Θέλω να μάθω … πως λύνεται μια εξίσωση 1ου βαθμού

Μεθοδολογία επίλυσης εξίσωσης 1ου βαθμού και λυμένο παράδειγμα.

equation

Κατ’ αρχάς να ξεκινήσουμε από τον τίτλο του άρθρου που είναι λάθος, γιατί αυτό που θα δούμε σ αυτή τη δημοσίευση είναι η διαδικασία που ακολουθούμε ώστε να βρούμε τη λύση μιας εξίσωσης 1ου βαθμού και αυτή (η διαδικασία)  λέγεται επίλυση κι όχι λύση (το τι είναι λύση το έχουμε γράψει εδώ).

Ας δούμε λοιπόν ποια βήματα πρέπει να ακολουθούμε ώστε να βρίσκουμε σε οποιαδήποτε εξίσωση 1ου βαθμού, αν έχει λύση και ποια είναι αυτή ή αν δεν έχει λύσεις (αδύνατη). Σκοπός μας είναι μέσα από τη διαδικασία που θα ακολουθήσουμε, σε οποιαδήποτε πρωτοβάθμια εξίσωση κι αν μας έχει δοθεί, να καταλήξουμε στη πιό απλή μορφή εξίσωσης που υπάρχει και είναι αυτή:

\alpha\cdot\chi=\beta, όπου το \alpha και το \beta μπορεί να είναι οποιοσδήποτε αριθμός

Με τέσσερα απλά βήματα (στη χειρότερη περίπτωση) μπορούμε να καταλήξουμε στη μορφή \alpha\cdot\chi=\beta. Τα βήματα είναι τα παρακάτω που θα τα δούμε λύνοντας ταυτόχρονα κι ένα παράδειγμα:

Βήμα 1ο:

Διώχνουμε τους παρονομαστές,

για να διώξουμε τους παρονομαστές από μια εξίσωση, πολλαπλασιάζουμε όλους τους όρους της εξίσωσης με το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών.(περισσότερα θα βρείτε εδώ)

\frac{x}{2}+\frac{14}3=2(x+1)-\frac{x}6\Leftrightarrow
6\cdot\frac{x}{2}+6\cdot\frac{14}3=6\cdot2(x+1)-6\cdot\frac{x}6\Leftrightarrow

3x+2\cdot14=6\cdot2(x+1)-x

πολλαπλασιάσαμε με 6, γιατί ΕΚΠ(2,3,6)=6

Βήμα 2ο:

Διώχνουμε τις παρενθέσεις

Αν η εξίσωσή μας έχει παρενθέσεις (και να μην έχει είναι πολύ πιθανό να προκύψουν από το προηγούμενο βήμα), τότε τις διώχνουμε με σκοπό να ελευθερώσουμε τον άγνωστο που είναι φυλακισμένος μέσα σε αυτές. Οι παρενθέσεις φεύγουν με τη χρήση της επιμεριστικής ιδιότητας: a(b+c)=ab+ac

    \[3x+2\cdot14=6\cdot2(x+1)-x\Leftrightarrow\]

    \[3x+28=12(x+1)-x\Leftrightarrow\]

    \[3x+28=12x+12-x\]

κάναμε επιμεριστική: 12(x+1)=12x+12

Βήμα 3ο:

Χωρίζουμε τους γνωστούς από τους άγνωστους όρους

Αφού διώξαμε και τις παρενθέσεις θα πρέπει να αρχίσουμε να κάνουμε προσθέσεις και αφαιρέσεις. Όμως πρόσθεση και αφαίρεση γίνεται μόνο σε όμοια πράγματα (αριθμοί με αριθμούς και άγνωστοι με άγνωστους) γι’ αυτό το λόγο αναγκαζόμαστε να μεταφέρουμε όλους τους αριθμούς(=γνωστοί) στο ένα μέλος και όλους τους άγνωστους όρους στο άλλο. Εδώ χρειάζεται προσοχή γιατί όποιος όρος αλλάζει μέλος, αλλάζει και πρόσημο.

    \[3x+28=12x+12-x\Leftrightarrow\]

    \[28-12=12x-x-3x\]

όταν κάποιος όρος αλλάζει μέλος αλλάζει και πρόσημο

Βήμα 4ο:

Συμμαζεύουμε 1ο και 2ο μέλος (αναγωγή όμοιων όρων)

Τώρα είμαστε σε θέση να κάνουμε πράξεις στο πρώτο και δεύτερο μέλος κι έτσι να καταλήξουμε στη μορφή:

    \[\alpha\cdot\chi=\beta\]

    \[28-12=12x-x-3x\Leftrightarrow\]

    \[16=8x\]

α = 8 και β = 16

Τελικό Βήμα:

Μέχρι εδώ είδαμε ότι κάθε πρωτοβάθμια εξίσωση με 4 απλές κινήσεις καταλήγει στη μορφή \alpha\cdot\chi=\beta. Τι γίνεται όμως από ‘δω και πέρα;  Εδώ απλώς δίνουμε την απάντησή μας η οποία όμως εξαρτάται από τους αριθμούς \alpha και \beta που βρήκαμε παραπάνω και αυτό γιατί,

  • αν \alpha=0 και \beta=0,
    η εξίσωσή μας θα έχει τη μορφή 0\chi=0 που είναι αόριστη αφού κάθε αριθμός την επαληθεύει.
  • αν \alpha=0 και \beta\neq0,
    η εξίσωσή μας θα έχει τη μορφή 0\chi=\beta που είναι αδύνατη αφού είναι αδύνατον να βρεθεί αριθμός που αν πάρει τη θέση του \chi να μας δώσει μια σωστή ισότητα (θα προκύψει 0 = β ενώ εμείς ξέρουμε ότι το β δεν είναι 0).
  • αν \alpha\neq0,
    η εξίσωση έχει ( μια ) λύσητην οποία μπορούμε να βρούμε εύκολα

    στο παράδειγμα που λύναμε είχαμε:
    8x=16 α=8 και β=16
    διαιρούμε λοιπόν με το 8  που είναι ο συντελεστής του χ
    και παίρνουμε τη λύση
    \frac{8x}8=\frac{16}8 ή x=2

    αρκεί να διαιρέσουμε με το συντελεστή του άγνωστου (το α) και η λύση θα είναι η \chi=\frac{\beta}{\alpha}.

Όλη η παραπάνω διαδικασία εύρεσης της λύσης μιας εξίσωσης 1ου βαθμού φαίνεται στην εικόνα που ακολουθεί

μέθοδος επίλυσης πρωτοβάθμιας εξίσωσης
μέθοδος επίλυσης πρωτοβάθμιας εξίσωσης

Κράτα το

Κράτα το