Άλγεβρα Α΄ – Σελίδα 2

Πολλαπλάσια – Ε.Κ.Π.

κάποια από τα πολ/σια του 2 του 3 και 6

Πολλαπλάσια ενός φυσικού αριθμού α ονομάζουμε τους αριθμούς που προκύπτουν αν πολλαπλασιάσουμε τον α με όλους τους φυσικούς αριθμούς.

Δηλαδή τα πολλαπλάσια του α είναι: $0, \alpha ,2 \cdot \alpha ,3 \cdot \alpha ,4 \cdot \alpha , \cdot \cdot \cdot ,\nu \cdot \alpha , \cdot \cdot \cdot$

Για παράδειγμα μπορούμε να αναφέρουμε τα πολλαπλάσια του 6 που είναι: 0,6,12,18,24,30,…

Κάθε φυσικός αριθμός διαιρεί όλα τα πολλαπλάσιά του.(και μόνο αυτά)

Παράδειγμα ο 5 διαιρεί όλα τα πολλαπλάσιά του δηλαδή τους αριθμούς 0,5,10,15,20,25,… και κανέναν άλλο αριθμό.

Αν ένας φυσικός αριθμός α διαιρείται από ένα φυσικό β, τότε ο α είναι πολλαπλάσιο του β.

Έτσι αν μας πουν ότι ο 5 διαιρεί τον β εμείς συμπεραίνουμε ότι ο β είναι κάποιο πολλαπλάσιο του 5, δηλαδή θα έχει τη μορφή β=5ν (όπου ο ν είναι κάποιος φυσικός αριθμός).

Αν ένας φυσικός αριθμός α διαιρεί έναν άλλο φυσικό αριθμό β, τότε θα διαιρεί όχι μόνο τον β αλλά και όλα τα πολλαπλάσια του β.

Αφού παράδειγμα ο 5 διαιρεί τον 10 τότε θα διαιρεί και κάθε πολλαπλάσιο του 10 π.χ. το 20, το 30, το 40 κ.λ.π.

Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο ( ΕΚΠ ) δύο ή περισσότερων αριθμών λέγεται το μικρότερο από τα κοινά πολλαπλάσια των αριθμών αυτών.

Ευκλείδεια Διαίρεση

Όταν μας δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί έστω Δ και δ, τότε υπάρχουν δύο άλλοι φυσικοί αριθμοί π και υ, έτσι ώστε να ισχύει η ισότητα (που ονομάζεται Ταυτότητα της Ευκλείδειας Διαίρεσης ):

$\Delta = \delta \cdot \pi + \upsilon$ , με υ<δ

Ο αριθμός Δ λέγεται διαιρετέος
Ο αριθμός δ λέγεται διαιρέτης
Ο αριθμός π λέγεται πηλίκο και
Ο αριθμός υ λέγεται υπόλοιπο
Όπως είναι γνωστό ο διαιρέτης δεν μπορεί να είναι το 0.

Παράδειγμα: κάνοντας τη διαίρεση του 15 με το 2, έχουμε:

Η ταυτότητα της διαίρεσης σε αυτή τη περίπτωση είναι: $15=2 \cdot 7+1$ , όπου Δ=15, δ=2, π=7 και υ=1

• Κάθε ισότητα της μορφής $\Delta = \delta \cdot \pi + \upsilon$ δεν παριστάνει υποχρεωτικά διαίρεση. Πρέπει πάντα να ισχύει και υ<δ .
Έτσι η ισότητα $27=4 \cdot 6+3$ παριστάνει τη διαίρεση του 27 με το 4 ή του 27 με το 6.
Η ισότητα $27=3 \cdot 8+3$ , παριστάνει τη διαίρεση του 27 με το 8 και όχι του 27 με το 3 γιατί το υ=3 δεν είναι μικρότερο του δ=3.
Όπως και η ισότητα $27=2 \cdot 5+17$ δεν μπορεί να είναι ταυτότητα διαίρεσης αφού 17>2 και 17>5.
Όταν το υπόλοιπο της διαίρεσης του Δ με τον δ είναι ίσο με μηδέν, τότε η διαίρεση λέγεται τέλεια και ισχύει η ισότητα: $\Delta = \delta \cdot \pi$ .
• Στη περίπτωση της τέλειας διαίρεσης του Δ με τον δ μπορούμε να χρησιμοποιούμε και τις παρακάτω ισοδύναμες εκφράσεις:
i. Ο δ διαιρεί τον Δ
ii. Ο δ είναι διαιρέτης του Δ
iii. Ο Δ διαιρείται από τον δ
iv. Ο Δ είναι πολλαπλάσιο του δ.

Φυσικοί Αριθμοί

Στο άρθρο αυτό θα ασχοληθούμε με:

την έννοια του Φυσικού αριθμού.
τους Άρτιους και τους Περιττούς αριθμούς.
τη Σύγκριση των φυσικών και
τη Στρογγυλοποίηση.

[wptabs mode=»horizontal»]
[wptabtitle]Φυσικοί[/wptabtitle]
[wptabcontent]

Η Έννοια του Φυσικού Αριθμού

Οι αριθμοί 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,…,2012,…,3150,… λέγονται φυσικοί αριθμοί.

Δηλαδή,

Φυσικός αριθμός είναι οποιοσδήποτε αριθμός μπορεί να γραφεί μόνο με τη βοήθεια των ψηφίων 0,1,2,3,4,5,6,7,8 και 9.

Για να γράψουμε έναν οποιοδήποτε φυσικό χρησιμοποιούμε τα ψηφία 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Αυτό το πετυχαίνουμε γιατί στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης η αξία ενός ψηφίου αλλάζει ανάλογα με τη θέση του μέσα στον αριθμό. Έτσι στους παρακάτω αριθμούς το ψηφίο 3 δηλώνει:

στον 123, 3 μονάδες

στον 1234, 3 δεκάδες ή 30 μονάδες (3.10 )

ενώ στον 12345, 3 εκατοντάδες ή 300 μονάδες (3.100)

Το σύνολο των Φυσικών αριθμών συμβολίζεται με το Ν (πρώτο γράμμα της λατινικής λέξης Natura που σημαίνει φύση) και χωρίζεται σε δύο υποσύνολα, το υποσύνολο των άρτιων αριθμών και το υποσύνολο των περιττών. Άρτιοι είναι οι αριθμοί που διαιρούνται (ακριβώς) με το 2 και περιττοί όλοι οι υπόλοιποι.

Άρτιοι ή ζυγοί : 0,2,4,6,8,10,…

Περιττοί ή μονοί : 1,3,5,7,9,11,…

Οι Φυσικοί αριθμοί, όπως και όλοι οι αριθμοί,χρησιμοποιούνται κυρίως για να δηλώσουν πλήθος ή σειρά . Για παράδειγμαόταν λέμε « 3 ^ο μετάλλιο στους Ολυμπιακούς του Πεκίνο για την Ελλάδα με την Πηγή Δεβετζή. Κατέκτησε την 3 ^η θέση στο τριπλούν» ο πρώτος αριθμός δηλώνει το πλήθος των μεταλλίων και ο δεύτερος τη σειρά κατάταξης. Πολλές φορές οι φυσικοί αριθμοί χρησιμοποιούνταικαι για «ταυτοποίηση» αντικειμένων όπως οι αριθμοί αστυνομικής ταυτότητας,φορολογικού μητρώου, πινακίδες αυτοκινήτων, αριθμοί τηλεφώνων κ.α..

Κάθε φυσικός έχει έναν επόμενο που προκύπτει αν αυτός αυξηθεί κατά 1 μονάδα.Εκτός από τον αριθμό 0 κάθε άλλος φυσικός έχει και έναν προηγούμενο που προκύπτει αν αυτός ελαττωθεί κατά 1 μονάδα. Για παράδειγμα ο 5 έχει προηγούμενο τον 4 κι επόμενο τον 6.

Όταν θέλουμε να αναφερθούμε σε ένα τυχαίο φυσικό αριθμό μπορούμε να τον συμβολίσουμε με ένα γράμμα και να πούμε « ο φυσικός αριθμός ν». Στην περίπτωση αυτή ο επόμενός του συμβολίζεται με ν+1, ο μεθεπόμενος με ν+2 κ.ο.κ., ενώ ο προηγούμενος του ν είναι ο ν-1.

[/wptabcontent]
[wptabtitle]Σύγκριση[/wptabtitle]
[wptabcontent]

Σύγκριση Φυσικών Αριθμών

Σύγκριση δύο αριθμών είναι η εξέτασή τους για τον καθορισμό του ποιος είναι μεγαλύτερος, ποιος μικρότερος ή αν αυτοί είναι ίσοι.

Έτσι αν έχουμε δύο φυσικούς αριθμούς έστω ν και μ θα γράφουμε:

ν=μ, αν οι αριθμοί είναι ίσοι

ν>μ, αν ο ν είναι μεγαλύτερος του μ

ν<μ, αν ο ν είναι μικρότερος του μ.

Εύκολα μπορούμε να συγκρίνουμε φυσικούς αριθμούς και να τους διατάξουμε σε αύξουσα σειρά (τοποθετήσουμε σε μια σειρά από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο). Είναι προφανές ότι ισχύει: 0<1<2<3<…<100<…<1234<…
Αυτή η ιδιότητα των φυσικών μας δίνει τη δυνατότητα να τους τοποθετήσουμε σε μια ευθεία γραμμή με τον παρακάτω τρόπο:

Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε τυχαίο σημείο που ονομάζουμε Ο κι αντιστοιχούμε σε αυτό τον αριθμό 0.

Έπειτα επιλέγουμε και πάλι τυχαία δεξιά από το Ο ένα άλλο σημείο Α στο οποίο αντιστοιχούμε τον αριθμό 1. Στη συνέχεια χρησιμοποιώντας σαν μονάδα μέτρησης το ευθύγραμμο τμήμα ΟΑ ορίζουμε διαδοχικά τμήματα ίσα με το ΟΑ, δηλαδή ΟΑ=ΑΒ=ΒΓ=ΓΔ κ.τ.λ.. Τώρα το σημείο Β παριστάνει τον αριθμό 2, το Γ τον αριθμό 3 κ.λ.π. Η ευθεία αυτή που κατασκευάσαμε ονομάζεται άξονας των φυσικών αριθμών. Κάθε φυσικός αριθμός τώρα αντιστοιχεί σε ένα και μοναδικό σημείο.][/wptabcontent]
[wptabtitle]Στρογγυλοποίηση[/wptabtitle]
[wptabcontent]

Στρογγυλοποίηση

Στρογγυλοποίηση, λέμε τη διαδικασία με την οποία αντικαθιστούμε ένα φυσικό αριθμό με κάποιον άλλο λίγο μεγαλύτερό του ή λίγο μικρότερό του.

Για τη στρογγυλοποίηση των αριθμών ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα και δεν την κάνουμε «όπως μας συμφέρει»

βήμα 1:

επιλέγουμε την τάξη του ψηφίου στην οποία θα κάνουμε την στρογγυλοποίηση (π.χ. Μονάδες, Δεκάδες κτλ)

βήμα 2:

Aν το επόμενο προς τα δεξιά ψηφίο είναι μικρό, δηλαδή 0,1,2,3 ή 4 ξαναγράφουμε τον αριθμό αντικαθιστώντας όλα τα ψηφία που βρίσκονται δεξιά από το ψηφίο στο οποίο επιθυμούμε να κάνουμε στρογγυλοποίηση με μηδενικά.

παράδειγμα: αν τον αριθμό 31812 θέλουμε να τον στρογγυλοποιήσουμε στη εκατοντάδα (ψηφίο 8), κοιτάμε το επόμενο στα δεξιά ψηφίο ( το 1 που είναι μικρό). Ξαναγράφουμε λοιπόν τον αριθμό μας αντικαθιστώντας όλα τα ψηφία που βρίσκονται δεξιότερα του 8 με μηδενικά κι έχουμε τον νέο στρογγυλοποιημένο αριθμό 31800.

Αν το επόμενο προς τα δεξιά ψηφίο είναι μεγάλο, δηλαδή 5,6,7,8 ή 9, τότε αυξάνουμε το ψηφίο στο οποίο επιθυμούμε να γίνει η στρογγυλοποίηση κατά 1 και αντικαθιστούμε όλα τα υπόλοιπα ψηφία που βρίσκονται δεξιότερα με μηδενικά.

παράδειγμα: αν τον αριθμό 31812 θέλουμε να τον στρογγυλοποιήσουμε στην χιλιάδα (ψηφίο 1), κοιτάμε το επόμενο προς τα δεξιά ψηφίο (το 8 που είναι μεγάλο). Ξαναγράφουμε λοιπόν τον αριθμό μας αυξάνοντας το 1 και κάνοντας το 2 κι όλα τα δεξιότερα ψηφία γίνονται μηδενικά. Έτσι έχουμε το νέο αριθμό 32000.

Η στρογγυλοποίηση γίνεται για πρακτικούς λόγους και η τάξη στην οποία κάνουμε στρογγυλοποίηση εξαρτάται από το τι παριστάνει ο αριθμός αυτός. Για παράδειγμα αν αναφερθούμε στον αριθμό των θεατών που παρακολούθησαν τη συναυλία της Madonna στην Αθήνα δεν θα πούμε 82.345 αλλά 82.000 θεατές(στρογγυλοποίηση στη χιλιάδα). Επίσης αν ο μέσος μισθός ενός υπαλλήλου μιας επιχείρησης είναι 1345€ μπορούμε να πούμε ότι είναι 1300€ (στρογγυλοποίηση στην εκατοντάδα). Υπάρχουν όμως και αριθμοί που δεν επιτρέπεται να στρογγυλοποιήσουμε όπως οι αριθμοί που ταυτοποιούν αντικείμενα για παράδειγμα οι ταχυδρομικοί κώδικες, αριθμοί τηλεφώνων κ.α. [/wptabcontent] [/wptabs]

