Λυμένες Ασκήσεις στην Εξίσωση της Ευθείας

Αφού έχουμε διαβάσει τα άρθρα:

μπορούμε να δούμε μερικά παραδείγματα για να κατανοήσουμε καλύτερα το πως δουλεύουμε σε ασκήσεις που μας ζητάνε να

: Σύνθεση με ευθείες γραμμές

βρούμε την εξίσωση κάποιας ευθείας.

Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας (ε) στις παρακάτω περιπτώσεις:

1. Διέρχεται από το σημείο Α(2,1) και σχηματίζει με τον άξονα χ΄χ γωνία ω=45^ο.

Λύση: Η εξίσωση που ζητάμε θα έχει τη μορφή: $\psi=\lambda\chi+\beta$ .

Όμως λ=εφω=εφ45^ο=1, κι έτσι η εξίσωση παίρνει τη μορφή $\psi=\chi+\beta$ .

Κι επειδή το σημείο Α(2,1) είναι σημείο αυτής της ευθείας θα πρέπει να ισχύει: $1=2+\beta$ , δηλαδή β=-1.

Οπότε η ζητούμενη ευθεία είναι η $\psi=\chi-1$ .

2. Διέρχεται από το σημείο Α(1,-1) και είναι παράλληλη στην ευθεία (δ): 2χ+ψ-1=0.

Λύση: Η ευθεία που ζητάμε είναι της μορφής $\psi=\lambda\chi+\beta$ . Επειδή ε//δ θα ισχύει λ_ε=λ_δ, αλλά ο συντελεστής διεύθυνσης της (δ) είναι λ_δ=-2, (γιατί (δ): 2χ+ψ-1=0 ή (δ): ψ=-2χ+1) κι έτσι λ_ε=λ_δ=-2.

Η ευθείας μας λοιπόν έχει τώρα τη μορφή $\psi=-2\chi+\beta$ . Περνάει όμως από το σημείο Α(1,-1) πράγμα που σημαίνει ότι θα ισχύει $-1=-2(+1)+\beta\Leftrightarrow\beta=1$ . Τελικά η ευθεία (ε) είναι η $\psi=-2\chi+3$ .

3. Διέρχεται από το Α(-1,1) και είναι κάθετη στην (δ):ψ=-2χ-1.

Λύση: λ_δ=-2, όμως (ε) κάθετη με τη (δ) άρα έχουμε $\lambda_\epsilon\cdot\lambda_\delta=-1\Leftrightarrow\lambda_\epsilon=1/2$ . Η ευθεία που ψάχνουμε λοιπόν θα είναι κάπως έτσι: ψ=1/2χ+β.

Για να βρούμε το β τώρα μας αρκεί το γνωστό σημείο της ευθείας το Α(-1,1) γιατί ξέρουμε ότι θα ισχύει $1=\frac{1}{2}\cdot(-1)+\beta\Leftrightarrow\beta=\frac{3}{2}$ άρα η ευθεία μας είναι η ψ=1/2χ+3/2.

4. Τέμνει τους άξονες στα σημεία Α(4,0) και Β(0,4)

Λύση: Υπολογίζουμε το λ, $\lambda=\frac{\psi_2-\psi_1}{\chi_2-\chi_1}=\frac{4-0}{0-4}=-1$ . Επομένως η εξίσωση της ευθείας θα έχει τη μορφή ψ=-χ+β. Όσον αφορά στο β τώρα θα χρησιμοποιήσουμε ένα από τα δύο σημεία από τα οποία διέρχεται η ευθεία που ζητάμε. Έστω λοιπόν ότι χρησιμοποιούμε το Β(0,4) και με αντικατάσταση παίρνουμε 4=-0+β ή β=4. Καταλήξαμε λοιπόν στο ότι η ζητούμενη ευθεία είναι η ψ=-χ+4.

Παρατηρήσεις:

Οι παρακάτω παρατηρήσεις αφορούν μαθητές της Β΄και Γ΄τάξης του Λυκείου που ακολουθούν τη θετική ή την τεχνολογική κατεύθυνση.

Παρατήρηση 1:

Οι παραπάνω ασκήσεις θα μπορούσαν προφανώς να λυθούν πιο εύκολα με τη χρήση του τύπου

$\psi-\psi_0=\lambda(\chi-\chi_0)$

όπου Μ(χ₀,ψ₀) ένα σημείο της ευθείας και λ ο συντελεστής διεύθυνσής της. Να το δούμε σαν εφαρμογή στην παρακάτω άσκηση:

Να βρεθεί η μεσοκάθετη του τμήματος ΑΒ με Α(-2,1) και Β(2,3)

Λύση: Ο συντελεστής διεύθυνσης της ΑΒ είναι

$\lambda_{AB}=\frac{\psi_2-\psi_1}{\chi_2-\chi_1}=\frac{3-1}{2+2}=1/2$

κι επειδή η μεσοκάθετη της ΑΒ είναι κάθετη με την ΑΒ θα ισχυεί:

$\lambda\cdot\lambda_{AB}=-1\Leftrightarrow\lambda=-2$

Η μεσοκάθετη της ΑΒ θα διέρχεται από το μέσο του ΑΒ που είναι το Μ( $\frac{\chi_2+\chi_1}{2} ,\frac{ \psi_2+\psi_1}{2}$ ) δηλαδή Μ( $\frac{2-2}{2} , \frac{3+1}{2}$ )=(0,2).

Έτσι η μεσοκάθετη έχει την εξίσωση:

$\psi-\psi_0=\lambda(\chi-\chi_0)\Leftrightarrow\psi-0=-2(\chi-2)\Leftrightarrow\psi=-2x+4$

, αφού έχει συντελεστή διεύθυνσης το λ=-2 και διέρχεται απο το Μ(0,2).

Παρατήρηση 2:

Σε όλα όσα έχουμε αναφέρει μέχρι τώρα γιά την εξίσωση της ευθείας έχουμε κάνει μια σημαντική παράλειψη. Είδαμε πως γιά να βρούμε την εξίσωση μιας ευθείας πρέπει οπωσδήποτε να μας δίνεται ένα σημείο της έστω Μ(α,β). Από ‘κει και πέρα υπολογίζω το λ (μέσω της γωνίας που σχηματίζει με τον χ΄χ ή μέσω μιας σχέσης παραλληλίας ή μιας σχέσης καθετότητας ή τέλος από δύο σημεία της ευθείας). Και τελικά βρίσκω την εξίσωση από τον τύπο ψ=λχ+μ ή από τον $\psi-\psi_0=\lambda(\chi-\chi_0)$ . Κι εδώ βρίσκεται το λάθος γιατί από το σημείο Μ(α,β) διέρχονται άπειρες ευθείες αλλά οι παραπάνω τύποι μας δίνουν μόνο την οριζόντια και τις πλάγιες που διέρχονται από το Μ κι όχι την κατακόρυφη κι αυτό γιατί για την κατακόρυφη δεν υπάρχει (δεν ορίζεται) συντελεστής διεύθυνσης. Αυτό σημαίνει ότι με τον τύπο $\psi-\beta=\lambda(\chi-\alpha)$ έχω «χάσει» μια ευθεία που διέρχεται από το Μ(α,β) και συγκεκριμμένα την χ=α. Πρέπει λοιπόν όταν ξεκινάμε να λύσουμε μια άσκηση στην οποία ψάχνουμε μια ευθεία που διέρχεται από κάποιο σημείο π.χ. το Μ(1,3) να λέμε: «από το Μ(1,3) διέρχονται οι ευθείες χ=1 (κατακόρυφη) και οι ευθείες ψ-3=λ(χ-1)» στη συνέχεια να εξετάζουμε αν η κατακόρυφη ικανοποιεί τα δεδομένα του προβλήματος οπότε είναι αυτή που ψάχνουμε κι αν όχι συνεχίζουμε με τις υπόλοιπες. Ας δούμε ένα παράδειγμα και τέλος γιατί έχω την εντύπωση ότι αρκετά σας κούρασα.

Να βρεθεί η ευθεία που είναι κάθετη στο διάνυσμα $\vec{a}=(3,0)$ και διέρχεται από το Μ(4,5).

Λύση: Από το Μ(4,5) διέρχονται οι ευθείες χ=4 (κατακόρυφη) και οι ευθείες ψ-5=λ(χ-4). Επειδή ο συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος είναι λ=ψ/χ=0/3=0, το διάνυσμα είναι οριζόντιο (παράλληλο στον χ΄χ) κι έτσι η ευθεία που ζητάμε θα είναι κατακόρυφη κι αφού πρέπει να περνάει από το Μ(4,5) είναι η χ=4.

5 σκέψεις σχετικά με το “Λυμένες Ασκήσεις στην Εξίσωση της Ευθείας”

Ο/Η Γιάννης λέει:

4 Φεβρουαρίου 2015 στις 3:59 ΜΜ

Πολύ καλή η μεθοδολογία και οι αντιπροσωπευτικές ασκήσεις.

Απάντηση
Ο/Η Γιάννης λέει:

13 Φεβρουαρίου 2015 στις 4:54 ΜΜ

Στην ευθεία που διέρχεται απο το σημείο Μ(4,5) εξετάσαμε τις ευθείες χ=4 και τις ψ-5=λ(χ-4).Δεν θα έπρεπε να εξετάσουμε και την ψ=5;

Απάντηση
1. Ο/Η Παναγιώτης Δουληγέρης λέει:
  
  5 Μαρτίου 2015 στις 2:22 ΜΜ
  
  Η ευθεία ψ=5 προκύπτει από την ψ-5=λ(χ-4), όταν λ=0
  
  Απάντηση
Ο/Η Φοιβος λέει:

18 Μαρτίου 2017 στις 2:27 ΜΜ

υπαρχει ενα λαθος στην ασκηση 2 εκει που γραφεται οτι ειναι -1=-2(-1)+β επρεπε να ειναι -1=-2(1)+β καθως το σημειο ειναι το Α(1,-1)

Απάντηση
1. Ο/Η mathland λέει:
  
  15 Απριλίου 2017 στις 11:26 ΜΜ
  
  Σ’ ευχαριστώ Φοίβο, το διόρθωσα.
  
  Απάντηση

1. Διέρχεται από το σημείο Α(2,1) και σχηματίζει με τον άξονα χ΄χ γωνία ω=45ο.