mathland – Σελίδα 2

Παραγοντοποίηση Τριωνύμου

ΑΛΓΕΒΡΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

$\alpha x^2+\beta x +\gamma$

συνήθως την ονομάζουμε τριώνυμο και νομίζω ότι είναι προφανής ο λόγος αφού όπως βλέπουμε αποτελείται από τρεις μόνο όρους. Τον δευτεροβάθμιο όρο «αx²«, τον πρωτοβάθμιο όρο «βx» και από τον σταθερό όρο «γ». Για το τριώνυμο έχουμε ξαναμιλήσει σε προηγούμενο άρθρο κι έχουμε ασχοληθεί με το πως μπορούμε να βρούμε τις ρίζες του, θυμίζουμε ότι ρίζες του τριωνύμου είναι οι λύσεις της εξίσωσης

$\alpha x^2+\beta x +\gamma=0$

(αν θέλετε να το διαβάσετε αναλυτικά κάντε κλικ εδώ αν θέλετε να θυμηθείτε στα γρήγορα τη διαδικασία κάντε κλικ εδώ να δείτε τη μεθοδολογία).

Τώρα θα ασχοληθούμε με το πως μπορούμε να παραγοντοποιήσουμε ένα τριώνυμο δηλαδή με ποιο τρόπο μπορούμε να μετατρέψουμε ένα τριώνυμο σε γινόμενο. Για την παραγοντοποίηση γενικά έχουμε αναφερθεί προηγούμενα εδώ. Επειδή όμως στο σχολικό βιβλίο η παραγοντοποίηση του τριωνύμου παρουσιάζεται αρκετά αργότερα, δεν το είχαμε αναφέρει καθόλου τότε. Έφτασε λοιπόν η ώρα να ασχοληθούμε και με αυτό το θέμα.

Όταν λοιπόν για κάποιο λόγο χρειαστεί ένα τριώνυμο να το κάνουμε γινόμενο δεν έχουμε παρά να βρούμε τις ρίζες του έστω x₁ και x₂ και στη συνέχεια να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο:

$\alpha x^2+\beta x+\gamma=a(x-x_1)(x-x_2)$

Ας δούμε ένα παράδειγμα: Έστω ότι θέλουμε να μετατρέψουμε σε γινόμενο το $x^2+3x-4$ .

Πρώτα απ’ όλα πρέπει να βρούμε τις ρίζες του και για το λόγο αυτό λύνουμε την εξίσωση

$x^2+3x-4=0$

Έχουμε $\left.\begin{matrix} \alpha=1\\ \beta=3\\ \gamma=-4\end{matrix}\right\}\Rightarrow \Delta=\beta^2-4\alpha\gamma=3^2-4\cdot 1\cdot (-4)=9+16=25$

οπότε οι ρίζες είναι

$x_1,x_2=\frac{-\beta\pm\sqrt{\Delta}}{2\alpha}=\frac{-3\pm5}{2}\Rightarrow$ $\left\{\begin{matrix}x_1=\frac{-3-5}{2}=-4\\x_2=\frac{-3+5}{2}=1\end{matrix}$

Σύμφωνα με αυτά που αναφέραμε πιο πάνω παραγοντοποιούμε το τριώνυμο με τον τύπο και παίρνουμε

$x^2+3x-4=1[x-(-4)](x-1)=(x+4)(x-1)$

θα δούμε και δύο ακόμη παραδείγματα γιατί πιθανόν να δημιουργήθηκαν απορίες σε ορισμένους από εσάς για το τι κάνουμε στην περίπτωση που δεν έχουμε ρίζες ή στην περίπτωση που το τριώνυμο έχει διακρίνουσα ίση με μηδέν.

Αν ένα τριώνυμο όπως για παράδειγμα το x²+x+1 έχει διακρίνουσα αρνητική (Δ=-3) τότε όπως γνωρίζουμε δεν έχει ρίζες κι έτσι δεν μετατρέπεται σε γινόμενο.

Ενώ αν μας δωθεί για παραγοντοποίηση ένα τριώνυμο όπως το 4x²-12x+9 θα έχουμε

$\left.\begin{matrix}\alpha=4\\ \beta=-12\\ \gamma=9\end{matrix}\right\}\Rightarrow\Delta=144-4\cdot4\cdot9=144-144=0$

πράγμα που σημαίνει ότι έχουμε δύο ρίζες μόνο που στην περίπτωση αυτή θα είναι ίσες μεταξύ τους. Πράγματι

$x_1=x_2=\frac{-\beta\pm 0}{2a}=\frac{12}{2\cdot4}=\frac{3}{2}$

Έτσι χρησιμοποιώντας τον τύπο που δώσαμε παραπάνω παίρνουμε τελικά

$4x^2-12x+9=4(x-\frac{3}{2})(x-\frac{3}{2})$

το οποίο μάλλον θα ήταν πιο όμορφο αν το γράφαμε έτσι

$4x^2-12x+9=4(x-\frac{3}{2})(x-\frac{3}{2})$

$4x^2-12x+9=4(x-\frac{3}{2})^2$

$4x^2-12x+9=2^2(x-\frac{3}{2})^2$

$4x^2-12x+9=\left\{2(x-\frac{3}{2})\right\}^2$

$4x^2-12x+9=(2x-3)^2$

Παρατηρούμε λοιπόν ότι ο τύπος για την παραγοντοποίηση τριωνύμου «δουλεύει» και όταν Δ>0 (δύο ρίζες διαφορετικές) αλλά και όταν Δ=0 (δύο ρίζες ίσες). Αν και όπως βλέπουμε κι από το προηγούμενο ακριβώς παράδειγμα το $4x^2-12x+9=(2x-3)^2$ μας δείχνει ότι το τριώνυμο ήταν ταυτότητα αλλά δεν το είχαμε προσέξει. Αυτό όμως είναι κανόνας που ισχύει πάντα «όταν η διακρίνουσα ενός τριωνύμου είναι ίση με μηδέν το τριώνυμο είναι τέλειο τετράγωνο» κι επομένως θα ισχύει

$\alpha x^2+\beta x+\gamma=\alpha(x-x_1)^2$

Συνοψίζοντας λοιπόν όλα τα παραπάνω έχουμε:

Το τριώνυμο $\alpha x^2+\beta x+\gamma$

αν έχει Δ<0, δεν παραγοντοποιείται
αν έχει Δ=0, γίνεται $\alpha x^2+\beta x+\gamma=\alpha(x-x_1)^2$
αν έχει Δ>0, γίνεται $\alpha x^2+\beta x+\gamma=\alpha(x-x_1)(x-x_2)$

όπου $x_1 , x_2$ οι ρίζες του.

Επανάληψη στην ύλη της Β΄ Γυμνασίου

Στο παρακάτω φυλλάδιο θα βρείτε όλα όσα μας ταλαιπώρησαν τη φετινή σχολική χρονιά. Για να κατεβάσετε το αρχείο κάντε κλικ στον παρακάτω σύνδεσμο.

Ασκήσεις στον πολ/σμό και τη διάρεση με αρνητικούς

Δοκίμασε το quiz να δεις αν έχεις κατανοήσει τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση με αρνητικούς αριθμούς.

[khan_exercise src=’static:multiplying_and_dividing_negative_numbers’ /]

Ασκήσεις στις ιδιότητες των Δυνάμεων

Εξασκηθείτε στις πράξεις με δυνάμεις

[khan_exercise src=’static:exponent_rules’ /]

Ασκήσεις στην πρόσθεση και αφαίρεση ρητών αριθμών

Ξέρεις να προσθέτεις ρητούς αριθμούς;
Απόδειξέ το!!!

[khan_exercise src=’static:adding_and_subtracting_negative_numbers’ /]

Στην Οδό των Χρωμάτων – Τέλος Πρωταθλήματος

Στην οδό χρωμάτων υπάρχουν πέντε σπίτια:

Ένα μπλε, ένα κόκκινο, ένα κίτρινο, ένα πράσινο κι ένα ροζ.
Τα σπίτια βρίσκονται στη σειρά το ένα μετά το άλλο και είναι αριθμημένα με τους αριθμούς: 1, 2, 3, 4 και 5.
Το μπλε και το κίτρινο έχουν ζυγό αριθμό.
Το κόκκινο γειτονεύει με το μπλε αλλά όχι με το κίτρινο.
Το μπλε γειτονεύει με το πράσινο και με το κόκκινο.

Τι χρώμα έχει το 3ο σπίτι;

Final Exam

Τις περιόδους των σχολικών αργιών και εορτών αποφεύγω να δώσω εργασίες στους μαθητές, για να μπορέσουν να ξεκουραστούν. Tη φετινή χρονιά όμως επειδή οι εξετάσεις αρχίζουν σχεδόν ταυτόχρονα με τη λήξη των διακοπών (για το ορθόδοξο Πάσχα) ετοίμασα τρία φυλλάδια για τους μαθητές των τριώ τάξεων του Γυμνασίου. Τα φυλλάδια αυτά είναι για μια γρήγορη επανάληψη στα σημαντικότερα τμήματα της διδακτέας ύλης και συμπεριλαμβάνουν θεωρία και ασκήσεις. Μπορείτε να τα κατεβάσετε κάνοντας κλικ στις εικόνες.

Δωρεάν κατασκήνωση για παιδιά

Το πρόγραμμα απευθύνεται σε ανήλικα τέκνα χαμηλόμισθων εργαζομένων που έχουν συμπληρώσει κατά το προηγούμενο από την έναρξη του προγράμματος ημερολογιακό έτος 50 ημέρες στην ασφάλιση του ΙΚΑ-ΕΤΑΜ. Επίσης, απευθύνεται στα παιδιά ανέργων που είναι εγγεγραμμένοι στα μητρώα ανέργων του ΟΑΕΔ, και έχουν συνεχόμενη ανεργία τουλάχιστον έξι μήνες.

Τα παιδιά που θα επιλεγούν, θα πρέπει να έχουν γεννηθεί από 1-1-1999 έως 14-6-2008, ενώ σε όλες τις περιπτώσεις, το πραγματικό οικογενειακό εισόδημα από κάθε πηγή κατά το προηγούμενο οικονομικό έτος δεν θα πρέπει να υπερβαίνει το ποσό των 16.000 ευρώ.

Το πρόγραμμα, θα αφορά σε πέντε κατασκηνωτικές περιόδους για τo έτος 2014 από την 15η Ιουνίου έως την 3η Σεπτεμβρίου, ενώ η διάρκεια διαμονής κάθε παιδιού θα είναι έως 15 ημέρες.

Η επιλογή θα γίνει μετά από μοριοδότηση και με κριτήρια το ύψος του πραγματικού οικογενειακού εισοδήματος, τον αριθμό των ανήλικων τέκνων της οικογένειας και το χρόνο συνεχόμενης εγγεγραμμένης ανεργίας στα μητρώα ανέργων του ΟΑΕΔ.

Σε ό,τι αφορά το εισοδηματικό κριτήριο η μοριοδότηση γίνεται ως εξής:

για οικογενειακό εισόδημα	μόρια
έως 7.000 ευρώ	60
από 7.001 έως 10.000 ευρώ	50
από 10.001,00 έως 12.000,00 ευρώ	40
από 12.001 έως 14.000 ευρώ	30
από 14.001 έως 16.000 ευρώ	20

Υπολογίζονται ακόμη από 15 μόρια για κάθε ανήλικο τέκνο, και από ένα μόριο για κάθε μήνα συνεχόμενης εγγεγραμμένης ανεργίας, με ανώτατο όριο τα 36 μόρια.

Μέσα στις επόμενες ημέρες, αναμένεται να ανακοινωθεί δημόσια πρόσκληση από τον Διοικητή του ΟΑΕΔ, με την οποία θα καθορίζονται, ο τρόπος συμπλήρωσης και ηλεκτρονικής υποβολής των αιτήσεων τα απαιτούμενα δικαιολογητικά και οι προθεσμίες.

Οι ενδιαφερόμενοι θα μπορούν να υποβάλλουν αιτήσεις συμμετοχής προς τον Οργανισμό μόνο μέσω των ηλεκτρονικών αιτήσεων που θα βρίσκονται αναρτημένες στη διαδικτυακή πύλη του ΟΑΕΔ www.oaed.gr.

15η Αγωνιστική – Οι κάλπικες λίρες

Βρείτε σε ποιο τσουβάλι βρίσκονται οι κάλπικες λίρες
Δεδομένα: 4 τσουβάλια, το ένα μόνο έχει τις κάλπικες. Οι γνήσιες ζυγίζουν 10g οι κάλπικες 9g.
Διαθέτουμε μια γυγαριά και επιτρέπεται να κάνουμε μόνο ένα ζύγισμα.

14η Αγωνιστική

Σε ένα ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων χΟψ ένα σημείο Α έχει συντεταγμένες (14,15), ενώ ως προς ένα άλλο σύστημα συντεταγμένων χ΄Κψ΄ έχει συντεταγμένες (8,9). Τι συντεταγμένες έχει το σημείο Κ στο σύστημα (συντεταγμένων) χΟψ;

Στο παρακάτω φυλλάδιο θα βρείτε όλα όσα μας ταλαιπώρησαν τη φετινή σχολική χρονιά. Για να κατεβάσετε το αρχείο κάντε κλικ στον παρακάτω σύνδεσμο.

για οικογενειακό εισόδημα

μόρια