Δυνάμεις Φυσικών αριθμών – Προτεραιότητα πράξεων

Ο ορισμός και οι ιδιότητες των δυνάμεων. Τι είναι η «βάση» και τι ο «εκθέτης»;
Σε περίπτωση που σε μια παράσταση έχουμε να εκτελέσουμε πολλές πράξεις, ποια από αυτές προηγείται;

Ορισμός και ιδιότητες των δυνάμεων

Πολλές φορές συναντάμε γινόμενα στα οποία όλοι οι παράγοντες είναι μεταξύ τους ίσοι. Στις περιπτώσεις αυτές χρησιμοποιήσουμε πιο εύχρηστα σύμβολα, αυτά των δυνάμεων. Έτσι συμφωνήσαμε τα εξής:
• Το γινόμενο $a \cdot a \cdot a \cdot \cdot \cdot a$ που αποτελείται από ν παράγοντες ίσους με α συμβολίζεται με α^νκαι ονομάζεται ν-οστή δύναμη του α (διαβάζεται α εις την ν ). Ο αριθμός α λέγεται βάση της δύναμης ενώ το ν ονομάζεται εκθέτης και μας δείχνει πόσες φορές θα «επαναλάβουμε» τον αριθμό α στο γινόμενο.

Ισχύει λοιπόν: $\alpha ^{ \nu }= \alpha \cdot \alpha \cdot \alpha \cdot \cdot \cdot \cdot \alpha \cdot \alpha$ ( ν παράγοντες )

Παράδειγμα: Ο συμβολισμός 3⁴(διαβάζεται 3 στην τετάρτη) και παριστάνει το γινόμενο $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$ , δηλαδή τον αριθμό 81 .
• Ειδικά η δύναμη α²(α στη δευτέρα) διαβάζεται και α στο τετράγωνο, ενώ για τη δύναμη α³(α στην τρίτη) μπορούμε να διαβάζουμε και α στον κύβο. (γιατί;)
• Η πρώτη δύναμη του αριθμού α είναι ο ίδιος ο αριθμός α, δηλαδή ισχύει: α¹ = α και προφανώς ισχύει ότι: 1^ν = 1 .
• Για τις δυνάμεις του 10 έχουμε τον παρακάτω κανόνα:

10¹=10, 10²=100, 10³=1000, …, 10^ν=1000…00 (ν μηδενικά) .

Προτεραιότητα των πράξεων

Στον υπολογισμό αριθμητικών παραστάσεων η σειρά με την οποία εκτελούνται οι πράξεις είναι η παρακάτω:

1. Δυνάμεις
2. Πολλαπλασιασμοί και Διαιρέσεις	(όποιο συναντάμε πρώτο)
3. Προσθέσεις κι Αφαιρέσεις	(όποιο συναντάμε πρώτο)

• Στην περίπτωση που στην αριθμητική παράσταση υπάρχουν παρενθέσεις, ξεκινάμε τις πράξεις πρώτα μέσα από τις παρενθέσεις πάντα όμως με την παραπάνω σειρά.

Πρόσθεση, Αφαίρεση και Πολλαπλασιασμός Φυσικών

Οι ιδιότητες της πρόσθεσης, της αφαίρεσης και του πολλαπλασιασμού στο σύνολο των Φυσικών Αριθμών. Παρουσιάζεται και η πολλή σημαντική επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση και την αφαίρεση.

Πρόσθεση Φυσικών

Πρόσθεση είναι η πράξη με την οποία από δύο φυσικούς αριθμούς α και β (που παριστάνουν πλήθος όμοιων αντικειμένων) βρίσκουμε ένα τρίτο φυσικό γ που είναι το άθροισμά τους (και παριστάνει το συνολικό πλήθος των αντικειμένων)

Οι αριθμοί α και β λέγονται προσθετέοι, ένω ο γ λέγεται άθροισμα των α και β και μπορεί να συμβολιστεί και ως α+β,δηλαδή ισχύει α+β=γ.

Ιδιότητες της πρόσθεσης

α+β=β+α	Μπορούμε να αλλάξουμε τη σειρά των δύο προσθετέων σ’ ένα άθροισμα	Αντιμεταθετική
α+(β+γ)=(α+β)+γ	Μπορούμε να αντικαταστήσουμε δύο προσθετέους με το άθροισμά τους	Προσεταιριστική
α+0=α	Το 0 όταν προστεθεί σε οποιοδήποτε φυσικό αριθμό δεν τον μεταβάλλει	Ουδέτερο στοιχείο

Η αντιμεταθετική ιδιότητα σε συνδυασμό με την προσεταιριστική μας δίνουν το δικαίωμα να προσθέτουμε τους φυσικούς αριθμούς με οποιαδήποτε σειρά μας «βολεύει». Έτσι για την παρακάτω πρόσθεση θα μπορούσαμε να κάνουμε τα εξής:

45+13+8+22+55+87+70=

(45+55)+(13+87)+(8+22+70)=

100+100+100=300.

Αφαίρεση Φυσικών

Αφαίρεση δύο αριθμών μ (=μειωτέος) και α (=αφαιρετέος) είναι η πράξη με την οποία βρίσκουμε ένα άλλο αριθμό δ (=διαφορά) που αν προστεθεί στον α μας δίνει τον μ.

Δηλαδή:

μ – α = δ μόνο αν ισχύει δ+α=μ, με μ>α

Προσοχή, στην αφαίρεση των φυσικών αριθμών δεν επιτρέπεται η αλλαγή στη σειρά τους διότι η πράξη δεν μπορεί να εκτελεστεί.

Δηλαδή εδώ δεν ισχύει ούτε η αντιμεταθετική ιδιότητα ούτε η προσεταιριστική.

Πολλαπλασιασμός Φυσικών

Πολλαπλασιασμός, είναι η πράξη που από δύο φυσικούς αριθμούς α και β, βρίσκουμε ένα τρίτο φυσικό αριθμό γ που είναι το γινόμενό τους και συμβολίζεται με $\alpha\cdot\beta$ Δηλαδή: $\gamma=\alpha\cdot\beta$

Οι αριθμοί α και β λέγονται παράγοντες του γινομένου.

Ιδιότητες του πολλαπλασιασμού

$\alpha\cdot\beta=\beta\cdot\alpha$	Μπορούμε να αλλάξουμε τη σειρά των δύο παραγόντων σ’ ένα γινόμενο	Αντιμεταθετική
$\alpha \cdot \left( \beta \cdot \gamma \right)=\left( \alpha \cdot \beta \right) \cdot \gamma$	Μπορούμε να αντικαταστήσουμε δύο παράγοντες με το γινόμενό τους	Προσεταιριστική
$\alpha \cdot 1= \alpha$	Το 1 όταν πολλαπλασιαστεί με οποιοδήποτε φυσικό αριθμό δεν τον μεταβάλλει	Ουδέτερο στοιχείο
$\alpha \cdot 0=0$	Ότι πολλαπλασιάζεται με το 0 μηδενίζεται	Απορροφητικό στοιχείο

Επιμεριστική Ιδιότητα

Επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς τη πρόσθεση και την αφαίρεση:
Μια πολλή σημαντική ιδιότητα που συνδέει τον πολλαπλασιασμό με την πρόσθεση (και την αφαίρεση). Η ιδιότητα αυτή μας δίνει το δικαίωμα να υπολογίζουμε την τιμή κάποιας παράστασης με δύο τρόπους.
Επιμεριστική ιδιότητα:

$\alpha \cdot \left( \beta + \gamma \right)= \alpha \cdot \beta + \alpha \cdot \gamma$

$\alpha \cdot \left( \beta - \gamma \right)= \alpha \cdot \beta - \alpha \cdot \gamma$

Η θεωρία της Α΄ Γυμνασίου σε 26 ερωτήσεις με τις απαντήσεις τους

Ερώτηση 1
Ποιοι αριθμοί ονομάζονται πρώτοι και ποιοι σύνθετοι; Να δώσετε και παραδείγματα.
«Απάντηση 1»
Όταν ένας αριθμός διαιρείται μόνο με τον εαυτό του και τη μονάδα λέγεται πρώτος. Παράδειγμα:2,3,13,17,..
Ένας αριθμός που δεν είναι πρώτος λέγεται σύνθετος. Παράδειγμα:8,12,35,…
Ερώτηση 2
i. Τι είναι τα κριτήρια διαιρετότητας;
ii. Να γράψετε τα κριτήρια διαιρετότητας για τους αριθμούς 2,3,5 και 9.
«Απάντηση 2»
i. Οι κανόνες με τους οποίους διακρίνουμε αν ένας αριθμός διαιρείται με τους αριθμούς 2,3,4,…,5 κ.τ.λ. λέγονται κριτήρια διαιρετότητας.
ii. Ένας αριθμός διαιρείται με
a. Το 2, όταν λήγει σε 0,2,4,6,8
b. Το 5,όταν λήγει σε 0,5
c. Το 3, όταν το άθροισμα των ψηφιών του είναι 3,6 ή 9
d. Το 9, όταν το άθροισμα των ψηφιών του είναι 9
Ερώτηση 3
Ποια είναι η σειρά με την οποία εκτελούνται οι πράξεις ( προτεραιότητα πράξεων) σε μια αριθμητική παράσταση που
i. Δεν έχει παρενθέσεις
ii. έχει παρενθέσεις

«Απάντηση 3»
Για να υπολογίσουμε την τιμή μιας αριθμητικής παράστασης έχουμε συμφωνήσει να εκτελούμε τις πράξεις με την παρακάτω σειρά:
i. αν δεν υπάρχουν παρενθέσεις:
a. υπολογίζουμε τις δυνάμεις
b. κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις
c. κάνουμε τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις.
ii. Αν υπάρχουν παρενθέσεις:
εκτελούμε και πάλι τις πράξεις με την παραπάνω σειρά ξεκινώντας όμως πρώτα μέσα από τις παρενθέσεις.
Ερώτηση 4
i. Ποια είναι η βασική μονάδα μέτρησης του μήκους;
ii. Γράψτε τα πολλαπλάσια και τις υποδιαιρέσεις της.
iii. Τι είναι το ναυτικό μίλι;
«Απάντηση 4»
i. Η βασική μονάδα μέτρησης του μήκους είναι το 1 μέτρο (1m)
ii. Τα πολλαπλάσια του μέτρου είναι: δεκάμετρο-εκατόμετρο-χιλιόμετρο.
οι υποδιαιρέσεις του μέτρου είναι: δεκατόμετρο-εκατοστόμετρο-χιλιοστόμετρο.
iii. Το ναυτικό μίλι (ν.μ.) είναι μονάδα μέτρησης του μήκους και χρησιμοποιείται στη ναυτιλία. 1ν.μ.=1852m
Ερώτηση 5
i. Ποια η μονάδα μέτρησης του εμβαδού;
ii. Ποια η μονάδα μέτρησης του όγκου;
iii. Τι είναι το στρέμμα;
iv. Τι είναι το λίτρο;
«Απάντηση 5»
i. Μονάδα μέτρησης του εμβαδού είναι το τετραγωνικό μέτρο ( $m^2$ ), που είναι ένα τετράγωνο με πλευρά 1 μέτρο.
ii. Μονάδα μέτρησης του όγκου είναι το κυβικό μέτρο( $m^3$ ) , που είναι ένας κύβος με ακμή 1 μέτρο.
iii. Στη χώρα μας για τη μέτρηση μεγάλων επιφανειών, κυρίως αγρών και δασικών εκτάσεων, το στρέμμα, που είναι 1000 τ.μ.
iv. Στη περίπτωση που θέλουμε να εκφράσουμε τον όγκο υγρών χρησιμοποιούμε σαν μονάδα μέτρησης το 1 λίτρο (είναι 1/1000 του $m^3$ ). Συνηθισμένη υποδιαίρεση του λίτρου είναι το ml. 1ml=1/1000 του λίτρου (1ml=1 $cm^3$ ).
Ερώτηση 6
Πότε δύο ή περισσότερα κλάσματα λέγονται ομώνυμα και πότε ετερώνυμα;
«Απάντηση 6»
Δύο ή περισσότερα κλάσματα που έχουν τον ίδιο παρονομαστή λέγονται ομώνυμα. Τα κλάσματα που έχουν διαφορετικούς παρονομαστές λέγονται ετερώνυμα.
Ερώτηση 7
i. Πως συγκρίνουμε δύο ομώνυμα κλάσματα;
ii. Πως συγκρίνουμε δύο ετερώνυμα κλάσματα;
«Απάντηση 7»
i. Όταν δύο κλάσματα είναι ομώνυμα, μεγαλύτερο είναι εκείνο που έχει μεγαλύτερο αριθμητή.
ii. Όταν έχουμε να συγκρίνουμε δύο ετερώνυμα κλάσματα τα μετατρέπουμε πρώτα σε ομώνυμα και κατόπιν να συγκρίνουμε σύμφωνα με τον προηγούμενο κανόνα.
Ερώτηση 8
Πως συγκρίνουμε ένα κλάσμα με τη μονάδα;
«Απάντηση 8»
Αν σε ένα κλάσμα
* ο αριθμητής είναι μικρότερος από τον παρονομαστή, τότε το κλάσμα είναι μικρότερο από το 1
* ο αριθμητής είναι ίσος με τον παρονομαστή, τότε το κλάσμα είναι ίσο με το 1
* ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή, τότε το κλάσμα είναι μεγαλύτερο από το 1.
Ερώτηση 9
i. τι είναι η απλοποίηση κλάσματος;
ii. Πότε ένα κλάσμα λέγεται ανάγωγο;
«Απάντηση 9»
i. Όταν διαιρούμε τους όρους ενός κλάσματος με ένα κοινό διαιρέτη τους προκύπτει ένα νέο κλάσμα ίσο με το αρχικό αλλά με μικρότερους όρους. Η διαδικασία αυτή λέγεται απλοποίηση κλάσματος.
ii. Ανάγωγο λέγεται το κλάσμα που δεν απλοποιείται.
Ερώτηση 10
i. Πως προσθέτουμε ομώνυμα κλάσματα;
ii. Πως προσθέτουμε ετερώνυμα κλάσματα;
«Απάντηση 10»
i. Για να προσθέσουμε δύο ομώνυμα κλάσματα, κρατάμε τον ίδιο παρονομαστή και προσθέτουμε τους αριθμητές τους.
ii. Για να προσθέσουμε δύο ετερώνυμα κλάσματα τα μετατρέπουμε πρώτα σε ομώνυμα και μετά τα προσθέτουμε σύμφωνα με τον προηγούμενο κανόνα.
Ερώτηση 11
i. Πως αφαιρούμε ομώνυμα κλάσματα;
ii. Πως αφαιρούμε ετερώνυμα κλάσματα;
«Απάντηση 11»
i. Για να αφαιρέσουμε δύο ομώνυμα κλάσματα, κρατάμε τον ίδιο παρονομαστή και αφαιρούμε τους αριθμητές τους.
ii. Για να αφαιρέσουμε δύο ετερώνυμα κλάσματα τα μετατρέπουμε πρώτα σε ομώνυμα και μετά τα αφαιρούμε σύμφωνα με τον προηγούμενο κανόνα.
Ερώτηση 12
i. Πως πολλαπλασιάζουμε δύο κλάσματα;
ii. Πως διαιρούμε δύο κλάσματα;
«Απάντηση 12»
i. Για να πολλαπλασιάσουμε δύο κλάσματα πολλαπλασιάζουμε αριθμητή με αριθμητή και παρονομαστή με παρονομαστή.
ii. Για να διαιρέσουμε δύο κλάσματα πολλαπλασιάζουμε το πρώτο κλάσμα με το αντίστροφο του δεύτερου κλάσματος.
Ερώτηση 13
i. Ποιοι αριθμοί λέγονται αντίστροφοι; (δώστε και παράδειγμα)
ii. Όλοι οι αριθμοί έχουν αντίστροφο;
iii. Υπάρχει αριθμός που είναι ίσος με τον αντίστροφό του;
«Απάντηση 13»
i. Δύο αριθμοί που έχουν γινόμενο 1 λέγονται αντίστροφοι. Παράδειγμα οι αριθμοί 7/5 και 5/7.
ii. Ο αριθμός 0 δεν έχει αντίστροφο
(γιατί ότι πολλαπλασιάζετε με το μηδέν μηδενίζεται και επομένως δεν μπορεί το γινόμενο να είναι 1).
iii. Ο αριθμός 1 έχει αντίστροφο τον αριθμό 1.
(γιατί 1.1=1)
Ερώτηση 14
Τι ονομάζουμε κλίμακα ενός χάρτη;
«Απάντηση 14»
Ο λόγος της απόστασης δύο σημείων στο χάρτη προς την πραγματική απόσταση των δύο αντίστοιχων σημείων λέγεται κλίμακα του χάρτη. (εννοείται ότι οι αποστάσεις είναι μετρημένες με την ίδια μονάδα.)
Ερώτηση 15
Τι είναι η απόσταση δύο σημείων;
«Απάντηση 15»
Απόσταση δύο σημείων ονομάζουμε το μήκος του τμήματος που τα ενώνει.
Ερώτηση 16
Τι ονομάζουμε μέσο ευθύγραμμου τμήματος;
«Απάντηση 16»
Μέσο ευθύγραμμου τμήματος ονομάζουμε ένα σημείο, που ανήκει στο τμήμα και χωρίζει αυτό σε δύο ίσα τμήματα.
Ερώτηση 17
Τι είναι η διάμεσος τριγώνου;
«Απάντηση 17»
Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει μια κορυφή ενός τριγώνου με το μέσο της απέναντι πλευράς, λέγεται διάμεσος του τριγώνου. Προφανώς κάθε τρίγωνο έχει τρεις διαμέσους που αν σχεδιαστούν σωστά παρατηρούμε ότι διέρχονται και οι τρεις από το ίδιο σημείο (λέγεται κέντρο βάρους του τριγώνου).
Ερώτηση 18
Τι ονομάζουμε ύψος τριγώνου;
«Απάντηση 18»
Η απόσταση της κορυφής ενός τριγώνου από την απέναντι πλευρά λέγεται ύψος του τριγώνου.
Ερώτηση 19
i. Ποιες είναι οι σχετικές θέσεις δύο ευθειών στο επίπεδο;
ii. Πότε δύο ευθείες του επιπέδου λέγονται παράλληλες;
«Απάντηση 19»
i. Δύο ευθείες που ανήκουν στο ίδιο επίπεδο μπορεί να είναι τεμνόμενες ή παράλληλες.
ii. Δύο ευθείες που ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται λέγονται παράλληλες.
Ερώτηση 20
i. Τι είναι κύκλος;
ii. Πότε λέμε ότι μια ευθεία εφάπτεται σε ένα κύκλο;
«Απάντηση 20»
i. Κύκλος με κέντρο Ο και ακτίνα ρ είναι το επίπεδο σχήμα που όλα του τα σημεία απέχουν από το Ο απόσταση ίση με ρ.
ii. Όταν μια ευθεία έχει ένα μόνο κοινό σημείο με ένα κύκλο τότε η ευθεία λέγεται εφαπτομένη του κύκλου. Το κοινό σημείο της ευθείας και του κύκλου λέγεται σημείο επαφής. Η ακτίνα στο σημείο επαφής και η εφαπτομένη σχηματίζουν ορθή γωνία.
Ερώτηση 21
i. Τι ονομάζουμε μεσοκάθετο ενός ευθύγραμμου τμήματος;
ii. Ποια είναι η χαρακτηριστική ιδιότητα της μεσοκαθέτου;
«Απάντηση 21»
i. Η ευθεία που διέρχεται από το μέσο ενός τμήματος και είναι κάθετη σ’ αυτό λέγεται μεσοκάθετος του τμήματος.
ii. Κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ενός τμήματος ισαπέχει από τα άκρα του τμήματος.
Ερώτηση 22
i. Σε ποιες κατηγορίες χωρίζουμε τα τρίγωνα όταν το χαρακτηριστικό ως προς το οποίο τα εξετάζουμε είναι οι πλευρές τους;
ii. Σε ποιες κατηγορίες χωρίζουμε τα τρίγωνα όταν το χαρακτηριστικό ως προς το οποίο τα εξετάζουμε είναι οι γωνίες τους;

«Απάντηση 22»
i. Τα είδη των τριγώνων ως προς τις πλευρές τους είναι:
a. Ισόπλευρο, το τρίγωνο που έχει τρεις πλευρές ίσες.
b. Ισοσκελές, το τρίγωνο που έχει δύο πλευρές ίσες.
c. Σκαληνό, το τρίγωνο που όλες του οι πλευρές είναι άνισες.
ii. Τα είδη των τριγώνων ως προς τις γωνίες τους είναι:
a. Αμβλυγώνιο, το τρίγωνο που έχει μια γωνία αμβλεία.
b. Ορθογώνιο, το τρίγωνο που έχει μια γωνία ορθή.
c. Οξυγώνιο, το τρίγωνο που όλες του τις γωνίες οξείες.
Ερώτηση 23
Ποια τα είδη γωνιών;
«Απάντηση 23»
Τα είδη των γωνιών είναι:
i. Ορθή, η γωνία 90°
ii. Οξεία, η γωνία που είναι μικρότερη από 90°
iii. Αμβλεία, η γωνία που είναι μεγαλύτερη από 90°
Ακόμη χαρακτηριστικές περιπτώσεις γωνιών είναι και οι
iv. Μηδενική, η γωνία 0°
v. Ευθεία, η γωνία 180°
vi. Πλήρης, η γωνία 360°.
Ερώτηση 24
i. Ποιες γωνίες λέγονται παραπληρωματικές και ποιες κατακορυφήν;
ii. Ποια σχέση συνδέει δύο κατακορυφήν γωνίες;
iii. Πόσο είναι το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου;
«Απάντηση 24»
i. Δύο γωνίες που έχουν άθροισμα 180°, λέγονται παραπληρωματικές.
Κατακορυφήν λέγονται δύο γωνίες όταν έχουν την ίδια κορυφή και οι πλευρές της μιας γωνίας είναι προεκτάσεις των πλευρών της άλλης γωνίας.
ii. Δύο κατακορυφήν γωνίες είναι ίσες.
iii. Το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι 180°.
Ερώτηση 25
i. Ποια είδη παραλληλογράμμων γνωρίζετε;
ii. Ποιες είναι οι ιδιότητες του παραλληλογράμμου;
«Απάντηση 25»
i. Τα είδη των παραλληλογράμμων είναι:
a. Πλάγιο παραλληλόγραμμο
b. Ορθογώνιο, το παραλληλόγραμμο που έχει όλες του τις γωνίες ίσες (=90°)
c. Ρόμβος, το παραλληλόγραμμο που έχει όλες τις πλευρές του ίσες.
d. Τετράγωνο, το παραλληλόγραμμο που έχει τις πλευρές του ίσες και τις γωνίες του ίσες (=90°).
ii. Σε κάθε παραλληλόγραμμο ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες:
a. Οι απέναντι πλευρές του είναι παράλληλες
b. Οι απέναντι πλευρές του είναι ίσες
c. Οι απέναντι γωνίες είναι ίσες
d. Οι διαγώνιες διχοτομούνται.
Ερώτηση 26
Πως υπολογίζουμε το εμβαδόν
i. Τριγώνου
ii. Παραλληλογράμμου
iii. Τραπεζίου;
«Απάντηση 26»
i. Το εμβαδόν ενός τριγώνου είναι ίσο με το μισό του γινομένου της βάσης του επί το ύψος.