Κατεύθυνση Β΄ Λυκείου

Θέλω να μάθω…πως δείχνουμε ότι τρία σημεία είναι συνευθειακά

Η βασική μεθοδολογία με την οποία αποδεικνύουμε ότι τρία σημεία με γνωστές συντεταγμένες είναι συνευθειακά (βρίσκονται και τα τρία στην ίδια ευθεία). Στο άρθρο θα βρείτε τρεις διαφορετικούς τρόπους επίλυσης τέτοιων προβλημάτων.

Συνευθειακά Σημεία

(Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου)

Μπορούμε να αποδείξουμε ότι τρία σημεία είναι συνευθειακά με τρεις διαφορετικούς τρόπους ανάλογα με το σημείο στο οποίο έχουμε φτάσει στην ύλη μας στο σχολείο (Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου).
Έστω λοιπόν ότι έχουμε τα σημεία Α(1,3), Β(2,5) και Γ(4,9)

1ος τρόπος, με διανύσματα
Κατ’ αρχάς φτιάχνουμε δύο διανύσματα με άκρα αυτά τα σημεία έστω τα $\overrightarrow{AB}$ και $\overrightarrow{B\Gamma}$ (Υπενθύμιση 1η),

$\overrightarrow{AB}=(2-1,5-3)=(1,2)$

και
$\overrightarrow{B\Gamma}=(4-2,9-5)=(2,4)$

στη συνέχεια αποδεικνύουμε ότι αυτά τα διανύσματα είναι παράλληλα είτε με τους συντελεστές διεύθυνσης (Υπενθύμιση 2η)
$\lambda_{\overrightarrow{AB}}=2/1=\lambda_{\overrightarrow{A\Gamma}}=4/2=2$

είτε με την ορίζουσα (Υπενθύμιση 3η)
$\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{B\Gamma})=\begin{vmatrix}1 \:2 \\ 2\: 4\end{vmatrix}=1\cdot 4-2\cdot2=0$

Αυτό όμως ταυτόχρονα μας δείχνει ότι τα σημεία Α,Β και Γ είναι συνευθειακά γιατί για να είναι παράλληλα τα δύο διανύσματα θα πρέπει είτε να βρίσκονται σε παράλληλους φορείς πράγμα αδύνατο αφού έχουν ένα κοινό σημείο, το Β είτε να βρίσκονται στον ίδιο φορέα στην ίδια ευθεία δηλαδή.

[box type=»info»] Υπενθύμιση 1η:

αν $A(x_A,y_A)$ και $B(x_B,y_B)$ δύο σημεία τότε το διάνυσμα

$\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,y_B-y_A)$

[/box]

[box type=»info»] Υπενθύμιση 2η:

Ένα διάνυσμα $\overrightarrow{a}=(x,y)$ έχει συντελεστή διεύθυνσης $\lambda=\frac{y}{x}$ εννοείται $x \neq0$ [/box]

[box type=»info»] Υπενθύμιση 3η:

$\det(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\begin{vmatrix}x_a \: y_a \\ x_b \:y_b\end{vmatrix}$ [/box]

Επιστροφή ^^^

2ος τρόπος, με ευθείες
Με το ίδιο σκεπτικό μπορούμε να δείξουμε ότι τα τρία σημεία βρίσκονται στην ίδια ευθεία αποδεικνύοντας ότι δύο ευθείες από αυτές που διέρχονται από τα Α,Β, και Γ είναι παράλληλες (δηλαδή έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης).Έτσι λοιπόν βρίσκουμε το συντελεστή διεύθυνσης της ΑΒ και ΒΓ(Υπενθύμιση 4η) κι έχουμε
$\lambda_{AB}=\frac{5-3}{2-1}=\lambda_{B\Gamma}=\frac{9-5}{4-2}=2$

Δύο ευθείες όμως με ένα κοινό σημείο (το Β) δεν γίνεται να είναι παράλληλες. Τι συμβαίνει τότε; Οι δύο ευθείες ταυτίζονται δηλαδή δεν είναι δύο αλλά μόνο μία ευθεία.

[box type=»info»] Υπενθύμιση 4η:

αν μια ευθεία (ε) διέρχεται από τα σημεία $A(x_A,y_A)$ και $B(x_B,y_B)$ τότε ο συντελεστής διεύθυνσής της είναι:

$\lambda=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$

[/box]

3ος τρόπος, με τρίγωνα
Κάντε κλικ στην εικόνα για να «παίξετε»

Αρκεί να δείξουμε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ έχει εμβαδό ίσο με 0, γιατί αυτό απλά σημαίνει ότι δεν υπάρχει τρίγωνο ΑΒΓ δηλαδή τα σημεία Α,Β και Γ δεν σχηματίζουν τρίγωνο γιατί βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία (συνευθειακά). Έτσι λοιπόν στο παράδειγμά μας έχουμε
$(AB\Gamma)=\frac{1}{2}\left|\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{B\Gamma})\right|=0$

$\Leftrightarrow \det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{B\Gamma})=0$

που ισχύει (τις πράξεις τις κάναμε προηγούμενα στον 1ο τρόπο).

Λυμένες Ασκήσεις στην Εξίσωση της Ευθείας

4 λυμένες ασκήσεις στην εξίσωση της ευθείας.

Αφού έχουμε διαβάσει τα άρθρα:

μπορούμε να δούμε μερικά παραδείγματα για να κατανοήσουμε καλύτερα το πως δουλεύουμε σε ασκήσεις που μας ζητάνε να

: Σύνθεση με ευθείες γραμμές

βρούμε την εξίσωση κάποιας ευθείας.

Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας (ε) στις παρακάτω περιπτώσεις:

1. Διέρχεται από το σημείο Α(2,1) και σχηματίζει με τον άξονα χ΄χ γωνία ω=45^ο.

Λύση: Η εξίσωση που ζητάμε θα έχει τη μορφή: $\psi=\lambda\chi+\beta$ .

Όμως λ=εφω=εφ45^ο=1, κι έτσι η εξίσωση παίρνει τη μορφή $\psi=\chi+\beta$ .

Κι επειδή το σημείο Α(2,1) είναι σημείο αυτής της ευθείας θα πρέπει να ισχύει: $1=2+\beta$ , δηλαδή β=-1.

Οπότε η ζητούμενη ευθεία είναι η $\psi=\chi-1$ .

2. Διέρχεται από το σημείο Α(1,-1) και είναι παράλληλη στην ευθεία (δ): 2χ+ψ-1=0.

Λύση: Η ευθεία που ζητάμε είναι της μορφής $\psi=\lambda\chi+\beta$ . Επειδή ε//δ θα ισχύει λ_ε=λ_δ, αλλά ο συντελεστής διεύθυνσης της (δ) είναι λ_δ=-2, (γιατί (δ): 2χ+ψ-1=0 ή (δ): ψ=-2χ+1) κι έτσι λ_ε=λ_δ=-2.

Η ευθείας μας λοιπόν έχει τώρα τη μορφή $\psi=-2\chi+\beta$ . Περνάει όμως από το σημείο Α(1,-1) πράγμα που σημαίνει ότι θα ισχύει $-1=-2(+1)+\beta\Leftrightarrow\beta=1$ . Τελικά η ευθεία (ε) είναι η $\psi=-2\chi+3$ .

3. Διέρχεται από το Α(-1,1) και είναι κάθετη στην (δ):ψ=-2χ-1.

Λύση: λ_δ=-2, όμως (ε) κάθετη με τη (δ) άρα έχουμε $\lambda_\epsilon\cdot\lambda_\delta=-1\Leftrightarrow\lambda_\epsilon=1/2$ . Η ευθεία που ψάχνουμε λοιπόν θα είναι κάπως έτσι: ψ=1/2χ+β.

Για να βρούμε το β τώρα μας αρκεί το γνωστό σημείο της ευθείας το Α(-1,1) γιατί ξέρουμε ότι θα ισχύει $1=\frac{1}{2}\cdot(-1)+\beta\Leftrightarrow\beta=\frac{3}{2}$ άρα η ευθεία μας είναι η ψ=1/2χ+3/2.

4. Τέμνει τους άξονες στα σημεία Α(4,0) και Β(0,4)

Λύση: Υπολογίζουμε το λ, $\lambda=\frac{\psi_2-\psi_1}{\chi_2-\chi_1}=\frac{4-0}{0-4}=-1$ . Επομένως η εξίσωση της ευθείας θα έχει τη μορφή ψ=-χ+β. Όσον αφορά στο β τώρα θα χρησιμοποιήσουμε ένα από τα δύο σημεία από τα οποία διέρχεται η ευθεία που ζητάμε. Έστω λοιπόν ότι χρησιμοποιούμε το Β(0,4) και με αντικατάσταση παίρνουμε 4=-0+β ή β=4. Καταλήξαμε λοιπόν στο ότι η ζητούμενη ευθεία είναι η ψ=-χ+4.

Παρατηρήσεις:

Οι παρακάτω παρατηρήσεις αφορούν μαθητές της Β΄και Γ΄τάξης του Λυκείου που ακολουθούν τη θετική ή την τεχνολογική κατεύθυνση.

Παρατήρηση 1:

Οι παραπάνω ασκήσεις θα μπορούσαν προφανώς να λυθούν πιο εύκολα με τη χρήση του τύπου

$\psi-\psi_0=\lambda(\chi-\chi_0)$

όπου Μ(χ₀,ψ₀) ένα σημείο της ευθείας και λ ο συντελεστής διεύθυνσής της. Να το δούμε σαν εφαρμογή στην παρακάτω άσκηση:

Να βρεθεί η μεσοκάθετη του τμήματος ΑΒ με Α(-2,1) και Β(2,3)

Λύση: Ο συντελεστής διεύθυνσης της ΑΒ είναι

$\lambda_{AB}=\frac{\psi_2-\psi_1}{\chi_2-\chi_1}=\frac{3-1}{2+2}=1/2$

κι επειδή η μεσοκάθετη της ΑΒ είναι κάθετη με την ΑΒ θα ισχυεί:

$\lambda\cdot\lambda_{AB}=-1\Leftrightarrow\lambda=-2$

Η μεσοκάθετη της ΑΒ θα διέρχεται από το μέσο του ΑΒ που είναι το Μ( $\frac{\chi_2+\chi_1}{2} ,\frac{ \psi_2+\psi_1}{2}$ ) δηλαδή Μ( $\frac{2-2}{2} , \frac{3+1}{2}$ )=(0,2).

Έτσι η μεσοκάθετη έχει την εξίσωση:

$\psi-\psi_0=\lambda(\chi-\chi_0)\Leftrightarrow\psi-0=-2(\chi-2)\Leftrightarrow\psi=-2x+4$

, αφού έχει συντελεστή διεύθυνσης το λ=-2 και διέρχεται απο το Μ(0,2).

Παρατήρηση 2:

Σε όλα όσα έχουμε αναφέρει μέχρι τώρα γιά την εξίσωση της ευθείας έχουμε κάνει μια σημαντική παράλειψη. Είδαμε πως γιά να βρούμε την εξίσωση μιας ευθείας πρέπει οπωσδήποτε να μας δίνεται ένα σημείο της έστω Μ(α,β). Από ‘κει και πέρα υπολογίζω το λ (μέσω της γωνίας που σχηματίζει με τον χ΄χ ή μέσω μιας σχέσης παραλληλίας ή μιας σχέσης καθετότητας ή τέλος από δύο σημεία της ευθείας). Και τελικά βρίσκω την εξίσωση από τον τύπο ψ=λχ+μ ή από τον $\psi-\psi_0=\lambda(\chi-\chi_0)$ . Κι εδώ βρίσκεται το λάθος γιατί από το σημείο Μ(α,β) διέρχονται άπειρες ευθείες αλλά οι παραπάνω τύποι μας δίνουν μόνο την οριζόντια και τις πλάγιες που διέρχονται από το Μ κι όχι την κατακόρυφη κι αυτό γιατί για την κατακόρυφη δεν υπάρχει (δεν ορίζεται) συντελεστής διεύθυνσης. Αυτό σημαίνει ότι με τον τύπο $\psi-\beta=\lambda(\chi-\alpha)$ έχω «χάσει» μια ευθεία που διέρχεται από το Μ(α,β) και συγκεκριμμένα την χ=α. Πρέπει λοιπόν όταν ξεκινάμε να λύσουμε μια άσκηση στην οποία ψάχνουμε μια ευθεία που διέρχεται από κάποιο σημείο π.χ. το Μ(1,3) να λέμε: «από το Μ(1,3) διέρχονται οι ευθείες χ=1 (κατακόρυφη) και οι ευθείες ψ-3=λ(χ-1)» στη συνέχεια να εξετάζουμε αν η κατακόρυφη ικανοποιεί τα δεδομένα του προβλήματος οπότε είναι αυτή που ψάχνουμε κι αν όχι συνεχίζουμε με τις υπόλοιπες. Ας δούμε ένα παράδειγμα και τέλος γιατί έχω την εντύπωση ότι αρκετά σας κούρασα.

Να βρεθεί η ευθεία που είναι κάθετη στο διάνυσμα $\vec{a}=(3,0)$ και διέρχεται από το Μ(4,5).

Λύση: Από το Μ(4,5) διέρχονται οι ευθείες χ=4 (κατακόρυφη) και οι ευθείες ψ-5=λ(χ-4). Επειδή ο συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος είναι λ=ψ/χ=0/3=0, το διάνυσμα είναι οριζόντιο (παράλληλο στον χ΄χ) κι έτσι η ευθεία που ζητάμε θα είναι κατακόρυφη κι αφού πρέπει να περνάει από το Μ(4,5) είναι η χ=4.

Προσδιορισμός του Συντελεστή Διεύθυνσης της Ευθείας

Δείτε με ποιους τρόπους μπορούμε να υπολογίσουμε το συντελεστή διεύθυνσης μιας ευθείας ανάλογα με τα δεδομένα της άσκησης. Το άρθρο απευθύνεται σε μαθητές της Β΄ Λυκείου και κυρίως σε αυτούς που παρακολουθούν την θετική ή την τεχνολογική κατεύθυνση.

Σε προηγούμενο άρθρο είδαμε πως μπορούμε να βρούμε την εξίσωση μιας ευθείας. Είχαμε αναφέρει λοιπόν ότι πρέπει να μας έχουν δοθεί οπωσδήποτε ο συντελεστής διεύθυνσης (λ) κι ένα σημείο Α(χ_Α,ψ_Α) της ευθείας. Μάλιστα είχαμε λύσει κι ένα παράδειγμα όπου και τα δύο (συντελεστής και σημείο) δίνονταν άμεσα. Σήμερα θα δούμε με ποιους τρόπους θα μπορούσαν να μας δώσουν (έμμεσα) το συντελεστή διεύθυνσης.

Μέσω της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία με τον άξονα χ΄χ:
Αν η ευθεία (ε) η οποία ζητάμε σχηματίζει γωνία ω με τον άξονα χ΄χ, τότε ισχύει: λ_ε=εφω
Μέσω δύο σημείων Α και Β από τα οποία διέρχεται η ευθεία:
Έστω ότι η ευθεία (ε) που θέλουμε να βρούμε διέρχεται από τα σημεία Α(x_A,y_Α) και Β(x_Β,y_Β), τότε για το συντελεστή διεύθυνσης λ_ετης ευθείας (ε) ισχύει:
$\lambda_\epsilon=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ (μόνο για το Λύκειο)
Μέσω της παραλληλίας της ζητούμενης ευθείας με μια άλλη ευθεία που μας έχουν δώσει:
Αν η ευθεία (ε) που ψάχνουμε είναι παράλληλη με μια ευθεία (δ) μας έχουν δώσει, τότε ισχύει: λ_ε = λ_δ.
Μέσω της καθετότητας της ζητούμενης ευθείας με άλλη ευθεία που μας έχει δοθεί:
Αν η ζητούμενη ευθεία (ε) είναι κάθετη σε δοσμένη ευθεία (δ), τότε ισχύει: $\lambda_\epsilon\cdot\lambda_\delta=-1$
Μέσω της παραλληλίας της ζητούμενης ευθείας με ένα διάνυσμα που μας έχουν δώσει (Β΄ Λυκείου Κατεύθυνση):
Αν η ευθεία που αναζητάμε είναι παράλληλη με ένα διάνυσμα που μας έχουν δώσει με συντελεστή λ_δ, τότε ισχύει: λ_ε = λ_δ.
Μέσω της καθετότητας της ζητούμενης ευθείας με ένα διάνυσμα που μας έχει δοθεί (Β΄ Λυκείου κατεύθυνση):
Αν η ευθεία μας είναι κάθετη σε κάποιο διάνυσμα που έχει συντελεστή διεύθυνσης λ_δ, τότε θα ισχύει: $\lambda_\epsilon\cdot\lambda_\delta=-1$ .

