Ισοδύναμα Κλάσματα

$maths-fractions$ Αν υποθέσουμε ότι έχουμε μία πίτσα που την κόβουμε σε 8 ίσα κομμάτια και από αυτά παίρνουμε τα 4, τότε έχουμε πάρει τα $\frac{4}{8}$ της πίτσας.
Αν αυτή τη κόβαμε σε 4 ίσα κομμάτια και από αυτά παίρναμε τα 2, τότε θα είχαμε τα $\frac{2}{4}$ της πίτσας.
Και στις δύο περιπτώσεις όμως θα είχαμε πάρει τη μισή πίτσα. Έτσι παρότι τα κλάσματα $\frac{4}{8}$ και $\frac{2}{4}$ φαίνονται διαφορετικά στην πραγματικότητα δεν είναι αφού εκφράζουν και τα δύο το ίδιο μέρος της πίτσας. Τα κλάσματα αυτά είναι λοιπόν ίσα ή ισοδύναμα.

[important]

Γενικότερα,

Ισοδύναμα (ή ίσα) λέγονται δύο ή περισσότερα κλάσματα όταν εκφράζουν το ίδιο μέρος (τμήμα) ενός μεγέθους.

[/important]

Να δούμε όμως όταν μας δώσουν ένα κλάσμα,πως μπορούμε εμείς να φτιάξουμε ένα ή και περισσότερα άλλα κλάσματα ισοδύναμα με αυτό. Αν παρατηρήσουμε τα κλάσματα του προηγούμενου παραδείγματος θα δούμε ότι για να πάμε από το $\frac{2}{4}$ στο $\frac{4}{8}$ αρκεί να πολλαπλασιάσουμε και τους δύο όρους του $\frac{2}{4}$ με τον αριθμό 2, και αντίστροφα για να πάμε από το $\frac{4}{8}$ στο $\frac{2}{4}$ πρέπει να διαιρέσουμε τους όρους με το 2. Έτσι λοιπόν συμπεραίνουμε ότι:

Για να φτιάξεις κλάσματα ισοδύναμα με κάποιο δοσμένο κλάσμα αρκεί:

ή να πολλαπλασιάσεις τους όρους του κλάσματος με τον ίδιο αριθμό ( π.χ. $\frac{30}{40} = \frac{30 \cdot 5}{40 \cdot 5} = \frac{150}{200}$ )

ή να διαιρέσεις τους όρους του κλάματος με τον ίδιο αριθμό ( $\frac{30}{40} = \frac{30:10}{40:10} = \frac{3}{4}$ ).

Ισχύουν λοιπόν τα εξής:

$\frac{ \alpha }{ \beta } = \frac{ \alpha \cdot \lambda }{ \beta \cdot \lambda }$

και

$\frac{ \alpha }{ \beta } = \frac{\alpha:\lambda}{\beta:\lambda}$

Όταν διαιρούμαι τους όρους ενός κλάσματος με κάποιον κοινό διαιρέτη τους, προκύπτει ένα νέο κλάσμα ισοδύναμο με το αρχικό αλλά με μικρότερους όρους. Όπως και στο προηγούμενο παράδειγμα από το κλάσμα $\frac{30}{40}$ διαιρώντας και τους δύο όρους με το 10 καταλήξαμε στο πιο απλό $\frac{3}{4}$ . Τα δύο αυτά κλάσματα είναι ίσα αλλά το $\frac{3}{4}$ έχει μικρότερους όρους από το $\frac{30}{40}$ . Η παραπάνω διαδικασία ονομάζεται απλοποίηση κλάσματος.

[important]

Δηλαδή:

Απλοποίηση κλάσματος ονομάζουμε τη διαδικασία κατά την οποία βρίσκουμε ένα κλάσμα ίσο με το αρχικό αλλά με μικρότερους όρους.

[/important]

Για να κάνουμε απλοποίηση πρέπει να διαιρέσουμε τους όρους του κλάσματος με κάποιο κοινό διαιρέτη του αριθμητή και του παρονομαστή (π.χ $\frac{6}{12} = \frac{6:2}{12:2} = \frac{3}{6}$ ). Αν όμως χρησιμοποιήσουμε τον ΜΚΔ
του αριθμητή και παρονομαστή θα πετύχουμε καλύτερο αποτέλεσμα (π.χ. ΜΚΔ(6,12)=6, άρα $\frac{6}{12} = \frac{6:6}{12:6} = \frac{1}{2}$ ).

[important]

Όταν ένα κλάσμα δεν απλοποιείται καλείται ανάγωγο.

[/important]

Π.χ. τα κλάσματα $\frac{1}{2} \: \frac{2}{3}\: \frac{5}{9}$ , $\frac{7}{12}$ και είναι ανάγωγα.

4 σκέψεις σχετικά με το “Ισοδύναμα Κλάσματα”

Γειά σας,

Εχω ένα πρόβλημα με εξισώσεις και έχω μπερδευτεί.Μπορεί να με βοηθήσετε ?

Ενα πλοίο έχει 24 άτομα πλήρωμα και τρόφιμα για 30 μέρες.Μετά απο 10 μέρες περισυλλέγει 6 ναυαγούς.Για πόσες μέρες ακόμα θα φτάσουν τα τρόφιμα?

Ευχαριστώ,
Μαρία

Απάντηση

Ο/Η Παναγιώτης Δουληγέρης λέει:

3 Νοεμβρίου 2013 στις 11:08 ΜΜ

Τα τρόφιμα που υπάρχουν στο πλοίο μπορούν να ταίσουν 24 άτομα για 30 μέρες άρα υπάρχουν στο πλοίο 30×24=720 μερίδες φαγητό. Μετά από 10 μέρες θα έχουν φαγωθεί 24×10=240 μερίδες. Άρα τους μένουν 720 – 240 = 480 μερίδες τις οποίες όμως πρέπει να τις μοιραστούν 30 άτομα (μαζί με τους ναυαγούς επομένως θα τους φτάσουν για 480 : 30 = 16 μέρες

Απάντηση

θα ήθελα την γνώμη σας σε κάτι…σε ερώτηση της 6 δημοτικού αν (είναι σωστό η λάθος )οτι τα ισοδύναμα κλάσματα είναι πολλά η κόρη μου απάντησε Λ με το σκεπτικό ότι τα ισοδύναμα κλάσματα είναι άπειρα! Γιατί δεν απάντησε σωστά?είναι το ίδιο το πολύ με το άπειρο?θα ήθελα τη γνώμη σας ….ευχαριστώ

Απάντηση

Ο/Η mathland λέει:

17 Ιανουαρίου 2014 στις 12:48 πμ

Κοσμά, νομίζω ότι αν το «πολλά», το «όχι πολλά» και το «άπειρο» αν είναι ίδια ή όχι είναι θέμα που δεν μπορεί να απασχολεί ένα παιδί δημοτικού. Είναι πολύ δύσκολο θέμα ακόμη και για πιο «ώριμα» μυαλά. Υποθέτω ότι απαντώντας στην ερώτηση που μου λέτε, ότι είναι λάθος, μάλλον θεωρήκε από τον δάσκαλο ότι εννοούσε «αφού δεν είναι πολλά θα είναι ένα». Αν ή ερώτηση ήταν προφορική θα μπορούσε να δωθεί διευκρίνηση για το τι εννοούσε και αυτός που ρώτησε αλλά και αυτός που απάντησε. Αν η άσκηση έπρεπε να απαντηθεί γραπτώς θα ήταν καλύτερο να είχε άλλη διατύπωση όπως για παράδειγμα «Για κάθε κλάσμα υπάρχει ένα και μοναδικό ισοδύναμο με αυτό κλάσμα Σ – Λ»

Απάντηση

4 σκέψεις σχετικά με το “Ισοδύναμα Κλάσματα”

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης