώς είναι και η έννοια της φραγμένης συνάρτησης και οι μόνες φραγμένες που έχουμε μάθει είναι αυτές οι δύο το ημίτονο και το συνημίτονο). Πάμε τώρα να εκμεταλλευτούμε αυτή ακριβώς την ιδιότητα της συνάρτησης ημx.

$| \eta\mu \frac{1}{x}| \le 1$

προσπαθούμε τώρα να εμφανίσουμε τη συνάρτηση που μας ενδιαφέρει για το λόγο αυτό θα πολλαπλασιάσουμε όλα τα μέλη της με το |x| (και όχι με το x που δεν ξέρουμε το πρόσημό του κι αναγκαστούμε να πάρουμε περιπτώσεις)

$|x|\cdot |\eta \mu \frac{1}{x}| \le |x| \cdot 1 \Leftrightarrow$

$|x \cdot \eta \mu \frac{1}{x} \le |x| \Leftrightarrow$

$|f(x)| \le |x| \Leftrightarrow$

$-|x| \le f(x) \le |x|$

όμως $\underset{x \to 0}{\mathop{\lim}}(-|x|)=\underset{x \to 0}{\mathop{\lim}}|x|=0$ κι έτσι συμπεραίνουμε από το κριτήριο παρεμβολής ότι $\underset{x \to 0}{\mathop{\lim}}f(x)=0$ .

Είδαμε λοιπόν ότι για τις συναρτήσεις ημx και συνx δεν χρειάζεται να μας δοθεί διπλή ανισότητα την γνωρίζουμε εμείς:
$-1 \le \eta \mu x \le 1 \Leftrightarrow | \eta\mu x| \le 1$

και
$-1 \le \sigma \upsilon \nu x \le 1 \Leftrightarrow |\sigma \upsilon \nu x| \le 1$

[/wptabcontent]

[/wptabs]

Όριο Συνάρτησης που δεν έχω τον τύπο της (1/2)

Πως βρίσκουμε το όριο μιας συνάρτησης f όταν δεν μας έχουν δώσει τον τύπο της αλλά μόνο ένα άλλο όριο στο οποίο όμως συμμετέχει και η f.

Γενικής Παιδείας Γ΄ Λυκείου

Υπάρχουν ασκήσεις στις οποίες ζητείται το όριο μιας συνάρτησης f της οποίας όμως δεν μας έχουν δώσει τον τύπο κι έτσι φαίνεται δύσκολο το να υπολογιστεί το όριο αυτό. Προφανώς όμως κάτι θα μας έχουν δώσει για την συνάρτηση αυτή και συνήθως μας δίνουν είτε ένα όριο στο οποίο συμμετέχει και η συνάρτηση f είτε μια διπλή ανισότητα στο κέντρο της οποίας υπάρχει η f. Αυτές τις δύο περιπτώσεις θα μελετήσουμε εδώ αλλά θα χωρίσουμε το άρθρο στα δύο για δύο κυρίως λόγους πρώτα γιατί προβλέπεται να είναι μεγάλο και θα σας κουράσει και δεύτερον γιατί η πρώτη περίπτωση (δεν δίνεται η f αλλά ένα όριο στο οποίο συμμετέχει η f ) αφορά και τους μαθητές της γενικής παιδείας ενώ η δεύτερη περίπτωση (δεν δίνεται η f αλλά δίνεται διπλή ανισότητα που στο κέντρο της εμφανίζεται η f ) αφορά μόνο μαθητές θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης.

Ας ξεκινήσουμε λοιπόν με ένα παράδειγμα όπου

μας ζητούν το $\underset{x \to 3}{\mathop{\lim}}f(x)$

καθώς και το $\underset{x \to 3}{\mathop{\lim}} \frac{f(x)-2}{x^2-3x}$

ενώ μας δίνουν ότι ισχύει: $\underset{x \to 3 }{\mathop{\lim }} \frac{f(x)-2x+4}{x-3}=10$

Βλέπουμε λοιπόν εδώ ότι δεν γνωρίζουμε ποια είναι η συνάρτηση f το μόνο που ξέρουμε είναι ένα όριο στο οποίο όμως συμμετέχει και η συνάρτηση f. Θα προσπαθήσουμε λοιπόν να φτιάξουμε έναν «ψεύτικο» τύπο για τη συνάρτηση που μας ενδιαφέρει.

Αυτό το πετυχαίνουμε θεωρώντας σαν συνάρτηση όλο το «περιεχόμενο» του ορίου που μας έχουν δώσει. Δηλαδή, το $\frac{f(x)-2x+4}{x-3}$ το θεωρούμε σαν μια συνάρτηση την οποία και ονομάζουμε g.

Έχουμε τώρα γνωστά δύο πράγματα,

ένα ότι $g(x)=\frac{f(x)-2x+4}{x-3}$ και

δεύτερον ότι το $\underset{x \to 3}{\mathop{\lim}}g(x)=10$

Την πρώτη σχέση την λύνουμε ως προς f(x) και έτσι προκύπτει ο «ψεύτικος τύπος» για την f:

$f(x)=(x-3)g(x)+2x-4$ απ’ όπου θα υπολογίσουμε το όριο της f με τη βοήθεια προφανώς και του γνωστού ορίου της g.

Πράγματι,

$\underset{x \to 3}{\mathop{\lim}}f(x)$ $=\underset{x \to 3}{\mathop{\lim}} (x-3)g(x)+2x-4=0 \cdot 10+2 \cdot 3-4=2$

Ας υπολογίσουμε τώρα και το άλλο όριο,

$\underset{x \to 3}{\mathop{\lim}}\frac{f(x)-2}{x^2-3x}$ παρατηρούμε ότι είναι της μορφής 0/0 (μην ξεχνάμε ότι το όριο της f το βρήκαμε 2). Πρέπει λοιπόν να κάνουμε άρση της απροσδιοριστίας «εμφανίζοντας και εξαφανίζοντας» τον παράγοντα x-3 που ευθύνεται για το 0/0 (καλό είναι να θυμηθείς πως γίνεται αυτό κάνοντας μια γρήγορη ανάγνωση εδώ), έτσι

$\underset{x \to 3}{\mathop{\lim}}\frac{f(x)-2}{x^2-3x}=$

$\underset{x \to 3}{\mathop{\lim}}\frac{(x-3)g(x)+2x-4-2}{x^2-3x}=$

$\underset{x \to 3}{\mathop{\lim}}\frac{(x-3)g(x)+2x-6}{x(x-3)}=$

$\underset{x \to 3}{\mathop{\lim}}\frac{(x-3)g(x)+2(x-3)}{x(x-3)}=$

$\underset{x \to 3}{\mathop{\lim}}\frac{(x-3)[g(x)+2]}{x(x-3)}=$

$\underset{x \to 3}{\mathop{\lim}}\frac{g(x)+2}{x}=\frac{10+2}{3}=4$

Οι μαθητές της θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης θα πρέπει να διαβάσουν και το 2ο μέρος κάνοντας κλικ εδώ >>>

Θέλω να μάθω…πως βρίσκουμε τα σημεία που η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης τέμνει τους άξονες

Ξέρουμε τον τύπο της συνάρτησης f και θέλουμε να βρούμε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες x’x και y’y.

ΑΛΓΕΒΡΑ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

Όταν μας δίνεται ο τύπος μιας συνάρτησης στην ουσία μας δίνεται μια σχέση (ισότητα) που μας δείχνει τον τρόπο που συνδέονται μεταξύ τους τα x (=πρότυπα) με τα y (ή αλλιώς f(x)-εικόνες). Έτσι έχουμε τη δυνατότητα όταν γνωρίζουμε το x να μπορούμε να υπολογίσουμε την εικόνα του αλλά και το αντίστροφο όταν μας δίνουν το y μπορούμε εμείς να βρούμε το x. Ας πάρουμε για παράδειγμα τη συνάρτηση f με τύπο f(x)=4-x². Για να βρω την εικόνα του 1 δεν έχω παρά να βάλω όπου x τον αριθμό 1 και να υπολογίσω το y. Έτσι θα έχω f(1)=4-1²=3, δηλαδή η εικόνα του 1 είναι ο αριθμός 3. Αυτό μου δίνει και μια επιπλέον πληροφορία ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο με συντεταγμένες (1,3). Αν τώρα μας ρωτήσουν ποιος αριθμός έχει εικόνα το -12 θα πρέπει εμείς να πάμε και πάλι στον τύπο της συνάρτησης και να βάλουμε όπου y (ή f(x) – το ίδιο είναι) τον αριθμό -12 και από τη σχέση αυτή να υπολογίσουμε το x. Ας το δούμε,

-12=4-x² άρα 0=16-x² δηλαδή (4-x)(4+x)=0 οπότε x=4 ή x= -4. Απαντάμε λοιπόν ότι οι αριθμοί -4 , 4 έχουν εικόνα τον -12. Πράγμα που σημαίνει ακόμη ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (συμβολίζεται με C_f) περνάει από τα σημεία (-4,-12) και (4,-12). Τελειώσαμε με την εισαγωγή πάμε τώρα στο θέμα μας.

Θέλουμε να βρούμε τα σημεία που η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης τέμνει τον άξονα x’x γνωρίζουμε όμως ότι όλα τα σημεία που βρίσκονται πάνω στον άξονα αυτό έχουν τεταγμένη μηδέν (y=0). Το ίδιο θα ισχύει και με το σημείο που ψάχνουμε άρα αρκεί να βάλουμε στον τύπο της συνάρτησης μας y=0 και να υπολογίσουμε το x. Ας χρησιμοποιήσουμε πάλι την ίδια συνάρτηση που χρησιμοποιήσαμε και πιο πάνω y=4-x² η οποία για y=0 γίνεται 0=4-x² δηλαδή 0=(2-x)(2+x) απ’ όπου προκύπτει x=-2 ή x=2. Επομένως γνωρίζουμε τώρα ότι η f τέμνει τον x’x στα σημεία με συντεταγμένες (-2,0) και (2,0)
Για να βρούμε το σημείο(αν υπάρχει θα είναι ένα και μοναδικό) που η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης τέμνει τον άξονα y’y αρκεί να σκεφτούμε ότι όλα τα σημεία του άξονα αυτού έχουν τετμημένη ίση με μηδέν (x=0). Έτσι λοιπόν θα βάλουμε κι εμείς στον τύπο της συνάρτησης όπου x το αριθμό 0 και θα βρούμε πολύ εύκολα το y. Στην y=4-x² για x=0 παίρνω y=4 και γνωρίζω πλέον ότι η f τέμνει τον y’y στο σημείο με συντεταγμένες (0,4).

