The Power of … γιώτ (i)

ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

Στο άρθρο αυτό θα ασχοληθούμε με τις δυνάμεις του $i$ (διαβάζεται «γιώτ»). Ο $i$ είναι ένας αριθμός που δεν τον γνωρίζουμε αλλά αυτό στα μαθηματικά δεν μας απασχολεί και τόσο. Άλλωστε μέχρι τώρα έχουμε δει και άλλους πολλούς αριθμούς τους οποίους δεν ξέρουμε ακριβώς ποιοί είναι όπως για παράδειγμα τον αριθμό $\sqrt{2}$ γιά τον οποίο ξέρουμε μόνο μια ιδιότητά του (ότι δηλαδή $\sqrt{2}^2=2$ ) αλλά αυτή μας είναι αρκετή για να μπορούμε να δουλέψουμε με αυτόν σαν να ξέραμε ακριβώς ποιος είναι. Το ίδιο συμβαίνει και με τον αριθμό $e$ αλλά και με τον $i$ που θα δούμε σήμερα. Το μόνο γνωστό στοιχείο που έχουμε για αυτόν είναι ότι έχει την ιδιότητα, αν υψωθεί στο τετράγωνο είναι ίσος με -1, δηλαδή ισχύει:

$i^2=-1$

Αυτή η ιδιότητα του $i$ , που στην πραγματικότητα δεν είναι ιδιότητα αλλά ο ορισμός του, μας δίνει κάθε πληροφορία για το πως συμπεριφέρεται αυτός ο αριθμός και αυτό είναι που μας ενδιαφέρει κιόλας. Κατ’ αρχάς το πρώτο συμπέρασμα που μπορούμε να βγάλουμε είναι ότι δεν μπορεί να είναι πραγματικός αριθμός αφού μας είναι ήδη γνωστό ότι στο σύνολο των πραγματικών αριθμών ιχσύει $x^2\geq0$ , για κάθε πραγματικό αριθμό x. Άρα ο $i$ βρίσκεται έξω από το σύνολο των πραγματικών αριθμών σε κάποιο άλλο σύνολο (μόνος του ή όχι δεν έχει σημασία) που μας φάνηκε καλό να το ονομάσουμε σύνολο των «Φανταστικών αριθμών» (σε αντιδιαστολή με το σύνολο των πραγματικών) και τον $i$ τον ονομάσαμε «φανταστική μονάδα«.
Με τη βοήθεια τώρα των γνωστών μας πράξεων (πρόσθεση – πολλαπλασιασμό) μπορούμε να δούμε και τη συνέχεια:
$i+i=2i$ , $2i+i=3i$ κ.ο.κ. αριθμοί κι αυτοί φανταστικοί, δηλαδή ανήκουν κι αυτοί στο σύνολο των φανταστικών αριθμών. Τελικά ο $i$ δεν είναι μόνος του αλλά έχει παρέα κάθε αριθμό της μορφής $ki$ , με k πραγματικό αριθμό. Και μάλιστα ισχύει $(ki)^2=k^2i^2=-k^2$ .
Ας δούμε τώρα τι γίνεται με τις δυνάμεις του $i$ , μέχρι στιγμής ξέρουμε ότι

$i^0=1$

$i^1=i$

$i^2=-1$

κατά συνέπεια θα έχουμε:

$i^3=i^2i=-i$

$i^4=(i^2)^2=(-1)^2=1$

$i^5=i^2i^3=-(-i)=i$

κ.ο.κ.
παρατηρούμε λοιπόν ότι τα δυνατα αποτελέσματα είναι μόνο τέσσερα

$1,i,-1,-i$

, δηλαδή

$i^0=1$	$i^1=i$	$i^2=-1$	$i^3=-i$
$i^4=1$	$i^5=i$	$i^6=-1$	$i^7=-i$
$i^8=1$	$i^9=i$	$i^{10}=-1$	$i^{11}=-i$
$i^{12}=1$	$i^{13}=i$	$i^{14}=-1$	$i^{15}=-i$
$i^{16}=1$	$i^{17}=i$	$i^{18}=-1$	$i^{19}=-i$

Βλέποντας τα παραπάνω μπορούμε να γενικεύσουμε και πούμε ότι αυτό που καθορίζει τελικά το αποτέλεσμα είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του εκθέτη με το 4. Πράγματι αν έχουμε εκθέτη στο $i$ τον φυσικό $n$ ( $i^n$ ), αυτό που έχουμε να κάνουμε είναι να διαιρέσουμε τον $n$ με το 4, κι έστω ότι βρίσκουμε πηλίκο $p$ και υπόλοιπο $u$ , τότε θα ισχύει (από την ταυτότητα της διαίρεσης Δ=δπ+υ) $n=4p+u$ , οπότε προκύπτει,

$i^n=i^{4p+u}$

$i^n=i^{4p}i^u$

$i^n=(i^4)^Pi^u$

$i^n=1^pi^u$

$i^n=i^u$

κι επειδή το υπόλοιπο της διαίρεσης κάθε φυσικού με το 4 μπορεί να είναι μόνο 0,1,2 ή 3 έχουμε τελικά

u: το υπόλοιποτης διαίρεσης n:4	u=0	u=1	u=2	u=3
$i^n$	$1$	$i$	$-1$	$-i$

και τελειώνουμε με ένα παράδειγμα στο οποίο θα υπολογίσουμε το $i^{2011}$ .
Διαιρούμε το 2011 με το 4 και βρίσκουμε πηλίκο 502(άχρηστο) και υπόλοιπο 3(αυτό μας χρειάζεται) άρα θα έχουμε: $i^{2011}=i^3=-i$ .

2 σκέψεις σχετικά με το “The Power of … γιώτ (i)”

Ο/Η poseidonRist λέει:

4 Σεπτεμβρίου 2012 στις 4:52 ΜΜ

πως βρισκουμε το πηλικο στο παραδειγμα?

Απάντηση
1. Ο/Η Παναγιώτης Δουληγέρης λέει:
  
  5 Σεπτεμβρίου 2012 στις 10:28 ΜΜ
  
  Κάνοντας την κλασική διαίρεση που μάθαμε στο δημοτικό. Δεν προχωράμε όμως σε δεκαδικούς σταματάμε την διαίρεση μόλις το υπόλοιπο είναι μικρότερο από τον διαιρέτη.
  Παράδειγμα, αν διαιρέσεις το 27 με το 4 θα έχεις πηλίκο 6 και υπόλοιπο 3 (αφού 4.6=24). Η διαίρεση σταματάει γιατί το υπόλοιπο που έμεινε (το 3) είναι μικρότερο από τον διαιρέτη πουείναι το 4.
  Έτσι έχουμε 27=4.6+3 και
  $i^{27}=i^{4\cdot6+3}=i^{4\cdot 6}\cdot i^3=(i^4)^6 \cdot i^3=$
  
  $1^6 \cdot i^3=i^3=-i$
  
  Απάντηση

2 σκέψεις σχετικά με το “The Power of … γιώτ (i)”

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης