pdouligeris – Σελίδα 15

Ασκήσεις Μιγαδικών

Λυμένες βασικές ασκήσεις στους μιγαδικούς αριθμούς χωρισμένες σε κατηγορίες για να αντιληφθούμε καλύτερα τον τρόπο που αντιμετωπίζουμε τισ ασκήσεις των μιγαδικών.

ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

Μετά τη θεωρία που ολοκληρώσαμε στο προηγούμενο άρθρο ήρθε η ώρα να λύσουμε μερικές ασκήσεις για να δούμε πως μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτά που μάθαμε

[wptabs mode=»horizontal»]

[wptabtitle]Δυνάμεις του i[/wptabtitle] [wptabcontent]

Άσκηση1:

Να υπολογίσετε τις παραστάσεις:

$i^6+i^{16}+i^{26}+i^{36}+i^{46}+i^{56}$
$\frac{1}{i^{11}}+\frac{1}{i^{41}}+\frac{1}{i^{75}}+\frac{1}{i^{1023}}$

Λύση:

Για τις δυνάμεις του i πρέπει να γνωρίζουμε ότι:
i⁰=1, i¹=i, i²= -1,i³= -i, i⁴=1 και μάλιστα η τελευταία ισότητα θα έλεγα ότι είναι η πιο σημαντική αφού μας επιτρέπει να υπολογίζουμε μεγάλες δυνάμεις του i και αυτό γιατί αν έχουμε να υπολογίσουμε το i^Δδιαιρούμαι το Δ με το 4 κι έστω ότι βρίσκουμε πηλίκο π και υπόλοιπο υ, τότε σύμφωνα με την ταυτότητα της διαίρεσης θα έχουμε Δ=4π+υ οπότε θα ισχύει i^Δ=i^4π+υ=i^4π.i^υ=1^.i^υ=i^υ. Πράγμα που σημαίνει τελικά ότι όταν έχουμε να υπολογίσουμε δυνάμεις του i που ο εκθέτης είναι μεγαλύτερος του 4, διαιρούμαι τον εκθέτη με το 4 και κρατάμε μόνο το υπόλοιπο. Για παράδειγμα το i¹⁰=i²= -1 αφού η διαίρεση του 10 με το 4 αφήνει υπόλοιπο 2.
Πάμε τώρα στην άσκησή μας

i⁶=i²= -1	αφού η διαίρεση του 6 με το 4 αφήνει υπόλοιπο 2
i¹⁶=i⁰=1	αφού η διαίρεση του 16 με το 4 αφήνει υπόλοιπο 0
i²⁶=i^{2= -1}	αφού η διαίρεση του 26 με το 4 αφήνει υπόλοιπο 2
i³⁶=i⁰=1	αφού η διαίρεση του 36 με το 4 αφήνει υπόλοιπο 0
i⁴⁶=i²= -1	αφού η διαίρεση του 46 με το 4 αφήνει υπόλοιπο 2
i⁵⁶=i⁰=1	αφού η διαίρεση του 56 με το 4 αφήνει υπόλοιπο 0
$i^6+i^{16}+i^{26}+i^{36}+i^{46}+i^{56}=$ $-1+1-1+1-1+1=0$

i¹¹=i³= -i	αφού η διαίρεση του 11 με το 4 αφήνει υπόλοιπο 3
i⁴¹=i¹=i	αφού η διαίρεση του 41 με το 4 αφήνει υπόλοιπο 1
i⁷⁵=i³ -i	αφού η διαίρεση του 75 με το 4 αφήνει υπόλοιπο 3
i¹⁰²³=i³= -i	αφού η διαίρεση του 1023 με το 4 αφήνει υπόλοιπο 3
$\frac{1}{i^{11}}+\frac{1}{i^{41}}+\frac{1}{i^{75}}+\frac{1}{i^{1023}}=$ $\frac{1}{-i}+\frac{1}{i}+\frac{1}{-i}+\frac{1}{-i}=-\frac{2}{i}$

Άσκηση2:

Να αποδείξετε ότι $(1+i)^{20}=(1-i)^{20}$

Λύση:

Το να υπολογίσουμε το (1+i)²⁰ απαιτεί χρήση ταυτότητας που δεν γνωρίζουμε, κάνουμε εμείς λοιπόν την ταυτότητα που ξέρουμε ( άθροισμα στο τετράγωνο) ελπίζοντας να βγει κάτι χρήσιμο (που είναι σίγουρο ότι θα βγει)

$(1+i)^2=1^2+2i+i^2=1+2i-1=2i$

άρα

$(1+i)^{20}=(1+i)^{2\cdot 10}=((1+i)^2)^{10}=(2i)^{10}=$

$=2^{10}\cdot i^{10}=2^{10}\cdot i^2=-2^{10}$

Όμοια

$(1-i)^2=1^2-2i+i^2=1-2i-1=-2i$

άρα

$(1-i)^{20}=(1-i)^{2\cdot 10}=((1-i)^2)^{10}=(-2i)^{10}=$

$=2^{10}\cdot i^{10}=2^{10}\cdot i^2=-2^{10}$

κι έτσι δείξαμε ότι $(1+i)^{20}=(1-i)^{20}$

Η μεθοδολογία εδώ είναι: για να υπολογίσουμε μεγάλες δυνάμεις ενός μιγαδικού z, υπολογίζουμε πρώτα μικρές δυνάμεις z², z³, … μέχρι να πετύχουμε κάποια δύναμη του z που να είναι πραγματικός ή φανταστικός αριθμός. Στη συνέχεια εκμεταλλευόμαστε αυτό το αποτέλεσμα ώστε να βρούμε τον z^ν.

κάντε κλικ εδώ για να επιστρέψετε στην κορυφή και μετά κλικ στη καρτέλα «Έννοια Μιγαδικού – Πράξεις» για να διαβάσετε τη συνέχεια

[/wptabcontent][wptabtitle]Έννοια του μιγαδικού – Πράξεις[/wptabtitle]

[wptabcontent]

Άσκηση1:

Δίνεται ο μιγαδικός $z=6i-(3-4i)x-3yi-(3i-2)x+(4-2yi)$ με $x,y \in \mathbb{R}$ . Να γράψετε τον z στη μορφή a+bi και στη συνέχεια να βρείτε:

Το x ώστε ο z να είναι φανταστικός
Τη σχέση που συνδέει τα x και y ώστε ο z να είναι πραγματικός
Τα x και y ώστε να ισχύει z=0

Λύση:

Κατ’ αρχάς απαλλασσόμαστε από τις παρενθέσεις και συμμαζεύουμε (τους πραγματικούς με τους πραγματικούς και τους φανταστικούς με τους φανταστικούς).

$z=6i-(3-4i)x-3yi-(3i-2)x+(4-2yi)$

$z=6i-3x+4xi-3yi-3xi+2x+4-2yi$

οπότε

$(4-x)+(x-5y+6)i$

Για να ισχύει $z\in \mathbb{I}$ πρέπει το πραγματικό του μέρος να είναι ίσο με μηδέν, δηλαδή 4 – x=0, άρα x=4
Για να είναι ο z πραγματικός πρέπει το φανταστικό του κομμάτι να είναι 0. Πρέπει δηλαδή να ισχύει x – 5y+6=0 κι αυτή είναι η σχέση που συνδέει τα x και y.
Για να έχουμε τώρα z=0 θα πρέπει και το φανταστικό αλλά και το πραγματικό μέρος του z να είναι ίσο με 0. Δηλαδή,
$z=0\Leftrightarrow x=4 \: \kappa\alpha\iota \: x-5y+6=0 \Leftrightarrow$

$x=4 \: \kappa\alpha\iota \: 4-5y+6=0$

άρα $x=4$ και $y=2$

Άσκηση2:

Αν $z=\frac{5-9i}{7+4i}$ και $w=\frac{5+9i}{7-4i}$ να δείξετε ότι ο z+w είναι πραγματικός και ότι ο z – w είναι φανταστικός.

Λύση:

Πρώτα θα φέρουμε τους μιγαδικούς στη μορφή a+bi κι επειδή είναι πηλίκο πολ/ζουμε αριθμητή και παρονομαστή με τον συζυγή του παρονομαστή. Παράλληλα για να γλυτώσουμε πράξεις καλό είναι να θυμηθούμε ότι αν z=a+bi, τότε $z \cdot \overline{z}=|z|^2=a^2+b^2$ . Έχουμε λοιπόν,

$z=\frac{5-9i}{7+4i}=\frac{(5-9i)(7-4i)}{(7+4i)(7-4i)}$

$z=\frac{35-20i-63i+36i^2}{7^2+4^2}$

$z=\frac{(35-36)+(-20-63)i}{65}$

$z=-\frac{1}{65}-\frac{83}{65}i$

Όμοια

$w=\frac{(5+9i)(7+4i)}{(7-4i)(7+4i)}$

$w=\frac{35+20i+63i+36i^2}{65}$

$w=\frac{(35-36)+(20+63)i}{65}=-\frac{1}{65}+\frac{83}{65}i$

Επομένως πράγματι ισχύουν $z+w=(-\frac{1}{65}-\frac{83}{65}i)+(-\frac{1}{65}+\frac{83}{65}i)=-\frac{2}{65}$ που είναι πραγματικός και $z-w=(-\frac{1}{65}-\frac{83}{65}i)-(-\frac{1}{65}+\frac{83}{65}i)=-2\frac{83}{65}i$ που είναι φανταστικός.

κάντε κλικ εδώ για να επιστρέψετε στην κορυφή και μετά κλικ στη καρτέλα «Συζυγής και Μέτρο» για να διαβάσετε τη συνέχεια

[/wptabcontent][wptabtitle]Συζυγής και Μέτρο Μιγαδικού[/wptabtitle]

[wptabcontent]

Άσκηση1:

(α) Να βρείτε τους μιγαδικούς που επαληθεύουν την ισότητα $z \cdot \overline{z} +(z-\overline{z})=3+2i$

(β) Να βρεθεί ο μιγαδικός για τον οποίο ισχύει $\overline{z}=z^2$

Λύση:

Στις περισσότερες ασκήσεις θέτουμε z=x+yi και προσπαθούμε από τη σχέση που μας έχουν δώσει να υπολογίσουμε τα x και y οπότε θα μάθουμε και ποιος είναι ο z. Το ίδιο θα κάνουμε κι εδώ.

(α) Έστω λοιπόν ότι ο z=x+yi, τότε θα έχουμε

$z \cdot \overline{z}=|z|^2=x^2+y^2$

και

$z-\overline{z}=2yi$

έτσι η σχέση

$z \cdot \overline{z} +(z-\overline{z})=3+2i$

γίνεται

$x^2+y^2+2yi=3+2i$

από την οποία παίρνουμε δύο ισότητες (γιατί για να είναι ίσοι δύο μιγαδικοί πρέπει να έχουν ίσα και τα πραγματικά τους μέρη αλλά και τα φανταστικά τους) τις:

(σχέση 1) $x^2+y^2=3$

(σχέση 2) $2y=2$

από την οποία προκύπτει y=1. Την τιμή αυτή του y αντικαθιστούμε στην σχέση 1 που μας δίνει

$x^2+1^2=3 \Leftrightarrow x^2=2$

δηλαδή

$x=-\sqrt{2}$

$x=\sqrt{2}$

. Τελικά οι λύσεις που βρήκαμε από τη λύση του παραπάνω συστήματος είναι

$(x,y)=(-\sqrt{2},1)$

$(x,y)=(\sqrt{2},1)$

επομένως οι μιγαδικοί αριθμοί που ψάχναμε είναι οι

$z_1=-\sqrt{2}+i$

$z_2=\sqrt{2}+i$

(β) Κι εδώ θέτουμε z=x+yi κι αναζητούμε τα x και y ώστε να ισχύει η

$\overline{z}=z^2\Leftrightarrow$

$x-yi=(x+yi)^2 \Leftrightarrow$

$x-yi=x^2+2xyi+y^2i^2\Leftrightarrow$

$x-yi=(x^2-y^2)+2xyi$

αυτό όμως μπορεί να ισχύει μόνο αν ισχύουν ταυτόχρονα οι σχέσεις:

(σχέση 1) $x^2-y^2=x \Leftrightarrow x^2-x=y^2\Leftrightarrow x(x-1)=y^2$

(σχέση 2) $2xy=-y \Leftrightarrow 2xy+y=0 \Leftrightarrow y(2x+1)=0$

η σχέση 2 μας δίνει δύο λύσεις τις

$y=0$ , η οποία αν αντικατασταθεί στην σχέση 1 δίνει
$x(x-1)=0$

δηλαδή
$x=0$

ή
$x=1$

άρα
$z_1=0+0i=0$

ή
$z_2=1+0i=1$
$2x+1=0\Leftrightarrow x=-\frac{1}{2}$ , η οποία αν αντικατασταθεί στην σχέση 1 δίνει
$(-\frac{1}{2})^2-(-\frac{1}{2})=y^2\Leftrightarrow y^2=\frac{3}{4}$

δηλαδή
$y=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

ή
$y=\frac{\sqrt{3}}{2}$

άρα
$z_3=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$

ή
$z_4=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$

Άσκηση2:

Να βρεθεί το μέτρο του μιγαδικού $z=( \frac{2+i}{1-3i} ) ^2$

Λύση:

Εδώ δεν συμφέρει να κάνουμε πράξεις για να φέρουμε τον z στη μορφή a+bi αλλά θα πρέπει να εκμεταλλευτούμε τις ιδιότητες του μέτρου:

$|z|=\left|\left( \frac{2+i}{1-3i}\right) ^2\right|$

$|z|=\left( \left|\frac{2+i}{1-3i}\right|\right) ^2$

$|z|=\left( \frac{|2+i|}{|1-3i|} \right) ^2$

$|z|=\left( \frac{2^2+1^2}{1^2+3^2} \right) ^2=\left(\frac{5}{10}\right)^2=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}$

Άσκηση3:

Αν για τον μιγαδικό z ισχύει |z+9|=3|z+1|, αποδείξτε ότι |z|=3

Λύση:

1ος τρόπος:
Μια ασφαλής αλλά κουραστική μέθοδος είναι να θέσουμε $z=x+yi$ , οπότε

$z+9=(x+9)+yi$

και
$|z+9|^2=(x+9)^2+y^2=x^2+18x+81+y^2$

$z+1=(x+1)+yi$

και
$|z+1|^2=(x+1)^2 +y^2=x^2+2x+1+y^2$

άρα η σχέση που μας δώσανε γίνεται
$|z+9|^2=9|z+1|^2$

$x^2+18x+81+y^2=9x^2+18x+9+9y^2\Leftrightarrow$

$8x^2+8y^2=72\Leftrightarrow$

$x^2+y^2=9\Leftrightarrow|z|^2=9\Leftrightarrow|z|=3$
2ος τρόπος:
Η καλύτερη μέθοδος είναι να δουλέψουμε με τις ιδιότητες ως εξής:

$|z+9|=3|z+1|\Leftrightarrow$

$|z+9|^2=9|z+1|^2\Leftrightarrow$

$(z+9)\overline{(z+9)}=9(z+1)\overline{(z+1)}\Leftrightarrow$

$(z+9)(\overline{z}+9)=9(z+1)(\overline{z}+1)\Leftrightarrow$

$z\overline{z}+9z+9\overline{z}+81=9(z\overline{z}+z+\overline{z}+1)\Leftrightarrow$

$z\overline{z}+9z+9\overline{z}+81=9z\overline{z}+9z+9\overline{z}+9)\Leftrightarrow$

$8z \overline{z}=72\Leftrightarrow z\overline{z}=9\Leftrightarrow |z|^2=9 \Leftrightarrow |z|=3$

κάντε κλικ εδώ για να επιστρέψετε στην κορυφή

[/wptabcontent] [/wptabs]

Μια τεράστια συλλογή ασκήσεων και σημειώσεων για τους μιγαδικούς θα βρείτε εδώ

Μιγαδικοί με το μέτρο

Τι εκφράζει το μέτρο ενός μιγαδικού;
Πως μπορούμε να το υπολογίσουμε;
Ποιες οι ιδιότητες του μέτρου;

Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού — Το μέτρο ενός μιγαδικού είναι η απόστασή του μιγαδικού από την αρχή των αξόνων

Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ

Εισαγωγή – Ορισμός

Σε προηγούμενο άρθρο, που κάναμε την εισαγωγή στους μιγαδικούς αριθμούς, είδαμε ότι ένας μιγαδικός αριθμός μπορεί να παρασταθεί στο μιγαδικό επίπεδο και σαν ένα διάνυσμα (μπορείτε να ρίξετε μια ματιά εδώ να το θυμηθείτε). Αυτό μας δίνει το «δικαίωμα» να ορίσουμε και το μέτρο ενός μιγαδικού ακριβώς όπως είχαμε ορίσει το μέτρο ενός διανύσματος στη Β΄Λυκείου. Δηλαδή, το μέτρο ενός μιγαδικού $z=a+bi$ είναι το μήκος του διανύσματος $\overrightarrow{OM}$ όπου Ο η αρχή των αξόνων και Μ το σημείο με συντεταγμένες Μ(a,b). Έτσι λοιπόν μπορούμε εύκολα με το Πυθαγόρειο θεώρημα να καταλήξουμε στο:

αν $z=a+bi$ , τότε το μέτρο του z (συμβολίζεται $|z|$ ) και είναι ίσο με
$\left| z \right|=\left| a+bi\right|=\sqrt{a^2+b^2}$

Παρατηρήσεις

Το μέτρο ενός μιγαδικού δεν είναι μιγαδικός αλλά πραγματικός αριθμός και μάλιστα μη αρνητικός, δηλαδή
$\left | z \right |\geq0$
Στην περίπτωση που ο z είναι πραγματικός η έννοια του μέτρου ταυτίζεται με την έννοια της απόλυτης τιμής.
Το μέτρο ενός μιγαδικού είναι ίσο με το μέτρο του συζυγούς του (δείτε εδώ τι είναι ο συζυγής) και αυτό γιατί αν z=a+bi, τότε ισχύει $\left | \overline{z} \right |=\left|a-bi\right|=\sqrt{a^2+\left(-b\right)^2}=\sqrt{a^2+b^2}=\left|z\right|$ άρα $\left|\overline{z}\right|=\left|z\right|$
Συνήθως στις ασκήσεις για να «γλιτώνουμε την ταλαιπωρία» της τετραγωνικής ρίζας αντί για το μέτρο του z υπολογίζουμε το |z|²=a²+b² και μάλιστα ισχύει:
$\left|z\right|^2=z \cdot \overline{z}$

και αυτό γιατί
$z\cdot \overline{z}=(a+bi)(a-bi)=a^2-b^2i^2=a^2+b^2=|z|^2$

(θυμίζουμε i²=-1)
To μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών είναι ίσο με την απόσταση των εικόνων τους. Δηλαδή η παράσταση |z-w| γεωμετρικά δηλώνει την απόσταση των μιγαδικών z και w στο μιγαδικό επίπεδο.

Ας δούμε τώρα όλες τις ιδιότητες του μέτρου

Ιδιότητες

αν z=a+bi και w=x+yi, τότε

ComplexGraph — το μέτρο του z είναι ίσο με το μέτρο του συζυγούς του

$|z|=\sqrt{a^2+b^2}\geq0$

$|\overline{z}|=|z|=|-z|=|-\overline{z}|$

$|z|^2=z \cdot \overline{z}$

$|z \cdot w|=|z| \cdot |w|$

$\left|\frac{z}{w}\right|=\frac{ \left|z\right|}{ \left|w\right|}$

$|z^{\nu}|=|z|^{\nu}$

Αυτά τα λίγα είχαμε να πούμε για το μέτρο του μιγαδικού θα ακολουθήσει άρθρο με λυμένα παραδείγματα (update: κάντε κλικ εδώ να δείτε τα λυμένα παραδείγματα) ώστε να μάθουμε να χρησιμοποιούμαι τις παραπάνω ιδιότητες καθώς και ένα ακόμη με την πολύ σημαντική ενότητα των γεωμετρικών τόπων. Γι’ αυτό μείνετε «συντονισμένοι».

Μάθε τα όριά σου και … ξεπέρασέ τα !!!

Πως μπορούμε να υπολογίζουμε το όριο μιας συνάρτησης όταν το χ τείνει σε πραγματικό αριθμό ακόμη και στην περίπτωση που μηδενίζεται ο παρονομαστής.

Γ΄ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Εισαγωγή

Το πρώτο πράγμα που πρέπει να συζητήσουμε εδώ είναι το τι είναι το όριο μιας συνάρτησης. Δυστυχώς ή ευτυχώς στα μαθηματικά της γενικής παιδείας δεν μπορούμε να δώσουμε μαθηματικό ορισμό του ορίου, οπότε το μόνο που μας μένει είναι να πούμε «στο περίπου» τι είναι το όριο μιας συνάρτησης σε κάποιο συγκεκριμένο σημείο. Ας το δούμε αυτό καλύτερα με ένα παράδειγμα. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε τη συνάρτηση f που έχει τύπο $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$ , το Πεδίο Ορισμού αυτής είναι το $D_f=(-\infty,1)\cup (1,+\infty)$ (αν δεν θυμάσαι πως βρίσκουμε το Πεδίο Ορισμού μιας συνάρτησης κάνε κλικ εδώ). Στην περίπτωση που θέλουμε να βρούμε την τιμή που παίρνει f όταν το χ πάρει την τιμή 2 δεν έχουμε παρά να βρούμε το f(2) αντικαθιστώντας στον τύπο της f όπου x τον αριθμό 2 και βρίσκουμε $f(2)=\frac{2^2-1}{2-1}=3$ . Με αυτό τον απλό τρόπο μπορούμε να βρούμε την τιμή της f σε οποιοδήποτε σημείο του Πεδίου Oρισμού της. Αν θέλουμε όμως να δούμε τι τιμή παίρνει η συνάρτησή μας για x=1 αυτό είναι αδύνατο γιατί αφού το 1 δεν ανήκει στο Πεδίο Ορισμού της συνάρτησης δεν έχω το δικαίωμα να βάλω όπου χ το 1.

