pdouligeris – Σελίδα 13

Εξισώσεις 2+ βαθμού

Στην Β΄ Γυμνασίου μάθαμε έναν αλγόριθμο (μεθοδολογία) για να επιλύουμε κάθε εξίσωση πρώτου βαθμού.
Τώρα στη Τρίτη τάξη θα δούμε πως μπορούμε κάτω από ορισμένες συνθήκες να βρούμε τις λύσεις και σε άλλες εξισώσεις μεγαλύτερου βαθμού. Η μέθοδος αυτή δεν αποδίδει πάντα, γι’ αυτό αργότερα θα την συμπληρώσουμε

πως μας βοηθά η παραγοντοποίηση στην επίλυση εξισώσεων δεύτερου βαθμού ή μεγαλύτερου.

Πριν όμως από αυτό θα πρέπει να δούμε μια σημαντική ιδιότητα:

$A \cdot\ B=0\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} A=0\\ \eta\\ B=0 \end{matrix} \right.$

Η οποία μας λέει ότι ένα γινόμενο είναι ίσο με μηδέν τότε και μόνο τότε αν τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες του γινομένου είναι ίσος με μηδέν.

Να δούμε τώρα λύνοντας ένα παράδειγμα πως μπορούμε να εκμεταλλευτούμε τα παραπάνω για να βρούμε τις λύσεις σε μια εξίσωση 2ου βαθμού. Έστω λοιπόν ότι ψάχνουμε να βρούμε εκείνους τους αριθμούς που ικανοποιούν τη σχέση $x^2-x=0$ . Αυτή είναι μια δευτεροβάθμια εξίσωση την οποία και θα μετατρέψω σε γινόμενο (με κάποια από τις μεθόδους παραγοντοποίησης που μάθαμε) με σκοπό να χρησιμοποιήσω την ιδιότητα που προαναφέραμε. Έτσι έχουμε

$x^2-x=0\Leftrightarrow$

(βγάζουμε κοινό παράγοντα το x)

$x\cdot(x-1)=0$

φτάσαμε λοιπόν στο σημείο να έχουμε ένα γινόμενο που είναι ίσο με το μηδέν. Το γινόμενο αυτό αποτελείται από δύο (πρωτοβάθμιους) παράγοντες τον x και τον x-1. Σύμφωνα με την ιδιότητα που αναφέραμε παραπάνω συμπεραίνουμε ότι τουλάχιστον ένας από αυτούς τους παράγοντες θα είναι ίσος με μηδέν. Δηλαδή θα ισχύει:

$\left \{ \begin{matrix} x=0\\ \eta\\ x-1=0\Leftrightarrow x=1 \end{matrix} \right.$

Από τον τρόπο που λύθηκε το προηγούμενο παράδειγμα φαίνεται το ποια μέθοδο πρέπει ν’ ακολουθούμε για να επιλύσουμε μια εξίσωση που έχει βαθμό μεγαλύτερο του πρώτου:

[su_label style=»important»]Βήμα 1ο:[/su_label] Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο α’ μέλος έτσι ώστε στο δεύτερο μέλος να είναι ίσο με μηδέν.

[su_label style=»success»]Βήμα 2ο:[/su_label] Μετατρέπουμε σε γινόμενο το α’ μέλος.

[su_label style=»warning»]Βήμα 3ο:[/su_label] Παίρνουμε κάθε παράγοντα του γινομένου ίσο με μηδέν.

[su_label style=»info»]Βήμα 4ο:[/su_label] Λύνουμε κάθε μια από τις εξισώσεις (1ου βαθμού) που προκύπτουν από το προηγούμενο βήμα.

Φυσικοί Αριθμοί

Στο άρθρο αυτό θα ασχοληθούμε με:

την έννοια του Φυσικού αριθμού.
τους Άρτιους και τους Περιττούς αριθμούς.
τη Σύγκριση των φυσικών και
τη Στρογγυλοποίηση.

[wptabs mode=»horizontal»]
[wptabtitle]Φυσικοί[/wptabtitle]
[wptabcontent]

Η Έννοια του Φυσικού Αριθμού

Οι αριθμοί 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,…,2012,…,3150,… λέγονται φυσικοί αριθμοί.

Δηλαδή,

Φυσικός αριθμός είναι οποιοσδήποτε αριθμός μπορεί να γραφεί μόνο με τη βοήθεια των ψηφίων 0,1,2,3,4,5,6,7,8 και 9.

Για να γράψουμε έναν οποιοδήποτε φυσικό χρησιμοποιούμε τα ψηφία 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Αυτό το πετυχαίνουμε γιατί στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης η αξία ενός ψηφίου αλλάζει ανάλογα με τη θέση του μέσα στον αριθμό. Έτσι στους παρακάτω αριθμούς το ψηφίο 3 δηλώνει:

στον 123, 3 μονάδες

στον 1234, 3 δεκάδες ή 30 μονάδες (3.10 )

ενώ στον 12345, 3 εκατοντάδες ή 300 μονάδες (3.100)

Το σύνολο των Φυσικών αριθμών συμβολίζεται με το Ν (πρώτο γράμμα της λατινικής λέξης Natura που σημαίνει φύση) και χωρίζεται σε δύο υποσύνολα, το υποσύνολο των άρτιων αριθμών και το υποσύνολο των περιττών. Άρτιοι είναι οι αριθμοί που διαιρούνται (ακριβώς) με το 2 και περιττοί όλοι οι υπόλοιποι.

Άρτιοι ή ζυγοί : 0,2,4,6,8,10,…

Περιττοί ή μονοί : 1,3,5,7,9,11,…

Οι Φυσικοί αριθμοί, όπως και όλοι οι αριθμοί,χρησιμοποιούνται κυρίως για να δηλώσουν πλήθος ή σειρά . Για παράδειγμαόταν λέμε « 3 ^ο μετάλλιο στους Ολυμπιακούς του Πεκίνο για την Ελλάδα με την Πηγή Δεβετζή. Κατέκτησε την 3 ^η θέση στο τριπλούν» ο πρώτος αριθμός δηλώνει το πλήθος των μεταλλίων και ο δεύτερος τη σειρά κατάταξης. Πολλές φορές οι φυσικοί αριθμοί χρησιμοποιούνταικαι για «ταυτοποίηση» αντικειμένων όπως οι αριθμοί αστυνομικής ταυτότητας,φορολογικού μητρώου, πινακίδες αυτοκινήτων, αριθμοί τηλεφώνων κ.α..

Κάθε φυσικός έχει έναν επόμενο που προκύπτει αν αυτός αυξηθεί κατά 1 μονάδα.Εκτός από τον αριθμό 0 κάθε άλλος φυσικός έχει και έναν προηγούμενο που προκύπτει αν αυτός ελαττωθεί κατά 1 μονάδα. Για παράδειγμα ο 5 έχει προηγούμενο τον 4 κι επόμενο τον 6.

Όταν θέλουμε να αναφερθούμε σε ένα τυχαίο φυσικό αριθμό μπορούμε να τον συμβολίσουμε με ένα γράμμα και να πούμε « ο φυσικός αριθμός ν». Στην περίπτωση αυτή ο επόμενός του συμβολίζεται με ν+1, ο μεθεπόμενος με ν+2 κ.ο.κ., ενώ ο προηγούμενος του ν είναι ο ν-1.

[/wptabcontent]
[wptabtitle]Σύγκριση[/wptabtitle]
[wptabcontent]

Σύγκριση Φυσικών Αριθμών

Σύγκριση δύο αριθμών είναι η εξέτασή τους για τον καθορισμό του ποιος είναι μεγαλύτερος, ποιος μικρότερος ή αν αυτοί είναι ίσοι.

Έτσι αν έχουμε δύο φυσικούς αριθμούς έστω ν και μ θα γράφουμε:

ν=μ, αν οι αριθμοί είναι ίσοι

ν>μ, αν ο ν είναι μεγαλύτερος του μ

ν<μ, αν ο ν είναι μικρότερος του μ.

Εύκολα μπορούμε να συγκρίνουμε φυσικούς αριθμούς και να τους διατάξουμε σε αύξουσα σειρά (τοποθετήσουμε σε μια σειρά από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο). Είναι προφανές ότι ισχύει: 0<1<2<3<…<100<…<1234<…
Αυτή η ιδιότητα των φυσικών μας δίνει τη δυνατότητα να τους τοποθετήσουμε σε μια ευθεία γραμμή με τον παρακάτω τρόπο:

Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε τυχαίο σημείο που ονομάζουμε Ο κι αντιστοιχούμε σε αυτό τον αριθμό 0.

Έπειτα επιλέγουμε και πάλι τυχαία δεξιά από το Ο ένα άλλο σημείο Α στο οποίο αντιστοιχούμε τον αριθμό 1. Στη συνέχεια χρησιμοποιώντας σαν μονάδα μέτρησης το ευθύγραμμο τμήμα ΟΑ ορίζουμε διαδοχικά τμήματα ίσα με το ΟΑ, δηλαδή ΟΑ=ΑΒ=ΒΓ=ΓΔ κ.τ.λ.. Τώρα το σημείο Β παριστάνει τον αριθμό 2, το Γ τον αριθμό 3 κ.λ.π. Η ευθεία αυτή που κατασκευάσαμε ονομάζεται άξονας των φυσικών αριθμών. Κάθε φυσικός αριθμός τώρα αντιστοιχεί σε ένα και μοναδικό σημείο.][/wptabcontent]
[wptabtitle]Στρογγυλοποίηση[/wptabtitle]
[wptabcontent]

Στρογγυλοποίηση

Στρογγυλοποίηση, λέμε τη διαδικασία με την οποία αντικαθιστούμε ένα φυσικό αριθμό με κάποιον άλλο λίγο μεγαλύτερό του ή λίγο μικρότερό του.

Για τη στρογγυλοποίηση των αριθμών ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα και δεν την κάνουμε «όπως μας συμφέρει»

βήμα 1:

επιλέγουμε την τάξη του ψηφίου στην οποία θα κάνουμε την στρογγυλοποίηση (π.χ. Μονάδες, Δεκάδες κτλ)

βήμα 2:

Aν το επόμενο προς τα δεξιά ψηφίο είναι μικρό, δηλαδή 0,1,2,3 ή 4 ξαναγράφουμε τον αριθμό αντικαθιστώντας όλα τα ψηφία που βρίσκονται δεξιά από το ψηφίο στο οποίο επιθυμούμε να κάνουμε στρογγυλοποίηση με μηδενικά.

παράδειγμα: αν τον αριθμό 31812 θέλουμε να τον στρογγυλοποιήσουμε στη εκατοντάδα (ψηφίο 8), κοιτάμε το επόμενο στα δεξιά ψηφίο ( το 1 που είναι μικρό). Ξαναγράφουμε λοιπόν τον αριθμό μας αντικαθιστώντας όλα τα ψηφία που βρίσκονται δεξιότερα του 8 με μηδενικά κι έχουμε τον νέο στρογγυλοποιημένο αριθμό 31800.

Αν το επόμενο προς τα δεξιά ψηφίο είναι μεγάλο, δηλαδή 5,6,7,8 ή 9, τότε αυξάνουμε το ψηφίο στο οποίο επιθυμούμε να γίνει η στρογγυλοποίηση κατά 1 και αντικαθιστούμε όλα τα υπόλοιπα ψηφία που βρίσκονται δεξιότερα με μηδενικά.

παράδειγμα: αν τον αριθμό 31812 θέλουμε να τον στρογγυλοποιήσουμε στην χιλιάδα (ψηφίο 1), κοιτάμε το επόμενο προς τα δεξιά ψηφίο (το 8 που είναι μεγάλο). Ξαναγράφουμε λοιπόν τον αριθμό μας αυξάνοντας το 1 και κάνοντας το 2 κι όλα τα δεξιότερα ψηφία γίνονται μηδενικά. Έτσι έχουμε το νέο αριθμό 32000.

Η στρογγυλοποίηση γίνεται για πρακτικούς λόγους και η τάξη στην οποία κάνουμε στρογγυλοποίηση εξαρτάται από το τι παριστάνει ο αριθμός αυτός. Για παράδειγμα αν αναφερθούμε στον αριθμό των θεατών που παρακολούθησαν τη συναυλία της Madonna στην Αθήνα δεν θα πούμε 82.345 αλλά 82.000 θεατές(στρογγυλοποίηση στη χιλιάδα). Επίσης αν ο μέσος μισθός ενός υπαλλήλου μιας επιχείρησης είναι 1345€ μπορούμε να πούμε ότι είναι 1300€ (στρογγυλοποίηση στην εκατοντάδα). Υπάρχουν όμως και αριθμοί που δεν επιτρέπεται να στρογγυλοποιήσουμε όπως οι αριθμοί που ταυτοποιούν αντικείμενα για παράδειγμα οι ταχυδρομικοί κώδικες, αριθμοί τηλεφώνων κ.α. [/wptabcontent] [/wptabs]

Δυνάμεις Φυσικών αριθμών – Προτεραιότητα πράξεων

Ο ορισμός και οι ιδιότητες των δυνάμεων. Τι είναι η «βάση» και τι ο «εκθέτης»;
Σε περίπτωση που σε μια παράσταση έχουμε να εκτελέσουμε πολλές πράξεις, ποια από αυτές προηγείται;

Ορισμός και ιδιότητες των δυνάμεων

Πολλές φορές συναντάμε γινόμενα στα οποία όλοι οι παράγοντες είναι μεταξύ τους ίσοι. Στις περιπτώσεις αυτές χρησιμοποιήσουμε πιο εύχρηστα σύμβολα, αυτά των δυνάμεων. Έτσι συμφωνήσαμε τα εξής:
• Το γινόμενο $a \cdot a \cdot a \cdot \cdot \cdot a$ που αποτελείται από ν παράγοντες ίσους με α συμβολίζεται με α^νκαι ονομάζεται ν-οστή δύναμη του α (διαβάζεται α εις την ν ). Ο αριθμός α λέγεται βάση της δύναμης ενώ το ν ονομάζεται εκθέτης και μας δείχνει πόσες φορές θα «επαναλάβουμε» τον αριθμό α στο γινόμενο.

Ισχύει λοιπόν: $\alpha ^{ \nu }= \alpha \cdot \alpha \cdot \alpha \cdot \cdot \cdot \cdot \alpha \cdot \alpha$ ( ν παράγοντες )

Παράδειγμα: Ο συμβολισμός 3⁴(διαβάζεται 3 στην τετάρτη) και παριστάνει το γινόμενο $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$ , δηλαδή τον αριθμό 81 .
• Ειδικά η δύναμη α²(α στη δευτέρα) διαβάζεται και α στο τετράγωνο, ενώ για τη δύναμη α³(α στην τρίτη) μπορούμε να διαβάζουμε και α στον κύβο. (γιατί;)
• Η πρώτη δύναμη του αριθμού α είναι ο ίδιος ο αριθμός α, δηλαδή ισχύει: α¹ = α και προφανώς ισχύει ότι: 1^ν = 1 .
• Για τις δυνάμεις του 10 έχουμε τον παρακάτω κανόνα:

10¹=10, 10²=100, 10³=1000, …, 10^ν=1000…00 (ν μηδενικά) .

Προτεραιότητα των πράξεων

Στον υπολογισμό αριθμητικών παραστάσεων η σειρά με την οποία εκτελούνται οι πράξεις είναι η παρακάτω:

1. Δυνάμεις
2. Πολλαπλασιασμοί και Διαιρέσεις	(όποιο συναντάμε πρώτο)
3. Προσθέσεις κι Αφαιρέσεις	(όποιο συναντάμε πρώτο)

• Στην περίπτωση που στην αριθμητική παράσταση υπάρχουν παρενθέσεις, ξεκινάμε τις πράξεις πρώτα μέσα από τις παρενθέσεις πάντα όμως με την παραπάνω σειρά.

Πρόσθεση, Αφαίρεση και Πολλαπλασιασμός Φυσικών

Οι ιδιότητες της πρόσθεσης, της αφαίρεσης και του πολλαπλασιασμού στο σύνολο των Φυσικών Αριθμών. Παρουσιάζεται και η πολλή σημαντική επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση και την αφαίρεση.

Πρόσθεση Φυσικών

Πρόσθεση είναι η πράξη με την οποία από δύο φυσικούς αριθμούς α και β (που παριστάνουν πλήθος όμοιων αντικειμένων) βρίσκουμε ένα τρίτο φυσικό γ που είναι το άθροισμά τους (και παριστάνει το συνολικό πλήθος των αντικειμένων)

Οι αριθμοί α και β λέγονται προσθετέοι, ένω ο γ λέγεται άθροισμα των α και β και μπορεί να συμβολιστεί και ως α+β,δηλαδή ισχύει α+β=γ.

Ιδιότητες της πρόσθεσης

α+β=β+α	Μπορούμε να αλλάξουμε τη σειρά των δύο προσθετέων σ’ ένα άθροισμα	Αντιμεταθετική
α+(β+γ)=(α+β)+γ	Μπορούμε να αντικαταστήσουμε δύο προσθετέους με το άθροισμά τους	Προσεταιριστική
α+0=α	Το 0 όταν προστεθεί σε οποιοδήποτε φυσικό αριθμό δεν τον μεταβάλλει	Ουδέτερο στοιχείο

Η αντιμεταθετική ιδιότητα σε συνδυασμό με την προσεταιριστική μας δίνουν το δικαίωμα να προσθέτουμε τους φυσικούς αριθμούς με οποιαδήποτε σειρά μας «βολεύει». Έτσι για την παρακάτω πρόσθεση θα μπορούσαμε να κάνουμε τα εξής:

45+13+8+22+55+87+70=

(45+55)+(13+87)+(8+22+70)=

100+100+100=300.

Αφαίρεση Φυσικών

Αφαίρεση δύο αριθμών μ (=μειωτέος) και α (=αφαιρετέος) είναι η πράξη με την οποία βρίσκουμε ένα άλλο αριθμό δ (=διαφορά) που αν προστεθεί στον α μας δίνει τον μ.

Δηλαδή:

μ – α = δ μόνο αν ισχύει δ+α=μ, με μ>α

Προσοχή, στην αφαίρεση των φυσικών αριθμών δεν επιτρέπεται η αλλαγή στη σειρά τους διότι η πράξη δεν μπορεί να εκτελεστεί.

Δηλαδή εδώ δεν ισχύει ούτε η αντιμεταθετική ιδιότητα ούτε η προσεταιριστική.

Πολλαπλασιασμός Φυσικών

Πολλαπλασιασμός, είναι η πράξη που από δύο φυσικούς αριθμούς α και β, βρίσκουμε ένα τρίτο φυσικό αριθμό γ που είναι το γινόμενό τους και συμβολίζεται με $\alpha\cdot\beta$ Δηλαδή: $\gamma=\alpha\cdot\beta$

Οι αριθμοί α και β λέγονται παράγοντες του γινομένου.

Ιδιότητες του πολλαπλασιασμού

$\alpha\cdot\beta=\beta\cdot\alpha$	Μπορούμε να αλλάξουμε τη σειρά των δύο παραγόντων σ’ ένα γινόμενο	Αντιμεταθετική
$\alpha \cdot \left( \beta \cdot \gamma \right)=\left( \alpha \cdot \beta \right) \cdot \gamma$	Μπορούμε να αντικαταστήσουμε δύο παράγοντες με το γινόμενό τους	Προσεταιριστική
$\alpha \cdot 1= \alpha$	Το 1 όταν πολλαπλασιαστεί με οποιοδήποτε φυσικό αριθμό δεν τον μεταβάλλει	Ουδέτερο στοιχείο
$\alpha \cdot 0=0$	Ότι πολλαπλασιάζεται με το 0 μηδενίζεται	Απορροφητικό στοιχείο

Επιμεριστική Ιδιότητα

Επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς τη πρόσθεση και την αφαίρεση:
Μια πολλή σημαντική ιδιότητα που συνδέει τον πολλαπλασιασμό με την πρόσθεση (και την αφαίρεση). Η ιδιότητα αυτή μας δίνει το δικαίωμα να υπολογίζουμε την τιμή κάποιας παράστασης με δύο τρόπους.
Επιμεριστική ιδιότητα:

$\alpha \cdot \left( \beta + \gamma \right)= \alpha \cdot \beta + \alpha \cdot \gamma$

$\alpha \cdot \left( \beta - \gamma \right)= \alpha \cdot \beta - \alpha \cdot \gamma$

Εμβαδά

Τι είναι το εμβαδόν;

Το εμβαδόνμιας επίπεδης επιφάνειας είναι ο θετικός αριθμός, που εκφράζει την έκταση που καταλαμβάνει η επιφάνεια

αυτή στο επίπεδο. Ο αριθμός αυτός εξαρτάται από τη μονάδα μέτρησης που χρησιμοποιούμε. Κι αυτό γιατί το εμβαδόν στην πραγματικότητα είναι ο θετικός αριθμός που μας δείχνει πόσες μονάδες μέτρησης χρειαζόμαστε για να καλύψουμε την συγκεκριμένη επιφάνεια.

Ποια είναι η βασική μονάδα μέτρησης της επιφάνειας;

Η μονάδα μέτρησης που χρησιμοποιούμε συνήθως είναι το ένα τετραγωνικό μέτρο (1m²) με κυριότερες υποδιαιρέσεις: 1dm², 1cm²,1mm². Οι σχέσεις που συνδέουν αυτές τις μονάδες και χρειάζεται να τις γνωρίζουμε για τις μετατροπές είναι,

1m²=100dm²

1dm²= 100cm²

1cm²=100mm²

Εμβαδά επίπεδων σχημάτων

Το εμβαδόν ενός τετραγώνου με πλευρά α είναι:

$E=\alpha^2$

Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου με διαστάσεις α, β είναι:

$E=\alpha\cdot\beta$

Το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου είναι ίσο με το γινόμενο μιας βάσης του επί το αντίστοιχο ύψος.

$E=\beta\cdot\upsilon$

Το εμβαδόν ενός τριγώνου είναι ίσο με το μισό του γινομένου της βάσης του επί το ύψος.

$E=\frac{\beta\cdot\upsilon}{2}$

Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου με κάθετες πλευρές β και γ μπορεί να υπολογιστεί κι από το ημιγινόμενο των κάθετων πλευρών του

$E=\frac{\beta\cdot\gamma}{2}$

Το εμβαδόν ενός τραπεζίου είναι ίσο με το ημιάθροισμα των βάσεών του επί το ύψος του.

$E=\frac{(B+b)\cdot\upsilon}{2}$

Medal of Honor

Ακολουθώντας τον δρόμο άλλων μεγάλων Ελλήνων Μαθηματικών, έξι μαθητές της Α’ και Β’ Λυκείου κέρδισαν σημαντικές
διακρίσεις στη Διεθνή Ολυμπιάδα ξεπερνώντας διαγωνιζόμενους από άλλες χώρες της Ε.Ε.
Ανέδειξαν την Ελλάδα σε μία από τις χώρες με τα μεγαλύτερα μαθηματικά μυαλά του κόσμου, κατακτώντας την πρώτη θέση
στη Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα που διεξήχθη στην Αργεντινή από τις 4 έως τις 16 Ιουλίου.
Οι Ελληνες μαθητές άφησαν πολλά χιλιόμετρα πίσω Γερμανούς, Γάλλους, Ισπανούς, Ιταλούς, Ολλανδούς και άλλους
μαθητές από όλες τις χώρες της Ευρωζώνης, που έλαβαν μέρος στον συγκεκριμένο διαγωνισμό και κατέκτησαν ένα χρυσό,
ένα αργυρό, τρία χάλκινα μετάλλια και μια εύφημη μνεία. Εξι μαθητές της Α’ και Β’ λυκείου πήραν μέρος από τη χώρα
μας στον διαγωνισμό και οι έξι επέστρεψαν με ένα βραβείο στις αποσκευές τους.
Συγκεκριμένα:

Το χρυσό μετάλλιο κατέκτησε ο μαθητής της Β΄λυκείου από τα Τρίκαλα, Παναγιώτης Λώλας, ο οποίος έχει

διακριθεί πολλές φορές σε ανάλογους διαγωνισμούς.

Το αργυρό μετάλλιο έλαβε ο Δημάκης Παναγιώτης.
Χάλκινο έλαβαν οι μαθητές Μουσάτωβ Αλέξανδρος, Σκιαδόπουλος Αθην., Τσίνας Κωνσταντίνος.
Την εύφημο μνεία τέλος έλαβε ο Τσαμπασίδης Ζαχαρίας.

Το γεγονός αυτό αποδεικνύει ότι η ελληνική μαθητιώσα νεολαία που κρύβει τεράστιες δυνατότητες και προοπτικές
προόδου, μεγαλουργεί όταν δημιουργούνται οι κατάλληλες συνθήκες
Οπως τονίζει η Μαθηματική Εταιρεία οι Διεθνείς Μαθηματικές Ολυμπιάδες είναι ένας θεσμός υψηλοτάτου επιστημονικού
επιπέδου όπου συμμετέχουν τα μεγαλύτερα ταλέντα στον χώρο των μαθηματικών από όλο σχεδόν τον κόσμο.
Ένα μεγάλο μπράβο από όλες τους Έλληνες στους μαθητές αυτούς που με όπλο το μεγάλο ταλέντο τους στα μαθηματικά
συνέχισαν τη μεγάλη παράδοση των επιτυχιών των ελληνικών ομάδων στις Διεθνείς Μαθηματικές Ολυμπιάδες, δικαιώνοντας
το έργο της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας που προετοιμάζει και υποστηρίζει τις προσπάθειες αυτών των μαθητών
πάντα σε εθελοντική βάση και αναδεικνύοντας την Ελλάδα, τη χώρα στην οποία γεννήθηκαν τα Μαθηματικά και η οποία
γέννησε τους μεγαλύτερους Μαθηματικούς του κόσμου.
Ας σημειωθεί πως η Ελλάδα κατακτά Χρυσό μετάλλιο σε Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα για δεύτερη συνεχόμενη χρονιά.

«Σου δίνει φτερά» … αλλά για που;

Τα ενεργειακά ροφήματα, μπορεί να είναι δημοφιλή όμως, όπως προκύπτει από μελέτη, το καθένα από αυτά ενδέχεται να περιέχει περισσότερη καφεϊνη από ό,τι ένα φλιτζάνι καφέ.
Επιπλέον, η ποσότητα αυτή της καφεϊνης μπορεί σε συνδυασμό με άλλα συστατικά, όπως είναι το αλκοόλ, να είναι επικίνδυνη.
«Αυτό που γνωρίζουμε είναι ότι ένα κοινό ενεργειακό ρόφημα μπορεί να περιέχει μέχρι ένα τέταρτο φλιτζανιού ζάχαρης και περισσότερη καφεΐνη απ΄ό,τι ένα φλυτζάνι δυνατού καφέ», εξηγεί ο Τζον Χίγκινς της Ιατρικής Σχολής του πανεπιστημίου του Τέξας, στο Χιούστον, ο οποίος ηγήθηκε της έρευνας που δημοσιεύτηκε στην επιστημονική επιθεώρηση Mayo Clinic Proceedings.
Η περιεκτικότητα καφεϊνης στα ενεργειακά ροφήματα ποικίλλει: από 70 ως 200 μιλιγκράμ ανά περίπου 450 γραμμάρια.
Εν συγκρίσει, ένα φλυτζάνι που περιέχει περίπου 230 γραμμάρια καφέ μπορεί να περιέχει από 40 ως 150 μιλιγκράμ καφεϊνης ανάλογα με το πώς είναι παρασκευασμένος.
Ακόμη πιο σημαντική είναι- όπως δήλωσε ο Χίγκινς στο Reuters Health- η αλληλεπίδραση της καφεϊνης με τα συστατικά που δεν αναφέρονται συχνά στη συσκευασία, όπως το φυτικό διεγερτικό γκουαρανά, το αμινοξύ ταυρίνη και άλλα βότανα, βιταμίνες και μέταλλα.
Αυτό που εμπνέει ανησυχία είναι πώς μία τέτοια αλληλεπίδραση μπορεί να επηρεάσει τον καρδιακό ρυθμό, την αρτηριακή πίεση, ακόμη και την ψυχική κατάσταση, ειδικά όταν καταναλώνεται σε μεγάλες ποσότητες, μαζί με αλκοόλ ή από αθλητές.
Ο Χίγκινς και οι συνεργάτες του επεξεργάστηκαν τα στοιχεία από την ιατρική βιβλιογραφία σχετικά με τα ενεργειακά ροφήματα και τα συστατικά τους κατά το διάστημα 1976-2010 και διαπίστωσαν ότι υπάρχουν ελάχιστα στοιχεία καταγεγραμμένα που να αφορούν τις επιδράσεις τους.
Ορισμένες μικρής κλίμακας μελέτες, συχνά με αντικείμενο σωματικά δραστήριους νέους ανθρώπους, έχουν δείξει ότι τα ροφήματα αυτά μπορεί να αυξήσουν την πίεση και τον καρδιακό ρυθμό.
Όμως οι αποδείξεις για πιο σοβαρές επιπτώσεις στην υγεία αυτού που το κατανάλωσε, όπως εμφράγματα, κρίσεις επιληψίας, ακόμη και θάνατος, δεν είναι καταγεγραμμένες, έγραψαν οι επιστήμονες.
Στη Νορβηγία, τη Δανία και τη Γαλλία απαγορεύτηκαν οι πωλήσεις του Red Bull μετά από τη δημοσιοποίηση μελέτης που πραγματοποιήθηκε σε ποντίκια κι έδειξε ότι «όταν κατανάλωσαν ταυρίνη επέδειξαν περίεργη συμπεριφορά, με συμπτώματα, μεταξύ άλλων, άγχους και αυτο-ακρωτηριασμό».
Τα ενεργειακά ροφήματα συχνά χρησιμοποιούνται από αθλητές για «επιπλέον ενέργεια».
Αλλά ο Χίγκινς και η ομάδα του παρατήρησαν ότι ανάλογα με το πώς η καφεϊνη και κάποια άλλα συστατικά επηρεάζουν τον οργανισμό, υπάρχει κίνδυνος τα ενεργειακά ροφήματα να προκαλέσουν σοβαρή αφυδάτωση σε όσους τα καταναλώνουν.
«Η πιθανότητα αφυδάτωσης και αυξημένης πίεσης καθιστά προτιμότερη την κατανάλωση νερού ή κάποιου ροφήματος για αθλητές, με χαμηλό βαθμό οκτανίων, που περιέχει ηλεκτρολύτες, κάποια μέταλλα και υδρογονάνθρακες», πρόσθεσε ο ίδιος.
Οσοι δεν είναι αθλητές, δεν πρέπει να καταναλώνουν πάνω από ένα την ημέρα, να μην το αναμειγνύουν με αλκοόλ και να πίνουν πολύ νερό μετά τη σωματική άσκηση.
Οσοι έχουν υπέρταση δεν πρέπει να τα καταναλώνουν καθόλου και όσοι έχουν προβλήματα υγείας, όπως καρδιακά νοσήματα, να συμβουλεύονται τον γιατρό τους προηγουμένως.

πηγή: το βήμα

Όριο Συνάρτησης που δεν έχω τον τύπο της (2/2)

Το άρθρο αναφέρεται στη χρήση του κριτηρίου παρεμβολής (θεώρημα σάντουιτς) για το υπολογισμό του ορίου μιας συνάρτησης που δεν γνωρίζω τον τύπο της παρά μόνο μια ανισότητα στην οποία συμμετέχει η συνάρτηση που μας ενδιαφέρει. Γίνεται επίσης αναφορά και στη περίπτωση «μηδενικής επί φραγμένης». Το άρθρο απευθύνεται σε μαθητές της Γ΄ Λυκείου θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

Σε προηγούμενο άρθρο μας, είδαμε πως μπορούμε να υπολογίσουμε το όριο μιας συνάρτησης f για την οποία δεν μας έχουν δώσει τον τύπο της αλλά μας έχουν δώσει ένα όριο μιας άλλης συνάρτησης, έστω g, στον τύπο της οποίας εμφανίζεται και η f. Στο συγκεκριμένο άρθρο είδαμε πως έχουμε τη δυνατότητα να φτιάξουμε εμείς έναν τύπο για τη συνάρτηση f ( λύνοντας τον τύπο της g ως προς f ) και στη συνέχεια να υπολογίσουμε κατά τα γνωστά το όριο της f.

paremvoli — Κριτήριο Παρεμβολής ή Sandwich Theorem

Σήμερα θα συνεχίσουμε τη «υπόθεση» αυτή για να δούμε τι μπορούμε να κάνουμε στην περίπτωση που και πάλι δεν γνωρίζουμε τον τύπο της συνάρτησης f αλλά ούτε και κάποιο όριο στο οποίο να συμμετέχει αυτή. Σύμφωνα με αυτά που υπάρχουν στην ύλη μας αυτό που θα πρέπει οπωσδήποτε να έχουμε για να βρούμε το όριο είναι μια «διπλή ανισότητα» στο κέντρο της οποίας να βρίσκεται η συνάρτηση f και στα άκρα αυτής δύο συναρτήσεις, έστω g και h, οι οποίες να έχουν το ίδιο όριο όταν το x τείνει στο x₀. Δηλαδή να έχουμε κάτι τέτοιο:

$g(x) \le f(x) \le h(x)$ που να ισχύει για κάθε x που περιέχεται σε μια περιοχή του x₀

κι επιπλέον να ισχύει: $\underset{x \to x_0}{\mathop{\lim}}g(x)=\underset{x \to x_0}{\mathop{\lim}}h(x)=l$

τότε και η συνάρτηση f θα συγκλίνει σε ένα αριθμό ο οποίος υποχρεούται να βρίσκεται ανάμεσα στο l και στο l και προφανώς δεν μπορεί να είναι άλλος από τον l. Έτσι λοιπόν θα ισχύει $\underset{x \to x_0}{\mathop{\lim}}f(x)=l$ .

Αυτό που είδαμε παραπάνω, δηλαδή αν η f είναι «φραγμένη» από πάνω και από κάτω από δύο συναρτήσεις που έχουν το ίδιο όριο στο x₀ τότε και αυτή θα έχει το ίδιο όριο όταν το x τείνει στο x₀ είναι το λεγόμενο «Κριτήριο Παρεμβολής»

Έστω οι συναρτήσεις g,f,h για τις οποίες ισχύουν:
(α) $g(x) \le f(x) \le h(x)$ για κάθε x που βρίσκεται κοντά στο x₀ και

(β) $\underset{x \to x_0}{\mathop{\lim}}g(x)=\underset{x \to x_0}{\mathop{\lim}}h(x)=l$

τότε θα ισχύει, $\underset{x \to x_0}{\mathop{\lim}}f(x)=l$

Ας δούμε ένα απλό παράδειγμα για να καταλάβουμε πότε και πως χρησιμοποιούμε το κριτήριο παρεμβολής και στη συνέχεια διαβάστε τις λυμένες ασκήσεις που βρίσκονται παρακάτω όπου θα δούμε τι γίνεται όταν η συνάρτηση της οποίας θέλω να βρω το όριο δεν βρίσκεται στο κέντρο της διπλής ανισότητας ή ακόμη χειρότερα τι κάνουμε όταν δεν μας έχουν δώσει καθόλου αυτή τη διπλή ανισότητα.

Παράδειγμα:

Η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο $\mathbb{R}$ και για κάθε $x \in \mathbb{R}$ ισχύει η σχέση: $-x^2+2x \le f(x) \le x^2 +2x$ . Να βρεθεί το όριο της f στο 0.

Λύση:

Έστω $g(x)=-x^2+2x$ , τότε $\underset{x \to 0}{\mathop{\lim}}g(x)=0$ και

$h(x)=x^2+2x$ , για την οποία ισχύει $\underset{x \to 0}{\mathop{\lim}}h(x)=0$ . Από το κριτήριο παρεμβολής ισχύει ότι $\underset{x \to 0}{\mathop{\lim}}f(x)=0$

[wptabs mode=»horizontal»][wptabtitle]Άσκηση 1[/wptabtitle] [wptabcontent]Η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο $\mathbb{R}$ και για κάθε $x \in \mathbb{R}$ ισχύει η σχέση: $|f(x)-1|<|x^2+x|$ . Να βρεθεί το όριο της f στο 0.

Λύση:

Στην άσκηση αυτή το πρώτο πρόβλημα που έχουμε είναι ότι δεν μας έχουν δώσει μια διπλή ανισότητα. Αυτο όμως ξεπερνιέται πολύ εύκολα αρκεί να θυμηθούμε μια ιδιότητα των απολύτων τιμών: $|x| \le \theta \Leftrightarrow - \theta \le x \le \theta$ οπότε η σχέση που μας δώσανε θα πάρει τη μορφή $-|x^2+x| \le f(x)-1 \le |x^2+x|$ και να τη η διπλή ανισότητα!

Το δεύτερο πρόβλημα που έχουμε εδώ είναι ότι η συνάρτηση f που μας ενδιαφέρει δεν είναι μόνη της στο κέντρο της ανισότητας αυτής, υπάρχει μαζί της και το -1. Κι αυτό όμως το πρόβλημα λύνεται εύκολα προσθέτοντας σε κάθε μέλος της ανισότητας το +1. Έτσι παίρνουμε

$-|x^2+x| \le f(x)-1 \le |x^2+x| \Leftrightarrow$

$-|x^2+x|+1 \le f(x)-1+1 \le |x^2+x|+1 \Leftrightarrow$

$-|x^2+x|+1 \le f(x) \le |x^2+x|+1$

Τώρα είμαστε έτοιμοι να εφαρμόσουμε το κριτήριο παρεμβολής κι έχουμε, $g(x)=-|x^2+x|+1$ , $h(x)=|x^2+x|+1$ επίσης $\underset{x \to 0}{\mathop{\lim}}g(x)= \underset{x \to 0}{\mathop{\lim}}h(x)=1$ οπότε συμπεραίνουμε ότι $\underset{x \to 0}{\mathop{\lim}}f(x)=1$ .
Δείτε και την άσκηση 2 ^^^[/wptabcontent]

[wptabtitle]Άσκηση 2[/wptabtitle] [wptabcontent]Δίνεται η συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ για την οποία ισχύει: $|f(x)-2| \le x^2$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ . Να βρείτε τα παρακάτω όρια

(α) $\underset{x \to 0}{\mathop{\lim}}f(x)$ και

(β) $\underset{x \to 0}{\mathop{\lim}}\frac{f(x)-\sqrt{x+4}}{x}$

Λύση:

(α) Όπως και στην προηγούμενη άσκηση πρώτα φτιάχνω τη διπλή ανισότητα:

$|f(x)-2| \le x^2\Leftrightarrow$

$-x^2 \le f(x)-2 \le x^2 \Leftrightarrow$

τώρα απομονώνω την f στο κέντρο της ανισότητας:

$2-x^2 \le f(x) \le 2+x^2$

κι επειδή $\underset{x \to 0}{\mathop{\lim}}(2-x^2)=\underset{x \to 0}{\mathop{\lim}}(2+x^2)=2$ θα ισχύει και $\underset{x \to 0}{\mathop{\lim}}f(x)=2$ .

(β) Έστω $g(x) =\frac{f(x)-\sqrt{x+4}}{x}$ κι αναζητώ το όριο της g στο 0. Παρατηρώ ότι αν χρησιμοποιήσω αυτό που βρήκα στο (α) ερώτημα (ότι $\underset{x \to 0}{\mathop{\lim}}f(x)=2$ ) καταλήγω σε απροσδιόριστη μορφή 0/0. Έτσι λοιπόν αναγκάζομαι να περάσω την g στο κέντρο της διπλής ανισότητας ως εξής:

$2-x^2 \le f(x) \le 2+x^2\Leftrightarrow$

$2-x^2-\sqrt{x+4} \le f(x)-\sqrt{x+4} \le 2+x^2-\sqrt{x+4}\Leftrightarrow$

και φτάσαμε στο σημείο που για να εμφανιστεί η g πρέπει να διαιρέσουμε με το x.

[box type=»warning»] Προσοχή όμως γιατί,

όταν διαιρούμε μια ανισότητα με αρνητικό αριθμό αλλάζει η φορά της!!! [/box]

κι επειδή δεν γνωρίζουμε τι πρόσημο έχει το x θα διακρίνουμε δυο περιπτώσεις:

Περίπτωση 1η: Για x>0, θα έχουμε

$\frac{2-x^2-\sqrt{x+4}}x \le \frac{f(x)-\sqrt{x+4}}x \le \frac{2+x^2-\sqrt{x+4}}x\Leftrightarrow$

$\frac{2-x^2-\sqrt{x+4}}x \le g(x) \le \frac{2+x^2-\sqrt{x+4}}x$

όμως $\underset{x \to 0}{\mathop{\lim}}\frac{2-x^2-\sqrt{x+4}}x=\underset{x \to 0}{\mathop{\lim}}\frac{2+x^2-\sqrt{x+4}}x= -\frac{1}4$

[wpspoiler name=»Δείτε εδώ γιατί» ]

$\underset{x \to 0}{\mathop{\lim}}\frac{2-x^2-\sqrt{x+4}}x=$

$\underset{x \to 0}{\mathop{\lim}}\frac{(2-x^2-\sqrt{x+4})(2-x^2+\sqrt{x+4})}{x(2-x^2+\sqrt{x+4})}=$

$\underset{x \to 0}{\mathop{\lim}}\frac{(2-x^2)^2-\sqrt{x+4}^2}{x(2-x^2+\sqrt{x+4})}=$

$\underset{x \to 0}{\mathop{\lim}}\frac{4-4x^2+x^4-x-4}{x(2-x^2+\sqrt{x+4})}=$

$\underset{x \to 0}{\mathop{\lim}}\frac{x^4-4x^2-x}{x(2-x^2+\sqrt{x+4})}=$

$\underset{x \to 0}{\mathop{\lim}}\frac{x(x^3-4x-1)}{x(2-x^2+\sqrt{x+4})}=$

$\underset{x \to 0}{\mathop{\lim}}\frac{x^3-4x-1}{2-x^2+\sqrt{x+4}}=$

$\frac{0-0-1}{2-0+\sqrt{0+4}}=-1/4$

Όμοια με την βοήθεια της συζυγούς παράστασης υπολογίζεται και το $\underset{x \to 0}{\mathop{\lim}}\frac{2+x^2-\sqrt{x+4}}{x}=-1/4$ [/wpspoiler] άρα το $\underset{x \to 0^+}{\mathop{\lim}}g(x)=-1/4$ (σχέση 1).

Περίπτωση 2η: Για x<0, θα έχουμε

$\frac{2-x^2-\sqrt{x+4}}x \ge \frac{f(x)-\sqrt{x+4}}x \ge \frac{2+x^2-\sqrt{x+4}}x\Leftrightarrow$

$\frac{2-x^2-\sqrt{x+4}}x \ge g(x) \ge \frac{2+x^2-\sqrt{x+4}}x$

όμως $\underset{x \to 0}{\mathop{\lim}}\frac{2-x^2-\sqrt{x+4}}x=\underset{x \to 0}{\mathop{\lim}}\frac{2+x^2-\sqrt{x+4}}x= -\frac{1}4$ άρα το $\underset{x \to 0^-}{\mathop{\lim}}g(x)=-1/4$ (σχέση 2).

Από τις (σχέση 1) , (σχέση 2) προκύπτει ότι το $\underset{x \to 0}{\mathop{\lim}}g(x)=-1/4$

Να δούμε και την άσκηση 3; ^^^ [/wptabcontent]

[wptabtitle]Άσκηση 3[/wptabtitle] [wptabcontent]Η άσκηση που θα λύσουμε τώρα δεν ανήκει κανονικά σε αυτή τη κατηγορία που εξετάζουμε τώρα αλλά θεώρησα καλό να λύσουμε ένα παράδειγμα επειδή ο τρόπος με τον οποίο λύνεται είναι ίδιος με όλες τις προηγούμενες ασκήσεις. Η άσκηση αυτή αναφέρεται στο πως βρίσκουμε το όριο μιας συνάρτησης η οποία είναι γινόμενο δύο άλλων συναρτήσεων μιας φραγμένης και μιας μηδενικής (δηλαδή έχει όριο ίσο με 0 ). Υπάρχει θεώρημα που δεν διδάσκεται στην Γ΄ Λυκείου που αποδεικνύει ότι «το γινόμενο μιας μηδενικής συνάρτησης επί μία φραγμένη είναι μηδενική». Ας δούμε όμως την άσκηση για να καταλάβουμε τι ακριβώς συμβαίνει.

Άσκηση: Να υπολογιστεί το όριο στο 0 της συνάρτησης $f(x)=x\cdot \eta\mu\frac{1}{x}$

Λύση: Ξεκινώντας να υπολογίσουμε το συγκεκριμένο όριο το πρώτο που σκεφτόμαστε είναι να αντικαταστήσουμε όπου x το 0

singraph — Το ημίτονο είναι φραγμένη συνάρτηση

όμως όπως θα δούμε σε επόμενη δημοσίευση όταν $x \to 0$ τότε $\frac{1}{x} \to \infty$ δυστυχώς δεν γνωρίζουμε το όριο του ημιτόνου στο άπειρο. Για να ξεπεράσουμε αυτό το πρόβλημα θα χρησιμοποιήσουμε το κριτήριο παρεμβολής. Χωρίς να μας έχει δωθεί κάποια διπλή ανισότητα. Δεν πειράζει όμως γιατί για δύο συγκεκριμένες συναρτήσεις την ημx αλλά και την συνx γνωρίζουμε εμείς μια διπλή ανισότητα από προηγούμενες τάξεις. Γνωρίζουμε ότι οι τιμές που παίρνει το ημίτονο και το συνημίτονο δεν μπορούν να βρίσκονται κάτω από το -1 ή πάνω από το 1 (αυτή ακριβώς είναι και η έννοια της φραγμένης συνάρτησης και οι μόνες φραγμένες που έχουμε μάθει είναι αυτές οι δύο το ημίτονο και το συνημίτονο). Πάμε τώρα να εκμεταλλευτούμε αυτή ακριβώς την ιδιότητα της συνάρτησης ημx.

$| \eta\mu \frac{1}{x}| \le 1$

προσπαθούμε τώρα να εμφανίσουμε τη συνάρτηση που μας ενδιαφέρει για το λόγο αυτό θα πολλαπλασιάσουμε όλα τα μέλη της με το |x| (και όχι με το x που δεν ξέρουμε το πρόσημό του κι αναγκαστούμε να πάρουμε περιπτώσεις)

$|x|\cdot |\eta \mu \frac{1}{x}| \le |x| \cdot 1 \Leftrightarrow$

$|x \cdot \eta \mu \frac{1}{x} \le |x| \Leftrightarrow$

$|f(x)| \le |x| \Leftrightarrow$

$-|x| \le f(x) \le |x|$

όμως $\underset{x \to 0}{\mathop{\lim}}(-|x|)=\underset{x \to 0}{\mathop{\lim}}|x|=0$ κι έτσι συμπεραίνουμε από το κριτήριο παρεμβολής ότι $\underset{x \to 0}{\mathop{\lim}}f(x)=0$ .

Είδαμε λοιπόν ότι για τις συναρτήσεις ημx και συνx δεν χρειάζεται να μας δοθεί διπλή ανισότητα την γνωρίζουμε εμείς:
$-1 \le \eta \mu x \le 1 \Leftrightarrow | \eta\mu x| \le 1$

και
$-1 \le \sigma \upsilon \nu x \le 1 \Leftrightarrow |\sigma \upsilon \nu x| \le 1$

[/wptabcontent]

[/wptabs]

Η διαχρονικότητα του Ομήρου

Η Ιλιάδα αλλά και η Οδύσσεια στο iPhone

Μια εφαρμογή για iPhone και iPod Touch κυκλοφόρησε στις 23 Σεπτεμβρίου από τον Περικλή Μαραβελάκη. Είναι δωρεάν, ονομάζεται «Ομήρου Έπη» και περιλαμβάνει Ιλιάδα και Οδύσσεια, τόσο στο πρωτότυπο κείμενο στα αρχαία ελληνικά όσο και σε νεοελληνική μετάφραση του Νίκου Καζαντζάκη και του Ι. Θ. Κακριδή. Η μετάφραση της Ιλιάδας είναι αυτή που χρησιμοποιείται και στα σχολικά βιβλία. Περιλαμβάνεται επίσης ο πρόλογος και η περίληψη και των δύο έργων από τους μεταφραστές και κατάλογος με τους χαρακτήρες των έργων. Η εφαρμογή τρέχει σε iPhone 3G, 3GS και 4, καθώς και σε iPod Touch και απαιτεί iOS 4.0 ή νεότερο.

Μια ωραία ιδέα και μια καλοσχεδιασμένη εφαρμογή. Σύντομα θα κυκλοφορήσει η έκδοση 1.1 με πολλά νέα στοιχεία, ενώ αργότερα θα κυκλοφορήσει και για iPad. Επίσης, σταδιακά θα προστεθούν επιπλέον αναφορές και πληροφορίες για τα έργα, μεταφράσεις των έργων στην αγγλική (Alexander Pope) και τη γαλλική γλώσσα (Charles-René-Marie Leconte de L’Isle), μενού στα αγγλικά και τα γαλλικά, δυνατότητα σημείωσης σελιδοδείκτη.

πηγή: Ηλεκτρονικός Αναγνώστης

Απλοποίηση Κλάσματος

Απλοποίηση ενός κλάσματος είναι η διαδικασία που ακολουθούμε ώστε να καταφέρουμε να βρούμε ένα νέο κλάσμα που να είναι ίσο με το αρχικό αλλά να έχει μικρότερους όρους.

Πως απλοποιούμε ένα κλάσμα;

Για να απλοποιήσουμε ένα κλάσμα πρέπει να διαιρέσουμε τον αριθμητή του αλλά και τον παρονομαστή του με τον ίδιο αριθμό. Όπως εύκολα μπορούμε να αντιληφθούμε αυτό δεν είναι δυνατό να γίνει πάντα στην περίπτωση αυτή λέμε ότι το κλάσμα είναι ανάγωγο. Για να γίνει η απλοποίηση πρέπει αριθμητής και παρονομαστής να έχουν τουλάχιστον ένα κοινό διαιρέτη (εννοείται όχι το 1).

π.χ. $\frac{18}{36}=\frac{18:9}{36:9}=\frac{2}{4}$ το κλάσμα που προέκυψε μετά από την απλοποίηση είναι «καλύτερο» από το αρχικό αφού έχει μικρότερους όρους παρότι είναι στην ουσία το ίδιο κλάσμα. Παρατηρείστε όμως ότι το 2/4 απλοποιείται κι άλλο (αν διαιρεθούν οι όροι του με το 2). Καταλαβαίνουμε λοιπόν ότι κατά την απλοποίηση καλό θα ήταν να μην χρησιμοποιούμε ένα οποιοδήποτε κοινό διαιρέτη των αριθμητή και παρονομαστή αλλά μας συμφέρει για να έχουμε καλύτερα αποτελέσματα να χρησιμοποιούμε τον μεγαλύτερο από τους κοινούς διαιρέτες τους, δηλαδή τον Μέγιστο Κοινό Διαιρέτη (Μ.Κ.Δ.).

Έτσι στο παράδειγμά μας θα είχαμε: $\frac{18}{36}=\frac{18:18}{36:18}=\frac{1}{2}$ αφού ο Μ.Κ.Δ.(18,36)=18 και το 1/2 που καταλήξαμε δεν απλοποιείται άλλο (είναι ανάγωγο).