Κατηγορία: Άλγεβρα Β΄

Απαλοιφή παρονομαστών

Η διαδικασία που ακολουθούμε ώστε να «διώξουμε» τους παρονομαστές από μια ισότητα, λέγεται απαλοιφή παρονομαστών.

Αν λοιπόν είμαστε άτυχοι κι η εξίσωσή μας έχει παρονομαστές θα πρέπει να τους διώξουμε για να … «κάνουμε τη ζωή μας πιο εύκολη». Το να «εξουδετερώσεις» ή να «εξαφανίσεις» ένα παρονομαστή που εμφανίζεται σε μια ισότητα (ή σε μια εξίσωση, αφού κι αυτή ισότητα είναι) είναι πολύ εύκολη υπόθεση , αρκεί ένας πολλαπλασιασμός.

Για να διώξεις για παράδειγμα τον παρονομαστή 2, αρκεί να πολλαπλασιάσεις όλους τους όρους της ισότητας (στο πρώτο και στο δεύτερο μέλος) με το 2. Δείτε ένα παράδειγμα,

η πολλαπλασιαζόμενη με το 2 γίνεται

που είναι πλέον απαλλαγμένη από παρονομαστές.

Είναι προφανές ότι μπορούσαμε να πετύχουμε το σκοπό μας πολλαπλασιάζοντας όχι μόνο με το 2 αλλά με οποιοδήποτε από τα πολλαπλάσια του 2 όπως 4,6,8,…, επιλέξαμε όμως το μικρότερο   για να έχουμε στην νέα εξίσωση που προκύπτει τους μικρότερους δυνατούς συντελεστές. Επίσης είναι προφανές ότι αν ήθελα να «εξαφανίσω» το 3, το 5 κ.ο.κ. από κάποιον παρονομαστή θα διάλεγα να πολλαπλασιάσω με το 3 ή το 5 αντίστοιχα.

Ένα εύλογο ερώτημα που μπαίνει εδώ είναι τι θα κάναμε αν είχαμε δύο ή περισσότερους διαφορετικούς παρονομαστές; Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να εξουδετερώσουμε το 2 και το 3. Η απάντηση είναι απλή και λογική (όπως απλά και λογικά είναι πάντα τα μαθηματικά): Θα πολλαπλασιάζαμε  και με το 2 και με το 3 ταυτόχρονα, ή με άλλα λόγια θα πολλαπλασιάζαμε με το 6 (6 = 2.3). Και πάλι τονίζουμε ότι τη δουλεία μας μπορούσαμε να τη κάνουμε όχι μόνο με το 6 αλλά και με τους 12,18,24,…(πολλαπλάσια του 6) δηλαδή με κάθε κοινό πολλαπλάσιο των παρονομαστών 2 και 3. Εμείς όμως διαλέγουμε το μικρότερο κοινό πολλαπλάσιο, το Ε.Κ.Π. δηλαδή, γιατί «έτσι μας συμφέρει». Δείτε το,

Επομένως συνοψίζοντας,

[gn_box title=»tip» type=»info»] για να διώξουμε τους παρονομαστές από μια εξίσωση, πολλαπλασιάζουμε όλους τους όρους της εξίσωσης με το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών.[/gn_box]

Στο προηγούμενο άρθρο μας αναφέραμε ότι εξίσωση είναι μια ισότητα που περιέχει τουλάχιστον μια μεταβλητή (ένα γράμμα που συνήθως αποκαλούμε άγνωστο) και ότι λύση ή ρίζα της εξίσωσης λέμε τον αριθμό που επαληθεύει την εξίσωση (δηλαδή τον αριθμό που αν πάρει τη θέση του γράμματος θα προκύψει μια αληθής ισότητα.
Επίσης είχαμε αναφέρει ότι μια εξίσωση μπορούμε να την θεωρούμε σαν μια ερωτηματική πρόταση σαν μια ερώτηση δηλαδή. Αλλά όπως θα έχετε παρατηρήσει κάποιες ερωτήσεις έχουν απαντήσεις (μία ή περισσότερες ) και κάποιες δεν έχουν. Ας δούμε λίγα παραδείγματα:

Ερώτηση	Απάντηση	Αριθμός Απαντήσεων
Ποια μέρα της εβδομάδας έχει 10 γράμματα;	Δεν υπάρχει	0
Πόσες είναι οι μέρες της εβδομάδας;	7	1
Ποιοι είναι οι καλοκαιρινοί μήνες;	Ιούνιος, Ιούλιος, Αύγουστος	3
Ποια χρονιά έχει 12 μήνες;	Όλες	Όποιον φυσικό αριθμό και να δώσετε ως απάντηση θεωρείται σωστό

Το ίδιο συμβαίνει και με τις εξισώσεις,

Continue reading «Θέλω να μάθω … πότε μια εξίσωση λέγεται αδύνατη και πότε αόριστη»

Η γλώσσα των μαθηματικών

Τα μαθηματικά είναι μια γλώσσα και όπως όλες οι γλώσσες χρησιμοποιεί κι αυτή σύμβολα. Για να μπορέσουμε να κατανοήσουμε λοιπόν μια γλώσσα θα πρέπει να μάθουμε τι εκφράζουν τα σύμβολα που αυτή χρησιμοποιεί. Άλλα σύμβολα είναι απλά, όπως τα γράμματα και οι αριθμοί που συνδυαζόμενα μεταξύ τους μας δίνουν τις λέξεις και τις προτάσεις και άλλα είναι πιο σύνθετα και μας δίνουν κάποιες εντολές, πληροφορίες κ.α. (π.χ. τα εισαγωγικά «» που μας πληροφορούν ότι ό,τι υπάρχει μέσα σε αυτά ειπώθηκε ακριβώς κατά αυτό τον τρόπο ή το Km που δηλώνει ένα συγκεκριμένο μήκος κ.α.). Τα πιο συνηθισμένα σύμβολα στα μαθηματικά μάλλον είναι τα σύμβολα των τεσσάρων πράξεων (+,-,●,:) και τα σύμβολα της ισότητας ( = ) και της ανισότητας ( < , >, , ).

Σωστό ή λάθος;

Με τα σύμβολα όπως προαναφέραμε φτιάχνουμε λέξεις και προτάσεις. Για παράδειγμα,

Η Ελλάδα είναι μια Ευρωπαϊκή χώρα. (πρόταση 1 )

Ο Ιούλιος είναι ο έκτος μήνας του χρόνου. ( πρόταση 2 )

Ποια είναι η πρωτεύουσα της Ιταλίας; (πρόταση 3 )

Όπως φαίνεται από τα παραπάνω παραδείγματα υπάρχουν Continue reading «Θέλω να μάθω…τι είναι η εξίσωση»