Παραγοντοποίηση Τριωνύμου

Με ποιο τρόπο μετατρέπουμε σε γινόμενο ένα τριώνυμο; Τι ρόλο παίζουν οι ρίζες του τριωνύμου σε αυτή τη διαδικασία;

ΑΛΓΕΒΡΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

$\alpha x^2+\beta x +\gamma$

συνήθως την ονομάζουμε τριώνυμο και νομίζω ότι είναι προφανής ο λόγος αφού όπως βλέπουμε αποτελείται από τρεις μόνο όρους. Τον δευτεροβάθμιο όρο «αx²«, τον πρωτοβάθμιο όρο «βx» και από τον σταθερό όρο «γ». Για το τριώνυμο έχουμε ξαναμιλήσει σε προηγούμενο άρθρο κι έχουμε ασχοληθεί με το πως μπορούμε να βρούμε τις ρίζες του, θυμίζουμε ότι ρίζες του τριωνύμου είναι οι λύσεις της εξίσωσης

$\alpha x^2+\beta x +\gamma=0$

(αν θέλετε να το διαβάσετε αναλυτικά κάντε κλικ εδώ αν θέλετε να θυμηθείτε στα γρήγορα τη διαδικασία κάντε κλικ εδώ να δείτε τη μεθοδολογία).

Τώρα θα ασχοληθούμε με το πως μπορούμε να παραγοντοποιήσουμε ένα τριώνυμο δηλαδή με ποιο τρόπο μπορούμε να μετατρέψουμε ένα τριώνυμο σε γινόμενο. Για την παραγοντοποίηση γενικά έχουμε αναφερθεί προηγούμενα εδώ. Επειδή όμως στο σχολικό βιβλίο η παραγοντοποίηση του τριωνύμου παρουσιάζεται αρκετά αργότερα, δεν το είχαμε αναφέρει καθόλου τότε. Έφτασε λοιπόν η ώρα να ασχοληθούμε και με αυτό το θέμα.

Όταν λοιπόν για κάποιο λόγο χρειαστεί ένα τριώνυμο να το κάνουμε γινόμενο δεν έχουμε παρά να βρούμε τις ρίζες του έστω x₁ και x₂ και στη συνέχεια να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο:

[su_note color=»#0972FB»]

$\alpha x^2+\beta x+\gamma=a(x-x_1)(x-x_2)$

[/su_note]

Ας δούμε ένα παράδειγμα: Έστω ότι θέλουμε να μετατρέψουμε σε γινόμενο το $x^2+3x-4$ .

Πρώτα απ’ όλα πρέπει να βρούμε τις ρίζες του και για το λόγο αυτό λύνουμε την εξίσωση

$x^2+3x-4=0$

Έχουμε $\left.\begin{matrix} \alpha=1\\ \beta=3\\ \gamma=-4\end{matrix}\right\}\Rightarrow \Delta=\beta^2-4\alpha\gamma=3^2-4\cdot 1\cdot (-4)=9+16=25$

οπότε οι ρίζες είναι

$x_1,x_2=\frac{-\beta\pm\sqrt{\Delta}}{2\alpha}=\frac{-3\pm5}{2}\Rightarrow$ $\left\{\begin{matrix}x_1=\frac{-3-5}{2}=-4\\x_2=\frac{-3+5}{2}=1\end{matrix}$

Σύμφωνα με αυτά που αναφέραμε πιο πάνω παραγοντοποιούμε το τριώνυμο με τον τύπο και παίρνουμε

$x^2+3x-4=1[x-(-4)](x-1)=(x+4)(x-1)$

θα δούμε και δύο ακόμη παραδείγματα γιατί πιθανόν να δημιουργήθηκαν απορίες σε ορισμένους από εσάς για το τι κάνουμε στην περίπτωση που δεν έχουμε ρίζες ή στην περίπτωση που το τριώνυμο έχει διακρίνουσα ίση με μηδέν.

Αν ένα τριώνυμο όπως για παράδειγμα το x²+x+1 έχει διακρίνουσα αρνητική (Δ=-3) τότε όπως γνωρίζουμε δεν έχει ρίζες κι έτσι δεν μετατρέπεται σε γινόμενο.

Ενώ αν μας δωθεί για παραγοντοποίηση ένα τριώνυμο όπως το 4x²-12x+9 θα έχουμε

$\left.\begin{matrix}\alpha=4\\ \beta=-12\\ \gamma=9\end{matrix}\right\}\Rightarrow\Delta=144-4\cdot4\cdot9=144-144=0$

πράγμα που σημαίνει ότι έχουμε δύο ρίζες μόνο που στην περίπτωση αυτή θα είναι ίσες μεταξύ τους. Πράγματι

$x_1=x_2=\frac{-\beta\pm 0}{2a}=\frac{12}{2\cdot4}=\frac{3}{2}$

Έτσι χρησιμοποιώντας τον τύπο που δώσαμε παραπάνω παίρνουμε τελικά

$4x^2-12x+9=4(x-\frac{3}{2})(x-\frac{3}{2})$

το οποίο μάλλον θα ήταν πιο όμορφο αν το γράφαμε έτσι

$4x^2-12x+9=4(x-\frac{3}{2})(x-\frac{3}{2})$

$4x^2-12x+9=4(x-\frac{3}{2})^2$

$4x^2-12x+9=2^2(x-\frac{3}{2})^2$

$4x^2-12x+9=\left\{2(x-\frac{3}{2})\right\}^2$

$4x^2-12x+9=(2x-3)^2$

Παρατηρούμε λοιπόν ότι ο τύπος για την παραγοντοποίηση τριωνύμου «δουλεύει» και όταν Δ>0 (δύο ρίζες διαφορετικές) αλλά και όταν Δ=0 (δύο ρίζες ίσες). Αν και όπως βλέπουμε κι από το προηγούμενο ακριβώς παράδειγμα το $4x^2-12x+9=(2x-3)^2$ μας δείχνει ότι το τριώνυμο ήταν ταυτότητα αλλά δεν το είχαμε προσέξει. Αυτό όμως είναι κανόνας που ισχύει πάντα «όταν η διακρίνουσα ενός τριωνύμου είναι ίση με μηδέν το τριώνυμο έχει δύο ρίζες ‘ισες χ₁=χ₂« κι επομένως θα ισχύει

$\alpha x^2+\beta x+\gamma=\alpha(x-x_1)^2$

Συνοψίζοντας λοιπόν όλα τα παραπάνω έχουμε:

[su_box title=»Μετατροπή τριωνύμου σε γινόμενο» color=»#0972FB»]

Το τριώνυμο $\alpha x^2+\beta x+\gamma$

[su_list style=»arrow»]

αν έχει Δ<0, δεν παραγοντοποιείται
αν έχει Δ=0, γίνεται $\alpha x^2+\beta x+\gamma=\alpha(x-x_1)^2$
αν έχει Δ>0, γίνεται $\alpha x^2+\beta x+\gamma=a(x-x_1)(x-x_2)$

όπου $x_1 , x_2$ οι ρίζες του. [/su_list][/su_box]

18 σκέψεις σχετικά με το “Παραγοντοποίηση Τριωνύμου”

Ο/Η Αναστασία λέει:

29 Νοεμβρίου 2012 στις 10:17 πμ

ΕΤΣΙ ΝΑΙ ΤΟ ΚΑΤΑΛΑΒΑ!!

Απάντηση
Ο/Η Δημητρης λέει:

31 Δεκεμβρίου 2012 στις 12:01 πμ

η παραγοντοποιηση χ2+3χ-4 ..τελειωσε στο αποτελεσμα (χ+4) (χ+1)????
Επισης στη δευτερη παραγοντοποιηση επειδη η Δ=ο πηγατε με α(χ-χ1) (χ-χ2)????

Απάντηση
1. Ο/Η Παναγιώτης Δουληγέρης λέει:
  
  31 Δεκεμβρίου 2012 στις 2:42 ΜΜ
  
  Το τριώνυμο $x^2+3x-4$ βρήκαμε ότι έχει ρίζες τους 1 και -4 κι άρα σύμφωνα με τον τύπο:
  $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$
  
  γίνεται $x^2+3x-4=(x-1)(x+4)$ .
  
  Προσοχή θέλει λίγο στα πρόσημα γιατί όταν ο τύπος λέει $-x_1$ ή $-x_2$ εννοεί τον αντίθετο του χ1 και τον αντίθετο του χ2, γιαυτό και βλέπεις ότι παρότι οι ρίζες είναι 1 και -4 στις παρενθέσεις μέσα έχουν το αντίθετο πρόσημο.
  
  Στην δεύτερη παραγοντοποίηση επειδή η Δ=0 παίρνουμε τον τύπο
  $ax^2+bx+c=a(x-x_1)^2$
  
  κι αφού έχουμε βρεί ρίζα το 3/2 έχουμε $4x^2-12x+9=4(x-\frac{3}{2})^2$ .
  Σε όλες τις περιπτώσεις αφού παραγοντοποιήσεις το τριώνυμο κάνεις αν θες μια επιμεριστική να δεις αν σου βγάζει το αρχικό αποτέλεσμα. π.χ. στο πρώτο παράδειγμα $(x-1)(x+4)=x^2+4x-x-4=x^2+3x-4$
  
  Απάντηση
Ο/Η Σπυρου Δαμιανος λέει:

28 Μαρτίου 2013 στις 1:46 πμ

Ειμαι συναδελφος απο Θεσσαλονικη ) και ενιωσα την αναγκη να σε συσυγχαρω ολοθερμα για τον καταπληκτικο δικτυακο τοπο σου και ευχομαι ναχεις παντα μερακι για να συνεχισεις σ’ αυτην την κατευθυνση.

Απάντηση
Ο/Η ΜΑΡΙΑ λέει:

19 Οκτωβρίου 2013 στις 5:48 ΜΜ

όταν Δ=0 και α<0 το τριώνυμο είναι τέλειο τετράγωνο;

Απάντηση
1. Ο/Η Παναγιώτης Δουληγέρης λέει:
  
  19 Οκτωβρίου 2013 στις 8:33 ΜΜ
  
  Όταν Δ=0, το τριώνυμο είναι τέλειο τετράγωνο ανεξάρτητα από το τι είναι το α, θετικό ή αρνητικό (εννοείται 0 δεν μπορεί να είναι για να είναι τριώνυμο).
  
  Απάντηση
  1. Ο/Η Κυριάκος λέει:
    
    24 Νοεμβρίου 2016 στις 11:48 πμ
    
    Διαφωνώ. Όταν Δ=0, όχι δεν είναι τέλειο τετράγωνο κατ’ ανάγκη. Π.χ. η f(x)=-x^2+4x-4=-(x-2)^2 θεωρείται τέλειο τετράγωνο;
    
    Αν Δ=0, σημαίνει ότι υπάρχει μία διπλή ρίζα, όμως δεν είναι κατ’ ανάγκην τέλειο τετράγωνο. Τελειο τετράγωνο είναι ότι μπορείς να εκφράσεις μια ποσότητα ως το τετράγωνο μιας άλλης ποσόστητας. Οι αρνητικοί πώς να γραφτούν σαν τέλειο τετράγωνο; Εκτός αν επιτρέπουμε τους μιγαδικούς συντελεστές.
    
    Απάντηση
Ο/Η Βάκης λέει:

1 Δεκεμβρίου 2013 στις 12:12 ΜΜ

Γεια σας,

Θα ήθελα να σας ρωτήσω στο κεφάλαιο με τα όρια στην 3 λυκείου όταν έχουμε ένα τριώνυμο να παραγοντοποιήσουμε το οποίο είναι Δ<0, πως το αναλύουμε ώστε να απλοποιηθεί για να συνεχίσουμε την λύση του?