Συγκεντρώνοντας όλα τα παραπάνω σε ένα πίνακα έχουμε:

Eυθεία (ε) με…	Υπολογισμός του λ_ε
(ε) και χ΄χ να σχηματίζουν γωνία ω	λ_ε = εφω
(ε) να διέρχεται από Α(x_A,y_A) και Β(x_B,Y_B)	$\lambda_\epsilon=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$
(ε) παράλληλη προς την ευθεία (δ)	λ_ε = λ_δ
(ε) κάθετη με την ευθεία (δ)	$\lambda_\epsilon\cdot\lambda_\delta=-1$
(ε) παράλληλη με το διάνυσμα	λ_ε = λ_δ
(ε) κάθετη με το διάνυσμα	$\lambda_\epsilon\cdot\lambda_\delta=-1$

Και για να ολοκληρώσουμε αυτά που είχαμε πει για τον προσδιορισμό της εξίσωσης μιας ευθείας θα τελειώσουμε βλέποντας με ποιο άλλο τρόπο θα μπορούσαν να μας δώσουν ένα σημείο από το οποίο περνά η ευθεία. Αν λοιπόν δεν δοθεί άμεσα θα μπορούσε να δοθεί ως τομή δύο άλλων ευθειών. Στην περίπτωση αυτή για να βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου που χρειαζόμαστε πρέπει να λύσουμε το σύστημα αυτών των δύο εξισώσεων (αυτό θα μπορούσε να γίνει μόνο για τις Γ΄ Γυμνασίου, Α΄ Λυκείου και στην Κατεύθυνση της Β΄ Λυκείου. Στη Β΄ Γυμνασίου το σημείο θα δίνεται άμεσα.

Επειδή το άρθρο είναι σχετικά μεγάλο τα απαραίτητα παραδείγματα θα τα λύσουμε στο επόμενο.

Συνεχίζεται…>>>

Η εξίσωση της Ευθείας

Η εξίσωση ψ=λχ+β είναι γνωστό ότι παριστάνει μια ευθεία. Όμως ποιος ο ρόλος του λ και ποιος του β στην εξίσωση αυτή;

Είναι γνωστό ότι η αλγεβρική μορφή της εξίσωσης μιας ευθείας είναι η

Γραφική παράσταση — Κάντε κλικ στην εικόνα να δείτε το ρόλο των λ και β

$y=\lambda\cdot\chi+\beta$ $(\epsilon)$ , όπου

ο (πραγματικός) αριθμός λ ονομάζεται «συντελεστής διεύθυνσης» και εκφράζει την κλίση της ευθείας σε σχέση με τονημιάξονα Οχ και
ο αριθμός β δηλώνει τη θέση πάνω στον άξονα ψ΄ψ από την οποία διέρχεται η ευθεία.

Αυτό με το οποίο θα ασχοληθούμε σήμερα είναι το πως μπορούμε να βρούμε την εξίσωση μιας ευθείας, δηλαδή με άλλα λόγια να υπολογίσουμε τους αριθμούς λ και β.

Για να μπορέσουμε να βρούμε την εξίσωση θα πρέπει οπωσδήποτε να γνωρίζουμε (να μας έχουν δώσει δηλαδή)

το συντελεστή διεύθυνσης (λ) και

ένα σημείο έστω Α(χ_Α,ψ_Α) από το οποίο διέρχεται η ευθεία που ψάχνουμε.

