Νοεμβρίου 2012 – Σελίδα 5

Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (Μ.Κ.Δ.) – Πρώτοι και Σύνθετοι Αριθμοί

Τι σημαίνει ΜΚΔ;
Ποιοι είναι οι Πρώτοι και ποιοι οι Σύνθετοι αριθμοί;
Τι εννοούμε όταν λέμε Σχετικά Πρώτοι;
Όλα αυτά θα δούμε στο σημερινό άρθρο.

Ας ξεκινήσουμε όμως πρώτα με το τι σημαίνει «διαιρέτης» :

Διαιρέτες ενός φυσικού αριθμού λέγονται όλοι οι φυσικοί αριθμοί που τον διαιρούν

(εννοείται όπως έχουμε αναφέρει και σε προηγούμενο μάθημα ότι τον διαιρούν ακριβώς. Μιλάμε δηλαδή για τέλεια διαίρεση).

Κάθε φυσικός αριθμός έχει διαιρέτες το 1 και τον εαυτό του. (εκτός από το 0 που δεν μπορεί να έχει διαιρέτη τον εαυτό του)

Πρώτος λέγεται ένας φυσικός αριθμός όταν έχει διαιρέτες μόνο το 1 και τον εαυτό του.

Παράδειγμα: πρώτοι αριθμοί είναι οι 2,3,13 κ.α.

Σύνθετος λέγεται ένας φυσικός όταν έχει και άλλους διαιρέτες εκτός από τον εαυτό του και το 1.

Παράδειγμα: το 9 είναι σύνθετος αφού διαιρείται με το 1, το 9 αλλά και το 3.

Το 1 δεν θεωρείται πρώτος αλλά ούτε και σύνθετος.
Ο μικρότερος πρώτος αριθμός είναι ο 2.
Εκτός από το 2 όλοι οι πρώτοι είναι περιττοί αλλά κάθε περιττός δεν είναι οπωσδήποτε πρώτος.

Μέγιστος κοινός διαιρέτης ( Μ.Κ.Δ. ) δύο ή περισσότερων αριθμών λέγεται ο μεγαλύτερος από τους κοινούς διαιρέτες των αριθμών αυτών.

ΜΚΔ(24,36,96)=12

Πρώτοι μεταξύ τους λέγονται δύο αριθμοί όταν έχουν μέγιστο κοινό διαιρέτη το 1.

Quiz Γ΄ Γυμνασίου: Ταυτότητες

Λύστε ένα κουίζ με ασκήσεις Σωστού – Λάθους, Πολλαπλής Επιλογής, Αντιστοίχισης κ.α. με ερωτήσεις από τις Ταυτότητες

Πολλαπλάσια – Ε.Κ.Π.

κάποια από τα πολ/σια του 2 του 3 και 6

Πολλαπλάσια ενός φυσικού αριθμού α ονομάζουμε τους αριθμούς που προκύπτουν αν πολλαπλασιάσουμε τον α με όλους τους φυσικούς αριθμούς.

Δηλαδή τα πολλαπλάσια του α είναι: $0, \alpha ,2 \cdot \alpha ,3 \cdot \alpha ,4 \cdot \alpha , \cdot \cdot \cdot ,\nu \cdot \alpha , \cdot \cdot \cdot$

Για παράδειγμα μπορούμε να αναφέρουμε τα πολλαπλάσια του 6 που είναι: 0,6,12,18,24,30,…

Κάθε φυσικός αριθμός διαιρεί όλα τα πολλαπλάσιά του.(και μόνο αυτά)

Παράδειγμα ο 5 διαιρεί όλα τα πολλαπλάσιά του δηλαδή τους αριθμούς 0,5,10,15,20,25,… και κανέναν άλλο αριθμό.

Αν ένας φυσικός αριθμός α διαιρείται από ένα φυσικό β, τότε ο α είναι πολλαπλάσιο του β.

Έτσι αν μας πουν ότι ο 5 διαιρεί τον β εμείς συμπεραίνουμε ότι ο β είναι κάποιο πολλαπλάσιο του 5, δηλαδή θα έχει τη μορφή β=5ν (όπου ο ν είναι κάποιος φυσικός αριθμός).

Αν ένας φυσικός αριθμός α διαιρεί έναν άλλο φυσικό αριθμό β, τότε θα διαιρεί όχι μόνο τον β αλλά και όλα τα πολλαπλάσια του β.

Αφού παράδειγμα ο 5 διαιρεί τον 10 τότε θα διαιρεί και κάθε πολλαπλάσιο του 10 π.χ. το 20, το 30, το 40 κ.λ.π.

Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο ( ΕΚΠ ) δύο ή περισσότερων αριθμών λέγεται το μικρότερο από τα κοινά πολλαπλάσια των αριθμών αυτών.

Ευκλείδεια Διαίρεση

Όταν μας δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί έστω Δ και δ, τότε υπάρχουν δύο άλλοι φυσικοί αριθμοί π και υ, έτσι ώστε να ισχύει η ισότητα (που ονομάζεται Ταυτότητα της Ευκλείδειας Διαίρεσης ):

$\Delta = \delta \cdot \pi + \upsilon$ , με υ<δ

Ο αριθμός Δ λέγεται διαιρετέος
Ο αριθμός δ λέγεται διαιρέτης
Ο αριθμός π λέγεται πηλίκο και
Ο αριθμός υ λέγεται υπόλοιπο
Όπως είναι γνωστό ο διαιρέτης δεν μπορεί να είναι το 0.

Παράδειγμα: κάνοντας τη διαίρεση του 15 με το 2, έχουμε:

Η ταυτότητα της διαίρεσης σε αυτή τη περίπτωση είναι: $15=2 \cdot 7+1$ , όπου Δ=15, δ=2, π=7 και υ=1

• Κάθε ισότητα της μορφής $\Delta = \delta \cdot \pi + \upsilon$ δεν παριστάνει υποχρεωτικά διαίρεση. Πρέπει πάντα να ισχύει και υ<δ .
Έτσι η ισότητα $27=4 \cdot 6+3$ παριστάνει τη διαίρεση του 27 με το 4 ή του 27 με το 6.
Η ισότητα $27=3 \cdot 8+3$ , παριστάνει τη διαίρεση του 27 με το 8 και όχι του 27 με το 3 γιατί το υ=3 δεν είναι μικρότερο του δ=3.
Όπως και η ισότητα $27=2 \cdot 5+17$ δεν μπορεί να είναι ταυτότητα διαίρεσης αφού 17>2 και 17>5.
Όταν το υπόλοιπο της διαίρεσης του Δ με τον δ είναι ίσο με μηδέν, τότε η διαίρεση λέγεται τέλεια και ισχύει η ισότητα: $\Delta = \delta \cdot \pi$ .
• Στη περίπτωση της τέλειας διαίρεσης του Δ με τον δ μπορούμε να χρησιμοποιούμε και τις παρακάτω ισοδύναμες εκφράσεις:
i. Ο δ διαιρεί τον Δ
ii. Ο δ είναι διαιρέτης του Δ
iii. Ο Δ διαιρείται από τον δ
iv. Ο Δ είναι πολλαπλάσιο του δ.

Εξισώσεις 2+ βαθμού

Στην Β΄ Γυμνασίου μάθαμε έναν αλγόριθμο (μεθοδολογία) για να επιλύουμε κάθε εξίσωση πρώτου βαθμού.
Τώρα στη Τρίτη τάξη θα δούμε πως μπορούμε κάτω από ορισμένες συνθήκες να βρούμε τις λύσεις και σε άλλες εξισώσεις μεγαλύτερου βαθμού. Η μέθοδος αυτή δεν αποδίδει πάντα, γι’ αυτό αργότερα θα την συμπληρώσουμε

πως μας βοηθά η παραγοντοποίηση στην επίλυση εξισώσεων δεύτερου βαθμού ή μεγαλύτερου.

Πριν όμως από αυτό θα πρέπει να δούμε μια σημαντική ιδιότητα:

$A \cdot\ B=0\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} A=0\\ \eta\\ B=0 \end{matrix} \right.$

Η οποία μας λέει ότι ένα γινόμενο είναι ίσο με μηδέν τότε και μόνο τότε αν τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες του γινομένου είναι ίσος με μηδέν.

Να δούμε τώρα λύνοντας ένα παράδειγμα πως μπορούμε να εκμεταλλευτούμε τα παραπάνω για να βρούμε τις λύσεις σε μια εξίσωση 2ου βαθμού. Έστω λοιπόν ότι ψάχνουμε να βρούμε εκείνους τους αριθμούς που ικανοποιούν τη σχέση $x^2-x=0$ . Αυτή είναι μια δευτεροβάθμια εξίσωση την οποία και θα μετατρέψω σε γινόμενο (με κάποια από τις μεθόδους παραγοντοποίησης που μάθαμε) με σκοπό να χρησιμοποιήσω την ιδιότητα που προαναφέραμε. Έτσι έχουμε

$x^2-x=0\Leftrightarrow$

(βγάζουμε κοινό παράγοντα το x)

$x\cdot(x-1)=0$

φτάσαμε λοιπόν στο σημείο να έχουμε ένα γινόμενο που είναι ίσο με το μηδέν. Το γινόμενο αυτό αποτελείται από δύο (πρωτοβάθμιους) παράγοντες τον x και τον x-1. Σύμφωνα με την ιδιότητα που αναφέραμε παραπάνω συμπεραίνουμε ότι τουλάχιστον ένας από αυτούς τους παράγοντες θα είναι ίσος με μηδέν. Δηλαδή θα ισχύει:

$\left \{ \begin{matrix} x=0\\ \eta\\ x-1=0\Leftrightarrow x=1 \end{matrix} \right.$

Από τον τρόπο που λύθηκε το προηγούμενο παράδειγμα φαίνεται το ποια μέθοδο πρέπει ν’ ακολουθούμε για να επιλύσουμε μια εξίσωση που έχει βαθμό μεγαλύτερο του πρώτου:

[su_label style=»important»]Βήμα 1ο:[/su_label] Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο α’ μέλος έτσι ώστε στο δεύτερο μέλος να είναι ίσο με μηδέν.

[su_label style=»success»]Βήμα 2ο:[/su_label] Μετατρέπουμε σε γινόμενο το α’ μέλος.

[su_label style=»warning»]Βήμα 3ο:[/su_label] Παίρνουμε κάθε παράγοντα του γινομένου ίσο με μηδέν.

[su_label style=»info»]Βήμα 4ο:[/su_label] Λύνουμε κάθε μια από τις εξισώσεις (1ου βαθμού) που προκύπτουν από το προηγούμενο βήμα.

Φυσικοί Αριθμοί

Στο άρθρο αυτό θα ασχοληθούμε με:

την έννοια του Φυσικού αριθμού.
τους Άρτιους και τους Περιττούς αριθμούς.
τη Σύγκριση των φυσικών και
τη Στρογγυλοποίηση.

[wptabs mode=»horizontal»]
[wptabtitle]Φυσικοί[/wptabtitle]
[wptabcontent]

Η Έννοια του Φυσικού Αριθμού

Οι αριθμοί 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,…,2012,…,3150,… λέγονται φυσικοί αριθμοί.

Δηλαδή,

Φυσικός αριθμός είναι οποιοσδήποτε αριθμός μπορεί να γραφεί μόνο με τη βοήθεια των ψηφίων 0,1,2,3,4,5,6,7,8 και 9.

Για να γράψουμε έναν οποιοδήποτε φυσικό χρησιμοποιούμε τα ψηφία 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Αυτό το πετυχαίνουμε γιατί στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης η αξία ενός ψηφίου αλλάζει ανάλογα με τη θέση του μέσα στον αριθμό. Έτσι στους παρακάτω αριθμούς το ψηφίο 3 δηλώνει:

στον 123, 3 μονάδες

στον 1234, 3 δεκάδες ή 30 μονάδες (3.10 )

ενώ στον 12345, 3 εκατοντάδες ή 300 μονάδες (3.100)

Το σύνολο των Φυσικών αριθμών συμβολίζεται με το Ν (πρώτο γράμμα της λατινικής λέξης Natura που σημαίνει φύση) και χωρίζεται σε δύο υποσύνολα, το υποσύνολο των άρτιων αριθμών και το υποσύνολο των περιττών. Άρτιοι είναι οι αριθμοί που διαιρούνται (ακριβώς) με το 2 και περιττοί όλοι οι υπόλοιποι.

Άρτιοι ή ζυγοί : 0,2,4,6,8,10,…

Περιττοί ή μονοί : 1,3,5,7,9,11,…

Οι Φυσικοί αριθμοί, όπως και όλοι οι αριθμοί,χρησιμοποιούνται κυρίως για να δηλώσουν πλήθος ή σειρά . Για παράδειγμαόταν λέμε « 3 ^ο μετάλλιο στους Ολυμπιακούς του Πεκίνο για την Ελλάδα με την Πηγή Δεβετζή. Κατέκτησε την 3 ^η θέση στο τριπλούν» ο πρώτος αριθμός δηλώνει το πλήθος των μεταλλίων και ο δεύτερος τη σειρά κατάταξης. Πολλές φορές οι φυσικοί αριθμοί χρησιμοποιούνταικαι για «ταυτοποίηση» αντικειμένων όπως οι αριθμοί αστυνομικής ταυτότητας,φορολογικού μητρώου, πινακίδες αυτοκινήτων, αριθμοί τηλεφώνων κ.α..

Κάθε φυσικός έχει έναν επόμενο που προκύπτει αν αυτός αυξηθεί κατά 1 μονάδα.Εκτός από τον αριθμό 0 κάθε άλλος φυσικός έχει και έναν προηγούμενο που προκύπτει αν αυτός ελαττωθεί κατά 1 μονάδα. Για παράδειγμα ο 5 έχει προηγούμενο τον 4 κι επόμενο τον 6.

Όταν θέλουμε να αναφερθούμε σε ένα τυχαίο φυσικό αριθμό μπορούμε να τον συμβολίσουμε με ένα γράμμα και να πούμε « ο φυσικός αριθμός ν». Στην περίπτωση αυτή ο επόμενός του συμβολίζεται με ν+1, ο μεθεπόμενος με ν+2 κ.ο.κ., ενώ ο προηγούμενος του ν είναι ο ν-1.

[/wptabcontent]
[wptabtitle]Σύγκριση[/wptabtitle]
[wptabcontent]

Σύγκριση Φυσικών Αριθμών

Σύγκριση δύο αριθμών είναι η εξέτασή τους για τον καθορισμό του ποιος είναι μεγαλύτερος, ποιος μικρότερος ή αν αυτοί είναι ίσοι.

Έτσι αν έχουμε δύο φυσικούς αριθμούς έστω ν και μ θα γράφουμε:

ν=μ, αν οι αριθμοί είναι ίσοι

ν>μ, αν ο ν είναι μεγαλύτερος του μ

ν<μ, αν ο ν είναι μικρότερος του μ.

Εύκολα μπορούμε να συγκρίνουμε φυσικούς αριθμούς και να τους διατάξουμε σε αύξουσα σειρά (τοποθετήσουμε σε μια σειρά από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο). Είναι προφανές ότι ισχύει: 0<1<2<3<…<100<…<1234<…
Αυτή η ιδιότητα των φυσικών μας δίνει τη δυνατότητα να τους τοποθετήσουμε σε μια ευθεία γραμμή με τον παρακάτω τρόπο:

Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε τυχαίο σημείο που ονομάζουμε Ο κι αντιστοιχούμε σε αυτό τον αριθμό 0.

Έπειτα επιλέγουμε και πάλι τυχαία δεξιά από το Ο ένα άλλο σημείο Α στο οποίο αντιστοιχούμε τον αριθμό 1. Στη συνέχεια χρησιμοποιώντας σαν μονάδα μέτρησης το ευθύγραμμο τμήμα ΟΑ ορίζουμε διαδοχικά τμήματα ίσα με το ΟΑ, δηλαδή ΟΑ=ΑΒ=ΒΓ=ΓΔ κ.τ.λ.. Τώρα το σημείο Β παριστάνει τον αριθμό 2, το Γ τον αριθμό 3 κ.λ.π. Η ευθεία αυτή που κατασκευάσαμε ονομάζεται άξονας των φυσικών αριθμών. Κάθε φυσικός αριθμός τώρα αντιστοιχεί σε ένα και μοναδικό σημείο.][/wptabcontent]
[wptabtitle]Στρογγυλοποίηση[/wptabtitle]
[wptabcontent]

Στρογγυλοποίηση

Στρογγυλοποίηση, λέμε τη διαδικασία με την οποία αντικαθιστούμε ένα φυσικό αριθμό με κάποιον άλλο λίγο μεγαλύτερό του ή λίγο μικρότερό του.

Για τη στρογγυλοποίηση των αριθμών ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα και δεν την κάνουμε «όπως μας συμφέρει»

βήμα 1:

επιλέγουμε την τάξη του ψηφίου στην οποία θα κάνουμε την στρογγυλοποίηση (π.χ. Μονάδες, Δεκάδες κτλ)

βήμα 2:

Aν το επόμενο προς τα δεξιά ψηφίο είναι μικρό, δηλαδή 0,1,2,3 ή 4 ξαναγράφουμε τον αριθμό αντικαθιστώντας όλα τα ψηφία που βρίσκονται δεξιά από το ψηφίο στο οποίο επιθυμούμε να κάνουμε στρογγυλοποίηση με μηδενικά.

παράδειγμα: αν τον αριθμό 31812 θέλουμε να τον στρογγυλοποιήσουμε στη εκατοντάδα (ψηφίο 8), κοιτάμε το επόμενο στα δεξιά ψηφίο ( το 1 που είναι μικρό). Ξαναγράφουμε λοιπόν τον αριθμό μας αντικαθιστώντας όλα τα ψηφία που βρίσκονται δεξιότερα του 8 με μηδενικά κι έχουμε τον νέο στρογγυλοποιημένο αριθμό 31800.

Αν το επόμενο προς τα δεξιά ψηφίο είναι μεγάλο, δηλαδή 5,6,7,8 ή 9, τότε αυξάνουμε το ψηφίο στο οποίο επιθυμούμε να γίνει η στρογγυλοποίηση κατά 1 και αντικαθιστούμε όλα τα υπόλοιπα ψηφία που βρίσκονται δεξιότερα με μηδενικά.

παράδειγμα: αν τον αριθμό 31812 θέλουμε να τον στρογγυλοποιήσουμε στην χιλιάδα (ψηφίο 1), κοιτάμε το επόμενο προς τα δεξιά ψηφίο (το 8 που είναι μεγάλο). Ξαναγράφουμε λοιπόν τον αριθμό μας αυξάνοντας το 1 και κάνοντας το 2 κι όλα τα δεξιότερα ψηφία γίνονται μηδενικά. Έτσι έχουμε το νέο αριθμό 32000.

Η στρογγυλοποίηση γίνεται για πρακτικούς λόγους και η τάξη στην οποία κάνουμε στρογγυλοποίηση εξαρτάται από το τι παριστάνει ο αριθμός αυτός. Για παράδειγμα αν αναφερθούμε στον αριθμό των θεατών που παρακολούθησαν τη συναυλία της Madonna στην Αθήνα δεν θα πούμε 82.345 αλλά 82.000 θεατές(στρογγυλοποίηση στη χιλιάδα). Επίσης αν ο μέσος μισθός ενός υπαλλήλου μιας επιχείρησης είναι 1345€ μπορούμε να πούμε ότι είναι 1300€ (στρογγυλοποίηση στην εκατοντάδα). Υπάρχουν όμως και αριθμοί που δεν επιτρέπεται να στρογγυλοποιήσουμε όπως οι αριθμοί που ταυτοποιούν αντικείμενα για παράδειγμα οι ταχυδρομικοί κώδικες, αριθμοί τηλεφώνων κ.α. [/wptabcontent] [/wptabs]

Δυνάμεις Φυσικών αριθμών – Προτεραιότητα πράξεων

Ο ορισμός και οι ιδιότητες των δυνάμεων. Τι είναι η «βάση» και τι ο «εκθέτης»;
Σε περίπτωση που σε μια παράσταση έχουμε να εκτελέσουμε πολλές πράξεις, ποια από αυτές προηγείται;

Ορισμός και ιδιότητες των δυνάμεων

Πολλές φορές συναντάμε γινόμενα στα οποία όλοι οι παράγοντες είναι μεταξύ τους ίσοι. Στις περιπτώσεις αυτές χρησιμοποιήσουμε πιο εύχρηστα σύμβολα, αυτά των δυνάμεων. Έτσι συμφωνήσαμε τα εξής:
• Το γινόμενο $a \cdot a \cdot a \cdot \cdot \cdot a$ που αποτελείται από ν παράγοντες ίσους με α συμβολίζεται με α^νκαι ονομάζεται ν-οστή δύναμη του α (διαβάζεται α εις την ν ). Ο αριθμός α λέγεται βάση της δύναμης ενώ το ν ονομάζεται εκθέτης και μας δείχνει πόσες φορές θα «επαναλάβουμε» τον αριθμό α στο γινόμενο.

Ισχύει λοιπόν: $\alpha ^{ \nu }= \alpha \cdot \alpha \cdot \alpha \cdot \cdot \cdot \cdot \alpha \cdot \alpha$ ( ν παράγοντες )

Παράδειγμα: Ο συμβολισμός 3⁴(διαβάζεται 3 στην τετάρτη) και παριστάνει το γινόμενο $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$ , δηλαδή τον αριθμό 81 .
• Ειδικά η δύναμη α²(α στη δευτέρα) διαβάζεται και α στο τετράγωνο, ενώ για τη δύναμη α³(α στην τρίτη) μπορούμε να διαβάζουμε και α στον κύβο. (γιατί;)
• Η πρώτη δύναμη του αριθμού α είναι ο ίδιος ο αριθμός α, δηλαδή ισχύει: α¹ = α και προφανώς ισχύει ότι: 1^ν = 1 .
• Για τις δυνάμεις του 10 έχουμε τον παρακάτω κανόνα:

10¹=10, 10²=100, 10³=1000, …, 10^ν=1000…00 (ν μηδενικά) .

Προτεραιότητα των πράξεων

Στον υπολογισμό αριθμητικών παραστάσεων η σειρά με την οποία εκτελούνται οι πράξεις είναι η παρακάτω:

1. Δυνάμεις
2. Πολλαπλασιασμοί και Διαιρέσεις	(όποιο συναντάμε πρώτο)
3. Προσθέσεις κι Αφαιρέσεις	(όποιο συναντάμε πρώτο)

• Στην περίπτωση που στην αριθμητική παράσταση υπάρχουν παρενθέσεις, ξεκινάμε τις πράξεις πρώτα μέσα από τις παρενθέσεις πάντα όμως με την παραπάνω σειρά.

Πρόσθεση, Αφαίρεση και Πολλαπλασιασμός Φυσικών

Οι ιδιότητες της πρόσθεσης, της αφαίρεσης και του πολλαπλασιασμού στο σύνολο των Φυσικών Αριθμών. Παρουσιάζεται και η πολλή σημαντική επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση και την αφαίρεση.

Πρόσθεση Φυσικών

Πρόσθεση είναι η πράξη με την οποία από δύο φυσικούς αριθμούς α και β (που παριστάνουν πλήθος όμοιων αντικειμένων) βρίσκουμε ένα τρίτο φυσικό γ που είναι το άθροισμά τους (και παριστάνει το συνολικό πλήθος των αντικειμένων)

Οι αριθμοί α και β λέγονται προσθετέοι, ένω ο γ λέγεται άθροισμα των α και β και μπορεί να συμβολιστεί και ως α+β,δηλαδή ισχύει α+β=γ.

Ιδιότητες της πρόσθεσης

α+β=β+α	Μπορούμε να αλλάξουμε τη σειρά των δύο προσθετέων σ’ ένα άθροισμα	Αντιμεταθετική
α+(β+γ)=(α+β)+γ	Μπορούμε να αντικαταστήσουμε δύο προσθετέους με το άθροισμά τους	Προσεταιριστική
α+0=α	Το 0 όταν προστεθεί σε οποιοδήποτε φυσικό αριθμό δεν τον μεταβάλλει	Ουδέτερο στοιχείο

Η αντιμεταθετική ιδιότητα σε συνδυασμό με την προσεταιριστική μας δίνουν το δικαίωμα να προσθέτουμε τους φυσικούς αριθμούς με οποιαδήποτε σειρά μας «βολεύει». Έτσι για την παρακάτω πρόσθεση θα μπορούσαμε να κάνουμε τα εξής:

45+13+8+22+55+87+70=

(45+55)+(13+87)+(8+22+70)=

100+100+100=300.

Αφαίρεση Φυσικών

Αφαίρεση δύο αριθμών μ (=μειωτέος) και α (=αφαιρετέος) είναι η πράξη με την οποία βρίσκουμε ένα άλλο αριθμό δ (=διαφορά) που αν προστεθεί στον α μας δίνει τον μ.

Δηλαδή:

μ – α = δ μόνο αν ισχύει δ+α=μ, με μ>α

Προσοχή, στην αφαίρεση των φυσικών αριθμών δεν επιτρέπεται η αλλαγή στη σειρά τους διότι η πράξη δεν μπορεί να εκτελεστεί.

Δηλαδή εδώ δεν ισχύει ούτε η αντιμεταθετική ιδιότητα ούτε η προσεταιριστική.

Πολλαπλασιασμός Φυσικών

Πολλαπλασιασμός, είναι η πράξη που από δύο φυσικούς αριθμούς α και β, βρίσκουμε ένα τρίτο φυσικό αριθμό γ που είναι το γινόμενό τους και συμβολίζεται με $\alpha\cdot\beta$ Δηλαδή: $\gamma=\alpha\cdot\beta$

Οι αριθμοί α και β λέγονται παράγοντες του γινομένου.

Ιδιότητες του πολλαπλασιασμού

$\alpha\cdot\beta=\beta\cdot\alpha$	Μπορούμε να αλλάξουμε τη σειρά των δύο παραγόντων σ’ ένα γινόμενο	Αντιμεταθετική
$\alpha \cdot \left( \beta \cdot \gamma \right)=\left( \alpha \cdot \beta \right) \cdot \gamma$	Μπορούμε να αντικαταστήσουμε δύο παράγοντες με το γινόμενό τους	Προσεταιριστική
$\alpha \cdot 1= \alpha$	Το 1 όταν πολλαπλασιαστεί με οποιοδήποτε φυσικό αριθμό δεν τον μεταβάλλει	Ουδέτερο στοιχείο
$\alpha \cdot 0=0$	Ότι πολλαπλασιάζεται με το 0 μηδενίζεται	Απορροφητικό στοιχείο

Επιμεριστική Ιδιότητα

Επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς τη πρόσθεση και την αφαίρεση:
Μια πολλή σημαντική ιδιότητα που συνδέει τον πολλαπλασιασμό με την πρόσθεση (και την αφαίρεση). Η ιδιότητα αυτή μας δίνει το δικαίωμα να υπολογίζουμε την τιμή κάποιας παράστασης με δύο τρόπους.
Επιμεριστική ιδιότητα:

$\alpha \cdot \left( \beta + \gamma \right)= \alpha \cdot \beta + \alpha \cdot \gamma$

$\alpha \cdot \left( \beta - \gamma \right)= \alpha \cdot \beta - \alpha \cdot \gamma$