Απάντηση
1. Ο/Η mathland λέει:
  
  1 Δεκεμβρίου 2013 στις 9:36 ΜΜ
  
  Όταν η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι αρνητική τότε το τριώνυμο δεν έχει ρίζες με αποτέλεσμα να μην παραγοντοποιείται.
  Αφού όμως δεν έχει ρίζες το τριώνυμο δεν μηδενίζεται ποτέ και παραμένει πάντα θετικό (αν α>0) ή πάντα αρνητικό (αν α<0).
  Υποψιάζομαι ότι η άσκηση που έχεις να λύσεις δεν θα είναι της μορφής 0/0 αλλά το όριο θα βγαίνει + ή - άπειρο κι αυτό εξαρτάται από το πρόσημο που θα έχει το κλάσμα αν λάβεις υπόψη σου και το πρόσημο του τριωνύμου όπως είπαμε παραπάνω.
  Η απάντηση στην ερώτησή σου δίνεται "με κάθε επιφύλαξη" γιατί δεν ξέρω για ποια συγκεκριμένη άσκηση μιλάς. εγώ έχω στο μυαλό μου μια άσκηση περίπου έτσι:
  $f(x)=\frac{x^2+x+1}{x^2}$ τότε το όριο όταν το χ τείνει στο 0 είναι $+\infty$ γιατί:
  α) Ο αριθμητής έχει όριο (στο 0) το 1
  β) Ο παρονομαστής έχει όριο το 0
  γ) Ο αριθμητής είναι μόνιμα θετικός (τριώνυμο με $\Delta<0$ και $\alpha=1>0$ ), ο παρονομαστής κοντά στο 0 είναι θετικός αφού είναι υψωμένος στο τετράγωνο. Άρα το κλάσμα είναι κοντά στο 0 (είτε απο αριστερά είτε από δεξιά) θετικό.
  
  Απάντηση
Ο/Η νικοσ μικρου λέει:

1 Φεβρουαρίου 2014 στις 3:52 ΜΜ

$3x^4-4x^3+1=0$
θελω βοηθεια!!!

Απάντηση
1. Ο/Η Παναγιώτης Δουληγέρης λέει:
  
  2 Φεβρουαρίου 2014 στις 1:16 ΜΜ
  
  Σε ποια τάξη είσαι Νίκο;
  Αν έχεις διδαχθεί το σχήμα Horner θα κάνεις σχήμα Horner με τον αριθμό 1 και θα δεις ότι το 1 είναι ρίζα του πολυωνύμου.
  
  3 -4 0 0 1 1
  
  3 -1 -1 -1
  
  3 -1 -1 -1 0
  
  Σε αυτό που θα σου μείνει (πολυώνυμο 3ου βαθμού) θα ξανακάνεις Horner με το 1 και θα δεις ότι και πάλι είναι ρίζα.
  
  3 -1 -1 -1 1
  
  3 2 1
  
  3 2 1 0
  
  Αυτό που θα σου μείνει (πολυώνυμο 2ου βαθμού) θα βρεις τη διακρίνουσα η οποία βγαίνει αρνητική (α=3, β=2, γ=1, Δ=4-12=-8) που σημαίνει ότι δεν υπάρχουν άλλες ρίζες.
  
  Έτσι τελικά η εξίσωση που έχεις έχει μια διπλή ρίζα το 1.
  Αν δεν έχεις διδαχθεί το σχήμα Horner θα κάνεις διαίρεση το πολυώνυμο $3x^4-4x^3+1$ με το $x-1$ . Η διαίρεση είναι τέλεια και η ταυτότητα της διαίρεσης σου δίνει: $3x^4-4x^3+1=(x-1)(3x^3-x^2-x-1)$
  Τώρα διαιρείς το $3x^3-x^2-x-1$ με το χ-1 ξανά και βρίσκεις υπόλοιπο 0 και από την ταυτότητα της διαίρεσης παίρνεις: $3x^3-x^2-x-1=(x-1)(3x^2+2x+1)$
  Έτσι λοιπόν έχουμε ότι:
  $3x^4-4x^3+1=0\Leftrightarrow(x-1)(3x^3-x^2-x-1)=0\Leftrightarrow$
  
