Άλγεβρα Α΄ Λυκείου – Σελίδα 2

Απαλλαγή από τις Απόλυτες Τιμές

Στο άρθρο αυτό θα δούμε με τη βοήθεια μιας άσκησης τι πρέπει να κάνουμε για να απαλλαγούμε από τις απόλυτες τιμές όταν αυτό είναι απαραίτητο.

Κατ΄αρχάς ας θυμηθούμε πως ορίζεται η απόλυτη τιμή ενός αριθμού:
$|a|=a$ αν a>0
$|a|=0$ αν a=0
$|a|=-a$ αν a<0

Βλέπουμε λοιπόν ότι για να απαλλαγούμε από τα απόλυτα πρέπει να γνωρίζουμε αν το περιεχόμενο της απόλυτης τιμής είναι θετικό, μηδέν ή αρνητικό γιατί σε κάθε περίπτωση ενεργούμε διαφορετικά.

Για παράδειγμα, αν x<3 τότε $|x-3|=-(x-3)=3-x$ κι αυτό γιατί; γιατί μας έχουν δώσει ότι x<3 άρα θα είναι x-3<3-3 $\Leftrightarrow$ x-3<0 (αφαιρέσαμε κι από τα δυο μέλη το 3 ώστε να δημιουργήσουμε στη δοθείσα ανισότητα το περιεχόμενο του απολύτου).

Για να δούμε τώρα μια άσκηση πάνω στο συγκεκριμένο θέμα. Continue reading «Απαλλαγή από τις Απόλυτες Τιμές»

Προσδιορισμός του Συντελεστή Διεύθυνσης της Ευθείας

Δείτε με ποιους τρόπους μπορούμε να υπολογίσουμε το συντελεστή διεύθυνσης μιας ευθείας ανάλογα με τα δεδομένα της άσκησης. Το άρθρο απευθύνεται σε μαθητές της Β΄ Λυκείου και κυρίως σε αυτούς που παρακολουθούν την θετική ή την τεχνολογική κατεύθυνση.

Σε προηγούμενο άρθρο είδαμε πως μπορούμε να βρούμε την εξίσωση μιας ευθείας. Είχαμε αναφέρει λοιπόν ότι πρέπει να μας έχουν δοθεί οπωσδήποτε ο συντελεστής διεύθυνσης (λ) κι ένα σημείο Α(χ_Α,ψ_Α) της ευθείας. Μάλιστα είχαμε λύσει κι ένα παράδειγμα όπου και τα δύο (συντελεστής και σημείο) δίνονταν άμεσα. Σήμερα θα δούμε με ποιους τρόπους θα μπορούσαν να μας δώσουν (έμμεσα) το συντελεστή διεύθυνσης.

Μέσω της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία με τον άξονα χ΄χ:
Αν η ευθεία (ε) η οποία ζητάμε σχηματίζει γωνία ω με τον άξονα χ΄χ, τότε ισχύει: λ_ε=εφω
Μέσω δύο σημείων Α και Β από τα οποία διέρχεται η ευθεία:
Έστω ότι η ευθεία (ε) που θέλουμε να βρούμε διέρχεται από τα σημεία Α(x_A,y_Α) και Β(x_Β,y_Β), τότε για το συντελεστή διεύθυνσης λ_ετης ευθείας (ε) ισχύει:
$\lambda_\epsilon=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ (μόνο για το Λύκειο)
Μέσω της παραλληλίας της ζητούμενης ευθείας με μια άλλη ευθεία που μας έχουν δώσει:
Αν η ευθεία (ε) που ψάχνουμε είναι παράλληλη με μια ευθεία (δ) μας έχουν δώσει, τότε ισχύει: λ_ε = λ_δ.
Μέσω της καθετότητας της ζητούμενης ευθείας με άλλη ευθεία που μας έχει δοθεί:
Αν η ζητούμενη ευθεία (ε) είναι κάθετη σε δοσμένη ευθεία (δ), τότε ισχύει: $\lambda_\epsilon\cdot\lambda_\delta=-1$
Μέσω της παραλληλίας της ζητούμενης ευθείας με ένα διάνυσμα που μας έχουν δώσει (Β΄ Λυκείου Κατεύθυνση):
Αν η ευθεία που αναζητάμε είναι παράλληλη με ένα διάνυσμα που μας έχουν δώσει με συντελεστή λ_δ, τότε ισχύει: λ_ε = λ_δ.
Μέσω της καθετότητας της ζητούμενης ευθείας με ένα διάνυσμα που μας έχει δοθεί (Β΄ Λυκείου κατεύθυνση):
Αν η ευθεία μας είναι κάθετη σε κάποιο διάνυσμα που έχει συντελεστή διεύθυνσης λ_δ, τότε θα ισχύει: $\lambda_\epsilon\cdot\lambda_\delta=-1$ .

Συγκεντρώνοντας όλα τα παραπάνω σε ένα πίνακα έχουμε:

Eυθεία (ε) με…	Υπολογισμός του λ_ε
(ε) και χ΄χ να σχηματίζουν γωνία ω	λ_ε = εφω
(ε) να διέρχεται από Α(x_A,y_A) και Β(x_B,Y_B)	$\lambda_\epsilon=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$
(ε) παράλληλη προς την ευθεία (δ)	λ_ε = λ_δ
(ε) κάθετη με την ευθεία (δ)	$\lambda_\epsilon\cdot\lambda_\delta=-1$
(ε) παράλληλη με το διάνυσμα	λ_ε = λ_δ
(ε) κάθετη με το διάνυσμα	$\lambda_\epsilon\cdot\lambda_\delta=-1$

Και για να ολοκληρώσουμε αυτά που είχαμε πει για τον προσδιορισμό της εξίσωσης μιας ευθείας θα τελειώσουμε βλέποντας με ποιο άλλο τρόπο θα μπορούσαν να μας δώσουν ένα σημείο από το οποίο περνά η ευθεία. Αν λοιπόν δεν δοθεί άμεσα θα μπορούσε να δοθεί ως τομή δύο άλλων ευθειών. Στην περίπτωση αυτή για να βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου που χρειαζόμαστε πρέπει να λύσουμε το σύστημα αυτών των δύο εξισώσεων (αυτό θα μπορούσε να γίνει μόνο για τις Γ΄ Γυμνασίου, Α΄ Λυκείου και στην Κατεύθυνση της Β΄ Λυκείου. Στη Β΄ Γυμνασίου το σημείο θα δίνεται άμεσα.

Επειδή το άρθρο είναι σχετικά μεγάλο τα απαραίτητα παραδείγματα θα τα λύσουμε στο επόμενο.

Συνεχίζεται…>>>

Η εξίσωση της Ευθείας

Η εξίσωση ψ=λχ+β είναι γνωστό ότι παριστάνει μια ευθεία. Όμως ποιος ο ρόλος του λ και ποιος του β στην εξίσωση αυτή;

Είναι γνωστό ότι η αλγεβρική μορφή της εξίσωσης μιας ευθείας είναι η

Γραφική παράσταση — Κάντε κλικ στην εικόνα να δείτε το ρόλο των λ και β

$y=\lambda\cdot\chi+\beta$ $(\epsilon)$ , όπου

ο (πραγματικός) αριθμός λ ονομάζεται «συντελεστής διεύθυνσης» και εκφράζει την κλίση της ευθείας σε σχέση με τονημιάξονα Οχ και
ο αριθμός β δηλώνει τη θέση πάνω στον άξονα ψ΄ψ από την οποία διέρχεται η ευθεία.

Αυτό με το οποίο θα ασχοληθούμε σήμερα είναι το πως μπορούμε να βρούμε την εξίσωση μιας ευθείας, δηλαδή με άλλα λόγια να υπολογίσουμε τους αριθμούς λ και β.

Για να μπορέσουμε να βρούμε την εξίσωση θα πρέπει οπωσδήποτε να γνωρίζουμε (να μας έχουν δώσει δηλαδή)

το συντελεστή διεύθυνσης (λ) και

ένα σημείο έστω Α(χ_Α,ψ_Α) από το οποίο διέρχεται η ευθεία που ψάχνουμε.

