Γενικής Γ΄

Όριο Συνάρτησης που δεν έχω τον τύπο της (1/2)

Πως βρίσκουμε το όριο μιας συνάρτησης f όταν δεν μας έχουν δώσει τον τύπο της αλλά μόνο ένα άλλο όριο στο οποίο όμως συμμετέχει και η f.

Γενικής Παιδείας Γ΄ Λυκείου

Υπάρχουν ασκήσεις στις οποίες ζητείται το όριο μιας συνάρτησης f της οποίας όμως δεν μας έχουν δώσει τον τύπο κι έτσι φαίνεται δύσκολο το να υπολογιστεί το όριο αυτό. Προφανώς όμως κάτι θα μας έχουν δώσει για την συνάρτηση αυτή και συνήθως μας δίνουν είτε ένα όριο στο οποίο συμμετέχει και η συνάρτηση f είτε μια διπλή ανισότητα στο κέντρο της οποίας υπάρχει η f. Αυτές τις δύο περιπτώσεις θα μελετήσουμε εδώ αλλά θα χωρίσουμε το άρθρο στα δύο για δύο κυρίως λόγους πρώτα γιατί προβλέπεται να είναι μεγάλο και θα σας κουράσει και δεύτερον γιατί η πρώτη περίπτωση (δεν δίνεται η f αλλά ένα όριο στο οποίο συμμετέχει η f ) αφορά και τους μαθητές της γενικής παιδείας ενώ η δεύτερη περίπτωση (δεν δίνεται η f αλλά δίνεται διπλή ανισότητα που στο κέντρο της εμφανίζεται η f ) αφορά μόνο μαθητές θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης.

Ας ξεκινήσουμε λοιπόν με ένα παράδειγμα όπου

μας ζητούν το $\underset{x \to 3}{\mathop{\lim}}f(x)$

καθώς και το $\underset{x \to 3}{\mathop{\lim}} \frac{f(x)-2}{x^2-3x}$

ενώ μας δίνουν ότι ισχύει: $\underset{x \to 3 }{\mathop{\lim }} \frac{f(x)-2x+4}{x-3}=10$

Βλέπουμε λοιπόν εδώ ότι δεν γνωρίζουμε ποια είναι η συνάρτηση f το μόνο που ξέρουμε είναι ένα όριο στο οποίο όμως συμμετέχει και η συνάρτηση f. Θα προσπαθήσουμε λοιπόν να φτιάξουμε έναν «ψεύτικο» τύπο για τη συνάρτηση που μας ενδιαφέρει.

Αυτό το πετυχαίνουμε θεωρώντας σαν συνάρτηση όλο το «περιεχόμενο» του ορίου που μας έχουν δώσει. Δηλαδή, το $\frac{f(x)-2x+4}{x-3}$ το θεωρούμε σαν μια συνάρτηση την οποία και ονομάζουμε g.

Έχουμε τώρα γνωστά δύο πράγματα,

ένα ότι $g(x)=\frac{f(x)-2x+4}{x-3}$ και

δεύτερον ότι το $\underset{x \to 3}{\mathop{\lim}}g(x)=10$

Την πρώτη σχέση την λύνουμε ως προς f(x) και έτσι προκύπτει ο «ψεύτικος τύπος» για την f:

$f(x)=(x-3)g(x)+2x-4$ απ’ όπου θα υπολογίσουμε το όριο της f με τη βοήθεια προφανώς και του γνωστού ορίου της g.

Πράγματι,

$\underset{x \to 3}{\mathop{\lim}}f(x)$ $=\underset{x \to 3}{\mathop{\lim}} (x-3)g(x)+2x-4=0 \cdot 10+2 \cdot 3-4=2$

Ας υπολογίσουμε τώρα και το άλλο όριο,

$\underset{x \to 3}{\mathop{\lim}}\frac{f(x)-2}{x^2-3x}$ παρατηρούμε ότι είναι της μορφής 0/0 (μην ξεχνάμε ότι το όριο της f το βρήκαμε 2). Πρέπει λοιπόν να κάνουμε άρση της απροσδιοριστίας «εμφανίζοντας και εξαφανίζοντας» τον παράγοντα x-3 που ευθύνεται για το 0/0 (καλό είναι να θυμηθείς πως γίνεται αυτό κάνοντας μια γρήγορη ανάγνωση εδώ), έτσι

$\underset{x \to 3}{\mathop{\lim}}\frac{f(x)-2}{x^2-3x}=$

$\underset{x \to 3}{\mathop{\lim}}\frac{(x-3)g(x)+2x-4-2}{x^2-3x}=$

$\underset{x \to 3}{\mathop{\lim}}\frac{(x-3)g(x)+2x-6}{x(x-3)}=$

$\underset{x \to 3}{\mathop{\lim}}\frac{(x-3)g(x)+2(x-3)}{x(x-3)}=$

$\underset{x \to 3}{\mathop{\lim}}\frac{(x-3)[g(x)+2]}{x(x-3)}=$

$\underset{x \to 3}{\mathop{\lim}}\frac{g(x)+2}{x}=\frac{10+2}{3}=4$

Οι μαθητές της θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης θα πρέπει να διαβάσουν και το 2ο μέρος κάνοντας κλικ εδώ >>>

Θέλω να μάθω…πως βρίσκουμε τα σημεία που η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης τέμνει τους άξονες

Ξέρουμε τον τύπο της συνάρτησης f και θέλουμε να βρούμε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες x’x και y’y.

ΑΛΓΕΒΡΑ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

Όταν μας δίνεται ο τύπος μιας συνάρτησης στην ουσία μας δίνεται μια σχέση (ισότητα) που μας δείχνει τον τρόπο που συνδέονται μεταξύ τους τα x (=πρότυπα) με τα y (ή αλλιώς f(x)-εικόνες). Έτσι έχουμε τη δυνατότητα όταν γνωρίζουμε το x να μπορούμε να υπολογίσουμε την εικόνα του αλλά και το αντίστροφο όταν μας δίνουν το y μπορούμε εμείς να βρούμε το x. Ας πάρουμε για παράδειγμα τη συνάρτηση f με τύπο f(x)=4-x². Για να βρω την εικόνα του 1 δεν έχω παρά να βάλω όπου x τον αριθμό 1 και να υπολογίσω το y. Έτσι θα έχω f(1)=4-1²=3, δηλαδή η εικόνα του 1 είναι ο αριθμός 3. Αυτό μου δίνει και μια επιπλέον πληροφορία ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο με συντεταγμένες (1,3). Αν τώρα μας ρωτήσουν ποιος αριθμός έχει εικόνα το -12 θα πρέπει εμείς να πάμε και πάλι στον τύπο της συνάρτησης και να βάλουμε όπου y (ή f(x) – το ίδιο είναι) τον αριθμό -12 και από τη σχέση αυτή να υπολογίσουμε το x. Ας το δούμε,

-12=4-x² άρα 0=16-x² δηλαδή (4-x)(4+x)=0 οπότε x=4 ή x= -4. Απαντάμε λοιπόν ότι οι αριθμοί -4 , 4 έχουν εικόνα τον -12. Πράγμα που σημαίνει ακόμη ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (συμβολίζεται με C_f) περνάει από τα σημεία (-4,-12) και (4,-12). Τελειώσαμε με την εισαγωγή πάμε τώρα στο θέμα μας.

Θέλουμε να βρούμε τα σημεία που η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης τέμνει τον άξονα x’x γνωρίζουμε όμως ότι όλα τα σημεία που βρίσκονται πάνω στον άξονα αυτό έχουν τεταγμένη μηδέν (y=0). Το ίδιο θα ισχύει και με το σημείο που ψάχνουμε άρα αρκεί να βάλουμε στον τύπο της συνάρτησης μας y=0 και να υπολογίσουμε το x. Ας χρησιμοποιήσουμε πάλι την ίδια συνάρτηση που χρησιμοποιήσαμε και πιο πάνω y=4-x² η οποία για y=0 γίνεται 0=4-x² δηλαδή 0=(2-x)(2+x) απ’ όπου προκύπτει x=-2 ή x=2. Επομένως γνωρίζουμε τώρα ότι η f τέμνει τον x’x στα σημεία με συντεταγμένες (-2,0) και (2,0)
Για να βρούμε το σημείο(αν υπάρχει θα είναι ένα και μοναδικό) που η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης τέμνει τον άξονα y’y αρκεί να σκεφτούμε ότι όλα τα σημεία του άξονα αυτού έχουν τετμημένη ίση με μηδέν (x=0). Έτσι λοιπόν θα βάλουμε κι εμείς στον τύπο της συνάρτησης όπου x το αριθμό 0 και θα βρούμε πολύ εύκολα το y. Στην y=4-x² για x=0 παίρνω y=4 και γνωρίζω πλέον ότι η f τέμνει τον y’y στο σημείο με συντεταγμένες (0,4).

Μπορούμε τώρα να καταλήξουμε στο παρακάτω συμπέρασμα:

[su_box color=»#0997FC» title=»Τομές γραφικής παράστασης με τους άξονες»][su_list style=»idea»]

Για να βρω που τέμνει η γραφική παράσταση της f

τον x’x, βάζω στον τύπο της f y=0
τον y’y, βάζω στον τύπο της f x=0

[/su_list][/su_box]

Ας δούμε και μερικά παραδειγματάκια τα οποία σας προτείνω να λύσετε μόνοι σας και στη συνέχεια να κάνετε κλικ στη «Λύση» για να τσεκάρετε αυτό που βρήκατε.

Άσκηση 1:

Να βρείτε σε ποιο σημείο τέμνει η

$f(x)=\frac{x^3-1}{2x^5+3x-1}$

τον άξονα y’y
[wpspoiler name=»Λύση»]

Η f αν τέμνει τον y’y θα τον τέμνει στο σημείο με συντεταγμένες (0,f(0)). Αρκεί λοιπόν να βρούμε το f(0). Βάζουμε x=0 και έχουμε

$f(0)=\frac{0^3-1}{2\cdot 0^5+3\cdot 0-1}=\frac{-1}{-1}=1$

Επομένως το σημείο είναι το (0,1)

Παρατήρηση: Μια συνάρτηση δεν είναι υποχρεωτικό να τέμνει τον άξονα y’y αυτό μπορεί να συμβαίνει για παράδειγμα σε μια συνάρτηση που το 0 δεν θα ανήκει στο πεδίο ορισμού της και κατά συνέπεια δεν θα υπάρχει το f(0) π.χ. η g(x)=1/x. Αν στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης υπάρχει το 0 τότε μπορώ να βρω την εικόνα του άρα και το σημείο που τέμνει αυτή τον y’y. Το σημείο αυτό όμως θα είναι μοναδικό γιατί δεν γίνεται να δώσω στο x την τιμή 0 και να πάρω περισσότερα από ένα αποτελέσματα άλλωστε το λέει ξεκάθαρα και ο ορισμός της συνάρτησης ότι «σε κάθε x από το πεδίο ορισμού αντιστοιχεί ένα και μόνο y». Έτσι λοιπόν η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης μπορεί να τέμνει τον y’y το πολύ σε ένα σημείο.

[/wpspoiler]

Άσκηση 2:

Αν η συνάρτηση

$f(x)=\frac{x^3-k}{2x^5+3x-3k+4}$

τέμνει τον y’y σε σημείο με τεταγμένη 1 να βρείτε το k.

[wpspoiler name=»Λύση»]Το σημείο που η f τέμνει τον y’y έχει συντεταγμένες (0,f(0)). Η άσκηση μας δίνει τη πληροφορία ότι το σημείο αυτό είναι το (0,1) άρα είναι «υποχρεωτικό» να ισχύει

$f(0)=1\Leftrightarrow$

$\frac{0^3-k}{2\cdot 0^5+3\cdot 0 -3k+4}=1\Leftrightarrow$

$\frac{-k}{-3k+4}=1\Leftrightarrow$

$-k=-3k+4\Leftrightarrow$

$3k-k=4\Leftrightarrow 2k=4\Leftrightarrow k=2$

[/wpspoiler]

Άσκηση 3:

Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων

$f(x)=\frac{x^2+x+2}{x-1}$

και

$g(x)=\frac{|4x-12|-8}{x}$

με τους άξονες.

[wpspoiler name=»Λύση»]

Για την f έχουμε
Πεδίο ορισμού:
$\mathbb{R}-\{1\}$

γιατί το x δεν μπορεί να πάρει την τιμή 1 αφού μηδενίζει τον παρονομαστή (x-1=0 $\Leftrightarrow$ x=1)
Τομή με τον y’y: Βάζω x=0 και παίρνω
$f(0)=\frac{0^2+0+2}{0-1}=-2$

άρα τέμνει τον y’y στο (0,-2)
Τομές με τον x’x: Βάζω y=0 και παίρνω
$\frac{x^2+x+2}{x-1}=0\Leftrightarrow x^2+x+2=0$

η εξίσωση αυτή είναι δεύτερου βαθμού με διακρίνουσα αρνητική (Δ=1²-4^.1^.2=-7) επομένως δεν έχει λύσεις πράγμα που σημαίνει ότι η γραφική παράσταση της f δεν τέμνει τον x’x.
Παρατήρηση: Η εξίσωση f(x)=0 είναι μια εξίσωση με άγνωστο το x και το πόσες λύσεις θα έχει εξαρτάται από τη μορφή που θα έχει ο τύπος της συνάρτησης μπορεί να είναι αδύνατη όπως αυτή που είδαμε μόλις τώρα και η C_f να μην τέμνει τον x’x αλλά μπορεί να έχει μια, δύο, τρεις ή και άπειρες λύσεις οπότε να τέμνει τον x’x σε δύο, τρία ή και άπειρα σημεία.
Για την g έχουμε
Πεδίο ορισμού:
$\mathbb{R}-\{0\}$

γιατί το x είναι παρονομαστής και δεν μπορεί να μηδενίζεται
Τομή με τον y’y: Βάζω x=0 ???? Προφανώς η C_g δεν τέμνει τον άξονα των y αφού δεν υπάρχει το g(0)
Τομές με τον x’x: Βάζω y=0 και λύνω την εξίσωση
$g(x)=0\Leftrightarrow$

$\frac{|4x-12|-8}{x}=0\Leftrightarrow$

$|4x-12|-8=0\Leftrightarrow$

$|4x-12|=8\Leftrightarrow$

$\left\{\begin{matrix}4x-12=8\\ \eta \\4x-12=-8 \end{matrix}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}4x=20\Leftrightarrow x=5\\ \eta \\4x=4\Leftrightarrow x=1\end{matrix}$

επομένως η γραφική παράσταση της g τέμνει τον άξονα x’x στα σημεία (1,0) , (5,0)

[/wpspoiler]

Άσκηση 4:

Αν γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση

$f(x)=ax^2+bx+c$

τέμνει τον y’y στο σημείο με τεταγμένη 6 και τον x’x στα σημεία με τετμημένες 2 και 3 να βρεθούν τα a,b και c.

[wpspoiler name=»Λύση»]

Επειδή η f τέμνει τον y’y στο (0,6) θα πρέπει να ισχύει

$f(0)=6\Leftrightarrow a0^2+b0+c=6\Leftrightarrow c=6$

Τώρα η συνάρτηση μας παίρνει τη μορφή

$f(x)=ax^2+bx+6$

γνωρίζουμε όμως ότι τέμνει και τον x’x στα (2,0) και (3,0) επομένως θα ισχύει

$\left\{\begin{matrix}f(2)=0\\ \kappa\alpha\iota\\f(3)=0\end{matrix} \Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix}4a+2b+6=0\\ \kappa\alpha\iota\\9a+3b+6=0\end{matrix}\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix}2a+b+3=0\\ \kappa\alpha\iota\\3a+b+2=0\end{matrix}\Leftrightarrow$

$\left\{\begin{matrix}2a+b=-3\\ \kappa\alpha\iota\\3a+b=-2\end{matrix}\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix}b=-2a-3\\ \kappa\alpha\iota\\3a+(-2a-3)=-2\end{matrix}\Leftrightarrow$ $\left\\{begin{matrix}b=-2a-3\\ \kappa\alpha\iota\\a-3=-2\end{matrix}\Leftrightarrow$

$\left\{\begin{matrix}b=-2a-3\\ \kappa\alpha\iota\\a=1\end{matrix}\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix}b=-2\cdot 1-3\\ \kappa\alpha\iota\\a=1\end{matrix}\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix}b=-5\\ \kappa\alpha\iota\\a=1\end{matrix}$

Έτσι μετά τη λύση του συστήματος βρήκαμε a=1, b=-5, c=6 οπότε και η f είναι η

$f(x)=x^2-5x+6$

[/wpspoiler]

Μάθε τα όριά σου και … ξεπέρασέ τα !!!

Πως μπορούμε να υπολογίζουμε το όριο μιας συνάρτησης όταν το χ τείνει σε πραγματικό αριθμό ακόμη και στην περίπτωση που μηδενίζεται ο παρονομαστής.

Γ΄ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Εισαγωγή

Το πρώτο πράγμα που πρέπει να συζητήσουμε εδώ είναι το τι είναι το όριο μιας συνάρτησης. Δυστυχώς ή ευτυχώς στα μαθηματικά της γενικής παιδείας δεν μπορούμε να δώσουμε μαθηματικό ορισμό του ορίου, οπότε το μόνο που μας μένει είναι να πούμε «στο περίπου» τι είναι το όριο μιας συνάρτησης σε κάποιο συγκεκριμένο σημείο. Ας το δούμε αυτό καλύτερα με ένα παράδειγμα. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε τη συνάρτηση f που έχει τύπο $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$ , το Πεδίο Ορισμού αυτής είναι το $D_f=(-\infty,1)\cup (1,+\infty)$ (αν δεν θυμάσαι πως βρίσκουμε το Πεδίο Ορισμού μιας συνάρτησης κάνε κλικ εδώ). Στην περίπτωση που θέλουμε να βρούμε την τιμή που παίρνει f όταν το χ πάρει την τιμή 2 δεν έχουμε παρά να βρούμε το f(2) αντικαθιστώντας στον τύπο της f όπου x τον αριθμό 2 και βρίσκουμε $f(2)=\frac{2^2-1}{2-1}=3$ . Με αυτό τον απλό τρόπο μπορούμε να βρούμε την τιμή της f σε οποιοδήποτε σημείο του Πεδίου Oρισμού της. Αν θέλουμε όμως να δούμε τι τιμή παίρνει η συνάρτησή μας για x=1 αυτό είναι αδύνατο γιατί αφού το 1 δεν ανήκει στο Πεδίο Ορισμού της συνάρτησης δεν έχω το δικαίωμα να βάλω όπου χ το 1.

Όριο Συνάρτησης — Κάντε κλικ στην εικόνα για να πάρετε μια ιδέα της σύγκλισης

Το μόνο που μπορώ να κάνω είναι να δω το πως «συμπεριφέρεται» η συνάρτηση f όταν το x παίρνει τιμές πάρα πολύ κοντά στο 1. Σε αυτή τη περίπτωση λοιπόν αντί να βάζω x=1, χρησιμοποιώ την έννοια του «ορίου» και γράφω $x\rightarrow 1$ που σημαίνει ότι το x πλησιάζει (πάρα πολύ κοντά) στον αριθμό 1 και διαβάζεται «το x τείνει – πλησιάζει δηλαδή – το 1». Υποθέτουμε, προς το παρόν, ότι βρήκαμε το όριο και ότι αυτό είναι 2 ( θα δούμε παρακάτω πως υπολογίζεται ) δεν είναι σωστό να γράψουμε f(1)=2 γιατί αυτό σημαίνει ότι στη συνάρτηση f θέσαμε όπου x τον αριθμό 1 και αυτή μας έδωσε ως αποτέλεσμα την τιμή 2. Το σωστό είναι να γράψουμε $\underset{x\to 1 }{\mathop{\lim }}f(x)=2$ που διαβάζεται «το όριο της συνάρτησης f , όταν το x τείνει στο 1, είναι ο αριθμός 2» και σημαίνει ότι: όταν το x παίρνει τιμές πολύ κοντά στο 1 το f(x) παίρνει τιμές πολύ κοντά στο 2. Επειδή σκοπός του άρθρου αυτού δεν είναι η έννοια του ορίου αλλά ο τρόπος υπολογισμού του ας προχωρήσουμε στο πως μπορούμε να βρούμε το όριο μιας συνάρτησης f όταν το x τείνει σε κάποιον αριθμό a ( $x\to a$ ) και με την προϋπόθεση ότι το x θα μπορεί να πλησιάζει τον αριθμό a. Γιατί δεν μπορούμε να μιλάμε για όριο μιας συνάρτησης έστω g στο 5 αν το Πεδίο Ορισμού της είναι για παράδειγμα το σύνολο $D_f=(1,4)$ αφού το x ανήκει σε αυτό το διάστημα μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή μεγαλύτερη του 1 αλλά μικρότερη του 4 πως λοιπόν θα του δώσουμε τιμές κοντά στο 5;

Υπολογισμός Ορίου

[su_tabs style=1]

[su_tab title=»Η απλή περίπτωση»]

Στην περίπτωση που θέλουμε να υπολογίσουμε το όριο μιας συνάρτησης f όταν το x τείνει σε κάποιο σημείο a , τότε πολύ απλά βρίσκουμε το f(a) αντικαθιστώντας όπου x τον αριθμό a αρκεί:

να μπορεί, όπως αναφέραμε πιο πάνω, το x να πλησιάζει το a , και
να μην μηδενίζεται ο παρονομαστής της συνάρτησης

Ας δούμε κάποια παραδείγματα:

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=x^2-10x+3$ , να βρεθεί το $\underset{x\to 1}{\mathop{lim }}f(x)$ .Λύση: Βλέπουμε ότι η f έχει Πεδίο Ορισμού όλο το $\mathbb{R}=(-\infty,+\infty)$ κι επομένως το x μπορεί να πλησιάζει στο 1 οπότε μπορούμε να ξεκινήσουμε τον υπολογισμό του ορίου:
$\underset{x\to 1 }{\mathop{\lim }}f(x)=\underset{x\to 1 }{\mathop{\lim }}(x^2-10x+3)=$

$=1^2-10\cdot 1+3=-6$
Για τη συνάρτηση $g(x)=\frac{lnx}{x-3}$ να βρείτε τα όρια $\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}g(x)$ και $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}g(x)$ .Λύση: Το πρώτο πράγμα που κάνουμε πάντα είτε το ζητάει η άσκηση είτε όχι είναι να βρούμε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης η οποία παρατηρούμε ότι έχει έχει λογάριθμο και πρέπει το περιεχόμενό του να είναι θετικό (άρα πρέπει x>0) και παρονομαστή το x-3 που δεν πρέπει να μηδενίζεται κι επομένως το x δεν μπορεί να πάρει την τιμή 3 καταλήγουμε λοιπόν στο ότι το πεδίο ορισμού της g είναι το $D_g =(0,3) \cup (3,+\infty)$ . Όσον αφορά στα όρια τώρα, βλέπουμε ότι το πρώτο από αυτά δεν έχει νόημα αφού το x δεν έχει τη δυνατότητα να «πλησιάζει» το -1 οπότε το αφήνουμε και για να είμαι ειλικρινής δεν πιστεύω ότι θα ζητηθεί ποτέ κάτι τέτοιο. Πάμε τώρα στο δεύτερο όριο το οποίο και θα υπολογίσουμε κανονικότατα

$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}g(x)=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\frac{lnx}{x-3}=\frac{ln1}{1-3}=\frac{0}{-2}=0$
Να βρεθεί το όριο $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\frac{x^2-1}{x-1}$
Λύση: Η συνάρτηση της οποίας αναζητάμε το όριο στο 1 είναι η
$h(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$

. Επειδή η συνάρτηση έχει παρονομαστή το x-1 έχει πεδίο ορισμού το $(-\infty,1) \cup (1,+\infty)$ . Παρατηρούμε ότι το 1 δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης, πράγμα που σημαίνει ότι δεν μπορώ να θέσω x=1, αυτό όμως δεν αποτελεί πρόβλημα αφού το x έχει τη δυνατότητα να «προσεγγίσει» το 1 (δηλαδή μπορεί $x \to 1$ ) κι επομένως θα μπορούσαμε να υπολογίσουμε το όριο αυτό αν δεν είχαμε άλλο πρόβλημα. Και ποιο είναι το πρόβλημα αυτό; Ότι ο αριθμός 1 μηδενίζει τον παρονομαστή μας. Ευτυχώς όμως το 1 μηδενίζει και τον αριθμητή ( το x²-1 ) και αυτό μας λύνει τα χέρια γιατί σημαίνει ότι ο αριθμός 1 είναι ρίζα και του παρονομαστή αλλά και του αριθμητή κι όπως μάθαμε στη Β΄ Λυκείου, στον αριθμητή x²-1 είναι κρυμμένος ο παράγοντας x-1 [wpspoiler name=»διαβάστε εδώ το γιατί» ]όταν ένα πολυώνυμο p(x) μηδενίζεται για x=ρ, τότε θα έχει ρίζα τον αριθμό ρ και συνεπώς θα έχει παράγοντα το x-ρ, πράγμα που σημαίνει ότι το πολυώνυμο αναλύεται σε γινόμενο παραγόντων όπου ο ένας από τους παράγοντές του θα είναι το x-ρ, δηλαδή θα ισχύει p(x)=(x – ρ).π(x) , άρα:
$P(\rho)=0 \Leftrightarrow P(x)=(x-\rho) \cdot \pi(x)$

[/wpspoiler] Έτσι εμείς αρκεί να τον εμφανίσουμε για να μπορέσουμε να τον εξαφανίσουμε (δηλαδή να τον απλοποιήσουμε) κι αυτό δεν είναι δύσκολο αφού είναι γνωστό ότι ισχύει x²-1=(x-1)(x+1). Ας δούμε τώρα πως θα υπολογιστεί το όριο

$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\frac{x^2-1}{x-1}=$

$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=$

$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }},(x+1)=1+1=2$

Το παράδειγμα αυτό που λύσαμε ανήκει στην πιο συνηθισμένη κατηγορία ορίων που θα συναντήσετε φέτος και είναι αναγκαίο να επεκταθούμε κι άλλο γι’ αυτό το λόγο κάντε κλικ εδώ και μετά στην καρτέλα «Η Απροσδιόριστη μορφή 0/0» που βρίσκεται λίγο παραπάνω.[/su_tab]

[su_tab title=»Η απροσδιόριστη μορφή 0/0″]

Κατά την αναζήτηση του ορίου μιας κλασματικής συνάρτησης ας την πούμε f σε σημείο α ( $\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}f(x)$ )είναι πιθανό να μηδενίζεται για x=α ο αριθμητής και ο παρονομαστής της συνάρτησης. Σε μια τέτοια περίπτωση ( που ονομάζεται απροσδιόριστη μορφή 0/0) δεν μπορούμε να υπολογίσουμε το όριο από τη συνάρτηση που μας έχουν δώσει κι έτσι καταφεύγουμε στο να υπολογίσουμε το όριο αφού πρώτα απλοποιήσουμε την f . Το πως το καταφέρνουμε αυτό εξαρτάται από τη συνάρτηση που μας έχει δοθεί και θα το δούμε σε παραδείγματα παρακάτω. Η βασική ιδέα όμως είναι κοινή και απλή:

από τη στιγμή που βλέπουμε ότι αν θέσουμε x=α στη συνάρτηση μηδενίζεται ο αριθμητής της και ο παρονομαστής της είμαστε σίγουροι ότι και στον αριθμητή αλλά και στον παρονομαστή είναι «κρυμμένος» ο παράγοντας x-α. Σκοπός είναι να τον «εμφανίσουμε» πάνω και κάτω στο κλάσμα έτσι ώστε να τον απλοποιήσουμε (να τον «εξαφανίσουμε» γιατί αυτός ευθύνεται για το 0/0). Μετά την απλοποίηση αυτή είμαστε σε θέση να υπολογίσουμε πολύ απλά το όριο αντικαθιστώντας όπου x το α.

Για να δούμε όμως αναλυτικά πως θα εμφανίσουμε το x-α θα χωρίσουμε τη διαδικασία σε δύο περιπτώσεις. Στην περίπτωση που οι όροι του κλάσματος είναι πολυώνυμα και στην περίπτωση που στο κλάσμα έχουμε τετραγωνική ρίζα. Κάντε κλικ στις παρακάτω μπάρες να δείτε λυμένα βασικά παραδείγματα με την απαραίτητη μεθοδολογία
[wpspoiler name=»Πολυώνυμα»]

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=\frac{x^3-x^2+x-1}{2x^2-2}$ . Να βρεθεί το όριο $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}f(x)$ .