  $(x-1)(x-1)(3x^2+2x+1)=0\Leftrightarrow$
  
  $\left\{\begin{matrix} x-1=0 & \Leftrightarrow & x=1\\ x-1=0& \Leftrightarrow &x=1 \\ 3x^2+2x+1=0& ,\Delta=-8 & \alpha \delta \upsilon \nu \alpha \tau \eta \end{matrix}\right.$
  
  Απάντηση
Ο/Η παρης λέει:

20 Φεβρουαρίου 2014 στις 6:29 ΜΜ

ποτε οι ριζες ενος τριωνυμου ειναι ετεροσημες ποτε αντιθετες και ποτε αντιστροφες???

Απάντηση
1. Ο/Η Panagiotis λέει:
  
  22 Φεβρουαρίου 2014 στις 12:44 πμ
  Αν $x_1$ και $x_2$ είναι οι λύσεις της εξίσωσης $\alpha x^2+\beta x+\gamma=0$ , τότε για να είναι:
  Απάντηση
Ο/Η Γιωργος λέει:

22 Μάϊος 2014 στις 4:40 ΜΜ

Εχω μπερδευτη με μια ισοτητα Να αποδειξετε την ισοτητα: 5χ – 2χ (3χ-1) – (6χ-1) (1-χ) =1 Μπωρει καποιος να την λυσει και να μου εξηγησει πως;

Απάντηση
1. Ο/Η pdouligeris λέει:
  
  24 Μάϊος 2014 στις 9:56 ΜΜ
  
  5χ – 2χ (3χ-1) – (6χ-1) (1-χ) =1
  
  $5x-6x^2+2x-(6x-6x^2-1+x)=1$
  
  $5x-6x^2+2x-6x+6x^2+1-x=1$
  
  $0x+1=1$
  
  $0x=1-1$
  
  $0x=0$
  
  άρα η εξίσωση είναι αόριστη ή ταυτότητα όπως λέγεται γιατί επαληθεύεται για κάθε τιμή του χ.
  Ρίξε μια ματιά στα παρακάτω:
  Αόριστη και Αδύνατη εξίσωση
  Πως λύνω εξισώσεις α’ βαθμού
  
  Απάντηση
Ο/Η vasiliki λέει:

31 Αυγούστου 2014 στις 8:35 ΜΜ

sugnwmi exw mia eksiswsh alla den mporw na thn lusw : -λ^3 -λ^2 +12λ+82=0.skeftika horner apla epeidi den mporw na vrw profanh lush exw kollisei!isws kapoios gnwrizei!!efxaristw!!

Απάντηση
Ο/Η Βίκυ λέει:

5 Φεβρουαρίου 2018 στις 5:08 ΜΜ

Γεια σας..

Θα ηθελα να με βοηθησετε να λυσω ενα τριωνυμο στο οποιο εχω κολλησει..
4 (χ²+χ+1)= 3χ²+1

Οποιος μπορεσει και με βοηθησει ευχαριστω παρα πολυ !!

Απάντηση
1. Ο/Η mathland λέει:
  
  2 Μαρτίου 2018 στις 8:52 ΜΜ
  
  Πρώτα βγάζεις παρενθέσεις με τη βοήθεια της επιμεριστικής ιδιότητας:
  
  $4(x^2+x+1)=3x^2+1\Leftrightarrow 4x^2+4x+4=3x^2+1$
  
  Τώρα τα μεταφέρεις όλα στο α’ μέλος:
  
  $4x^2-3x^2+4x+4-1=0\Leftrightarrow x^2+4x+3=0$
  
  Τώρα με την βοήθεια των τύπων βρίσκεις: α=1, β=4, γ=3 και Δ=4 οπότε οι λύσεις είναι δύο χ= -1 ή χ= -3
  
  Απάντηση

18 σκέψεις σχετικά με το “Παραγοντοποίηση Τριωνύμου”

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης