Κατηγορία: Β΄ Γυμνασίου

Ασκήσεις στον πολ/σμό και τη διάρεση με αρνητικούς

Δοκίμασε το quiz να δεις αν έχεις κατανοήσει τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση με αρνητικούς αριθμούς.

[khan_exercise src=’static:multiplying_and_dividing_negative_numbers’ /]

Ασκήσεις στην πρόσθεση και αφαίρεση ρητών αριθμών

Ξέρεις να προσθέτεις ρητούς αριθμούς;
Απόδειξέ το!!!

[khan_exercise src=’static:adding_and_subtracting_negative_numbers’ /]

Quiz Β΄ Γυμνασίου: Πυθαγόρειο Θεώρημα

Online ασκήσεις στο Πυθαγόρειο Θεώρημα

Υπάρχουν δύο quizzes το πρώτο με απλές εφαρμογές, το δεύτερο λίγο πιο δύσκολο.

Δοκιμάστε τα

[khan_exercise src=’static:pythagorean_theorem_1′ /]

 

[khan_exercise src=’static:pythagorean_theorem_2′ /]

Επανάληψη στη Θεωρία των Μαθηματικών της Β΄ Γυμνασίου

Εξίσωση:

  • Εξίσωση είναι μια ισότητα που περιέχει τουλάχιστον μια μεταβλητή (έναν άγνωστο).
  • Ο αριθμός που επαληθεύει την εξίσωση λέγεται ρίζα ή λύση της εξίσωσης.
  • Μια εξίσωση που δεν έχει λύση λέγεται αδύνατη
  • Μια εξίσωση που έχει άπειρες λύσεις λέγεται αόριστη ή και ταυτότητα.

Πυθαγόρειο Θεώρημα:

Ορθογώνιο Τρίγωνο
Ορθογώνιο Τρίγωνο, α=υποτείνουσα, β και γ = κάθετες
  • Το τετράγωνο της υποτείνουσας ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των κάθετων πλευρών του.

Δηλαδή ισχύει:  αν A=90o τότε α2=β2+γ2

  • (Αντίστροφο) Αν σε ένα τρίγωνο το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του, τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. Εννοείται ότι υποτείνουσα θα είναι η μεγαλύτερη πλευρά κι επομένως ορθή θα είναι η γωνία που βρίσκεται απέναντι από αυτή.

Δηλαδή ισχύει:  αν α2=β2+γ2 τότε A=90o

Τετραγωνική ρίζα:

  • Τετραγωνική ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α (συμβολίζεται: \sqrt\alpha) είναι ένας μη αρνητικός αριθμός ο οποίος αν υψωθεί στο τετράγωνο μας δίνει τον αριθμό α.

Δηλαδή ισχύει: \left(\sqrt\alpha\right)^2=\alpha με \alpha\geqq 0

  • Ιδιότητες:  εννοείται \alpha\geqq 0 και \beta\geqq 0
    • \sqrt0=0 και \sqrt1=1
    • \sqrt{\alpha\beta}=\sqrt\alpha\cdot\sqrt\beta
    • \sqrt\frac{\alpha}{\beta}=\frac{\sqrt\alpha}{\sqrt\beta} \beta\neq0
    • \sqrt{\alpha^2}=\left(\sqrt\alpha\right)^2=\alpha

Τριγωνομετρία:

  • Εφαπτομένη οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου ονομάζουμε το λόγο της απέναντι  πλευράς προς την προσκείμενη κάθετη πλευρά.
    Δηλαδή,

    Όταν αυξάνεται μια οξεία γωνία αυξάνει και η εφαπτομένη της.

  • Ημίτονο οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου είναι ο λόγος της απέναντι πλευράς προς την υποτείνουσα του τριγώνου.
    Δηλαδή,
    Όταν αυξάνει μια οξεία γωνία αυξάνει και το ημίτονό της.
    Το ημίτονο οποιασδήποτε οξείας γωνίας είναι αριθμός μικρότερος του 1, αφού η απέναντι κάθετη πλευρά είναι μικρότερη της υποτείνουσας.
  • Συνημίτονο οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου είναι ο λόγος της προσκείμενης κάθετης πλευράς του τριγώνου προς την υποτείνουσά του.
    Δηλαδή,
    Όταν μεγαλώνει μια οξεία γωνία μειώνεται το συνημίτονό της.
    Το συνημίτονο οποιασδήποτε οξείας γωνίας είναι μικρότερο του 1, αφού η προσκείμενη κάθετη πλευρά του τριγώνου (που βρίσκεται στον αριθμητή) είναι πάντα μικρότερη από την υποτείνουσα (που βρίσκεται στον παρονομαστή).

Ανάλογα ποσά:

  • Δυο ποσά (x και y) λέγονται ανάλογα όταν πολλαπλασιάζοντας τις τιμές του ενός ποσού με κάποιον αριθμό, πολλαπλασιάζονται και οι αντίστοιχες τιμές του άλλου ποσού με τον ίδιο αριθμό.
  • Δυο ποσά x και y είναι ανάλογα αν και μόνο αν το πηλίκο των αντίστοιχων τιμών τους είναι σταθερό.
    Δηλαδή, x και y ανάλογα αν και μόνο αν ισχύει \frac{y}{x}=a ή y=ax
  • Η γραφική παράσταση της y=ax είναι ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και σχηματίζει γωνία (ω) με τον ημιάξονα Οx που έχει εφαπτομένη ίση με το α, δηλαδή a=\epsilon\phi\omega

Ποσά αντιστρόφως ανάλογα:

  • Δυο ποσά (x και y) λέμε ότι είναι αντιστρόφως ανάλογα όταν πολλαπλασιάζοντας τις τιμές του ενός ποσού με κάποιον αριθμό, διαιρούνται με τον ίδιο αριθμό οι αντίστοιχες τιμές του άλλου ποσού.
  • Τα ποσά x και y είναι αντιστρόφως ανάλογα αν και μόνο αν το γινόμενο των αντίστοιχων τιμών τους είναι σταθερό. Δηλαδή, x,y αντίστροφα αν και μόνο αν ισχύει yx=a ή y=\frac{a}x
  • Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

        \[y=\frac{a}x\]

      αποτελείται από δυο κλάδους και λέγεται «υπερβολή».

Επίκεντρη – Εγγεγραμμένη:

  • Επίκεντρη λέγεται η γωνία που έχει την κορυφή της στο κέντρο ενός κύκλου.
    Το τόξο του κύκλου που περιέχεται στις πλευρές της επίκεντρης το λέμε αντίστοιχο τόξο της επίκεντρης.
    Η επίκεντρη γωνία είναι σε μοίρες ίση με το αντίστοιχο τόξο της.
  • Εγγεγραμμένη σε κύκλο γωνία λέγεται η γωνία που έχει τη κορυφή της σε κύκλο και οι πλευρές της τέμνουν τον κύκλο αυτό.
    Το τόξο του κύκλου που βρίσκεται μεταξύ των πλευρών της εγγεγραμμένης γωνίας λέγεται αντίστοιχο τόξο της γωνίας.
    Η εγγεγραμμένη γωνία είναι σε μοίρες ίση με το μισό του αντίστοιχου τόξου της.
    Κάθε εγγεγραμμένη γωνία που έχει ως αντίστοιχο τόξο ένα ημικύκλιο είναι ορθή. (ή αλλιώς κάθε εγγεγραμμένη που βαίνει σε ημικύκλιο είναι ορθή).
    Εγγεγραμμένες στον ίδιο κύκλο (ή σε ίσους κύκλους) γωνίες που έχουν το ίδιο αντίστοιχο τόξο είναι ίσες.
  • Σχέση Επίκεντρης και Εγγεγραμμένης γωνίας.
    Μια επίκεντρη γωνία είναι διπλάσια από κάθε εγγεγραμμένη  που έχει το ίδιο αντίστοιχο τόξο με αυτήν.

Κύκλος:

Τύποι στο Κύκλο
Μήκος Κύκλου \Gamma=2\cdot\pi\cdot\rho
Μήκος Τόξου S=2\cdot\pi\cdot\rho\cdot\frac{\mu}{360^0}
Εμβαδό Κύκλου E=\pi\cdot\rho^2
Εμβαδό Κυκλικού Τομέα E_\kappa=\pi\cdot\rho^2\cdot\frac{\mu}{360^o}
Γ:μήκος κύκλου, Ε: εμβαδό κύκλου, S:μήκος τόξου, Εκ: εμβαδό κυκλικού τομέα, ρ: ακτίνα, μ: μοίρες τόξου, π=3,14

Εμβαδά Επίπεδων Σχημάτων:

Τύποι Εμβαδών
Τετράγωνο E=\alpha^2
Παραλληλόγραμμο E=\beta\cdot\upsilon
Τρίγωνο E=\frac{1}2\cdot\beta\cdot\upsilon
Τραπέζιο E=\frac{1}2\left(\beta_1+\beta_2\right)\cdot\upsilon
α:πλευρά τετραγώνου, β, β1, β2: βάσεις, υ:ύψος