Μπορούμε τώρα να καταλήξουμε στο παρακάτω συμπέρασμα:

[su_box color=»#0997FC» title=»Τομές γραφικής παράστασης με τους άξονες»][su_list style=»idea»]

Για να βρω που τέμνει η γραφική παράσταση της f

τον x’x, βάζω στον τύπο της f y=0
τον y’y, βάζω στον τύπο της f x=0

[/su_list][/su_box]

Ας δούμε και μερικά παραδειγματάκια τα οποία σας προτείνω να λύσετε μόνοι σας και στη συνέχεια να κάνετε κλικ στη «Λύση» για να τσεκάρετε αυτό που βρήκατε.

Άσκηση 1:

Να βρείτε σε ποιο σημείο τέμνει η

$f(x)=\frac{x^3-1}{2x^5+3x-1}$

τον άξονα y’y
[wpspoiler name=»Λύση»]

Η f αν τέμνει τον y’y θα τον τέμνει στο σημείο με συντεταγμένες (0,f(0)). Αρκεί λοιπόν να βρούμε το f(0). Βάζουμε x=0 και έχουμε

$f(0)=\frac{0^3-1}{2\cdot 0^5+3\cdot 0-1}=\frac{-1}{-1}=1$

Επομένως το σημείο είναι το (0,1)

Παρατήρηση: Μια συνάρτηση δεν είναι υποχρεωτικό να τέμνει τον άξονα y’y αυτό μπορεί να συμβαίνει για παράδειγμα σε μια συνάρτηση που το 0 δεν θα ανήκει στο πεδίο ορισμού της και κατά συνέπεια δεν θα υπάρχει το f(0) π.χ. η g(x)=1/x. Αν στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης υπάρχει το 0 τότε μπορώ να βρω την εικόνα του άρα και το σημείο που τέμνει αυτή τον y’y. Το σημείο αυτό όμως θα είναι μοναδικό γιατί δεν γίνεται να δώσω στο x την τιμή 0 και να πάρω περισσότερα από ένα αποτελέσματα άλλωστε το λέει ξεκάθαρα και ο ορισμός της συνάρτησης ότι «σε κάθε x από το πεδίο ορισμού αντιστοιχεί ένα και μόνο y». Έτσι λοιπόν η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης μπορεί να τέμνει τον y’y το πολύ σε ένα σημείο.

[/wpspoiler]

Άσκηση 2:

Αν η συνάρτηση

$f(x)=\frac{x^3-k}{2x^5+3x-3k+4}$

τέμνει τον y’y σε σημείο με τεταγμένη 1 να βρείτε το k.

[wpspoiler name=»Λύση»]Το σημείο που η f τέμνει τον y’y έχει συντεταγμένες (0,f(0)). Η άσκηση μας δίνει τη πληροφορία ότι το σημείο αυτό είναι το (0,1) άρα είναι «υποχρεωτικό» να ισχύει

$f(0)=1\Leftrightarrow$

$\frac{0^3-k}{2\cdot 0^5+3\cdot 0 -3k+4}=1\Leftrightarrow$

$\frac{-k}{-3k+4}=1\Leftrightarrow$

$-k=-3k+4\Leftrightarrow$

$3k-k=4\Leftrightarrow 2k=4\Leftrightarrow k=2$

[/wpspoiler]

Άσκηση 3:

Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων

$f(x)=\frac{x^2+x+2}{x-1}$

και

$g(x)=\frac{|4x-12|-8}{x}$

με τους άξονες.

[wpspoiler name=»Λύση»]

Για την f έχουμε
Πεδίο ορισμού:
$\mathbb{R}-\{1\}$

γιατί το x δεν μπορεί να πάρει την τιμή 1 αφού μηδενίζει τον παρονομαστή (x-1=0 $\Leftrightarrow$ x=1)
Τομή με τον y’y: Βάζω x=0 και παίρνω
$f(0)=\frac{0^2+0+2}{0-1}=-2$

άρα τέμνει τον y’y στο (0,-2)
Τομές με τον x’x: Βάζω y=0 και παίρνω
$\frac{x^2+x+2}{x-1}=0\Leftrightarrow x^2+x+2=0$

η εξίσωση αυτή είναι δεύτερου βαθμού με διακρίνουσα αρνητική (Δ=1²-4^.1^.2=-7) επομένως δεν έχει λύσεις πράγμα που σημαίνει ότι η γραφική παράσταση της f δεν τέμνει τον x’x.
Παρατήρηση: Η εξίσωση f(x)=0 είναι μια εξίσωση με άγνωστο το x και το πόσες λύσεις θα έχει εξαρτάται από τη μορφή που θα έχει ο τύπος της συνάρτησης μπορεί να είναι αδύνατη όπως αυτή που είδαμε μόλις τώρα και η C_f να μην τέμνει τον x’x αλλά μπορεί να έχει μια, δύο, τρεις ή και άπειρες λύσεις οπότε να τέμνει τον x’x σε δύο, τρία ή και άπειρα σημεία.
Για την g έχουμε
Πεδίο ορισμού:
$\mathbb{R}-\{0\}$

γιατί το x είναι παρονομαστής και δεν μπορεί να μηδενίζεται
Τομή με τον y’y: Βάζω x=0 ???? Προφανώς η C_g δεν τέμνει τον άξονα των y αφού δεν υπάρχει το g(0)
Τομές με τον x’x: Βάζω y=0 και λύνω την εξίσωση
$g(x)=0\Leftrightarrow$

$\frac{|4x-12|-8}{x}=0\Leftrightarrow$

$|4x-12|-8=0\Leftrightarrow$

$|4x-12|=8\Leftrightarrow$

$\left\{\begin{matrix}4x-12=8\\ \eta \\4x-12=-8 \end{matrix}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}4x=20\Leftrightarrow x=5\\ \eta \\4x=4\Leftrightarrow x=1\end{matrix}$

επομένως η γραφική παράσταση της g τέμνει τον άξονα x’x στα σημεία (1,0) , (5,0)

[/wpspoiler]

Άσκηση 4:

Αν γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση

$f(x)=ax^2+bx+c$

τέμνει τον y’y στο σημείο με τεταγμένη 6 και τον x’x στα σημεία με τετμημένες 2 και 3 να βρεθούν τα a,b και c.

[wpspoiler name=»Λύση»]

Επειδή η f τέμνει τον y’y στο (0,6) θα πρέπει να ισχύει

$f(0)=6\Leftrightarrow a0^2+b0+c=6\Leftrightarrow c=6$

Τώρα η συνάρτηση μας παίρνει τη μορφή

$f(x)=ax^2+bx+6$

γνωρίζουμε όμως ότι τέμνει και τον x’x στα (2,0) και (3,0) επομένως θα ισχύει

$\left\{\begin{matrix}f(2)=0\\ \kappa\alpha\iota\\f(3)=0\end{matrix} \Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix}4a+2b+6=0\\ \kappa\alpha\iota\\9a+3b+6=0\end{matrix}\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix}2a+b+3=0\\ \kappa\alpha\iota\\3a+b+2=0\end{matrix}\Leftrightarrow$

$\left\{\begin{matrix}2a+b=-3\\ \kappa\alpha\iota\\3a+b=-2\end{matrix}\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix}b=-2a-3\\ \kappa\alpha\iota\\3a+(-2a-3)=-2\end{matrix}\Leftrightarrow$ $\left\\{begin{matrix}b=-2a-3\\ \kappa\alpha\iota\\a-3=-2\end{matrix}\Leftrightarrow$

$\left\{\begin{matrix}b=-2a-3\\ \kappa\alpha\iota\\a=1\end{matrix}\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix}b=-2\cdot 1-3\\ \kappa\alpha\iota\\a=1\end{matrix}\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix}b=-5\\ \kappa\alpha\iota\\a=1\end{matrix}$

Έτσι μετά τη λύση του συστήματος βρήκαμε a=1, b=-5, c=6 οπότε και η f είναι η

$f(x)=x^2-5x+6$

[/wpspoiler]

Σύνθεση Συναρτήσεων

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου. Πως βρίσκω αν ορίζεται η σύνθεση δύο συναρτήσεων και πως υπολογίζω τον τύπο της. Θα δείτε και λυμένα παραδείγματα «σύνθεσης» και «αποσύνθεσης» συναρτήσεων.

ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

Τη φετινή σχολική χρονιά με κάποιες τάξεις του σχολείου μας επισκεφτήκαμε ένα εργοστάσιο που εμφιάλωνε κρασί. Εκεί είδαμε ένα μηχάνημα που από τη μία μεριά έμπαιναν τα άδεια μπουκάλια κι από την άλλη έβγαιναν γεμάτα κρασί. Στη συνέχεια μια άλλη μηχανή έπαιρνε αυτά τα μπουκάλια και τα σφράγιζε. Στο τέλος μια ακόμη μηχανή κολλούσε σε αυτά ετικέτες ανάλογα με το περιεχόμενό τους. Κάπως έτσι μπορούμε να φανταστούμε και τις συναρτήσεις σαν μηχανές δηλαδή όπου από την μία μεριά δέχονται αντικείμενα και είναι προγραμματισμένες έτσι ώστε να μεταμορφώνουν αυτά τα αντικείμενα σε κάτι άλλο και να μας τα δίνουν πάλι μεταμορφωμένα. Κι όπως κάθε μηχάνημα έχει τις προδιαγραφές του για το τι αντικείμενα μπορεί να δεχτεί και το πρόγραμμά του που καθορίζει τι δουλεία μπορεί να κάνει, έτσι και οι συναρτήσεις έχουν τις προδιαγραφές τους για το τι αντικείμενα μπορούν να δεχτούν (οι συναρτήσεις που διδασκόμαστε στο σχολείο δέχονται μόνο αριθμούς, αλλά δεν υπάρχουν μόνο αυτές)- αυτό στα μαθηματικά το λέμε Πεδίο Ορισμού της συνάρτησης– κι έχουν κι ένα πρόγραμμα που μας δείχνει τι ακριβώς μπορεί να κάνει η συνάρτηση -αυτό είναι ο τύπος της.

Σχηματικά λοιπόν θα μπορούσαμε να παραστήσουμε τις συναρτήσεις έτσι όπως φαίνονται στις παρακάτω εικόνες 1 και 2.
Όπου βλέπουμε μια μηχανή (=συνάρτηση) με το όνομα f στην οποία μπαίνουν όλοι οι πραγματικοί αριθμοί (έχει πεδίο ορισμού όλο το R) και από την άλλη βγαίνουν 4 φορές μεγαλύτεροι αφού ο τύπος της f είναι f(x)=4x(εικόνα1)

Και στην εικόνα 2 παρακάτω βλέπουμε τη συνάρτηση g που δέχεται μόνο θετικούς αριθμούς (αφού έχει πεδίο ορισμού το R+) Continue reading «Σύνθεση Συναρτήσεων»

Ασκήσεις Μιγαδικών

Λυμένες βασικές ασκήσεις στους μιγαδικούς αριθμούς χωρισμένες σε κατηγορίες για να αντιληφθούμε καλύτερα τον τρόπο που αντιμετωπίζουμε τισ ασκήσεις των μιγαδικών.

ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

Μετά τη θεωρία που ολοκληρώσαμε στο προηγούμενο άρθρο ήρθε η ώρα να λύσουμε μερικές ασκήσεις για να δούμε πως μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτά που μάθαμε

[wptabs mode=»horizontal»]

[wptabtitle]Δυνάμεις του i[/wptabtitle] [wptabcontent]

Άσκηση1:

Να υπολογίσετε τις παραστάσεις:

$i^6+i^{16}+i^{26}+i^{36}+i^{46}+i^{56}$
$\frac{1}{i^{11}}+\frac{1}{i^{41}}+\frac{1}{i^{75}}+\frac{1}{i^{1023}}$

Λύση:

Για τις δυνάμεις του i πρέπει να γνωρίζουμε ότι:
i⁰=1, i¹=i, i²= -1,i³= -i, i⁴=1 και μάλιστα η τελευταία ισότητα θα έλεγα ότι είναι η πιο σημαντική αφού μας επιτρέπει να υπολογίζουμε μεγάλες δυνάμεις του i και αυτό γιατί αν έχουμε να υπολογίσουμε το i^Δδιαιρούμαι το Δ με το 4 κι έστω ότι βρίσκουμε πηλίκο π και υπόλοιπο υ, τότε σύμφωνα με την ταυτότητα της διαίρεσης θα έχουμε Δ=4π+υ οπότε θα ισχύει i^Δ=i^4π+υ=i^4π.i^υ=1^.i^υ=i^υ. Πράγμα που σημαίνει τελικά ότι όταν έχουμε να υπολογίσουμε δυνάμεις του i που ο εκθέτης είναι μεγαλύτερος του 4, διαιρούμαι τον εκθέτη με το 4 και κρατάμε μόνο το υπόλοιπο. Για παράδειγμα το i¹⁰=i²= -1 αφού η διαίρεση του 10 με το 4 αφήνει υπόλοιπο 2.
Πάμε τώρα στην άσκησή μας

i⁶=i²= -1	αφού η διαίρεση του 6 με το 4 αφήνει υπόλοιπο 2
i¹⁶=i⁰=1	αφού η διαίρεση του 16 με το 4 αφήνει υπόλοιπο 0
i²⁶=i^{2= -1}	αφού η διαίρεση του 26 με το 4 αφήνει υπόλοιπο 2
i³⁶=i⁰=1	αφού η διαίρεση του 36 με το 4 αφήνει υπόλοιπο 0
i⁴⁶=i²= -1	αφού η διαίρεση του 46 με το 4 αφήνει υπόλοιπο 2
i⁵⁶=i⁰=1	αφού η διαίρεση του 56 με το 4 αφήνει υπόλοιπο 0
$i^6+i^{16}+i^{26}+i^{36}+i^{46}+i^{56}=$ $-1+1-1+1-1+1=0$

i¹¹=i³= -i	αφού η διαίρεση του 11 με το 4 αφήνει υπόλοιπο 3
i⁴¹=i¹=i	αφού η διαίρεση του 41 με το 4 αφήνει υπόλοιπο 1
i⁷⁵=i³ -i	αφού η διαίρεση του 75 με το 4 αφήνει υπόλοιπο 3
i¹⁰²³=i³= -i	αφού η διαίρεση του 1023 με το 4 αφήνει υπόλοιπο 3
$\frac{1}{i^{11}}+\frac{1}{i^{41}}+\frac{1}{i^{75}}+\frac{1}{i^{1023}}=$ $\frac{1}{-i}+\frac{1}{i}+\frac{1}{-i}+\frac{1}{-i}=-\frac{2}{i}$

Άσκηση2:

Να αποδείξετε ότι $(1+i)^{20}=(1-i)^{20}$

Λύση:

Το να υπολογίσουμε το (1+i)²⁰ απαιτεί χρήση ταυτότητας που δεν γνωρίζουμε, κάνουμε εμείς λοιπόν την ταυτότητα που ξέρουμε ( άθροισμα στο τετράγωνο) ελπίζοντας να βγει κάτι χρήσιμο (που είναι σίγουρο ότι θα βγει)

$(1+i)^2=1^2+2i+i^2=1+2i-1=2i$

άρα

$(1+i)^{20}=(1+i)^{2\cdot 10}=((1+i)^2)^{10}=(2i)^{10}=$

$=2^{10}\cdot i^{10}=2^{10}\cdot i^2=-2^{10}$

Όμοια

$(1-i)^2=1^2-2i+i^2=1-2i-1=-2i$

άρα

$(1-i)^{20}=(1-i)^{2\cdot 10}=((1-i)^2)^{10}=(-2i)^{10}=$

$=2^{10}\cdot i^{10}=2^{10}\cdot i^2=-2^{10}$

κι έτσι δείξαμε ότι $(1+i)^{20}=(1-i)^{20}$

Η μεθοδολογία εδώ είναι: για να υπολογίσουμε μεγάλες δυνάμεις ενός μιγαδικού z, υπολογίζουμε πρώτα μικρές δυνάμεις z², z³, … μέχρι να πετύχουμε κάποια δύναμη του z που να είναι πραγματικός ή φανταστικός αριθμός. Στη συνέχεια εκμεταλλευόμαστε αυτό το αποτέλεσμα ώστε να βρούμε τον z^ν.

κάντε κλικ εδώ για να επιστρέψετε στην κορυφή και μετά κλικ στη καρτέλα «Έννοια Μιγαδικού – Πράξεις» για να διαβάσετε τη συνέχεια

[/wptabcontent][wptabtitle]Έννοια του μιγαδικού – Πράξεις[/wptabtitle]

[wptabcontent]

Άσκηση1:

Δίνεται ο μιγαδικός $z=6i-(3-4i)x-3yi-(3i-2)x+(4-2yi)$ με $x,y \in \mathbb{R}$ . Να γράψετε τον z στη μορφή a+bi και στη συνέχεια να βρείτε:

Το x ώστε ο z να είναι φανταστικός
Τη σχέση που συνδέει τα x και y ώστε ο z να είναι πραγματικός
Τα x και y ώστε να ισχύει z=0

Λύση:

Κατ’ αρχάς απαλλασσόμαστε από τις παρενθέσεις και συμμαζεύουμε (τους πραγματικούς με τους πραγματικούς και τους φανταστικούς με τους φανταστικούς).

$z=6i-(3-4i)x-3yi-(3i-2)x+(4-2yi)$

$z=6i-3x+4xi-3yi-3xi+2x+4-2yi$

οπότε

$(4-x)+(x-5y+6)i$

Για να ισχύει $z\in \mathbb{I}$ πρέπει το πραγματικό του μέρος να είναι ίσο με μηδέν, δηλαδή 4 – x=0, άρα x=4
Για να είναι ο z πραγματικός πρέπει το φανταστικό του κομμάτι να είναι 0. Πρέπει δηλαδή να ισχύει x – 5y+6=0 κι αυτή είναι η σχέση που συνδέει τα x και y.
Για να έχουμε τώρα z=0 θα πρέπει και το φανταστικό αλλά και το πραγματικό μέρος του z να είναι ίσο με 0. Δηλαδή,
$z=0\Leftrightarrow x=4 \: \kappa\alpha\iota \: x-5y+6=0 \Leftrightarrow$

$x=4 \: \kappa\alpha\iota \: 4-5y+6=0$

άρα $x=4$ και $y=2$

Άσκηση2:

Αν $z=\frac{5-9i}{7+4i}$ και $w=\frac{5+9i}{7-4i}$ να δείξετε ότι ο z+w είναι πραγματικός και ότι ο z – w είναι φανταστικός.

Λύση:

Πρώτα θα φέρουμε τους μιγαδικούς στη μορφή a+bi κι επειδή είναι πηλίκο πολ/ζουμε αριθμητή και παρονομαστή με τον συζυγή του παρονομαστή. Παράλληλα για να γλυτώσουμε πράξεις καλό είναι να θυμηθούμε ότι αν z=a+bi, τότε $z \cdot \overline{z}=|z|^2=a^2+b^2$ . Έχουμε λοιπόν,

$z=\frac{5-9i}{7+4i}=\frac{(5-9i)(7-4i)}{(7+4i)(7-4i)}$

$z=\frac{35-20i-63i+36i^2}{7^2+4^2}$

$z=\frac{(35-36)+(-20-63)i}{65}$

$z=-\frac{1}{65}-\frac{83}{65}i$

Όμοια

$w=\frac{(5+9i)(7+4i)}{(7-4i)(7+4i)}$

$w=\frac{35+20i+63i+36i^2}{65}$

$w=\frac{(35-36)+(20+63)i}{65}=-\frac{1}{65}+\frac{83}{65}i$

Επομένως πράγματι ισχύουν $z+w=(-\frac{1}{65}-\frac{83}{65}i)+(-\frac{1}{65}+\frac{83}{65}i)=-\frac{2}{65}$ που είναι πραγματικός και $z-w=(-\frac{1}{65}-\frac{83}{65}i)-(-\frac{1}{65}+\frac{83}{65}i)=-2\frac{83}{65}i$ που είναι φανταστικός.

κάντε κλικ εδώ για να επιστρέψετε στην κορυφή και μετά κλικ στη καρτέλα «Συζυγής και Μέτρο» για να διαβάσετε τη συνέχεια

[/wptabcontent][wptabtitle]Συζυγής και Μέτρο Μιγαδικού[/wptabtitle]

[wptabcontent]

Άσκηση1:

(α) Να βρείτε τους μιγαδικούς που επαληθεύουν την ισότητα $z \cdot \overline{z} +(z-\overline{z})=3+2i$

(β) Να βρεθεί ο μιγαδικός για τον οποίο ισχύει $\overline{z}=z^2$

Λύση:

Στις περισσότερες ασκήσεις θέτουμε z=x+yi και προσπαθούμε από τη σχέση που μας έχουν δώσει να υπολογίσουμε τα x και y οπότε θα μάθουμε και ποιος είναι ο z. Το ίδιο θα κάνουμε κι εδώ.

(α) Έστω λοιπόν ότι ο z=x+yi, τότε θα έχουμε

$z \cdot \overline{z}=|z|^2=x^2+y^2$

και

$z-\overline{z}=2yi$

έτσι η σχέση

$z \cdot \overline{z} +(z-\overline{z})=3+2i$

γίνεται

$x^2+y^2+2yi=3+2i$

από την οποία παίρνουμε δύο ισότητες (γιατί για να είναι ίσοι δύο μιγαδικοί πρέπει να έχουν ίσα και τα πραγματικά τους μέρη αλλά και τα φανταστικά τους) τις:

(σχέση 1) $x^2+y^2=3$

(σχέση 2) $2y=2$

από την οποία προκύπτει y=1. Την τιμή αυτή του y αντικαθιστούμε στην σχέση 1 που μας δίνει

$x^2+1^2=3 \Leftrightarrow x^2=2$

δηλαδή

$x=-\sqrt{2}$

$x=\sqrt{2}$

. Τελικά οι λύσεις που βρήκαμε από τη λύση του παραπάνω συστήματος είναι

$(x,y)=(-\sqrt{2},1)$

$(x,y)=(\sqrt{2},1)$

επομένως οι μιγαδικοί αριθμοί που ψάχναμε είναι οι

$z_1=-\sqrt{2}+i$

$z_2=\sqrt{2}+i$

(β) Κι εδώ θέτουμε z=x+yi κι αναζητούμε τα x και y ώστε να ισχύει η

$\overline{z}=z^2\Leftrightarrow$

$x-yi=(x+yi)^2 \Leftrightarrow$

$x-yi=x^2+2xyi+y^2i^2\Leftrightarrow$

$x-yi=(x^2-y^2)+2xyi$

αυτό όμως μπορεί να ισχύει μόνο αν ισχύουν ταυτόχρονα οι σχέσεις:

(σχέση 1) $x^2-y^2=x \Leftrightarrow x^2-x=y^2\Leftrightarrow x(x-1)=y^2$

(σχέση 2) $2xy=-y \Leftrightarrow 2xy+y=0 \Leftrightarrow y(2x+1)=0$

η σχέση 2 μας δίνει δύο λύσεις τις

$y=0$ , η οποία αν αντικατασταθεί στην σχέση 1 δίνει
$x(x-1)=0$

δηλαδή
$x=0$

ή
$x=1$

άρα
$z_1=0+0i=0$

ή
$z_2=1+0i=1$
$2x+1=0\Leftrightarrow x=-\frac{1}{2}$ , η οποία αν αντικατασταθεί στην σχέση 1 δίνει
$(-\frac{1}{2})^2-(-\frac{1}{2})=y^2\Leftrightarrow y^2=\frac{3}{4}$

δηλαδή
$y=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

ή
$y=\frac{\sqrt{3}}{2}$

άρα
$z_3=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$

ή
$z_4=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$

Άσκηση2:

Να βρεθεί το μέτρο του μιγαδικού $z=( \frac{2+i}{1-3i} ) ^2$

Λύση:

Εδώ δεν συμφέρει να κάνουμε πράξεις για να φέρουμε τον z στη μορφή a+bi αλλά θα πρέπει να εκμεταλλευτούμε τις ιδιότητες του μέτρου:

$|z|=\left|\left( \frac{2+i}{1-3i}\right) ^2\right|$

$|z|=\left( \left|\frac{2+i}{1-3i}\right|\right) ^2$

$|z|=\left( \frac{|2+i|}{|1-3i|} \right) ^2$

$|z|=\left( \frac{2^2+1^2}{1^2+3^2} \right) ^2=\left(\frac{5}{10}\right)^2=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}$

Άσκηση3:

Αν για τον μιγαδικό z ισχύει |z+9|=3|z+1|, αποδείξτε ότι |z|=3

Λύση:

1ος τρόπος:
Μια ασφαλής αλλά κουραστική μέθοδος είναι να θέσουμε $z=x+yi$ , οπότε

$z+9=(x+9)+yi$

και
$|z+9|^2=(x+9)^2+y^2=x^2+18x+81+y^2$

$z+1=(x+1)+yi$

και
$|z+1|^2=(x+1)^2 +y^2=x^2+2x+1+y^2$

άρα η σχέση που μας δώσανε γίνεται
$|z+9|^2=9|z+1|^2$

$x^2+18x+81+y^2=9x^2+18x+9+9y^2\Leftrightarrow$

$8x^2+8y^2=72\Leftrightarrow$

$x^2+y^2=9\Leftrightarrow|z|^2=9\Leftrightarrow|z|=3$
2ος τρόπος:
Η καλύτερη μέθοδος είναι να δουλέψουμε με τις ιδιότητες ως εξής:

$|z+9|=3|z+1|\Leftrightarrow$

$|z+9|^2=9|z+1|^2\Leftrightarrow$

$(z+9)\overline{(z+9)}=9(z+1)\overline{(z+1)}\Leftrightarrow$

$(z+9)(\overline{z}+9)=9(z+1)(\overline{z}+1)\Leftrightarrow$

$z\overline{z}+9z+9\overline{z}+81=9(z\overline{z}+z+\overline{z}+1)\Leftrightarrow$

$z\overline{z}+9z+9\overline{z}+81=9z\overline{z}+9z+9\overline{z}+9)\Leftrightarrow$

$8z \overline{z}=72\Leftrightarrow z\overline{z}=9\Leftrightarrow |z|^2=9 \Leftrightarrow |z|=3$

κάντε κλικ εδώ για να επιστρέψετε στην κορυφή

[/wptabcontent] [/wptabs]

Μια τεράστια συλλογή ασκήσεων και σημειώσεων για τους μιγαδικούς θα βρείτε εδώ

Μιγαδικοί με το μέτρο

Τι εκφράζει το μέτρο ενός μιγαδικού;
Πως μπορούμε να το υπολογίσουμε;
Ποιες οι ιδιότητες του μέτρου;

Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού — Το μέτρο ενός μιγαδικού είναι η απόστασή του μιγαδικού από την αρχή των αξόνων

Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ

Εισαγωγή – Ορισμός

Σε προηγούμενο άρθρο, που κάναμε την εισαγωγή στους μιγαδικούς αριθμούς, είδαμε ότι ένας μιγαδικός αριθμός μπορεί να παρασταθεί στο μιγαδικό επίπεδο και σαν ένα διάνυσμα (μπορείτε να ρίξετε μια ματιά εδώ να το θυμηθείτε). Αυτό μας δίνει το «δικαίωμα» να ορίσουμε και το μέτρο ενός μιγαδικού ακριβώς όπως είχαμε ορίσει το μέτρο ενός διανύσματος στη Β΄Λυκείου. Δηλαδή, το μέτρο ενός μιγαδικού $z=a+bi$ είναι το μήκος του διανύσματος $\overrightarrow{OM}$ όπου Ο η αρχή των αξόνων και Μ το σημείο με συντεταγμένες Μ(a,b). Έτσι λοιπόν μπορούμε εύκολα με το Πυθαγόρειο θεώρημα να καταλήξουμε στο:

αν $z=a+bi$ , τότε το μέτρο του z (συμβολίζεται $|z|$ ) και είναι ίσο με
$\left| z \right|=\left| a+bi\right|=\sqrt{a^2+b^2}$

Παρατηρήσεις

Το μέτρο ενός μιγαδικού δεν είναι μιγαδικός αλλά πραγματικός αριθμός και μάλιστα μη αρνητικός, δηλαδή
$\left | z \right |\geq0$
Στην περίπτωση που ο z είναι πραγματικός η έννοια του μέτρου ταυτίζεται με την έννοια της απόλυτης τιμής.
Το μέτρο ενός μιγαδικού είναι ίσο με το μέτρο του συζυγούς του (δείτε εδώ τι είναι ο συζυγής) και αυτό γιατί αν z=a+bi, τότε ισχύει $\left | \overline{z} \right |=\left|a-bi\right|=\sqrt{a^2+\left(-b\right)^2}=\sqrt{a^2+b^2}=\left|z\right|$ άρα $\left|\overline{z}\right|=\left|z\right|$
Συνήθως στις ασκήσεις για να «γλιτώνουμε την ταλαιπωρία» της τετραγωνικής ρίζας αντί για το μέτρο του z υπολογίζουμε το |z|²=a²+b² και μάλιστα ισχύει:
$\left|z\right|^2=z \cdot \overline{z}$

και αυτό γιατί
$z\cdot \overline{z}=(a+bi)(a-bi)=a^2-b^2i^2=a^2+b^2=|z|^2$

(θυμίζουμε i²=-1)
To μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών είναι ίσο με την απόσταση των εικόνων τους. Δηλαδή η παράσταση |z-w| γεωμετρικά δηλώνει την απόσταση των μιγαδικών z και w στο μιγαδικό επίπεδο.

Ας δούμε τώρα όλες τις ιδιότητες του μέτρου

Ιδιότητες

αν z=a+bi και w=x+yi, τότε

ComplexGraph — το μέτρο του z είναι ίσο με το μέτρο του συζυγούς του

$|z|=\sqrt{a^2+b^2}\geq0$

$|\overline{z}|=|z|=|-z|=|-\overline{z}|$

$|z|^2=z \cdot \overline{z}$

$|z \cdot w|=|z| \cdot |w|$

$\left|\frac{z}{w}\right|=\frac{ \left|z\right|}{ \left|w\right|}$

$|z^{\nu}|=|z|^{\nu}$

Αυτά τα λίγα είχαμε να πούμε για το μέτρο του μιγαδικού θα ακολουθήσει άρθρο με λυμένα παραδείγματα (update: κάντε κλικ εδώ να δείτε τα λυμένα παραδείγματα) ώστε να μάθουμε να χρησιμοποιούμαι τις παραπάνω ιδιότητες καθώς και ένα ακόμη με την πολύ σημαντική ενότητα των γεωμετρικών τόπων. Γι’ αυτό μείνετε «συντονισμένοι».

Μάθε τα όριά σου και … ξεπέρασέ τα !!!

Πως μπορούμε να υπολογίζουμε το όριο μιας συνάρτησης όταν το χ τείνει σε πραγματικό αριθμό ακόμη και στην περίπτωση που μηδενίζεται ο παρονομαστής.

Γ΄ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Εισαγωγή

Το πρώτο πράγμα που πρέπει να συζητήσουμε εδώ είναι το τι είναι το όριο μιας συνάρτησης. Δυστυχώς ή ευτυχώς στα μαθηματικά της γενικής παιδείας δεν μπορούμε να δώσουμε μαθηματικό ορισμό του ορίου, οπότε το μόνο που μας μένει είναι να πούμε «στο περίπου» τι είναι το όριο μιας συνάρτησης σε κάποιο συγκεκριμένο σημείο. Ας το δούμε αυτό καλύτερα με ένα παράδειγμα. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε τη συνάρτηση f που έχει τύπο $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$ , το Πεδίο Ορισμού αυτής είναι το $D_f=(-\infty,1)\cup (1,+\infty)$ (αν δεν θυμάσαι πως βρίσκουμε το Πεδίο Ορισμού μιας συνάρτησης κάνε κλικ εδώ). Στην περίπτωση που θέλουμε να βρούμε την τιμή που παίρνει f όταν το χ πάρει την τιμή 2 δεν έχουμε παρά να βρούμε το f(2) αντικαθιστώντας στον τύπο της f όπου x τον αριθμό 2 και βρίσκουμε $f(2)=\frac{2^2-1}{2-1}=3$ . Με αυτό τον απλό τρόπο μπορούμε να βρούμε την τιμή της f σε οποιοδήποτε σημείο του Πεδίου Oρισμού της. Αν θέλουμε όμως να δούμε τι τιμή παίρνει η συνάρτησή μας για x=1 αυτό είναι αδύνατο γιατί αφού το 1 δεν ανήκει στο Πεδίο Ορισμού της συνάρτησης δεν έχω το δικαίωμα να βάλω όπου χ το 1.

Όριο Συνάρτησης — Κάντε κλικ στην εικόνα για να πάρετε μια ιδέα της σύγκλισης

Το μόνο που μπορώ να κάνω είναι να δω το πως «συμπεριφέρεται» η συνάρτηση f όταν το x παίρνει τιμές πάρα πολύ κοντά στο 1. Σε αυτή τη περίπτωση λοιπόν αντί να βάζω x=1, χρησιμοποιώ την έννοια του «ορίου» και γράφω $x\rightarrow 1$ που σημαίνει ότι το x πλησιάζει (πάρα πολύ κοντά) στον αριθμό 1 και διαβάζεται «το x τείνει – πλησιάζει δηλαδή – το 1». Υποθέτουμε, προς το παρόν, ότι βρήκαμε το όριο και ότι αυτό είναι 2 ( θα δούμε παρακάτω πως υπολογίζεται ) δεν είναι σωστό να γράψουμε f(1)=2 γιατί αυτό σημαίνει ότι στη συνάρτηση f θέσαμε όπου x τον αριθμό 1 και αυτή μας έδωσε ως αποτέλεσμα την τιμή 2. Το σωστό είναι να γράψουμε $\underset{x\to 1 }{\mathop{\lim }}f(x)=2$ που διαβάζεται «το όριο της συνάρτησης f , όταν το x τείνει στο 1, είναι ο αριθμός 2» και σημαίνει ότι: όταν το x παίρνει τιμές πολύ κοντά στο 1 το f(x) παίρνει τιμές πολύ κοντά στο 2. Επειδή σκοπός του άρθρου αυτού δεν είναι η έννοια του ορίου αλλά ο τρόπος υπολογισμού του ας προχωρήσουμε στο πως μπορούμε να βρούμε το όριο μιας συνάρτησης f όταν το x τείνει σε κάποιον αριθμό a ( $x\to a$ ) και με την προϋπόθεση ότι το x θα μπορεί να πλησιάζει τον αριθμό a. Γιατί δεν μπορούμε να μιλάμε για όριο μιας συνάρτησης έστω g στο 5 αν το Πεδίο Ορισμού της είναι για παράδειγμα το σύνολο $D_f=(1,4)$ αφού το x ανήκει σε αυτό το διάστημα μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή μεγαλύτερη του 1 αλλά μικρότερη του 4 πως λοιπόν θα του δώσουμε τιμές κοντά στο 5;

Υπολογισμός Ορίου

[su_tabs style=1]

[su_tab title=»Η απλή περίπτωση»]

Στην περίπτωση που θέλουμε να υπολογίσουμε το όριο μιας συνάρτησης f όταν το x τείνει σε κάποιο σημείο a , τότε πολύ απλά βρίσκουμε το f(a) αντικαθιστώντας όπου x τον αριθμό a αρκεί:

να μπορεί, όπως αναφέραμε πιο πάνω, το x να πλησιάζει το a , και
να μην μηδενίζεται ο παρονομαστής της συνάρτησης

Ας δούμε κάποια παραδείγματα:

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=x^2-10x+3$ , να βρεθεί το $\underset{x\to 1}{\mathop{lim }}f(x)$ .Λύση: Βλέπουμε ότι η f έχει Πεδίο Ορισμού όλο το $\mathbb{R}=(-\infty,+\infty)$ κι επομένως το x μπορεί να πλησιάζει στο 1 οπότε μπορούμε να ξεκινήσουμε τον υπολογισμό του ορίου:
$\underset{x\to 1 }{\mathop{\lim }}f(x)=\underset{x\to 1 }{\mathop{\lim }}(x^2-10x+3)=$

$=1^2-10\cdot 1+3=-6$
Για τη συνάρτηση $g(x)=\frac{lnx}{x-3}$ να βρείτε τα όρια $\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}g(x)$ και $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}g(x)$ .Λύση: Το πρώτο πράγμα που κάνουμε πάντα είτε το ζητάει η άσκηση είτε όχι είναι να βρούμε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης η οποία παρατηρούμε ότι έχει έχει λογάριθμο και πρέπει το περιεχόμενό του να είναι θετικό (άρα πρέπει x>0) και παρονομαστή το x-3 που δεν πρέπει να μηδενίζεται κι επομένως το x δεν μπορεί να πάρει την τιμή 3 καταλήγουμε λοιπόν στο ότι το πεδίο ορισμού της g είναι το $D_g =(0,3) \cup (3,+\infty)$ . Όσον αφορά στα όρια τώρα, βλέπουμε ότι το πρώτο από αυτά δεν έχει νόημα αφού το x δεν έχει τη δυνατότητα να «πλησιάζει» το -1 οπότε το αφήνουμε και για να είμαι ειλικρινής δεν πιστεύω ότι θα ζητηθεί ποτέ κάτι τέτοιο. Πάμε τώρα στο δεύτερο όριο το οποίο και θα υπολογίσουμε κανονικότατα

$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}g(x)=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\frac{lnx}{x-3}=\frac{ln1}{1-3}=\frac{0}{-2}=0$
Να βρεθεί το όριο $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\frac{x^2-1}{x-1}$
Λύση: Η συνάρτηση της οποίας αναζητάμε το όριο στο 1 είναι η
$h(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$

. Επειδή η συνάρτηση έχει παρονομαστή το x-1 έχει πεδίο ορισμού το $(-\infty,1) \cup (1,+\infty)$ . Παρατηρούμε ότι το 1 δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης, πράγμα που σημαίνει ότι δεν μπορώ να θέσω x=1, αυτό όμως δεν αποτελεί πρόβλημα αφού το x έχει τη δυνατότητα να «προσεγγίσει» το 1 (δηλαδή μπορεί $x \to 1$ ) κι επομένως θα μπορούσαμε να υπολογίσουμε το όριο αυτό αν δεν είχαμε άλλο πρόβλημα. Και ποιο είναι το πρόβλημα αυτό; Ότι ο αριθμός 1 μηδενίζει τον παρονομαστή μας. Ευτυχώς όμως το 1 μηδενίζει και τον αριθμητή ( το x²-1 ) και αυτό μας λύνει τα χέρια γιατί σημαίνει ότι ο αριθμός 1 είναι ρίζα και του παρονομαστή αλλά και του αριθμητή κι όπως μάθαμε στη Β΄ Λυκείου, στον αριθμητή x²-1 είναι κρυμμένος ο παράγοντας x-1 [wpspoiler name=»διαβάστε εδώ το γιατί» ]όταν ένα πολυώνυμο p(x) μηδενίζεται για x=ρ, τότε θα έχει ρίζα τον αριθμό ρ και συνεπώς θα έχει παράγοντα το x-ρ, πράγμα που σημαίνει ότι το πολυώνυμο αναλύεται σε γινόμενο παραγόντων όπου ο ένας από τους παράγοντές του θα είναι το x-ρ, δηλαδή θα ισχύει p(x)=(x – ρ).π(x) , άρα:
$P(\rho)=0 \Leftrightarrow P(x)=(x-\rho) \cdot \pi(x)$

[/wpspoiler] Έτσι εμείς αρκεί να τον εμφανίσουμε για να μπορέσουμε να τον εξαφανίσουμε (δηλαδή να τον απλοποιήσουμε) κι αυτό δεν είναι δύσκολο αφού είναι γνωστό ότι ισχύει x²-1=(x-1)(x+1). Ας δούμε τώρα πως θα υπολογιστεί το όριο

$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\frac{x^2-1}{x-1}=$

$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=$

$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }},(x+1)=1+1=2$

Το παράδειγμα αυτό που λύσαμε ανήκει στην πιο συνηθισμένη κατηγορία ορίων που θα συναντήσετε φέτος και είναι αναγκαίο να επεκταθούμε κι άλλο γι’ αυτό το λόγο κάντε κλικ εδώ και μετά στην καρτέλα «Η Απροσδιόριστη μορφή 0/0» που βρίσκεται λίγο παραπάνω.[/su_tab]

[su_tab title=»Η απροσδιόριστη μορφή 0/0″]

Κατά την αναζήτηση του ορίου μιας κλασματικής συνάρτησης ας την πούμε f σε σημείο α ( $\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}f(x)$ )είναι πιθανό να μηδενίζεται για x=α ο αριθμητής και ο παρονομαστής της συνάρτησης. Σε μια τέτοια περίπτωση ( που ονομάζεται απροσδιόριστη μορφή 0/0) δεν μπορούμε να υπολογίσουμε το όριο από τη συνάρτηση που μας έχουν δώσει κι έτσι καταφεύγουμε στο να υπολογίσουμε το όριο αφού πρώτα απλοποιήσουμε την f . Το πως το καταφέρνουμε αυτό εξαρτάται από τη συνάρτηση που μας έχει δοθεί και θα το δούμε σε παραδείγματα παρακάτω. Η βασική ιδέα όμως είναι κοινή και απλή:

από τη στιγμή που βλέπουμε ότι αν θέσουμε x=α στη συνάρτηση μηδενίζεται ο αριθμητής της και ο παρονομαστής της είμαστε σίγουροι ότι και στον αριθμητή αλλά και στον παρονομαστή είναι «κρυμμένος» ο παράγοντας x-α. Σκοπός είναι να τον «εμφανίσουμε» πάνω και κάτω στο κλάσμα έτσι ώστε να τον απλοποιήσουμε (να τον «εξαφανίσουμε» γιατί αυτός ευθύνεται για το 0/0). Μετά την απλοποίηση αυτή είμαστε σε θέση να υπολογίσουμε πολύ απλά το όριο αντικαθιστώντας όπου x το α.

Για να δούμε όμως αναλυτικά πως θα εμφανίσουμε το x-α θα χωρίσουμε τη διαδικασία σε δύο περιπτώσεις. Στην περίπτωση που οι όροι του κλάσματος είναι πολυώνυμα και στην περίπτωση που στο κλάσμα έχουμε τετραγωνική ρίζα. Κάντε κλικ στις παρακάτω μπάρες να δείτε λυμένα βασικά παραδείγματα με την απαραίτητη μεθοδολογία
[wpspoiler name=»Πολυώνυμα»]

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=\frac{x^3-x^2+x-1}{2x^2-2}$ . Να βρεθεί το όριο $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}f(x)$ .

Λύση: Παρατηρούμε ότι ο παρονομαστής για x=1 μηδενίζεται (2^.1²-2=2-2=0). Είμαστε σίγουροι ότι και ο αριθμητής μηδενίζεται για x=1 αλλά το τσεκάρουμε (1³-1²+1-1=0). Τώρα κάνουμε γινόμενο τον αριθμητή και τον παρονομαστή (μπορείτε να θυμηθείτε την παραγοντοποίηση εδώ):

x³-x²+x-1=(x³-x²)+(x-1)[ref] κάναμε ομαδοποίηση[/ref]=x²(x-1)+(x-1)=(x-1)(x²+1). Βλέπουμε ότι εμφανίστηκε το x-1 άρα είμαστε εντάξει

2x²-2=2(x²-1)=2(x-1)(x+1)[ref]κοινός παράγοντας και διαφορά τετραγώνων[/ref] κι εδώ εντάξει, οπότε:

$f(x)=\frac{x^3-x^2+x-1}{2x^2-2}=\frac{(x-1)(x^2+1)}{2(x-1)(x+1)}=\frac{x^2+1}{2(x+1)}$

επομένως

$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}f(x)=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\frac{x^2+1}{2(x+1)}=\frac{1^2+1}{2(1+1)}=\frac{1}2$

Όπως βλέπουμε αν έχουμε υπόψη μας τι ακριβώς θέλουμε (να εμφανίσουμε τον παράγοντα x-1 και να τον απλοποιήσουμε) ο υπολογισμός ενός ορίου είναι εύκολη υπόθεση. Κι επειδή το μάθημα αυτό αφορά και μαθητές θεωρητικής κατεύθυνσης που ίσως αντιμετωπίζουν κάποιες δυσκολίες στην παραγοντοποίηση θα σας προτείνω κι έναν άλλο τρόπο που θεωρώ ευκολότερο και ίσως πιο σύντομο, το σχήμα Horner που διδαχθήκαμε στη Β΄τάξη του Λυκείου. Ας δούμε λοιπόν την ίδια άσκηση λυμένη με αυτή τη μέθοδο:

Για να κάνω γινόμενο τον αριθμητή x³-x²+x-1 κάνω σχήμα Horner με τον αριθμό 1

1	-1	1	-1	1
	1	0	1
1	0	1	0

Η γαλάζια περιοχή περιέχει τους συντελεστές του πολυωνύμου x³-x²+x-1 που θέλω να κάνω γινόμενο

Η πορτοκαλί περιοχή θα έχει πάντα τον αριθμό στον οποίο τείνει το x (εδώ είναι το 1)

Η ροζ περιοχή θα είναι πάντα 0

Η πράσινη περιοχή μας δίνει τους συντελεστές του πολυωνύμου που θα μείνει όταν απλοποιηθεί το «ενοχλητικό» x-1. Έτσι η νέα μας συνάρτηση θα έχει αριθμητή τον x²+1 αφού το από το σχήμα Horner προκύπτει ότι x³-x²+x-1=(x-1)(x²+1) και το x-1 θα απλοποιηθεί.

Με την ίδια διαδικασία βρίσκω τον νέο παρονομαστή της συνάρτησης

2	0	-2	1
	2	2
2	2	0

οπότε ο παρονομαστής 2x²-2(το γαλάζιο) θα γίνει 2x+2(το πράσινο), αφού από το σχήμα Horner προκύπτει 2x²-2=(x-1)(2x+2) και το x-1 θα απλοποιηθεί.

Τελικά η συνάρτηση f θα γίνει

$f(x)=\frac{x^3-x^2+x-1}{2x^2-2}=\frac{x^2+1}{2x+2}$

κι επομένως το όριο είναι

$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}f(x)=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\frac{x^2+1}{2x+2}=\frac{1^2+1}{2 \cdot 1+2}=\frac{1}{2}$

Το να ξεφύγεις από την απροσδιόριστη μορφή 0/0 στην περίπτωση που στη συνάρτηση έχεις πολυώνυμο το σχήμα Horner είναι το πιο εύκολο. Το δύσκολο είναι να το περιγράψω πλήρως μέσα από αυτό το άρθρο γι’ αυτό αν κάπου σας μπέρδεψα ζητήστε από τον καθηγητή σας να σας το θυμίσει (είναι υπόθεση δύο λεπτών) ή στείλτε μου μήνυμα να λύσουμε ότι απορία έχετε. Καλού κακού όμως θα λύσουμε ένα παράδειγμα ακόμη:

Να βρεθεί το $lim_{x \to 2}\frac{2x^2-3x-2}{(x-2)\sqrt{3x-2}}$ .
Λύση: Για x=2 μηδενίζονται παρονομαστής και αριθμητής άρα πρέπει να εξαλειφθεί ο παράγοντας x-2.

Στον παρονομαστή υπάρχει το x-2 άρα δεν χρειάζεται να κάνουμε κάτι.

Στον αριθμητή θα κάνουμε σχήμα Horner με το 2 γιατί το x τείνει στο 2,

2	-3	-2	2
	4	2
2	1	0

οπότε 2x²-3x-2=(x-2)(2x+1) άρα

$\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\frac{2x^2-3x-2}{(x-2)\sqrt{3x-2}}=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\frac{(x-2)(2x+1)}{(x-2)\sqrt{3x-2}}$

$=\underset{x \to 2}{\mathop{\lim}}\frac{2x+1}{\sqrt{3x-2}}=$

$\frac{2 \cdot 2 +1}{\sqrt{3 \cdot 2 -2}}=\frac{5}{2}$

[/wpspoiler]

[wpspoiler name=»Ριζικά»]

Για να ξεφύγω από το 0/0 όταν το x τείνει στο α, πρέπει να «εμφανίσω» και μετά να «εξαφανίσω» το x-α από αριθμητή & παρονομαστή

Έστω ότι έχουμε τη συνάρτηση $f(x)=\frac{\sqrt{x}-\sqrt{5}}{x-5}$ και θέλουμε να βρούμε το όριο της όταν το τείνει στο 5. Παρατηρούμε ότι για x=5 μηδενίζονται παρονομαστής και αριθμητής, πράγμα που σημαίνει ότι έχω απροσδιόριστη μορφή 0/0, και σύμφωνα με τα όσα έχουμε πει μέχρι τώρα στον αριθμητή αλλά και στον παρονομαστή της συνάρτησης υπάρχει ο παράγοντας x-5 ο οποίος ευθύνεται για τα μηδενικά. Εγώ πρέπει λοιπόν να τον «εμφανίσω» για να τον «εξαφανίσω» . Ευτυχώς στο παράδειγμά μας θα πρέπει να ασχοληθούμε μόνο με τον αριθμητή αφού στον παρονομαστή υπάρχει το x-5 και δεν χρειάζεται να κάνω κάτι. Ο αριθμητής όμως δεν είναι πολυώνυμο για να χρησιμοποιήσω σχήμα Horner ή έστω τους κανόνες της παραγοντοποίησης που έχουμε μάθει μέχρι τώρα. Υπάρχουν αρκετά «κόλπα» για να καταφέρουμε αυτό που θέλουμε αλλά θα αναφερθώ πρώτα στο πιο συνηθισμένο:

Κάνουμε χρήση της γνωστής ταυτότητας «διαφορά τετραγώνων». Ας την θυμηθούμε $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$ . Την ταυτότητα αυτή μπορούμε να την χρησιμοποιήσουμε και με αυτές τις μορφές:

$(\sqrt{A}-\sqrt{B})(\sqrt{A}+\sqrt{B})=(\sqrt{A})^2-(\sqrt{B})^2$

ή ακόμη καλύτερα
$(\sqrt{A}-\sqrt{B})(\sqrt{A}+\sqrt{B})=A-B$
$(\sqrt{A}-B)(\sqrt{A}+B)=A-B^2$
$(A-\sqrt{B})(A+\sqrt{B})=A^2-B$

Για να δούμε τώρα τι κερδίζουμε από αυτό; Όταν θα μας τυχαίνει μία από τις παραστάσεις που βρίσκονται στις παραπάνω παρενθέσεις εμείς θα πολλαπλασιάζουμε αριθμητή αλλά και παρονομαστή με την διπλανή παρένθεση (λέγεται «συζυγής παράσταση» π.χ. η συζυγής παράσταση της $\sqrt{A}+B$ είναι η $\sqrt{A}-B$ ) ώστε σύμφωνα με την ταυτότητα να φύγουν οι ρίζες. Ας το δούμε όμως στη πράξη, στη συνάρτηση f έχω την παράσταση $\sqrt{x}-\sqrt{5}$ η συζυγής παράσταση αυτής είναι η $\sqrt{x}+\sqrt{5}$ πολλαπλασιάζω λοιπόν αριθμητή και παρονομαστή με αυτή

$f(x)=\frac{\sqrt{x}-\sqrt{5}}{x-5}$

$f(x)=\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{5})(\sqrt{x}+\sqrt{5})}{(x-5)(\sqrt{x}+\sqrt{5})}$

$f(x)=\frac{x-5}{(x-5)(\sqrt{x}+\sqrt{5})}$

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{5}}$

οπότε αφού καταφέραμε και διώξαμε το x-5 μπορούμε να υπολογίσουμε το όριο

$\underset{x\to 5}{\mathop{\lim }}f(x)=\underset{x\to 5}{\mathop{\lim }}\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{5}}=\frac{1}{2\sqrt{5}}$

Ένα παράδειγμα ακόμη για να το καταλάβουμε καλύτερα. Να βρεθεί το $\underset{h \to 0}{\mathop{\lim}}\frac{\sqrt{1+h}-1}{h}$
Λύση: Βάζοντας όπου h το 0 παίρνουμε 0/0. Φταίει ο παράγοντας h-0, δηλαδή το h. Κάτω το βλέπουμε και δεν κάνουμε τίποτα. Πάνω έχουμε $\sqrt{1+h}-1$ η συζυγής της είναι η $\sqrt{1+h}+1$ με την οποία πολλαπλασιάζω πάνω και κάτω και παίρνω

$\underset{h \to 0}{\mathop{\lim }}\frac{\sqrt{1+h}-1}{h}=$

$\underset{h \to 0}{\mathop{\lim }}\frac{(\sqrt{1+h}-1)(\sqrt{1+h}+1)}{h(\sqrt{1+h}+1)}=$

$\underset{h \to 0}{\mathop{\lim }}\frac{(1+h)-1^2}{h(\sqrt{1+h}+1)}=$

$\underset{h \to 0}{\mathop{\lim }}\frac{1+h-1}{h(\sqrt{1+h}+1)}=$

$\underset{h \to 0}{\mathop{\lim }}\frac{h}{h(\sqrt{1+h}+1)}=$

$\underset{h \to 0}{\mathop{\lim }}\frac{1)}{\sqrt{1+h}+1}=$

$\underset{h \to 0}{\mathop{\lim }}\frac{1}{\sqrt{1+h}+1}=\frac{1}{\sqrt{1+0}+1}=\frac{1}{2}$

Κι εδώ τελειώνουν οι περιπτώσεις υπολογισμού ορίων που μπορεί να συναντήσει ένας μαθητής Γ΄Λυκείου στα Μαθηματικά της Γενικής Παιδείας (για την κατεύθυνση έχουμε πολλά να πούμε ακόμη). Καταλαβαίνω ότι το άρθρο είναι τεράστιο, θα μπορούσε να είχε γίνει τριλογία, αλλά θεώρησα καλύτερο να υπάρχουν όλες οι περιπτώσεις μαζί για να έχετε μια ολοκληρωμένη εικόνα. Προτείνω να το διαβάσετε περισσότερες από μία φορά και εξασκηθείτε με τις ασκήσεις που σας δίνω στο παρακάτω link.[/wpspoiler]

Επιστροφή^^^
[/su_tab]

[/su_tabs]

[wpspoiler name=»Δείτε την μεθοδολογία» style=»wpui-quark»]

[/wpspoiler]

Θέλω να μάθω…πως βρίσκουμε το Πεδίο Ορισμού μιας συνάρτησης

Τι είναι το Πεδίο Ορισμού μιας συνάρτησης; Πως το υπολογίζω και γιατί;

Γ ‘ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ & ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Ας φανταστούμε τη συνάρτηση σαν μια “προξενήτρα” μιας και η δουλειά της είναι να “ζευγαρώνει” αριθμούς. Πάρτε για παράδειγμα τη συνάρτηση $f(x)=2x$ η οποία παίρνει τον αριθμό x και τον παντρεύει με τον αριθμό 2x, ζευγαρώνει δηλαδή κάθε αριθμό με τον διπλάσιό του, έτσι δημιουργεί ζεύγη αριθμών όπως το (1,2) αφού για χ=1, δίνει f(1)=2, το (3,6) αφού για χ=3 έχουμε f(3)=6. Η συγκεκριμένη συνάρτηση μπορεί να ζευγαρώσει οποιοδήποτε αριθμό και να της ζητήσουμε. Υπάρχουν όμως συναρτήσεις που δεν μπορούν να το κάνουν αυτό σε όλους τους αριθμούς, έχουν δηλαδή κάποιους περιορισμούς. Ας δούμε για παράδειγμα την $g(x)=\frac{1}x$ η οποία “παντρεύει” έναν αριθμό με τον αντίστροφό του, δηλαδή το 5 με το 1/5 αφού g(5)=1/5, το 3/5 με το 5/3 γιατί g(3/5)=5/3 κ.τ.λ.. Το μοναδικό αριθμό όμως που δεν μπορεί να ταιριάξει είναι το 0 γιατί όπως έχουμε μάθει από το Γυμνάσιο ήδη το 0 δεν έχει αντίστροφο (για να μην αναφέρω και το Δημοτικό που μάθαμε ότι δεν ορίζεται διαίρεση με το 0). Όταν λοιπόν μας δίνουν τον τύπο μιας συνάρτησης το πρώτο πράγμα που πρέπει να κάνουμε πριν καν ξεκινήσουμε να την βάλουμε να δουλέψει είναι να βρούμε για ποιούς αριθμούς μπορεί να δουλέψει και για ποιούς όχι. Δεν δίνουμε στη συνάρτηση αριθμούς να παντρέψει χωρίς να δούμε πρώτα αν επιτρέπεται ένας τέτοιος γάμος γιατί υπάρχει περίπτωση αυτός ο γάμος να γεννήσει “τέρατα”. Έτσι λοιπόν όταν μιλάμε για Πεδίο Ορισμού μιας συνάρτησης στη πραγματικότητα εννοούμε το σύνολο των αριθμών που η συνάρτηση μπορεί να πάρει και να τους βρει σύντροφο. Και για να γίνουμε λίγο πιο τυπικοί Πεδίο Ορισμού μιας συνάρτησης f είναι το σύνολο των αριθμών x για τους οποίους υπάρχει το f(x).

Πως όμως μπορούμε να βρούμε το Πεδίο Ορισμού μιας συνάρτησης;

Αυτό είναι αρκετά απλό θα έλεγα αρκεί να ξέρουμε να λύνουμε εξισώσεις, ανισώσεις και να γνωρίζουμε ποιοί είναι οι
περιορισμοί που προκύπτουν από τον τύπο της συνάρτησης που μας έχει δοθεί. Το να γνωρίζουμε να λύνουμε εξισώσεις και ανισώσεις θα το θεωρήσουμε δεδομένο και θα σταθούμε λίγο στο ποιοι είναι οι περιορισμοί που έχουμε μάθει μέχρι τώρα.

Δεν επιτρέπεται ο παρονομαστής να πάρει την τιμή 0:

Έτσι λοιπόν όταν μας δοθεί συνάρτηση που να έχει στον παρονομαστή της μεταβλητή (αυτές οι συναρτήσεις λέγονται ρητές) θα πρέπει εμείς να εξαιρέσουμε εκείνους τους αριθμούς που μηδενίζουν τον παρονομαστή της συνάρτησης.
Π.χ.1 Η συνάρτηση $f(x)=9+\frac{x}{2x-4}$ έχει παρονομαστή το 2x-4 πρέπει να δούμε για ποιές τιμές του x μηδενίζεται και να τις εξαιρέσουμε. Για το λόγο αυτό λύνουμε την εξίσωση

$2x-4=0\Leftrightarrow 2x=4\Leftrightarrow x=4/2=2$

και απαντάμε ότι η συγκεκριμένη συνάρτηση έχει Πεδίο Ορισμού όλους τους (πραγματικούς) αριθμούς εκτός από τον αριθμό 2. Πιο καλά είναι να γράφουμε τον τύπο της συνάρτησης και δίπλα τον περιορισμό, δηλαδή $f(x)=9+\frac{x}{2x-4}$ με $x\neq2$ . Ή ακόμη καλύτερα $D_f=\mathbb{R}-\left\{2\left\}$ , όπου με D_f έχουμε συμβολίσει το Πεδίο Ορισμού της συνάρτησης f. Χρήσιμο είναι όπως θα δείτε αργότερα, όταν θα χρειαστεί να “μελετήσετε” τι ακριβώς δουλειά κάνει η συνάρτηση, να έχετε το Πεδίο Ορισμού σε μορφή διαστημάτων, έτσι σε αυτή τη περίπτωση θα μπορούσαμε να γράψουμε το αποτέλεσμα και ως εξής, $D_f=(-\infty,2)\cup(2,+\infty)$ .
Π.χ.2 Η συνάρτηση $g(x)=\frac{x-1}{x^2-5x+6}+\frac{3}{x+1}$ έχει παρονομαστές τις παραστάσεις:
x+1 η οποία μηδενίζεται για x= –1
( $x+1=0\Leftrightarrow x=-1$ ) και
x²-5x+6 η οποία μηδενίζεται για x=2 ή για x=3
(x²-5x+6=0, Δ=β²-4αγ=1 και $x=\frac{-\beta\pm\sqrt{\Delta}}{2\alpha}=\frac{5\pm1}{2}$ άρα x=2 ή x=3)
Η συνάρτηση g λοιπόν δεν μπορεί να δεχτεί στη θέση του x τους αριθμούς {-1,2,3} έτσι λέμε ότι το Πεδίο Ορισμού της είναι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί εκτός από αυτούς και γράφουμε $D_g=\mathbb{R}-\left\{-1,2,3\right\}$ ή $D_g=(-\infty,-1)\cup(-1,2)\cup(2,3)\cup(3,+\infty)$ .
Τελικά καταλήγουμε στο ότι:

[su_box type=»info» title=»Tip 1″ color=»#0000FF»] όταν θέλουμε να βρούμε το πεδίο ορισμού μιας ρητής συνάρτησης της μορφής $f(x)=\frac{h(x)}{g(x)}$ λύνουμε την εξίσωση g(x)=0 και γράφουμε Df=R-{οι λύσεις της εξίσωσης g(x)=0}[/su_box]

Δεν επιτρέπεται οι υπόρριζες ποσότητες να παίρνουν αρνητικές τιμές:

Αν ο τύπος της συνάρτησης που μας έχει δοθεί περιέχει ριζικά που το υπόρριζο (υπόρριζο είναι η παράσταση που βρίσκεται κάτω από το ριζικό) περιέχει μεταβλητή (τέτοιες συναρτήσεις λέγονται άρρητες), τότε απαιτούμε το υπόρριζο να είναι μεγαλύτερο ή ίσο με το 0.
π.χ.1 Η συνάρτηση $h(x)=3\sqrt{x-4}-2$ ανήκει σε αυτή τη κατηγορία αφού στον τύπο της εμφανίζεται μια τουλάχιστον (τετραγωνική) ρίζα. Το υπόρριζο λοιπόν θα πρέπει να είναι μεγαλύτερο ή ίσο με το 0. Έτσι θα πρέπει να δεχτούμε στο Πεδίο Ορισμού μόνο εκείνες τις τιμές του x για τις οποίες ισχύει: $x-4\geq0 \Leftrightarrow x\geq4$ . Συμπεραίνουμε τώρα ότι το Πεδίο Ορισμού της συνάρτησης h είναι: $D_h=[4,+\infty)$ .
π.χ.2 Στη συνάρτηση $t(x)=\frac{\sqrt{2x-8}+1}{\sqrt{x-8}}$ υπάρχουν δύο υπόρριζα (η παράσταση 2x-8 και η παράσταση x-8) και ένας παρονομαστής (η παράσταση $\sqrt{x-8}$ ). Γι’ αυτό το λόγο απαιτούμε τα παρακάτω:

$\left{\begin{matrix}2x-8\geq 0\Leftrightarrow 2x\geq 8\Leftrightarrow x\geq 4\\ \mathit{\kappa \alpha \iota }\\ x-8\geq 0\Leftrightarrow x\geq 8\\ \mathit{\kappa \alpha \iota }\\ \sqrt{x-8}\neq0\Leftrightarrow x-8\neq0\Leftrightarrow x\neq8\end{matrix}$

αλλά όλα αυτά μαζί μας δίνουν x>8 . Επομένως το Πεδίο Ορισμού της συνάρτησης t είναι το $D_t=(8,+\infty)$ .
Καταλήγουμε τελικά στο εξής:

[su_box type=»info» title=»Tip 2″ color=»#0000FF»] όταν θέλουμε να βρούμε το πεδίο ορισμού μιας άρρητης συνάρτησης της μορφής $f(x)=\sqrt{g(x)}$ λύνουμε την ανίσωση $g(x)\geq0$ και γράφουμε Df={οι λύσεις της ανίσωσης $g(x)\geq0$ }[/su_box]

Δεν επιτρέπεται το περιεχόμενο του λογάριθμου να παίρνει αρνητικές τιμές αλλά ούτε και τη τιμή 0:

Στη Β΄ Λυκείου είδαμε για πρώτη φορά τους λογάριθμους και «μελετήσαμε» τη λογαριθμική συνάρτηση $lnx$ όπου μάθαμε, εκτός των άλλων, ότι το Πεδίο Ορισμού της είναι το $(0,+\infty)$ . Γι’ αυτό όταν σε μια συνάρτηση συναντήσουμε λογάριθμο θα πρέπει να αναζητάμε τα x εκείνα για τα οποία το «περιεχόμενο» του λογάριθμου να είναι θετικό. Για παράδειγμα η συνάρτηση $\phi(x)=ln(x-6)+4x^2$ , έχει Πεδίο Ορισμού το σύνολο $D_\phi = (6,+\infty)$ αφού πρέπει x-6>0 δηλαδή x>6.

Συμπέρασμα,

[su_box type=»info» title=»Tip 3″ color=»#0000FF»] όταν θέλουμε να βρούμε το πεδίο ορισμού μιας λογαριθμικής συνάρτησης της μορφής $f(x)=lng(x)$ λύνουμε την ανίσωση g(x)>0 και γράφουμε Df={οι λύσεις της ανίσωσης g(x)>0}[/su_box]

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ – ΣΧΟΛΙΑ:

Αν η συνάρτηση της οποίας ζητάμε το Πεδίο Ορισμού δεν έχει ούτε παρονομαστές, ούτε ρίζες, ούτε λογάριθμους που να περιέχουν μεταβλητή, τότε δεν υπάρχουν περιορισμοί κι επομένως το Πεδίο Ορισμού αυτής της συνάρτησης θα είναι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί ( $\mathbb{R}$ ).

π.χ. η $g(x)=\frac{x^2-3x+ln2}{4\sqrt{5}}$ έχει $D_g=\mathbb{R}$ αφού δεν υπάρχει x σε παρονομαστή, ρίζα ή λογάριθμο.

Απ’ την άλλη μεριά όμως αν από τον τύπο μιας συνάρτησης f(x) προκύπτουν περισσότεροι του ενός περιορισμοί, είμαστε υποχρεωμένοι να τους χρησιμοποιήσουμε όλους για να βρούμε ποια είναι τελικά αυτά τα x που πληρούν τις προϋποθέσεις που θέλουμε. Ένα τέτοιο παράδειγμα είδαμε παραπάνω με την συνάρτηση $t(x)=\frac{\sqrt{2x-8}+1}{\sqrt{x-8}}$ η οποία είχε x και σε παρονομαστή αλλά και σε ρίζες. Στο παράδειγμα αυτό πήραμε τους απαραίτητους περιορισμούς και για τις ρίζες αλλά και για τον παρονομαστή κι αφού λύσαμε τον καθένα ξεχωριστά βρήκαμε την κοινή τους λύση (στην πραγματικότητα λύσαμε ένα σύστημα).
Επειδή στη Γ΄ Λυκείου θα συναντήσουμε πολλές φορές τριγωνομετρικές συναρτήσεις καλό είναι να επισημάνουμε ότι η εφαπτομένη αλλά και η συνεφαπτομένη έχουν παρονομαστές παρότι δεν φαίνονται (αρκεί να θυμηθούμε ότι $\varepsilon \phi x=\frac{\eta \mu x}{\sigma \upsilon \nu x}$ και $\sigma \phi x=\frac{\sigma \upsilon \nu x}{ \eta \mu x}$ ). Έτσι θα χρειαστεί να πάρουμε τους παρακάτω περιορισμούς:

για την $f(x)=\epsilon\phi x$ , $x\neq\kappa\pi+\frac{\pi}2$ με $\kappa \in \mathbb{Z}$
για την $f(x)=\sigma\phi x$ , $x\neq\kappa\pi$ με $\kappa \in \mathbb{Z}$

Το Πεδίο Ορισμού της συνάρτησης είναι το κόκκινο διάστημα πάνω στον οριζόντιο άξονα

Το Πεδίο Ορισμού μιας συνάρτησης θα μπορούσε να βρεθεί και από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης ( στη περίπτωση που δίνεται αυτή ). Για να δείτε πως κάντε κλικ στην εικόνα.
Για τους μαθητές που παρακολουθούν τα μαθήματα της θετικής ή τεχνολογικής κατεύθυνσης θα πρέπει να αναφέρουμε και δύο ακόμη περιπτώσεις που θα συναντήσουν:
- Συναρτήσεις της μορφής $f(x)=(g(x))^{h(x)}$ : Πρέπει η βάση g(x) να είναι θετική και διάφορη του 1 (στη περίπτωση που το g(x)=1 ορίζεται η f αλλά είναι σταθερή αφού f(x)=1^h(x)=1 για κάθε x)
- Συναρτήσεις οι οποίες έχουν προκύψει από την «σύνθεση» δύο άλλων συναρτήσεων: Για την περίπτωση της «σύνθεσης συναρτήσεων» όμως θα αναφερθούμε αναλυτικά σε άλλο άρθρο.

Αν θέλετε να κάνετε εξάσκηση στα παραπάνω μπορείτε να κατεβάσετε ένα αρχείο με ασκήσεις κάνοντας κλικ στον παρακάτω σύνδεσμο. Μη διστάσετε να στείλετε τις λύσεις ή να ρωτήσετε τυχόν απορίες , στέλνοντας ένα e-mail ή αφήνοντας ένα σχόλιο στο τέλος του άρθρου.

folder_download — Κατεβάστε το αρχείο με τις ασκήσεις

Πράξεις με μιγαδικούς

Αφού γνωρίσαμε το σύνολο των μιγαδικών αριθμών ήρθε ο καιρός να δούμε και πως μπορούμε να κάνουμε πράξεις μέσα σε αυτό το σύνολο. Πριν ξεκινήσουμε όμως καλό θα ήταν να αναφερθούμε και στη ισότητα των μιγαδικών. Έστω λοιπόν ότι έχουμε δύο μιγαδικούς, τον z₁=x₁+y₁i και τον z₂=x₂+y₂i, τότε

Ισότητα μιγαδικών

Δύο μιγαδικοί $z_1=x_1+y_1i , z_2=x_2+y_2i$ θα λέμε ότι είναι ίσοι αν έχουν ίσα πραγματικά αλλά και φανταστικά μέρη. Δηλαδή, $z_1=z_2\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} x_1=x_2\\ \kappa \alpha \iota \\ y_1=y_2 \end{matrix}$

Από εδώ προκύπτει και το πότε ένας μιγαδικός θα είναι ίσος με 0. Πράγματι ένας μιγαδικός z=x+yi θα είναι ίσος με μηδέν (0=0+0i) αν και μόνο αν ισχύει x=0 και y=0.

Πρόσθεση κι αφαίρεση:

Για να προσθέσουμε (ή να αφαιρέσουμε) μιγαδικούς προσθέτουμε (ή αφαιρούμε) τα πραγματικά τους μέρη και το ίδιο κάνουμε με

τα φανταστικά τους μέρη. Δηλαδή, $z_1+z_2=(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i$ $z_1-z_2=(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i$

Παράδειγμα: (3+12i)+(5-4i)=(3+5)+(12-4)i=8+8i

Πολλαπλασιασμός μιγαδικών:

Γιά να πολλαπλασιάσουμε τους μιγαδικούς z₁ και z₂ κάνουμε χρήση της γνωστής μας επιμεριστικής ιδιότητας κι έτσι έχουμε,

$z_1\cdot z_2=(x_1+y_1i)(x_2+y_2i)=x_1x_2+x_1y_2i+y_1x_2i+y_1y_2i^2=$

$(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i$

(θυμηθείτε ότι i²=-1)

Αν ο z₁ είναι πραγματικός, δηλαδή z₁=λ, τότε λz₂=λ(x₂+y₂i)=λx₂+λy₂i.

Παράδειγμα: (1-2i)(3-4i)=3-4i-6i+8i²=3-8-4i-6i=-5-10i

Μέχρι εδώ όλα καλά κι εύκολα το μόνο που μας έμεινε ακόμη είναι να δούμε πως διαιρούμε μιγαδικούς αριθμούς. Πριν όμως αναφερθούμε στη διαίρεση θα χρειαστεί να ορίσουμε τον «συζυγή» ενός μιγαδικού. Κάτι αντίστοιχο είχαμε κάνει και για να ορίσουμε την πράξη της διαίρεσης στους ρητούς αριθμούς. Πρώτα είδαμε τι ονομάζεται αντίστροφος ενός αριθμού και μετά είπαμε ότι γιά να διαιρέσουμε δύο ρητούς πολλαπλασιάζουμε τον διαιρετέο με τον αντίστροφο του διαιρέτη. Κάτι ανάλογο κάνουμε κι εδώ.

Συζυγής ενός μιγαδικού:

Αν θεωρήσουμε το μιγαδικό z=x+yi, ονομάζουμε συζυγή του z και τον συμβολίζουμε με $\bar{z}$ τον μιγαδικό x-yi. Δηλαδή

$z=x+yi\Leftrightarrow\bar{z}=x-yi$

Προφανώς ισχύουν και τα παρακάτω:

Ο z είναι πραγματικός αν και μόνο αν $z=\bar{z}$ και ο z είναι φανταστικός αν και μόνο αν $z=-\bar{z}$

Την απόδειξη των παραπάνω καθώς και άλλες σχέσεις που αφορούν στο συζυγή ενός μιγαδικού θα δούμε σε επόμενο άρθρο για να μη βγούμε τώρα εκτός θέματος. Αυτό που θα χρειαστούμε όμως για τη διαίρεση, που σκοπεύουμε να καταλήξουμε, είναι η σχέση:

αν $z=x+yi$ , τότε ισχύει:

$z \bar{z}=x^2+y^2$

Πράγματι,

$z \bar{z}=(x+yi)(x-yi)=x^2-y^2i^2=x^2+y^2$

Τώρα νομίζω είμαστε έτοιμοι να ορίσουμε και τη διαίρεση

Διαίρεση μιγαδικών:

Γιά να βρούμε το πηλίκο δύο μιγαδικών z₁ και z₂, πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε με τον συζυγή του παρονομαστή. Δηλαδή,

$\frac{z_1}{z_2}=\frac{z_1 \bar{z_2}}{z_2 \bar{z_2}}=\frac{z_1 \bar{z_2}}{x_2^2+y_2^2}$

Παράδειγμα: $\frac{1-2i}{3+4i}=\frac{(1-2i)(3-4i)}{(3+4i)(3-4i)}=\frac{3-4i-6i+8i^2}{3^2+4^2}=$ $\frac{-5-10i}{25}=-\frac{5}{25}-\frac{10}{25}i=-\frac{1}5-\frac{2}5i$