Για παράδειγμα ας βρούμε την ευθεία που έχει συντελεστή διεύθυνσης 2 και διέρχεται από το σημείο Α(1,3).

Λύση:

Η εξίσωση της ευθείας $(\epsilon)$ θα έχει τη μορφή:

$y=\lambda\cdot\chi+\beta$

όμως μας έχουν δώσει ότι το λ=2,

$y=2\cdot\chi+\beta$

Για να δούμε τώρα πως θα υπολογίσουμε το β.

Έχουμε αναφέρει σε προηγούμενο άρθρο ότι,

«Όταν η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης διέρχεται από κάποιο σημείο, τότε οι συντεταγμένες του σημείου επαληθεύουν την εξίσωση (τον τύπο) της συνάρτησης αυτής»

κι έτσι

[warning]Όταν μας δίνουν εξίσωση ευθείας και σημείο από το οποίο διέρχεται η ευθεία αυτή πάντα αντικαθιστούμε τις συντεταγμένες του σημείου στην εξίσωση της ευθείας.[/warning]

Ας το εφαρμόσουμε στην συγκεκριμένη περίπτωση να δούμε. Αντικαθιστούμε λοιπόν το χ με τον αριθμό 1 και το ψ με τον αριθμό 3 κι έχουμε:

$y=2\cdot\chi+\beta$ ,για χ=1 και y=3

$3=2\cdot1+\beta$

προέκυψε λοιπόν μια εξίσωση με μοναδικό άγνωστο το β, το οποίο και υπολογίζουμε

$3-2=\beta\Leftrightarrow\beta=1$

Βρήκαμε λοιπόν ότι η ευθεία με συντελεστή διεύθυνσης λ=2 που διέρχεται από το σημείο Α(1,3) είναι η

y=2x+1.

Σχόλια:

Θυμηθείτε τι έχουμε αναφέρει προηγούμενα » όσα πράγματα μας ζητούν τόσα πρέπει και να μας δίνουν γιαυτό αναζητήστε τα στην εκφώνηση της άσκησης.

[notice]

Tip 1:

Πλήθος Ζητούμενων = Πλήθος Δεδομένων

[/notice]

Αυτή την άσκηση είμαι σίγουρος ότι θα την χαρακτηρίσετε ως εύκολη. Σας πληροφορώ όμως ότι είναι η μοναδική κατηγορία ασκήσεων στην αναζήτηση της εξίσωσης μιας ευθείας. Οποιαδήποτε άλλη κι αν δείτε δεν έχει τίποτα παραπάνω τίποτα λιγότερο. Αυτό που κάνει κάποιες ασκήσεις της κατηγορίας αυτής πιο σύνθετες είναι ο τρόπος με τον οποίο δίνονται τα απαραίτητα στοιχεία δηλαδή ο συντελεστής διεύθυνσης και το σημείο.
Ακριβώς στο επόμενο άρθρο μας θα δούμε αυτό ακριβώς το «παιχνίδι», με ποιους τρόπους είναι δυνατό να δοθεί (έμμεσα) το λ και με ποιους τρόπους το σημείο.

[important]

Tip 2:

Για να βρούμε την εξίσωση μιας ευθείας πρέπει απαραίτητα να μας δίνουν (άμεσα ή έμμεσα)

[gn_list style=»guard»]

το συντελεστή διεύθυνσης
ένα σημείο της.

[/gn_list]

[/important]

Μέχρι τότε μπορείτε εσείς να δοκιμάσετε να λύσετε την παρακάτω άσκηση και να μας στείλετε την απάντηση (στα σχόλια του άρθρου) καθώς κι οποιαδήποτε απορία έχετε, ή κάποιο σχόλιο που θέλετε να κάνετε.

Μπορείτε φυσικά να επικοινωνήσετε και με e-mail.

Άσκηση:

Να βρεθεί η ευθεία (3) που έχει συντελεστή διεύθυνσης διπλάσιο από τον συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας (δ):2ψ+4χ=3 αν γνωρίζετε ότι το σημείο Α(-3,8) είναι σημείο της (ε).