Βοήθειααα … οι Ταυτότητες!!!

Κάθε φορά που ξεκινάω να διδάξω τις ταυτότητες, βλέπω τους μαθητές να τις αντιμετωπίζουν με φόβο, ίσως και τρόμο, πριν καλά καλά τις δουν. Ακούω επιφωνήματα του στυλ «Αχ», «ΩΩΩχχ», «γιατί μας βασανίζετε κύριε» κτλ. Κι αναρωτιέμαι γιατί αυτή η αντιμετώπιση σε ένα αντικείμενο που είναι τόσο εύκολο μα και τόσο χρήσιμο. Οι ταυτότητες μας «λύνουν τα χέρια» σε πάρα πολλές περιπτώσεις που θέλουμε να κάνουμε πράξεις που με τον κλασσικό τρόπο ( την επιμεριστική ιδιότητα δηλαδή) θα θέλαμε περισσότερο χρόνο, περισσότερες πράξεις και φυσικά με μεγαλύτερη πιθανότητα να κάνουμε λάθος. Έχοντας αυτό το εργαλείο στα χέρια μας αποφεύγουμε τις πράξεις και περνάμε κατ’ ευθείαν στο αποτέλεσμα. Μάλιστα πολλές φορές έχω ακούσει την έκφραση «αφού μπορώ να κάνω επιμεριστική και να βρω το αποτέλεσμα γιατί θα πρέπει να μάθω κάτι καινούργιο;» και αμέσως θυμάμαι τις παλίες νοικοκυρές που αγόρασαν για πρώτη φορά πλυντήριο ( γιατί το απαιτούσαν οι καιροί ) αλλά το χρησιμοποιούσαν για να βάζουν επάνω τη σκάφη και να πλένουν με τον παραδοσιακό τρόπο με τη δικαιολογία ότι αυτά είναι λευκά ή ευαίσθητα και το πλυντήριο θα μου τα χαλάσει.

Φυσικό είναι να δείχνουμε κάποια διστακτικότητα ή να είμαστε επιφυλακτικοί σε κάθε τι καινούργιο, αλλά αν αυτό μας «έπαιρνε από κάτω» ακόμη θα ζούσαμε στις σπηλιές. Αν κι εδώ που τα λέμε τέτοια αντιμετώπιση από νέους ανθρώπους δεν επιτρέπεται, αφού τα νέα παιδιά είναι αυτά που πρώτα αγκαλίαζουν κάθε τι νέο που θεωρούν ότι θα κάνει τη ζωή τους πιο εύκολη. Kι αυτό φαίνεται στο ντύσιμό τους, στα κινητά τους ακόμη και στο τρόπο που μιλάνε και γράφουν όπου τα έχουν «απλοποιήσει» όλα. Αυτά λοιπόν σαν εισαγωγή δεν θα επεκταθώ άλλο (αν κι είχα πολλά να πω) γιατί πρέπει να απαντήσω στις ερωτήσεις κάποιων μαθητών που αφορούν στις παρεξηγημένες ταυτότητες.

Τι είναι η Ταυτότητα;

Ταυτότητα ονομάζουμε κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές με την προϋπόθεση αυτή να επαληθεύεται γιά κάθε τιμή των μεταβλητών.

Έτσι η σχέση 1+3=4 δεν είναι ταυτότητα γιατί παρότι είναι ισότητα, δεν περιέχει μεταβλητές

η σχέση $\alpha+2=5$ δεν είναι ταυτότητα παρότι περιέχει μεταβλητές, είναι ισότητα αλλά επαληθεύεται για μία μόνο τιμή (για α=3),

ενώ η σχέση $\alpha+\alpha=2\alpha$ έχει όλες τιs προϋποθέσεις που έχουμε αναφέρει είναι ισότητα, έχει μεταβλητές και επαληθεύεται για οποιαδήποτε τιμή αφού όποιον αριθμό κι αν αντικαταστήσουμε στη θέση του α η ισότητα που θα προκύψει θα είναι μια σωστή πρόταση (π.χ. $3+3=2\cdot3$ ).

Γιατί θα πρέπει να χρησιμοποιήσω τις ταυτότητες;

Οι ταυτότητες δεν είναι υποχρεωτικές, τις χρησιμοποιούν όσοι θέλουν να κάνουν κάποιες πράξεις εύκολα και γρήγορα. Επειδή όμως όλοι προτιμούν τον εύκολο και γρήγορο τρόπο οι ταυτότητες είναι ο μόνος δρόμος.

Ποιες είναι οι βασικές ταυτότητες που πρέπει να ξέρω;

Όσες περισσότερες ταυτότητες ξέρουμε τόσο καλύτερα κάνουμε τη δουλειά μας. Οι ταυτότητες που μαθαίνουμε στο Γυμνάσιο είναι οι πλέον απαραίτητες και είναι οι:

ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

Όνομα	Ταυτότητα
Άθροισμα στο Τετράγωνο	$(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$
Διαφορά στο Τετράγωνο	$(A-B)^2=A^2-2AB+B^2$
Άθροισμα στο Κύβο	$(A+B)^3=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3$
Διαφορά στον Κύβο	$(A-B)^3=A^3-3A^2B+3AB^2-B^3$
Διαφορά (δύο) Τετραγώνων	$(A-B)(A+B)=A^2-B^2$

Πότε πρέπει να χρησιμοποιήσω τις ταυτότητες;

Οι ταυτότητες χρησιμοποιούνται όταν θέλουμε να διώξουμε από μια αλγεβρική παράσταση τις παρενθέσεις και ειδικότερα (με εξαίρεση την τελευταία) όταν έχουμε άθροισμα (+) ή διαφορά (-) υψωμένη σε κάποια δύναμη (τετράγωνο ή κύβο).

Παραδείγματα:

Να γίνουν οι πράξεις:

$(x-2y)^2=$
$(2x+a)^3=$
$(x^2+1)^2=$
$(2x-3z)(2x+3z)=$
$2(x+1)^2-3(x-2)(x+2)=$

Λύση:

$(x-2y)^2=x^2-2x2y+2^2y^2=x^2-4xy+4y^2$

$(2x+a)^3=2^3x^3+3\cdot2^2x^2a+3\cdot2xa^2+a^3=$ $8x^3+3\cdot4x^2a+6xa^2+a^3=8x^3+12x^2a+6xa^2+a^3$

$(x^2+1)^2=x^{2\cdot2}+2x^2\cdot1+1^2=x^4+2x^2+1$

$(2x-3z)(2x+3z)=2^2x^2-3^2z^2=4x^2-9z^2$

$2(x+1)^2-3(x-2)(x+2)=2(x^2+2x1+1^2)-3(x^2-2^2)=2(x^2+2x+1)-3(x^2-4)=2x^2+4x+2-3x^2+12=-x^2+4x+14$

Δοκίμασε να λύσεις ένα κουίζ με θέμα τις ταυτότητες

9 σκέψεις σχετικά με το “Βοήθειααα … οι Ταυτότητες!!!”

Ο/Η ευα λέει:

16 Απριλίου 2012 στις 1:38 πμ

μεχρι τωρα απαξ και ακουγα για ταυτοτητες μου γυρνουσε το ματι…αλλα τα εξηγειτε τοσο απλα και κατανοητα που θα μπω στον κοπο να τις μαθω

Απάντηση
1. Ο/Η Παναγιώτης Δουληγέρης λέει:
  
  16 Απριλίου 2012 στις 10:31 ΜΜ
  
  Εύα δεν πρέπει να παρατάς τίποτα πριν προσπαθήσεις πρώτα να το κατανοήσεις, όσο κι αν σε δυσκολεύει, στο τέλος θα δεις ότι θα τα καταφέρεις. Όσον αφορά στις ταυτότητες τώρα θα δεις ότι τελικά δεν είναι τόσο δύσκολες όσο ακούγεται ίσα-ίσα τις χρησιμοποιούμε για να γλυτώσουμε τις πολλές πράξεις. Και με αυτό το σκεπτικό και μόνο καταλαβαίνεις πιστεύω το πόσο σημαντικές είναι γιατί, όταν αργότερα θα έχεις να ασχοληθείς με δυσκολότερα κομμάτια των μαθηματικών θα ξεπερνάς πιο εύκολα τις δυσκολίες αφού δεν θα σπαταλάς χρόνο κι ενέργεια στις πράξεις.
  
  Απάντηση
Ο/Η Ηλίας λέει:

1 Ιουνίου 2013 στις 7:54 ΜΜ

Εντάξει, κατανόησα τις ταυτότητες αλλά αν για παραδειγμα έχω μια εξίσωση 2(3-5χ) στη δευτέρα – (9+7) + *(6χ) στη δευτέρα – (7-9χ) στη δευτέρα, πώς θα ξέρω αν θα χρησιμοποιήσω ταυτότητες η όχι? Βασικά αν μπορείται θα ήθελα να μου πείτε πότε χρησιμοποιούμε τις ταυτότητες και πότε όχι σε μία εξίσωση. Υπάρχει κάποιος κανόνας? ή ακόμα και αν δεν την χρησιμοποιήσω θα βγει το ίδιο αποτέλεσμα?

Απάντηση
1. Ο/Η Παναγιώτης Δουληγέρης λέει:
  
  1 Ιουνίου 2013 στις 10:24 ΜΜ
  
  Ηλία, οι ταυτότητες που μαθαίνεις χρησιμοποιούνται για να γίνονται οι πράξεις πιο γρήγορα και πιο εύκολα. Αν δεν τις χρησιμοποιήσεις ίσως να καταφέρεις να βρεις το αποτέλεσμα αλλά θα είναι πιο κουραστικό, πιο χρονοβόρο και όσο πιο πολλές πράξεις κάνεις τόσο περισσότερες πιθανότητες έχεις να κάνεις λάθος. Μάλιστα όταν θα είσαι σε μεγαλύτερες τάξεις θα δυσκολευτείς πάρα πολύ αν δεν ξέρεις τις ταυτότητες. Γι’ αυτούς τους λόγους καλό είναι να επιμείνης τώρα να τις μάθεις και θα δεις μετά πόσο καλύτερα θα είναι.
  Τώρα για να απαντήσω πιο συγκεκριμένα στην ερώτησή σου, όσο γίνεται αυτό, θα σου έλεγα ότι:
  
  όταν έχεις παρένθεση που μέσα έχει πρόσθεση που δεν μπορείς να την κάνεις και είναι υψωμένη στο τετράγωνο: χρησιμοποιείς την ταυτότητα
  $(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$
  
  πχ $(3+2)^2=5^2=25$ , εδώ έχω παρένθεση με πρόσθεση μέσα και τετράγωνο έξω. Δεν κάνω όμως ταυτότητα αφού είναι πιο εύκολο να κάνω τις πράξεις πρώτα μέσα στην παρένθεση και μετά να κάνω τη δύναμη. Άλλωστε αυτό επιβάλλει και η προτεραιτότητα των πράξεων. Πρώτα κάνουμε τις πράξεις μέσσα στις παρενθέσεις.
  Αν όμως έχεις να κάνεις $(x+2)^2$ τι θα κάνεις; πως θα κάνεις τις πράξεις μέσα στην παρένθεση; Στην περίπτωση αυτή χρησιμοποιείς την ταυτότητα κι έχεις $(x+2)^2=x^2+2x2+2^2=x^2+4x+4$ .
  
  όταν έχεις αφαίρεση μέσα σε παρένθεση που δεν μπορείς να κάνεις πράξη και είναι υψωμένη στο τετράγωνο.
  
  πχ $(3-b)^2=3^2-2b3+b^2=9-6b+b^2$
  Τα ίδια ακριβώς συμβαίνουν και με τις ταυτότητες $(A+B)^3,(A-B)^3$ όταν έχεις πρόσθεση ή αφαίρεση σε παρένθεση κι απέξω δύναμη κάνεις ταυτότητα με την προϋπόθεση ότι δεν μπορείς να κάνεις πράξεις μέσα στην παρένθεση
  Αν τώρα μέσα στην παρένθεση έχεις πολλαπλασιασμό ή διαίρεση υψωμένο σε δύναμη τότε απλώς υψώνεις στη συγκεκριμένη δύναμη ό,τι υπάρχει μέσα στην παρένθεση, πχ $(2x)^2=2^2x^2=2x^2$ και $(2/a)^3=2^3/a^3=8/a^3$
  
  Απάντηση
Ο/Η χρηστος λέει:

19 Αυγούστου 2014 στις 4:04 ΜΜ

an exw (x-1/x) stn deytera ti kanw?

Απάντηση
1. Ο/Η pdouligeris λέει:
  
  29 Αυγούστου 2014 στις 10:35 ΜΜ
  
  Σύμφωνα με την ιδιότητα
  $\left ( \frac{a}{b} \right )^v=\frac{a^v}{b^v}$
  
  η δύναμη θα πάει και στον αριθμητή και στον παρονομαστή. Δηλαδή:
  $\left (\frac{x-1}{x} \right )^{2}=\frac{\left ( x-1 \right )^{2}}{x^2}=\frac{x^2-2x+1}{x^2}$
  
  Απάντηση
Ο/Η Αντώνης Poύντας λέει:

9 Νοεμβρίου 2014 στις 8:15 ΜΜ

Εγώ δεν μπορώ να καταλάβω γιατί οι ταυτότητες λύνονται τόσο περίπλοκα!

Απάντηση
Ο/Η Γιάννης λέει:

29 Οκτωβρίου 2016 στις 12:55 ΜΜ

Τι πρέπει να κάνουμε όταν υπάρχει μείον δηλαδη έχω αυτό: (3x+κ) (-3x+κ)
Αυτό πως το λύνουμε?

Απάντηση
1. Ο/Η mathland λέει:
  
  29 Οκτωβρίου 2016 στις 7:51 ΜΜ
  
  Γιάννη, θα σου το πω με δύο τρόπους και κράτα όποιον θέλεις.
  
  Στην άσκηση που έχεις μπορείς αν θέλεις να αλλάξεις σειρά στους όρους που έχεις και «να την φέρεις στα μέτρα σου», δηλαδή:
  
  $(3x+k)(-3x+k)=(k+3x)(k-3x)=k^2-3^2x^2$
  
  αν το παρατήρησες μετακίνησα τους όρους όπως με βόλευε εμένα μέσα σε κάθε παρένθεση, προσοχή όμως ο κάθε όρος αλλάζει θέση μαζί με το πρόσημό του.
  
  Αν παρατηρήσεις καλά την ταυτότητα «ΔΙΑΦΟΡΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ»: $(A-B)(A+B)=A^2-B^2$ θα δεις ότι ο αριθμός Α και στις δύο παρενθέσεις έχει το ίδιο πρόσημο ενώ ο αριθμός Β εμφανίζεται σε κάθε παρένθεση με διαφορετικό πρόσημο. Αυτός λοιπόν που αλλάζει πρόσημο αυτός παίρνει και το μειον στο τέλος. Στο παράδειγμά σου το 3χ εμφανίζεται στη μια παρένθεση με πρόσημο + και στην άλλη με -, (χωρίς να μας ενδιαφέρει η σειρά) αυτός λοιπόν ο 3χ θα πάρει το μείον στο τέλος.
  Κοίτα και άλλα δύο παραδείγματα να το καταλάβεις:
  
  $(-2+x)(x+2)=x^2-2^2$
  
  αφού ο 2 είναι αυτός που αλλάζει πρόσημο και
  $(-2-x)(-2+x)=2^2-x^2$
  
  επειδή αυτός που αλλάζει πρόσημο στις παρενθέσεις είναι ο χ
  
  Απάντηση