Εξίσωση Ευθείας

Μια λυμένη άσκηση στην εξίσωση της ευθείας για τους μαθητές της Γ΄ Γυμνασίου που για τη λύση της επιλύουμε σύστημα.

point-and-slope

Άσκηση:

Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α(2,7) και Β(1,-3).

Λύση:

Όπως ξέρουμε όλες οι ευθείες έχουν την ίδια αλγεβρική μορφή, όλες είναι της μορφή: y=ax+b (εκτός από τις κατακόρυφες φυσικά)

Εμείς εδώ καλούμαστε να υπολογίσουμε τους αριθμούς a και b. Αφού λοιπόν μας ζητάνε δύο πράγματα θα πρέπει να μας έχουν δώσει και δύο πληροφορίες τις οποίες και θα πρέπει να εκμεταλλευτούμε.Προφανώς στη συγκεκριμένη άσκηση οι δύο πληροφορίες είναι ότι τα σημεία Α και Β είναι σημεία αυτής της ευθείας. Τι σημαίνει όμως αυτό για μας και πως μπορούμε να το χρησιμοποιήσουμε;

«Όταν η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης διέρχεται από κάποιο σημείο, τότε οι συντεταγμένες του σημείου επαληθεύουν την εξίσωση (τον τύπο) της συνάρτησης αυτής»

Δηλαδή, αν αντικαταστήσουμε τις συντεταγμένες του σημείου (x,y) στην εξίσωση της συνάρτησης, προκύπτει μια «αληθής» πρόταση. Αυτό λοιπόν θα κάνουμε κι εδώ, θα αντικαταστήσουμε τις συντεταγμένες των σημείων Α και Β στην εξίσωση y=ax+b κι θα προκύψουν δύο εξισώσεις (με δύο άγνωστους, τους a και b.

Πράγματι,

για το σημείο Α(2,7) έχουμε

    \[7=2a+b\]

ενώ για το σημείο Β(1,-3) έχουμε

    \[-3=a+b\]

Στο σύστημα που προέκυψε αφαιρούμε τις δύο εξισώσεις κατά μέλη ώστε να «εξαφανιστεί» το b και θα έχουμε την εξίσωση

    \[10=a\]

Επανερχόμαστε τώρα σε μια από τις δύο εξισώσεις του συστήματος (προφανώς σε αυτή που θεωρούμε ευκολότερη), αντικαθιστούμε το a με τον αριθμό 10 και υπολογίζουμε το b.

Ας υποθέσουμε ότι επιλέγουμε την-3=a+b που για a=10 δίνει

    \[-3=10+b\]

    \[-10-3=b\]

δηλαδή

    \[b=-13\]

κι έτσι η ευθεία που ψάχναμε ήταν η:

    \[y=10x-13\]

[gn_box type=»warning» title=»Tip 1″]

Όταν μας δίνουν εξίσωση ευθείας και σημείο από το οποίο διέρχεται η ευθεία αυτή πάντα αντικαθιστούμε τις συντεταγμένες του σημείου στην εξίσωση της ευθείας.[/gn_box]

[gn_box type=»warning» title=»Tip 2″]

Για να λύσουμε σύστημα που προέκυψε από εξίσωση ευθείας όπως στην παραπάνω άσκηση, ο συντομότερος τρόπος είναι να αφαιρέσουμε τις εξισώσεις κατά μέλη.[/gn_box]

Δοκιμάστε κι εσείς να λύσετε την παρακάτω άσκηση και στείλτε μας την απάντηση(στα σχόλια αυτού του άρθρου ή με email).

Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που τέμνει τον άξονα χ΄χ στο σημείο με τετμημένη -1 ενώ τον ψ΄ψ στο σημείο με τεταγμένη 1. Καλή επιτυχία.

15 σκέψεις σχετικά με το “Εξίσωση Ευθείας”

  1. Αφού βρούμε το α=-2 κάνοντας την αφαίρεση των 2 γραμμών, και μετά αφού επιλέξουμε
    μια από τις 2 εξησώσεις.
    δηλαδή 7=2α+β ή την -3=7α+β γιατί επιλέξαμε την 10=2α+β ? που δεν είναι μια από τις προηγούμενες?

    Απάντηση

  3. οταν ψαχνουμε μια ευθεια,και δινεται μονο το ενα σημειο της πχ τ Α,πως μπορουμε να βρουμε το αλλο σημειο της?το β δηλαδη?αφου χρειαζομαι 2σημεια για να την βρω…ευχαριστω

    Απάντηση

    1. Όταν θέλουμε να βρούμε την εξίσωση μιας ευθείας (ε) χρειαζόμαστε μόνο το «συντελεστή διεύθυνσης» λ και ένα μόνο σημείο από το οποίο διέρχεται η ευθεία.
      (Ρίξε μια ματιά κι εδώ)
      Και για να τα βάλουμε σε μια τάξη

      το λ είτε θα δίνεται άμεσα είτε έμμεσα ως εξής:
      μέσω της παραλληλίας της (ε) με κάποια άλλη ευθεία (δ) ή με κάποιο διάνυσμα δ, οπότε ισχύει: λε=λδ

      μέσω της καθετότητας της (ε) με κάποια άλλη ευθεία (δ) ή με κάποιο διάνυσμα δ, οπότε ισχύει: λε.λδ= -1

      μέσω της γωνίας ω που σχηματίζει η (ε) με τον άξονα χ΄χ και τότε ισχύει λ=εφω
      μέσω δύο γνωστών σημείων Α(χ1,ψ1), Β(χ2,ψ2) της ευθείας (ε), τότε λε=

          \[\frac{\psi_2-\psi_1}{\chi_2-\chi_1}\]

      (Πιο αναλυτικά θα τα βρείς εδώ)

      Το ένα και μοναδικό σημείο που χρειαζόμαστε για να βρούμε την εξίσωση της ευθείας συνήθως δίνεται άμεσα στη «χειρότερη περίπτωση» που δεν γίνεται αυτό η άσκηση θα λέει ότι η ευθεία που ζητάμε διέρχεται από το σημείο τομής δύο άλλων ευθειών π.χ. της (δ) και της (ζ) και σε αυτή τη περίπτωση βρίσκουμε τις συντεταγμένες του σημείου αυτού λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων της (δ) και της (ζ).
      Θα ακολουθήσουν σύντομα άρθρα με λυμένα παραδείγματα που ελπίζω να σε βοηθήσουν. Για οποιαδήποτε απορία μη διστάσεις να μου γράψεις.

      Απάντηση

  4. σας ευχαριστω πολυ!σημερα εγραφα στο φροντιστηριο μου το κεφαλαιο με την εξισωση ευθειας!τα διαβαζα για ωρες και τα ηξερα!αλλα εχασα 10μοναδες απο μια απροσεξια μου,μου τ αλλαξε τ αποτελεσμα!τελος παντων,θελω να καταληξω στο οτι δν εγραψα οσο ηθελα και αυτο ειναι που με αγχωνει για του χρονου!
    2(ΟΑΒ)/ΑΒ|=d(O,ε) kai ελεγε να το δειξουμε!εχασα και απο κει 10μοναδες και πανω κατω εγραψα 50..:( αυτο ειναι που με αγχωνει…τα αλλα λαθη ηταν απροσεξιας!αλλα δεν μου φαινεται και δυσκολο το κεφαλαιο αυτο!τι μπορω να κανω για να βελτιωθω και αλλο?εξασκηση?

    Απάντηση

    1. Απ’ ότι κατάλαβα είσαι θετική ή τεχνολογική κατεύθυνση στη Β΄ Λυκείου. Τα άρθρα που έχω γράψει αφορούν κυρίως τη γενική παιδεία, στη κατεύθυνση δουλεύουμε λίγο διαφορετικά όχι γιατί με τον τρόπο που προτείνω δεν λύνονται οι ασκήσεις της ευθείας αλλά γιατί στην κατεύθυνση έχεις μάθει περισσότερους τύπους κι έτσι μπορείς να λύσεις τις ίδιες ασκήσεις ευκολότερα και κυρίως γρηγορότερα.
      Θα σου πρότεινα να μην αγχώνεσαι (τετριμμένο ακούγεται) γιατί από αυτά που θα μέθεις φέτος θα σου χρειαστούν μόνο: η τριγωνομετρία, το σχήμα Horner, οι ιδιότητες των λογαρίθμων (από τη γενική παιδεία) και η εξίσωση της ευθείας (σε πολλές περιπτώσεις) κυρίως ο τύπος

          \[\psi-\psi_0=\lambda(\chi-\chi_0)\]

      , όπου Μ(χ0,ψ0) ένα σημείο της ευθείας καθώς και οι πολύ απλές περιπτώσεις στην εξίσωση του κύκλου.
      Αυτό που θα χρειαστείς πιο πολύ απ’ όλα όμως είναι να μάθεις να διαβάζεις σωστά και να διαπραγματεύεσαι τα θέματα των διαγωνισμάτων ή τις ασκήσεις αν θες, με μια διαφορετική φιλοσοφία καθώς και να μην αφήνεις κενά γιατί θα σε κουράσουν του χρόνου. Από το ενδιαφέρον που δείχνεις πιστεύω ότι θα πας καλά και σου το εύχομαι.
      Όσον αφορά στην άσκηση 2(ΟΑΒ)/|ΑΒ|=d(O,ε) εγώ θα την έλυνα ως εξής: (OAB)=\frac{1}{2} \beta\cdot\upsilon\Leftrightarrow 2(OAB)=|AB|.d(O,ε) άρα 2(ΟΑΒ)/|ΑΒ|=d(O,ε).
      Καλή συνέχεια, καλό κουράγιο κι ότι χρειαστείς ενημέρωσέ με.

      Απάντηση

  5. μμμμ..μαλιστα!ετσι την ελυσα και εγω μονο που δεν εγραψα το 1/2β*υ.
    σας ευχαριστω πολυ και ο,τι εχω να ρωτησω θα σας το ρωτησω:) καλη σας χρονια,χρονια πολλα!

    Απάντηση

    1. Εξαρτάται Σπύρο για ποια γωνία ενδιαφέρεσαι. Αν θέλουμε να βρούμε την γωνία που σχηματίζει μια ευθεία με τον άξονα χ΄χ, τότε ισχύει (από τη θεωρία)

          \[\lambda_{\epsilon}=\epsilon\phi\omega\]

      όπου ω είναι η γωνία που σχηματίζει ο άξονας χ΄χ με την ευθεία (ε). Ρίξε μια ματιά εδώ. Έτσι π.χ. αν ξέρουμε ότι λ=1 συμπεραίνουμε ότι εφω=1 κι επομένως ω=45o

      Απάντηση

    1. Λύνεις το σύστημα των δύο πλευρών π.χ. ΑΒ και ΑΓ και η λύση είναι οι συντεταγμένες του κοινού σημείου δηλαδή του Α. Το ίδιο κάνεις και για τις άλλες κορυφές.

      Απάντηση

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *