Featured – mathland

Quiz Α΄ Γυμνασίου: Φυσικοί Αριθμοί & Κλάσματα

Το παρακάτω κουίζ αποτελείται από ερωτήσεις του τύπου Σωστό – Λάθος. Είναι για μαθητές Α΄ Γυμνασίου και εξετάζει τις ενότητες «Φυσικοί Αριθμοί» και «Κλάσματα». Συνολικά υπάρχουν 42 ερωτήσεις με κάθε ερώτηση να δίνει 10 μονάδες. Για να περάσετε το τεστ πρέπει να απαντήσετε σωστά στο 80% των ερωτήσεων.

Ισότητα Τριγώνων – Βιντεομάθημα

Παρακολουθήστε το παρακάτω βίντεο που παρουσιάζει τα κριτήρια ισότητας τριγώνων

πηγή: δημήτρης ποιμενίδης

Οι καλοί βαθμοί κάνουν καλό και στην … υγεία

Οι καλοί βαθμοί των μαθητών δεν κάνουν καλό μόνο στην αυτοπεποίθησή τους, αλλά και στην υγεία τους ως ενηλίκων, σύμφωνα με μια νέα αμερικανική επιστημονική έρευνα. Προηγούμενες μελέτες έχουν δείξει ότι η εκπαίδευση συνδέεται με καλύτερη υγεία γενικά, αλλά η νέα έρευνα δείχνει συγκεκριμένα ότι οι καλύτερες επιδόσεις στο γυμνάσιο και το λύκειο παίζουν κρίσιμο ρόλο για την ύπαρξη καλύτερης υγείας σε όλη τη ζωή του ενήλικου.
Οι ερευνητές που δημοσίευσαν τη σχετική μελέτη μελέτησαν περισσότερους από 10.000 μαθητές, που αποφοίτησαν από το σχολείο το 1957, και κατέγραψαν την πορεία της υγείας τους κατά τα επόμενα 53 χρόνια, μέχρι δηλαδή το 2010. Η έρευνα έδειξε ότι όσο καλύτεροι ήταν οι βαθμοί με τους οποίους αποφοίτησε ένας μαθητής, τόσο μικρότερη ήταν η πιθανότητα να επιδεινωθεί η υγεία του μελλοντικά, κοντά στην ηλικία συνταξιοδότησής του.
Μια πιθανή εκτίμηση (που όμως δεν προκύπτει από τα δεδομένα), σύμφωνα με τους ερευνητές, θα μπορούσε να είναι ότι το αίσθημα ευσυνειδησίας, που χαρακτηρίζει τους καλούς μαθητές, έχει ευεργετική επίδραση και στην κατοπινή υγεία τους, γιατί ως ενήλικοι αποφεύγουν με μεγαλύτερη ευκολία τις ανθυγιεινές συνήθειες στη ζωή τους.
Πόσο καλά τα πάει κανείς στο σχολείο, μετράει, όχι μόνο σε πράγματα όπως η εργασία και τα εισοδήματα, αλλά και στην υγεία, όπως αποδεικνύεται πλέον. Η ευεργετική επίδραση στην υγεία μπορεί να γίνει φανερή χρόνια ή και δεκαετίες μετά την αποφοίτηση από το σχολείο.

http://www.tovima.gr/

Ναι ή Όχι στα βιντεοπαιχνίδια;

Και όμως, τα βιντεοπαιχνίδια με την καταιγιστική δράση μπορεί να κάνουν (και) καλό αναφέρει Το Βήμα (15/9/2010). Για πολλούς γονείς, τέτοια βιντεογκέιμ είναι πηγή μόνιμης ανησυχίας για την ψυχική υγεία των παιδιών τους. Λένε ότι εξαιτίας τους οι μικροί γίνονται δύστροποι, επιθετικοί και κλείνονται στο δωμάτιό τους με τις ώρες, παραμελώντας τα μαθήματά τους.

Να όμως που μετά τις πολυάριθμες έρευνες οι οποίες προειδοποιούν για τις αρνητικές συνέπειες του να περνάει κανείς ατελείωτες ώρες μπροστά σε μια κονσόλα, νέα μελέτη αποκάλυψε ότι τα βιντεοπαιχνίδια με έντονη δράση σε καταιγιστικούς ρυθμούς μάς εκπαιδεύουν να παίρνουμε ταχύτερες και καλύτερες αποφάσεις. Προσοχή όμως: αυτό δεν ισχύει για παιδιά μικρότερα των 15 ετών. Για αυτά, ο κίνδυνος από τη συστηματική έκθεση στην ψηφιακή βία παραμένει. Επιστήμονες του πανεπιστημίου του Ρότσεστερ στη Νέα Υόρκη διεξήγαγαν μία σειρά από δοκιμασίες για να εκτιμήσουν τον βαθμό στον οποίο μπορούν να βελτιώνουν τις γνωστικές ικανότητες των παικτών τέτοια βιντεοπαιχνίδια.

Οι ερευνητές εξέτασαν δεκάδες άτομα ηλικίας 18 ως 25 ετών που γενικά δεν έπαιζαν βιντεοπαιχνίδια και τους χώρισαν σε δύο ομάδες. Από την πρώτη ομάδα ζήτησαν να παίξει ένα παιχνίδι που ανεβάζει την αδρεναλίνη, όπως για παράδειγμα το «Call of Duty 2», όπου οι συμμετέχοντες έπρεπε να «τρέχουν» σε διάφορες πίστες στο Διαδίκτυο πυροβολώντας ο ένας τον άλλον. Στη δεύτερη ομάδα δόθηκε το παιχνίδι «Sims 2», ένα πολύ πιο ήρεμο βιντεοπαιχνίδι στρατηγικής, το οποίο ακολουθεί τους ρυθμούς της καθημερινής ζωής. Υστερα από 50 ώρες παιχνιδιού, και στις δύο ομάδες δόθηκε μια σειρά από τεστ με σκοπό να διαπιστωθεί ποια θα απαντούσε πιο γρήγορα. Όσοι είχαν εκπαιδευτεί στο παιχνίδι δράσης απάντησαν κατά 25% πιο γρήγορα και είχαν τον ίδιο αριθμό σωστών απαντήσεων με όσους έπαιζαν το παιχνίδι στρατηγικής.

Βρήκαμε ότι οι παίκτες βιντεοπαιχνιδιών καταιγιστικής δράσης έλαβαν περισσότερες σωστές αποφάσεις ανά μονάδα χρόνου… Αν είσαι χειρουργός ή αν βρίσκεσαι στο μέσον μιας μάχης,αυτό μπορεί να κάνει μεγάλη διαφορά » λέει η επικεφαλής της έρευνας, η οποία μελετά για περισσότερο από μία δεκαετία τις επιπτώσεις των βιντεοπαιχνιδιών στα μάτια και στον εγκέφαλο. Παίρνουμε αποφάσεις με βάση πιθανότητες τις οποίες αξιολογούμε συνεχώς στο μυαλό μας… Φάνηκε ότι τα βιντεοπαιχνίδια με γρήγορη δράση βελτιώνουν τις δεξιότητες του εγκεφάλου να λαμβάνει μια σειρά από αποφάσεις σε κλάσματα δευτερολέπτου.

Πέρυσι, η ίδια ερευνητική ομάδα είχε διαπιστώσει την ευεργετική δράση των βιντεοπαιχνιδιών στον συντονισμό ματιού και χεριού και στην ικανότητά μας να εντοπίζουμε χρωματικές αντιθέσεις. Αν και δεν πρόκειται για την πρώτη έρευνα η οποία δείχνει ότι τα βιντεοπαιχνίδια μπορεί να έχουν οφέλη για τη σωματική και την ψυχική υγεία, μέχρι προσφάτως οι έρευνες επικεντρώνονταν στις αρνητικές συνέπειές τους, όπως είναι ο εθισμός και το γεγονός ότι περιορίζουν τις κοινωνικές δεξιότητες των παιδιών.

πηγή: e-Paideia

Το Πυθαγόρειο θεώρημα είναι παντού. Τυχαίο; Δεν νομίζω.

: Από το Πυθαγόρειο της Σάμου-Τόπος καταγωγής του Πυθαγόρα

Οι περισσότεροι άνθρωποι που έχουν τελειώσει το σχολείο, όσα χρόνια κι αν έχουν περάσει από τότε, θυμούνται τη σχολική τους ζωή κι έχουν να μας διηγηθούν πολλά περιστατικά από αυτήν. Περιστατικά που αφορούν σε γεγονότα που διαδραματίστηκαν στην τάξη την ώρα του μαθήματος, στο διάλειμμα, στις εκδρομές κ.α. Από τα μαθήματα που διδάχτηκαν λίγα πράγματα θα θυμούνται (εκτός κι αν τα χρησιμοποιούν στη δουλειά τους, όπως ο γράφων). Ένα από αυτά που δεν πρόκειται να ξεχάσει ποτέ κανείς, έστω και κατ’ όνομα, είναι το Πυθαγόρειο θεώρημα.

Ο λόγος που το Πυθαγόρειο θεώρημα μένει «καρφωμένο» για πάντα στο μυαλό όλων μας δεν είναι γιατί ήταν (είναι και θα είναι) από τα SOS και κάθε χρόνο συμπεριλαμβάνεται στα θέματα των εξετάσεων του Γυμνασίου αλλά γιατί το ακούσαμε και το εφαρμόσαμε άπειρες θα έλεγα φορές στη Γεωμετρία, στην Άλγεβρα, στη Τριγωνομετρία αλλά και σε άλλα μαθήματα όπως η Φυσική, ακόμη και τα Καλλιτεχνικά.

Γιατί όμως το Πυθαγόρειο, ένα τόσο απλό θεώρημα, να θεωρείται από τα σημαντικότερα και να έχει τόσες πολλές εφαρμογές; Κατά τη δική μου άποψη ο λόγος είναι ότι αναφέρεται κι εφαρμόζεται σε τρίγωνα και μάλιστα ορθογώνια. Αν ρίξετε μια ματιά γύρω σας θα δείτε ότι ο κόσμος μας κατακλύζεται από ορθές γωνίες και ορθογώνια τρίγωνα. Και γενικά ένα πολύγωνο μπορεί εύκολα να χωριστεί σε τρίγωνα και κάθε τρίγωνο μπορεί να χωριστεί σε ορθογώνια τρίγωνα.

Ας δούμε όμως τι λέει το Πυθαγόρειο θεώρημα:

Το τετράγωνο της υποτείνουσας οποιουδήποτε ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών του.
Δηλαδή,

$\alpha^2=\beta^2+\gamma^2$

Σημειώσεις:

Ορθή γωνία είναι η γωνία Α που είναι 90 μοίρες.

Κάθετες πλευρές είναι οι πλευρές της ορθής γωνίας οι ΑΒ=γ και ΑΓ=β.

Υποτείνουσα είναι η πλευρά που βρίσκετε απέναντι από την ορθή γωνία δηλαδή η ΒΓ=α που μάλιστα είναι και η μεγαλύτερη πλευρά του τριγώνου. (δείτε κι αυτό)

Πότε χρησιμοποιούμε το θεώρημα

Διαβάζοντας προσεκτικά το θεώρημα καταλαβαίνουμε αμέσως ότι αναφέρεται σε μια σχέση που ισχύει σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο. Κα πιο συγκεκριμένα η σχέση αυτή μας πληροφορεί για το τι συμβαίνει με τα μήκη των πλευρών του. Με αυτή την ισότητα που μας δίνει το θεώρημα μπορούμε να υπολογίσουμε μια πλευρά του αρκεί να γνωρίζουμε το μήκος των άλλων δύο πλευρών (Σχόλιο).

Πράγματι,

αν υποθέσουμε ότι $\beta=6cm,\gamma=8cm$ , τότε η υποτείνουσα α θα είναι ίση με

$\alpha^2=\beta^2+\gamma^2$

$\alpha^2=(6cm)^2+(8cm)^2$

$\alpha^2=36cm^2+64cm^2$

$\alpha^2=100cm^2$

$\sqrt{\alpha^2}=\sqrt{100cm^2}$

άρα $\alpha=10cm$

Που χρησιμοποιούμε το θεώρημα

Προσοχή, η σχέση που μας δίνεται μέσω του Πυθαγορείου, όπως μας πληροφορεί και το ίδιο το θεώρημα ισχύει σε όλα τα ορθογώνια τρίγωνα αυτό όμως που δεν μας λέει είναι αν ισχύει και σε άλλα τρίγωνα. Η απάντηση είναι όχι και μας δίνεται από ένα άλλο θεώρημα, το «αντίστροφο του Πυθαγορείου» που λέει ότι:

Αν σε κάποιο τρίγωνο ισχύει: το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς του να είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του, τότε το τρίγωνο αυτό είναι σίγουρα ορθογώνιο. Εννοείται ότι η μεγαλύτερη πλευρά θα είναι η υποτείνουσα και η γωνία που βρίσκεται απέναντι από τη μεγαλύτερη πλευρά θα είναι ορθή.

Μετά από αυτά μπορούμε πλέον να λέμε ότι η σχέση που δίνει το Πυθαγόρειο θεώρημα ισχύει σε όλα τα ορθογώνια τρίγωνα και μόνο σε αυτά. Έτσι μπορούμε με τη σχέση αυτή όχι μόνο να υπολογίζουμε μια πλευρά ενός ορθογωνίου τριγώνου (αν γνωρίζουμε τις άλλες δύο πλευρές του) αλλά και να ελέγχουμε αν ένα τρίγωνο είναι ορθογώνιο ή όχι. Αρκεί γι’ αυτό να γνωρίζουμε τα μήκη των πλευρών του χωρίς να χρειάζεται να μετρήσουμε τις γωνίες του (που πολλές φορές είναι και δυσκολότερο). Ας δούμε ένα παράδειγμα.

Το τρίγωνο με πλευρές $\alpha=3,\beta=4,\gamma=5$ είναι ορθογώνιο αφού το άθροισμα των τετραγώνων των δύο μικρότερων πλευρών του είναι $\alpha^2+\beta^2=3^2+4^2=9+16=25$ και το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς του είναι το ίδιο $\gamma^2=5^2=25$

ενώ το τρίγωνο με πλευρές $k=3,l=4,m=6$ δεν είναι αφού $k^2+l^2=3^2+4^2=9+16=25$ και $m^2=6^2=36$ .

Σχόλιο:

δεν είναι υποχρεωτικό να γνωρίζουμε δύο πλευρές για να υπολογίσουμε την τρίτη. Αυτό που είναι υποχρεωτικό είναι να υπάρχει μόνο ένας άγνωστος στην ισότητα $\alpha^2=\beta^2+\gamma^2$ . Για παράδειγμα, αφού θα έχετε διαβάσει ολόκληρο το άρθρο, δοκιμάστε να υπολογίσετε τις δύο ίσες πλευρές ενός ορθογωνίου και ισοσκελούς ταυτόχρονα τριγώνου του οποίου η υποτείνουσα είναι ίση με $\sqrt{2}$

Επιστροφή…>>

Δείτε εδώ οπτικοποιημένες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος:

Απόδειξη Πυθαγόρα, Ευκλείδη, Leonardo da Vinci.

Παγκύπριες Εξετάσεις

Τα θέματα παρελθόντων ετών στα μαθηματικά, με τις λύσεις τους, από τις Παγκύπριες εξετάσεις.

Μαθηματικά Κοινού Κορμού
Εκφώνηση	Λύση
2006	2006
2007	2007
2008	2008
2009	2009

Μαθηματικά Κατεύθυνσης
Εκφώνηση	Λύση
2006 Α Β Γ Δ	2006 Α Β Γ Δ
2007 Α Β Γ Δ	2007 Α Β Γ Δ
2008 Α Β Γ Δ	2008 Α Β Γ Δ
2009 Α Β Γ Δ	2009 Α Β Γ Δ

Θέματα Πανελλαδικών Περασμένων Ετών

Τα θέματα των μαθηματικών παλαιότερων ετών από τις Πανελλαδικές εξετάσεις με τις λύσεις τους.

Γενικής Παιδείας		Κατεύθυνσης
Εκφωνήσεις	Λύσεις	Εκφωνήσεις	Λύσεις
2000	2000	2000	2000
2001	2001	2001	2001
2002	2002	2002	2002
2003	2003	2003	2003
2004	2004	2004	2004
2005	2005	2005	2005
2006	2006	2006	2006
2007	2007	2007	2007
2008	2008	2008	2008
2009	2009	2009	2009
2010	2010	2010	2010