Λύση: Παρατηρούμε ότι ο παρονομαστής για x=1 μηδενίζεται (2^.1²-2=2-2=0). Είμαστε σίγουροι ότι και ο αριθμητής μηδενίζεται για x=1 αλλά το τσεκάρουμε (1³-1²+1-1=0). Τώρα κάνουμε γινόμενο τον αριθμητή και τον παρονομαστή (μπορείτε να θυμηθείτε την παραγοντοποίηση εδώ):

x³-x²+x-1=(x³-x²)+(x-1)[ref] κάναμε ομαδοποίηση[/ref]=x²(x-1)+(x-1)=(x-1)(x²+1). Βλέπουμε ότι εμφανίστηκε το x-1 άρα είμαστε εντάξει

2x²-2=2(x²-1)=2(x-1)(x+1)[ref]κοινός παράγοντας και διαφορά τετραγώνων[/ref] κι εδώ εντάξει, οπότε:

$f(x)=\frac{x^3-x^2+x-1}{2x^2-2}=\frac{(x-1)(x^2+1)}{2(x-1)(x+1)}=\frac{x^2+1}{2(x+1)}$

επομένως

$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}f(x)=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\frac{x^2+1}{2(x+1)}=\frac{1^2+1}{2(1+1)}=\frac{1}2$

Όπως βλέπουμε αν έχουμε υπόψη μας τι ακριβώς θέλουμε (να εμφανίσουμε τον παράγοντα x-1 και να τον απλοποιήσουμε) ο υπολογισμός ενός ορίου είναι εύκολη υπόθεση. Κι επειδή το μάθημα αυτό αφορά και μαθητές θεωρητικής κατεύθυνσης που ίσως αντιμετωπίζουν κάποιες δυσκολίες στην παραγοντοποίηση θα σας προτείνω κι έναν άλλο τρόπο που θεωρώ ευκολότερο και ίσως πιο σύντομο, το σχήμα Horner που διδαχθήκαμε στη Β΄τάξη του Λυκείου. Ας δούμε λοιπόν την ίδια άσκηση λυμένη με αυτή τη μέθοδο:

Για να κάνω γινόμενο τον αριθμητή x³-x²+x-1 κάνω σχήμα Horner με τον αριθμό 1

1	-1	1	-1	1
	1	0	1
1	0	1	0

Η γαλάζια περιοχή περιέχει τους συντελεστές του πολυωνύμου x³-x²+x-1 που θέλω να κάνω γινόμενο

Η πορτοκαλί περιοχή θα έχει πάντα τον αριθμό στον οποίο τείνει το x (εδώ είναι το 1)

Η ροζ περιοχή θα είναι πάντα 0

Η πράσινη περιοχή μας δίνει τους συντελεστές του πολυωνύμου που θα μείνει όταν απλοποιηθεί το «ενοχλητικό» x-1. Έτσι η νέα μας συνάρτηση θα έχει αριθμητή τον x²+1 αφού το από το σχήμα Horner προκύπτει ότι x³-x²+x-1=(x-1)(x²+1) και το x-1 θα απλοποιηθεί.

Με την ίδια διαδικασία βρίσκω τον νέο παρονομαστή της συνάρτησης

2	0	-2	1
	2	2
2	2	0

οπότε ο παρονομαστής 2x²-2(το γαλάζιο) θα γίνει 2x+2(το πράσινο), αφού από το σχήμα Horner προκύπτει 2x²-2=(x-1)(2x+2) και το x-1 θα απλοποιηθεί.

Τελικά η συνάρτηση f θα γίνει

$f(x)=\frac{x^3-x^2+x-1}{2x^2-2}=\frac{x^2+1}{2x+2}$

κι επομένως το όριο είναι

$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}f(x)=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\frac{x^2+1}{2x+2}=\frac{1^2+1}{2 \cdot 1+2}=\frac{1}{2}$

Το να ξεφύγεις από την απροσδιόριστη μορφή 0/0 στην περίπτωση που στη συνάρτηση έχεις πολυώνυμο το σχήμα Horner είναι το πιο εύκολο. Το δύσκολο είναι να το περιγράψω πλήρως μέσα από αυτό το άρθρο γι’ αυτό αν κάπου σας μπέρδεψα ζητήστε από τον καθηγητή σας να σας το θυμίσει (είναι υπόθεση δύο λεπτών) ή στείλτε μου μήνυμα να λύσουμε ότι απορία έχετε. Καλού κακού όμως θα λύσουμε ένα παράδειγμα ακόμη:

Να βρεθεί το $lim_{x \to 2}\frac{2x^2-3x-2}{(x-2)\sqrt{3x-2}}$ .
Λύση: Για x=2 μηδενίζονται παρονομαστής και αριθμητής άρα πρέπει να εξαλειφθεί ο παράγοντας x-2.

Στον παρονομαστή υπάρχει το x-2 άρα δεν χρειάζεται να κάνουμε κάτι.

Στον αριθμητή θα κάνουμε σχήμα Horner με το 2 γιατί το x τείνει στο 2,

2	-3	-2	2
	4	2
2	1	0

οπότε 2x²-3x-2=(x-2)(2x+1) άρα

$\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\frac{2x^2-3x-2}{(x-2)\sqrt{3x-2}}=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\frac{(x-2)(2x+1)}{(x-2)\sqrt{3x-2}}$

$=\underset{x \to 2}{\mathop{\lim}}\frac{2x+1}{\sqrt{3x-2}}=$

$\frac{2 \cdot 2 +1}{\sqrt{3 \cdot 2 -2}}=\frac{5}{2}$

[/wpspoiler]

[wpspoiler name=»Ριζικά»]

Για να ξεφύγω από το 0/0 όταν το x τείνει στο α, πρέπει να «εμφανίσω» και μετά να «εξαφανίσω» το x-α από αριθμητή & παρονομαστή

Έστω ότι έχουμε τη συνάρτηση $f(x)=\frac{\sqrt{x}-\sqrt{5}}{x-5}$ και θέλουμε να βρούμε το όριο της όταν το τείνει στο 5. Παρατηρούμε ότι για x=5 μηδενίζονται παρονομαστής και αριθμητής, πράγμα που σημαίνει ότι έχω απροσδιόριστη μορφή 0/0, και σύμφωνα με τα όσα έχουμε πει μέχρι τώρα στον αριθμητή αλλά και στον παρονομαστή της συνάρτησης υπάρχει ο παράγοντας x-5 ο οποίος ευθύνεται για τα μηδενικά. Εγώ πρέπει λοιπόν να τον «εμφανίσω» για να τον «εξαφανίσω» . Ευτυχώς στο παράδειγμά μας θα πρέπει να ασχοληθούμε μόνο με τον αριθμητή αφού στον παρονομαστή υπάρχει το x-5 και δεν χρειάζεται να κάνω κάτι. Ο αριθμητής όμως δεν είναι πολυώνυμο για να χρησιμοποιήσω σχήμα Horner ή έστω τους κανόνες της παραγοντοποίησης που έχουμε μάθει μέχρι τώρα. Υπάρχουν αρκετά «κόλπα» για να καταφέρουμε αυτό που θέλουμε αλλά θα αναφερθώ πρώτα στο πιο συνηθισμένο:

Κάνουμε χρήση της γνωστής ταυτότητας «διαφορά τετραγώνων». Ας την θυμηθούμε $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$ . Την ταυτότητα αυτή μπορούμε να την χρησιμοποιήσουμε και με αυτές τις μορφές:

$(\sqrt{A}-\sqrt{B})(\sqrt{A}+\sqrt{B})=(\sqrt{A})^2-(\sqrt{B})^2$

ή ακόμη καλύτερα
$(\sqrt{A}-\sqrt{B})(\sqrt{A}+\sqrt{B})=A-B$
$(\sqrt{A}-B)(\sqrt{A}+B)=A-B^2$
$(A-\sqrt{B})(A+\sqrt{B})=A^2-B$

Για να δούμε τώρα τι κερδίζουμε από αυτό; Όταν θα μας τυχαίνει μία από τις παραστάσεις που βρίσκονται στις παραπάνω παρενθέσεις εμείς θα πολλαπλασιάζουμε αριθμητή αλλά και παρονομαστή με την διπλανή παρένθεση (λέγεται «συζυγής παράσταση» π.χ. η συζυγής παράσταση της $\sqrt{A}+B$ είναι η $\sqrt{A}-B$ ) ώστε σύμφωνα με την ταυτότητα να φύγουν οι ρίζες. Ας το δούμε όμως στη πράξη, στη συνάρτηση f έχω την παράσταση $\sqrt{x}-\sqrt{5}$ η συζυγής παράσταση αυτής είναι η $\sqrt{x}+\sqrt{5}$ πολλαπλασιάζω λοιπόν αριθμητή και παρονομαστή με αυτή

$f(x)=\frac{\sqrt{x}-\sqrt{5}}{x-5}$

$f(x)=\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{5})(\sqrt{x}+\sqrt{5})}{(x-5)(\sqrt{x}+\sqrt{5})}$

$f(x)=\frac{x-5}{(x-5)(\sqrt{x}+\sqrt{5})}$

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{5}}$

οπότε αφού καταφέραμε και διώξαμε το x-5 μπορούμε να υπολογίσουμε το όριο

$\underset{x\to 5}{\mathop{\lim }}f(x)=\underset{x\to 5}{\mathop{\lim }}\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{5}}=\frac{1}{2\sqrt{5}}$

Ένα παράδειγμα ακόμη για να το καταλάβουμε καλύτερα. Να βρεθεί το $\underset{h \to 0}{\mathop{\lim}}\frac{\sqrt{1+h}-1}{h}$
Λύση: Βάζοντας όπου h το 0 παίρνουμε 0/0. Φταίει ο παράγοντας h-0, δηλαδή το h. Κάτω το βλέπουμε και δεν κάνουμε τίποτα. Πάνω έχουμε $\sqrt{1+h}-1$ η συζυγής της είναι η $\sqrt{1+h}+1$ με την οποία πολλαπλασιάζω πάνω και κάτω και παίρνω

$\underset{h \to 0}{\mathop{\lim }}\frac{\sqrt{1+h}-1}{h}=$

$\underset{h \to 0}{\mathop{\lim }}\frac{(\sqrt{1+h}-1)(\sqrt{1+h}+1)}{h(\sqrt{1+h}+1)}=$

$\underset{h \to 0}{\mathop{\lim }}\frac{(1+h)-1^2}{h(\sqrt{1+h}+1)}=$

$\underset{h \to 0}{\mathop{\lim }}\frac{1+h-1}{h(\sqrt{1+h}+1)}=$

$\underset{h \to 0}{\mathop{\lim }}\frac{h}{h(\sqrt{1+h}+1)}=$

$\underset{h \to 0}{\mathop{\lim }}\frac{1)}{\sqrt{1+h}+1}=$

$\underset{h \to 0}{\mathop{\lim }}\frac{1}{\sqrt{1+h}+1}=\frac{1}{\sqrt{1+0}+1}=\frac{1}{2}$

Κι εδώ τελειώνουν οι περιπτώσεις υπολογισμού ορίων που μπορεί να συναντήσει ένας μαθητής Γ΄Λυκείου στα Μαθηματικά της Γενικής Παιδείας (για την κατεύθυνση έχουμε πολλά να πούμε ακόμη). Καταλαβαίνω ότι το άρθρο είναι τεράστιο, θα μπορούσε να είχε γίνει τριλογία, αλλά θεώρησα καλύτερο να υπάρχουν όλες οι περιπτώσεις μαζί για να έχετε μια ολοκληρωμένη εικόνα. Προτείνω να το διαβάσετε περισσότερες από μία φορά και εξασκηθείτε με τις ασκήσεις που σας δίνω στο παρακάτω link.[/wpspoiler]

Επιστροφή^^^
[/su_tab]

[/su_tabs]

[wpspoiler name=»Δείτε την μεθοδολογία» style=»wpui-quark»]

[/wpspoiler]

Θέλω να μάθω…πως βρίσκουμε το Πεδίο Ορισμού μιας συνάρτησης

Τι είναι το Πεδίο Ορισμού μιας συνάρτησης; Πως το υπολογίζω και γιατί;

Γ ‘ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ & ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Ας φανταστούμε τη συνάρτηση σαν μια “προξενήτρα” μιας και η δουλειά της είναι να “ζευγαρώνει” αριθμούς. Πάρτε για παράδειγμα τη συνάρτηση $f(x)=2x$ η οποία παίρνει τον αριθμό x και τον παντρεύει με τον αριθμό 2x, ζευγαρώνει δηλαδή κάθε αριθμό με τον διπλάσιό του, έτσι δημιουργεί ζεύγη αριθμών όπως το (1,2) αφού για χ=1, δίνει f(1)=2, το (3,6) αφού για χ=3 έχουμε f(3)=6. Η συγκεκριμένη συνάρτηση μπορεί να ζευγαρώσει οποιοδήποτε αριθμό και να της ζητήσουμε. Υπάρχουν όμως συναρτήσεις που δεν μπορούν να το κάνουν αυτό σε όλους τους αριθμούς, έχουν δηλαδή κάποιους περιορισμούς. Ας δούμε για παράδειγμα την $g(x)=\frac{1}x$ η οποία “παντρεύει” έναν αριθμό με τον αντίστροφό του, δηλαδή το 5 με το 1/5 αφού g(5)=1/5, το 3/5 με το 5/3 γιατί g(3/5)=5/3 κ.τ.λ.. Το μοναδικό αριθμό όμως που δεν μπορεί να ταιριάξει είναι το 0 γιατί όπως έχουμε μάθει από το Γυμνάσιο ήδη το 0 δεν έχει αντίστροφο (για να μην αναφέρω και το Δημοτικό που μάθαμε ότι δεν ορίζεται διαίρεση με το 0). Όταν λοιπόν μας δίνουν τον τύπο μιας συνάρτησης το πρώτο πράγμα που πρέπει να κάνουμε πριν καν ξεκινήσουμε να την βάλουμε να δουλέψει είναι να βρούμε για ποιούς αριθμούς μπορεί να δουλέψει και για ποιούς όχι. Δεν δίνουμε στη συνάρτηση αριθμούς να παντρέψει χωρίς να δούμε πρώτα αν επιτρέπεται ένας τέτοιος γάμος γιατί υπάρχει περίπτωση αυτός ο γάμος να γεννήσει “τέρατα”. Έτσι λοιπόν όταν μιλάμε για Πεδίο Ορισμού μιας συνάρτησης στη πραγματικότητα εννοούμε το σύνολο των αριθμών που η συνάρτηση μπορεί να πάρει και να τους βρει σύντροφο. Και για να γίνουμε λίγο πιο τυπικοί Πεδίο Ορισμού μιας συνάρτησης f είναι το σύνολο των αριθμών x για τους οποίους υπάρχει το f(x).

Πως όμως μπορούμε να βρούμε το Πεδίο Ορισμού μιας συνάρτησης;

Αυτό είναι αρκετά απλό θα έλεγα αρκεί να ξέρουμε να λύνουμε εξισώσεις, ανισώσεις και να γνωρίζουμε ποιοί είναι οι
περιορισμοί που προκύπτουν από τον τύπο της συνάρτησης που μας έχει δοθεί. Το να γνωρίζουμε να λύνουμε εξισώσεις και ανισώσεις θα το θεωρήσουμε δεδομένο και θα σταθούμε λίγο στο ποιοι είναι οι περιορισμοί που έχουμε μάθει μέχρι τώρα.

Δεν επιτρέπεται ο παρονομαστής να πάρει την τιμή 0:

Έτσι λοιπόν όταν μας δοθεί συνάρτηση που να έχει στον παρονομαστή της μεταβλητή (αυτές οι συναρτήσεις λέγονται ρητές) θα πρέπει εμείς να εξαιρέσουμε εκείνους τους αριθμούς που μηδενίζουν τον παρονομαστή της συνάρτησης.
Π.χ.1 Η συνάρτηση $f(x)=9+\frac{x}{2x-4}$ έχει παρονομαστή το 2x-4 πρέπει να δούμε για ποιές τιμές του x μηδενίζεται και να τις εξαιρέσουμε. Για το λόγο αυτό λύνουμε την εξίσωση

$2x-4=0\Leftrightarrow 2x=4\Leftrightarrow x=4/2=2$

και απαντάμε ότι η συγκεκριμένη συνάρτηση έχει Πεδίο Ορισμού όλους τους (πραγματικούς) αριθμούς εκτός από τον αριθμό 2. Πιο καλά είναι να γράφουμε τον τύπο της συνάρτησης και δίπλα τον περιορισμό, δηλαδή $f(x)=9+\frac{x}{2x-4}$ με $x\neq2$ . Ή ακόμη καλύτερα $D_f=\mathbb{R}-\left\{2\left\}$ , όπου με D_f έχουμε συμβολίσει το Πεδίο Ορισμού της συνάρτησης f. Χρήσιμο είναι όπως θα δείτε αργότερα, όταν θα χρειαστεί να “μελετήσετε” τι ακριβώς δουλειά κάνει η συνάρτηση, να έχετε το Πεδίο Ορισμού σε μορφή διαστημάτων, έτσι σε αυτή τη περίπτωση θα μπορούσαμε να γράψουμε το αποτέλεσμα και ως εξής, $D_f=(-\infty,2)\cup(2,+\infty)$ .
Π.χ.2 Η συνάρτηση $g(x)=\frac{x-1}{x^2-5x+6}+\frac{3}{x+1}$ έχει παρονομαστές τις παραστάσεις:
x+1 η οποία μηδενίζεται για x= –1
( $x+1=0\Leftrightarrow x=-1$ ) και
x²-5x+6 η οποία μηδενίζεται για x=2 ή για x=3
(x²-5x+6=0, Δ=β²-4αγ=1 και $x=\frac{-\beta\pm\sqrt{\Delta}}{2\alpha}=\frac{5\pm1}{2}$ άρα x=2 ή x=3)
Η συνάρτηση g λοιπόν δεν μπορεί να δεχτεί στη θέση του x τους αριθμούς {-1,2,3} έτσι λέμε ότι το Πεδίο Ορισμού της είναι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί εκτός από αυτούς και γράφουμε $D_g=\mathbb{R}-\left\{-1,2,3\right\}$ ή $D_g=(-\infty,-1)\cup(-1,2)\cup(2,3)\cup(3,+\infty)$ .
Τελικά καταλήγουμε στο ότι:

[su_box type=»info» title=»Tip 1″ color=»#0000FF»] όταν θέλουμε να βρούμε το πεδίο ορισμού μιας ρητής συνάρτησης της μορφής $f(x)=\frac{h(x)}{g(x)}$ λύνουμε την εξίσωση g(x)=0 και γράφουμε Df=R-{οι λύσεις της εξίσωσης g(x)=0}[/su_box]

Δεν επιτρέπεται οι υπόρριζες ποσότητες να παίρνουν αρνητικές τιμές:

Αν ο τύπος της συνάρτησης που μας έχει δοθεί περιέχει ριζικά που το υπόρριζο (υπόρριζο είναι η παράσταση που βρίσκεται κάτω από το ριζικό) περιέχει μεταβλητή (τέτοιες συναρτήσεις λέγονται άρρητες), τότε απαιτούμε το υπόρριζο να είναι μεγαλύτερο ή ίσο με το 0.
π.χ.1 Η συνάρτηση $h(x)=3\sqrt{x-4}-2$ ανήκει σε αυτή τη κατηγορία αφού στον τύπο της εμφανίζεται μια τουλάχιστον (τετραγωνική) ρίζα. Το υπόρριζο λοιπόν θα πρέπει να είναι μεγαλύτερο ή ίσο με το 0. Έτσι θα πρέπει να δεχτούμε στο Πεδίο Ορισμού μόνο εκείνες τις τιμές του x για τις οποίες ισχύει: $x-4\geq0 \Leftrightarrow x\geq4$ . Συμπεραίνουμε τώρα ότι το Πεδίο Ορισμού της συνάρτησης h είναι: $D_h=[4,+\infty)$ .
π.χ.2 Στη συνάρτηση $t(x)=\frac{\sqrt{2x-8}+1}{\sqrt{x-8}}$ υπάρχουν δύο υπόρριζα (η παράσταση 2x-8 και η παράσταση x-8) και ένας παρονομαστής (η παράσταση $\sqrt{x-8}$ ). Γι’ αυτό το λόγο απαιτούμε τα παρακάτω:

$\left{\begin{matrix}2x-8\geq 0\Leftrightarrow 2x\geq 8\Leftrightarrow x\geq 4\\ \mathit{\kappa \alpha \iota }\\ x-8\geq 0\Leftrightarrow x\geq 8\\ \mathit{\kappa \alpha \iota }\\ \sqrt{x-8}\neq0\Leftrightarrow x-8\neq0\Leftrightarrow x\neq8\end{matrix}$

αλλά όλα αυτά μαζί μας δίνουν x>8 . Επομένως το Πεδίο Ορισμού της συνάρτησης t είναι το $D_t=(8,+\infty)$ .
Καταλήγουμε τελικά στο εξής:

[su_box type=»info» title=»Tip 2″ color=»#0000FF»] όταν θέλουμε να βρούμε το πεδίο ορισμού μιας άρρητης συνάρτησης της μορφής $f(x)=\sqrt{g(x)}$ λύνουμε την ανίσωση $g(x)\geq0$ και γράφουμε Df={οι λύσεις της ανίσωσης $g(x)\geq0$ }[/su_box]

Δεν επιτρέπεται το περιεχόμενο του λογάριθμου να παίρνει αρνητικές τιμές αλλά ούτε και τη τιμή 0:

Στη Β΄ Λυκείου είδαμε για πρώτη φορά τους λογάριθμους και «μελετήσαμε» τη λογαριθμική συνάρτηση $lnx$ όπου μάθαμε, εκτός των άλλων, ότι το Πεδίο Ορισμού της είναι το $(0,+\infty)$ . Γι’ αυτό όταν σε μια συνάρτηση συναντήσουμε λογάριθμο θα πρέπει να αναζητάμε τα x εκείνα για τα οποία το «περιεχόμενο» του λογάριθμου να είναι θετικό. Για παράδειγμα η συνάρτηση $\phi(x)=ln(x-6)+4x^2$ , έχει Πεδίο Ορισμού το σύνολο $D_\phi = (6,+\infty)$ αφού πρέπει x-6>0 δηλαδή x>6.

Συμπέρασμα,

[su_box type=»info» title=»Tip 3″ color=»#0000FF»] όταν θέλουμε να βρούμε το πεδίο ορισμού μιας λογαριθμικής συνάρτησης της μορφής $f(x)=lng(x)$ λύνουμε την ανίσωση g(x)>0 και γράφουμε Df={οι λύσεις της ανίσωσης g(x)>0}[/su_box]

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ – ΣΧΟΛΙΑ:

Αν η συνάρτηση της οποίας ζητάμε το Πεδίο Ορισμού δεν έχει ούτε παρονομαστές, ούτε ρίζες, ούτε λογάριθμους που να περιέχουν μεταβλητή, τότε δεν υπάρχουν περιορισμοί κι επομένως το Πεδίο Ορισμού αυτής της συνάρτησης θα είναι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί ( $\mathbb{R}$ ).

π.χ. η $g(x)=\frac{x^2-3x+ln2}{4\sqrt{5}}$ έχει $D_g=\mathbb{R}$ αφού δεν υπάρχει x σε παρονομαστή, ρίζα ή λογάριθμο.

Απ’ την άλλη μεριά όμως αν από τον τύπο μιας συνάρτησης f(x) προκύπτουν περισσότεροι του ενός περιορισμοί, είμαστε υποχρεωμένοι να τους χρησιμοποιήσουμε όλους για να βρούμε ποια είναι τελικά αυτά τα x που πληρούν τις προϋποθέσεις που θέλουμε. Ένα τέτοιο παράδειγμα είδαμε παραπάνω με την συνάρτηση $t(x)=\frac{\sqrt{2x-8}+1}{\sqrt{x-8}}$ η οποία είχε x και σε παρονομαστή αλλά και σε ρίζες. Στο παράδειγμα αυτό πήραμε τους απαραίτητους περιορισμούς και για τις ρίζες αλλά και για τον παρονομαστή κι αφού λύσαμε τον καθένα ξεχωριστά βρήκαμε την κοινή τους λύση (στην πραγματικότητα λύσαμε ένα σύστημα).
Επειδή στη Γ΄ Λυκείου θα συναντήσουμε πολλές φορές τριγωνομετρικές συναρτήσεις καλό είναι να επισημάνουμε ότι η εφαπτομένη αλλά και η συνεφαπτομένη έχουν παρονομαστές παρότι δεν φαίνονται (αρκεί να θυμηθούμε ότι $\varepsilon \phi x=\frac{\eta \mu x}{\sigma \upsilon \nu x}$ και $\sigma \phi x=\frac{\sigma \upsilon \nu x}{ \eta \mu x}$ ). Έτσι θα χρειαστεί να πάρουμε τους παρακάτω περιορισμούς:

για την $f(x)=\epsilon\phi x$ , $x\neq\kappa\pi+\frac{\pi}2$ με $\kappa \in \mathbb{Z}$
για την $f(x)=\sigma\phi x$ , $x\neq\kappa\pi$ με $\kappa \in \mathbb{Z}$

Το Πεδίο Ορισμού της συνάρτησης είναι το κόκκινο διάστημα πάνω στον οριζόντιο άξονα

Το Πεδίο Ορισμού μιας συνάρτησης θα μπορούσε να βρεθεί και από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης ( στη περίπτωση που δίνεται αυτή ). Για να δείτε πως κάντε κλικ στην εικόνα.
Για τους μαθητές που παρακολουθούν τα μαθήματα της θετικής ή τεχνολογικής κατεύθυνσης θα πρέπει να αναφέρουμε και δύο ακόμη περιπτώσεις που θα συναντήσουν:
- Συναρτήσεις της μορφής $f(x)=(g(x))^{h(x)}$ : Πρέπει η βάση g(x) να είναι θετική και διάφορη του 1 (στη περίπτωση που το g(x)=1 ορίζεται η f αλλά είναι σταθερή αφού f(x)=1^h(x)=1 για κάθε x)
- Συναρτήσεις οι οποίες έχουν προκύψει από την «σύνθεση» δύο άλλων συναρτήσεων: Για την περίπτωση της «σύνθεσης συναρτήσεων» όμως θα αναφερθούμε αναλυτικά σε άλλο άρθρο.

Αν θέλετε να κάνετε εξάσκηση στα παραπάνω μπορείτε να κατεβάσετε ένα αρχείο με ασκήσεις κάνοντας κλικ στον παρακάτω σύνδεσμο. Μη διστάσετε να στείλετε τις λύσεις ή να ρωτήσετε τυχόν απορίες , στέλνοντας ένα e-mail ή αφήνοντας ένα σχόλιο στο τέλος του άρθρου.

folder_download — Κατεβάστε το αρχείο με τις ασκήσεις

Παγκύπριες Εξετάσεις

Τα θέματα παρελθόντων ετών στα μαθηματικά, με τις λύσεις τους, από τις Παγκύπριες εξετάσεις.

Μαθηματικά Κοινού Κορμού
Εκφώνηση	Λύση
2006	2006
2007	2007
2008	2008
2009	2009

Μαθηματικά Κατεύθυνσης
Εκφώνηση	Λύση
2006 Α Β Γ Δ	2006 Α Β Γ Δ
2007 Α Β Γ Δ	2007 Α Β Γ Δ
2008 Α Β Γ Δ	2008 Α Β Γ Δ
2009 Α Β Γ Δ	2009 Α Β Γ Δ

Θέματα Πανελλαδικών Περασμένων Ετών

Τα θέματα των μαθηματικών παλαιότερων ετών από τις Πανελλαδικές εξετάσεις με τις λύσεις τους.

Γενικής Παιδείας		Κατεύθυνσης
Εκφωνήσεις	Λύσεις	Εκφωνήσεις	Λύσεις
2000	2000	2000	2000
2001	2001	2001	2001
2002	2002	2002	2002
2003	2003	2003	2003
2004	2004	2004	2004
2005	2005	2005	2005
2006	2006	2006	2006
2007	2007	2007	2007
2008	2008	2008	2008
2009	2009	2009	2009
2010	2010	2010	2010