Για παράδειγμα ας βρούμε την ευθεία που έχει συντελεστή διεύθυνσης 2 και διέρχεται από το σημείο Α(1,3).

Λύση:

Η εξίσωση της ευθείας $(\epsilon)$ θα έχει τη μορφή:

$y=\lambda\cdot\chi+\beta$

όμως μας έχουν δώσει ότι το λ=2,

$y=2\cdot\chi+\beta$

Για να δούμε τώρα πως θα υπολογίσουμε το β.

Έχουμε αναφέρει σε προηγούμενο άρθρο ότι,

«Όταν η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης διέρχεται από κάποιο σημείο, τότε οι συντεταγμένες του σημείου επαληθεύουν την εξίσωση (τον τύπο) της συνάρτησης αυτής»

κι έτσι

[warning]Όταν μας δίνουν εξίσωση ευθείας και σημείο από το οποίο διέρχεται η ευθεία αυτή πάντα αντικαθιστούμε τις συντεταγμένες του σημείου στην εξίσωση της ευθείας.[/warning]

Ας το εφαρμόσουμε στην συγκεκριμένη περίπτωση να δούμε. Αντικαθιστούμε λοιπόν το χ με τον αριθμό 1 και το ψ με τον αριθμό 3 κι έχουμε:

$y=2\cdot\chi+\beta$ ,για χ=1 και y=3

$3=2\cdot1+\beta$

προέκυψε λοιπόν μια εξίσωση με μοναδικό άγνωστο το β, το οποίο και υπολογίζουμε

$3-2=\beta\Leftrightarrow\beta=1$

Βρήκαμε λοιπόν ότι η ευθεία με συντελεστή διεύθυνσης λ=2 που διέρχεται από το σημείο Α(1,3) είναι η

y=2x+1.

Σχόλια:

Θυμηθείτε τι έχουμε αναφέρει προηγούμενα » όσα πράγματα μας ζητούν τόσα πρέπει και να μας δίνουν γιαυτό αναζητήστε τα στην εκφώνηση της άσκησης.

[notice]

Tip 1:

Πλήθος Ζητούμενων = Πλήθος Δεδομένων

[/notice]

Αυτή την άσκηση είμαι σίγουρος ότι θα την χαρακτηρίσετε ως εύκολη. Σας πληροφορώ όμως ότι είναι η μοναδική κατηγορία ασκήσεων στην αναζήτηση της εξίσωσης μιας ευθείας. Οποιαδήποτε άλλη κι αν δείτε δεν έχει τίποτα παραπάνω τίποτα λιγότερο. Αυτό που κάνει κάποιες ασκήσεις της κατηγορίας αυτής πιο σύνθετες είναι ο τρόπος με τον οποίο δίνονται τα απαραίτητα στοιχεία δηλαδή ο συντελεστής διεύθυνσης και το σημείο.
Ακριβώς στο επόμενο άρθρο μας θα δούμε αυτό ακριβώς το «παιχνίδι», με ποιους τρόπους είναι δυνατό να δοθεί (έμμεσα) το λ και με ποιους τρόπους το σημείο.

[important]

Tip 2:

Για να βρούμε την εξίσωση μιας ευθείας πρέπει απαραίτητα να μας δίνουν (άμεσα ή έμμεσα)

[gn_list style=»guard»]

το συντελεστή διεύθυνσης
ένα σημείο της.

[/gn_list]

[/important]

Μέχρι τότε μπορείτε εσείς να δοκιμάσετε να λύσετε την παρακάτω άσκηση και να μας στείλετε την απάντηση (στα σχόλια του άρθρου) καθώς κι οποιαδήποτε απορία έχετε, ή κάποιο σχόλιο που θέλετε να κάνετε.

Μπορείτε φυσικά να επικοινωνήσετε και με e-mail.

Άσκηση:

Να βρεθεί η ευθεία (3) που έχει συντελεστή διεύθυνσης διπλάσιο από τον συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας (δ):2ψ+4χ=3 αν γνωρίζετε ότι το σημείο Α(-3,8) είναι σημείο της (ε).

Συνεχίζεται…>>>