Γεωμετρία Β΄

Τι είναι το εμβαδόν;

Το εμβαδόνμιας επίπεδης επιφάνειας είναι ο θετικός αριθμός, που εκφράζει την έκταση που καταλαμβάνει η επιφάνεια

αυτή στο επίπεδο. Ο αριθμός αυτός εξαρτάται από τη μονάδα μέτρησης που χρησιμοποιούμε. Κι αυτό γιατί το εμβαδόν στην πραγματικότητα είναι ο θετικός αριθμός που μας δείχνει πόσες μονάδες μέτρησης χρειαζόμαστε για να καλύψουμε την συγκεκριμένη επιφάνεια.

Ποια είναι η βασική μονάδα μέτρησης της επιφάνειας;

Η μονάδα μέτρησης που χρησιμοποιούμε συνήθως είναι το ένα τετραγωνικό μέτρο (1m²) με κυριότερες υποδιαιρέσεις: 1dm², 1cm²,1mm². Οι σχέσεις που συνδέουν αυτές τις μονάδες και χρειάζεται να τις γνωρίζουμε για τις μετατροπές είναι,

1m²=100dm²

1dm²= 100cm²

1cm²=100mm²

Εμβαδά επίπεδων σχημάτων

Το εμβαδόν ενός τετραγώνου με πλευρά α είναι:

$E=\alpha^2$

Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου με διαστάσεις α, β είναι:

$E=\alpha\cdot\beta$

Το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου είναι ίσο με το γινόμενο μιας βάσης του επί το αντίστοιχο ύψος.

$E=\beta\cdot\upsilon$

Το εμβαδόν ενός τριγώνου είναι ίσο με το μισό του γινομένου της βάσης του επί το ύψος.

$E=\frac{\beta\cdot\upsilon}{2}$

Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου με κάθετες πλευρές β και γ μπορεί να υπολογιστεί κι από το ημιγινόμενο των κάθετων πλευρών του

$E=\frac{\beta\cdot\gamma}{2}$

Το εμβαδόν ενός τραπεζίου είναι ίσο με το ημιάθροισμα των βάσεών του επί το ύψος του.

$E=\frac{(B+b)\cdot\upsilon}{2}$

: Από το Πυθαγόρειο της Σάμου-Τόπος καταγωγής του Πυθαγόρα

Οι περισσότεροι άνθρωποι που έχουν τελειώσει το σχολείο, όσα χρόνια κι αν έχουν περάσει από τότε, θυμούνται τη σχολική τους ζωή κι έχουν να μας διηγηθούν πολλά περιστατικά από αυτήν. Περιστατικά που αφορούν σε γεγονότα που διαδραματίστηκαν στην τάξη την ώρα του μαθήματος, στο διάλειμμα, στις εκδρομές κ.α. Από τα μαθήματα που διδάχτηκαν λίγα πράγματα θα θυμούνται (εκτός κι αν τα χρησιμοποιούν στη δουλειά τους, όπως ο γράφων). Ένα από αυτά που δεν πρόκειται να ξεχάσει ποτέ κανείς, έστω και κατ’ όνομα, είναι το Πυθαγόρειο θεώρημα.

Ο λόγος που το Πυθαγόρειο θεώρημα μένει «καρφωμένο» για πάντα στο μυαλό όλων μας δεν είναι γιατί ήταν (είναι και θα είναι) από τα SOS και κάθε χρόνο συμπεριλαμβάνεται στα θέματα των εξετάσεων του Γυμνασίου αλλά γιατί το ακούσαμε και το εφαρμόσαμε άπειρες θα έλεγα φορές στη Γεωμετρία, στην Άλγεβρα, στη Τριγωνομετρία αλλά και σε άλλα μαθήματα όπως η Φυσική, ακόμη και τα Καλλιτεχνικά.

Γιατί όμως το Πυθαγόρειο, ένα τόσο απλό θεώρημα, να θεωρείται από τα σημαντικότερα και να έχει τόσες πολλές εφαρμογές; Κατά τη δική μου άποψη ο λόγος είναι ότι αναφέρεται κι εφαρμόζεται σε τρίγωνα και μάλιστα ορθογώνια. Αν ρίξετε μια ματιά γύρω σας θα δείτε ότι ο κόσμος μας κατακλύζεται από ορθές γωνίες και ορθογώνια τρίγωνα. Και γενικά ένα πολύγωνο μπορεί εύκολα να χωριστεί σε τρίγωνα και κάθε τρίγωνο μπορεί να χωριστεί σε ορθογώνια τρίγωνα.

Ας δούμε όμως τι λέει το Πυθαγόρειο θεώρημα:

Το τετράγωνο της υποτείνουσας οποιουδήποτε ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών του.
Δηλαδή,

$\alpha^2=\beta^2+\gamma^2$

Σημειώσεις:

Ορθή γωνία είναι η γωνία Α που είναι 90 μοίρες.

Κάθετες πλευρές είναι οι πλευρές της ορθής γωνίας οι ΑΒ=γ και ΑΓ=β.

Υποτείνουσα είναι η πλευρά που βρίσκετε απέναντι από την ορθή γωνία δηλαδή η ΒΓ=α που μάλιστα είναι και η μεγαλύτερη πλευρά του τριγώνου. (δείτε κι αυτό)

Πότε χρησιμοποιούμε το θεώρημα

Διαβάζοντας προσεκτικά το θεώρημα καταλαβαίνουμε αμέσως ότι αναφέρεται σε μια σχέση που ισχύει σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο. Κα πιο συγκεκριμένα η σχέση αυτή μας πληροφορεί για το τι συμβαίνει με τα μήκη των πλευρών του. Με αυτή την ισότητα που μας δίνει το θεώρημα μπορούμε να υπολογίσουμε μια πλευρά του αρκεί να γνωρίζουμε το μήκος των άλλων δύο πλευρών (Σχόλιο).

Πράγματι,

αν υποθέσουμε ότι $\beta=6cm,\gamma=8cm$ , τότε η υποτείνουσα α θα είναι ίση με

$\alpha^2=\beta^2+\gamma^2$

$\alpha^2=(6cm)^2+(8cm)^2$

$\alpha^2=36cm^2+64cm^2$

$\alpha^2=100cm^2$

$\sqrt{\alpha^2}=\sqrt{100cm^2}$

άρα $\alpha=10cm$

Που χρησιμοποιούμε το θεώρημα

Προσοχή, η σχέση που μας δίνεται μέσω του Πυθαγορείου, όπως μας πληροφορεί και το ίδιο το θεώρημα ισχύει σε όλα τα ορθογώνια τρίγωνα αυτό όμως που δεν μας λέει είναι αν ισχύει και σε άλλα τρίγωνα. Η απάντηση είναι όχι και μας δίνεται από ένα άλλο θεώρημα, το «αντίστροφο του Πυθαγορείου» που λέει ότι:

Αν σε κάποιο τρίγωνο ισχύει: το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς του να είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του, τότε το τρίγωνο αυτό είναι σίγουρα ορθογώνιο. Εννοείται ότι η μεγαλύτερη πλευρά θα είναι η υποτείνουσα και η γωνία που βρίσκεται απέναντι από τη μεγαλύτερη πλευρά θα είναι ορθή.

Μετά από αυτά μπορούμε πλέον να λέμε ότι η σχέση που δίνει το Πυθαγόρειο θεώρημα ισχύει σε όλα τα ορθογώνια τρίγωνα και μόνο σε αυτά. Έτσι μπορούμε με τη σχέση αυτή όχι μόνο να υπολογίζουμε μια πλευρά ενός ορθογωνίου τριγώνου (αν γνωρίζουμε τις άλλες δύο πλευρές του) αλλά και να ελέγχουμε αν ένα τρίγωνο είναι ορθογώνιο ή όχι. Αρκεί γι’ αυτό να γνωρίζουμε τα μήκη των πλευρών του χωρίς να χρειάζεται να μετρήσουμε τις γωνίες του (που πολλές φορές είναι και δυσκολότερο). Ας δούμε ένα παράδειγμα.

Το τρίγωνο με πλευρές $\alpha=3,\beta=4,\gamma=5$ είναι ορθογώνιο αφού το άθροισμα των τετραγώνων των δύο μικρότερων πλευρών του είναι $\alpha^2+\beta^2=3^2+4^2=9+16=25$ και το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς του είναι το ίδιο $\gamma^2=5^2=25$

ενώ το τρίγωνο με πλευρές $k=3,l=4,m=6$ δεν είναι αφού $k^2+l^2=3^2+4^2=9+16=25$ και $m^2=6^2=36$ .

Σχόλιο:

δεν είναι υποχρεωτικό να γνωρίζουμε δύο πλευρές για να υπολογίσουμε την τρίτη. Αυτό που είναι υποχρεωτικό είναι να υπάρχει μόνο ένας άγνωστος στην ισότητα $\alpha^2=\beta^2+\gamma^2$ . Για παράδειγμα, αφού θα έχετε διαβάσει ολόκληρο το άρθρο, δοκιμάστε να υπολογίσετε τις δύο ίσες πλευρές ενός ορθογωνίου και ισοσκελούς ταυτόχρονα τριγώνου του οποίου η υποτείνουσα είναι ίση με $\sqrt{2}$

Επιστροφή…>>

Δείτε εδώ οπτικοποιημένες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος:

Απόδειξη Πυθαγόρα, Ευκλείδη, Leonardo da Vinci.

Κατηγορία: Γεωμετρία Β΄

Quiz Β΄ Γυμνασίου: Πυθαγόρειο Θεώρημα

Online ασκήσεις στο Πυθαγόρειο Θεώρημα

Εμβαδά

Τι είναι το εμβαδόν;

Ποια είναι η βασική μονάδα μέτρησης της επιφάνειας;

Εμβαδά επίπεδων σχημάτων

Το Πυθαγόρειο θεώρημα είναι παντού. Τυχαίο; Δεν νομίζω.

Πότε χρησιμοποιούμε το θεώρημα

Που χρησιμοποιούμε το θεώρημα