Όριο Συνάρτησης — Κάντε κλικ στην εικόνα για να πάρετε μια ιδέα της σύγκλισης

Το μόνο που μπορώ να κάνω είναι να δω το πως «συμπεριφέρεται» η συνάρτηση f όταν το x παίρνει τιμές πάρα πολύ κοντά στο 1. Σε αυτή τη περίπτωση λοιπόν αντί να βάζω x=1, χρησιμοποιώ την έννοια του «ορίου» και γράφω $x\rightarrow 1$ που σημαίνει ότι το x πλησιάζει (πάρα πολύ κοντά) στον αριθμό 1 και διαβάζεται «το x τείνει – πλησιάζει δηλαδή – το 1». Υποθέτουμε, προς το παρόν, ότι βρήκαμε το όριο και ότι αυτό είναι 2 ( θα δούμε παρακάτω πως υπολογίζεται ) δεν είναι σωστό να γράψουμε f(1)=2 γιατί αυτό σημαίνει ότι στη συνάρτηση f θέσαμε όπου x τον αριθμό 1 και αυτή μας έδωσε ως αποτέλεσμα την τιμή 2. Το σωστό είναι να γράψουμε $\underset{x\to 1 }{\mathop{\lim }}f(x)=2$ που διαβάζεται «το όριο της συνάρτησης f , όταν το x τείνει στο 1, είναι ο αριθμός 2» και σημαίνει ότι: όταν το x παίρνει τιμές πολύ κοντά στο 1 το f(x) παίρνει τιμές πολύ κοντά στο 2. Επειδή σκοπός του άρθρου αυτού δεν είναι η έννοια του ορίου αλλά ο τρόπος υπολογισμού του ας προχωρήσουμε στο πως μπορούμε να βρούμε το όριο μιας συνάρτησης f όταν το x τείνει σε κάποιον αριθμό a ( $x\to a$ ) και με την προϋπόθεση ότι το x θα μπορεί να πλησιάζει τον αριθμό a. Γιατί δεν μπορούμε να μιλάμε για όριο μιας συνάρτησης έστω g στο 5 αν το Πεδίο Ορισμού της είναι για παράδειγμα το σύνολο $D_f=(1,4)$ αφού το x ανήκει σε αυτό το διάστημα μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή μεγαλύτερη του 1 αλλά μικρότερη του 4 πως λοιπόν θα του δώσουμε τιμές κοντά στο 5;

Υπολογισμός Ορίου

[su_tabs style=1]

[su_tab title=»Η απλή περίπτωση»]

Στην περίπτωση που θέλουμε να υπολογίσουμε το όριο μιας συνάρτησης f όταν το x τείνει σε κάποιο σημείο a , τότε πολύ απλά βρίσκουμε το f(a) αντικαθιστώντας όπου x τον αριθμό a αρκεί:

να μπορεί, όπως αναφέραμε πιο πάνω, το x να πλησιάζει το a , και
να μην μηδενίζεται ο παρονομαστής της συνάρτησης

Ας δούμε κάποια παραδείγματα:

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=x^2-10x+3$ , να βρεθεί το $\underset{x\to 1}{\mathop{lim }}f(x)$ .Λύση: Βλέπουμε ότι η f έχει Πεδίο Ορισμού όλο το $\mathbb{R}=(-\infty,+\infty)$ κι επομένως το x μπορεί να πλησιάζει στο 1 οπότε μπορούμε να ξεκινήσουμε τον υπολογισμό του ορίου:
$\underset{x\to 1 }{\mathop{\lim }}f(x)=\underset{x\to 1 }{\mathop{\lim }}(x^2-10x+3)=$

$=1^2-10\cdot 1+3=-6$
Για τη συνάρτηση $g(x)=\frac{lnx}{x-3}$ να βρείτε τα όρια $\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}g(x)$ και $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}g(x)$ .Λύση: Το πρώτο πράγμα που κάνουμε πάντα είτε το ζητάει η άσκηση είτε όχι είναι να βρούμε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης η οποία παρατηρούμε ότι έχει έχει λογάριθμο και πρέπει το περιεχόμενό του να είναι θετικό (άρα πρέπει x>0) και παρονομαστή το x-3 που δεν πρέπει να μηδενίζεται κι επομένως το x δεν μπορεί να πάρει την τιμή 3 καταλήγουμε λοιπόν στο ότι το πεδίο ορισμού της g είναι το $D_g =(0,3) \cup (3,+\infty)$ . Όσον αφορά στα όρια τώρα, βλέπουμε ότι το πρώτο από αυτά δεν έχει νόημα αφού το x δεν έχει τη δυνατότητα να «πλησιάζει» το -1 οπότε το αφήνουμε και για να είμαι ειλικρινής δεν πιστεύω ότι θα ζητηθεί ποτέ κάτι τέτοιο. Πάμε τώρα στο δεύτερο όριο το οποίο και θα υπολογίσουμε κανονικότατα

$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}g(x)=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\frac{lnx}{x-3}=\frac{ln1}{1-3}=\frac{0}{-2}=0$
Να βρεθεί το όριο $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\frac{x^2-1}{x-1}$
Λύση: Η συνάρτηση της οποίας αναζητάμε το όριο στο 1 είναι η
$h(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$

. Επειδή η συνάρτηση έχει παρονομαστή το x-1 έχει πεδίο ορισμού το $(-\infty,1) \cup (1,+\infty)$ . Παρατηρούμε ότι το 1 δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης, πράγμα που σημαίνει ότι δεν μπορώ να θέσω x=1, αυτό όμως δεν αποτελεί πρόβλημα αφού το x έχει τη δυνατότητα να «προσεγγίσει» το 1 (δηλαδή μπορεί $x \to 1$ ) κι επομένως θα μπορούσαμε να υπολογίσουμε το όριο αυτό αν δεν είχαμε άλλο πρόβλημα. Και ποιο είναι το πρόβλημα αυτό; Ότι ο αριθμός 1 μηδενίζει τον παρονομαστή μας. Ευτυχώς όμως το 1 μηδενίζει και τον αριθμητή ( το x²-1 ) και αυτό μας λύνει τα χέρια γιατί σημαίνει ότι ο αριθμός 1 είναι ρίζα και του παρονομαστή αλλά και του αριθμητή κι όπως μάθαμε στη Β΄ Λυκείου, στον αριθμητή x²-1 είναι κρυμμένος ο παράγοντας x-1 [wpspoiler name=»διαβάστε εδώ το γιατί» ]όταν ένα πολυώνυμο p(x) μηδενίζεται για x=ρ, τότε θα έχει ρίζα τον αριθμό ρ και συνεπώς θα έχει παράγοντα το x-ρ, πράγμα που σημαίνει ότι το πολυώνυμο αναλύεται σε γινόμενο παραγόντων όπου ο ένας από τους παράγοντές του θα είναι το x-ρ, δηλαδή θα ισχύει p(x)=(x – ρ).π(x) , άρα:
$P(\rho)=0 \Leftrightarrow P(x)=(x-\rho) \cdot \pi(x)$

[/wpspoiler] Έτσι εμείς αρκεί να τον εμφανίσουμε για να μπορέσουμε να τον εξαφανίσουμε (δηλαδή να τον απλοποιήσουμε) κι αυτό δεν είναι δύσκολο αφού είναι γνωστό ότι ισχύει x²-1=(x-1)(x+1). Ας δούμε τώρα πως θα υπολογιστεί το όριο

$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\frac{x^2-1}{x-1}=$

$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=$

$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }},(x+1)=1+1=2$

Το παράδειγμα αυτό που λύσαμε ανήκει στην πιο συνηθισμένη κατηγορία ορίων που θα συναντήσετε φέτος και είναι αναγκαίο να επεκταθούμε κι άλλο γι’ αυτό το λόγο κάντε κλικ εδώ και μετά στην καρτέλα «Η Απροσδιόριστη μορφή 0/0» που βρίσκεται λίγο παραπάνω.[/su_tab]

[su_tab title=»Η απροσδιόριστη μορφή 0/0″]

Κατά την αναζήτηση του ορίου μιας κλασματικής συνάρτησης ας την πούμε f σε σημείο α ( $\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}f(x)$ )είναι πιθανό να μηδενίζεται για x=α ο αριθμητής και ο παρονομαστής της συνάρτησης. Σε μια τέτοια περίπτωση ( που ονομάζεται απροσδιόριστη μορφή 0/0) δεν μπορούμε να υπολογίσουμε το όριο από τη συνάρτηση που μας έχουν δώσει κι έτσι καταφεύγουμε στο να υπολογίσουμε το όριο αφού πρώτα απλοποιήσουμε την f . Το πως το καταφέρνουμε αυτό εξαρτάται από τη συνάρτηση που μας έχει δοθεί και θα το δούμε σε παραδείγματα παρακάτω. Η βασική ιδέα όμως είναι κοινή και απλή:

από τη στιγμή που βλέπουμε ότι αν θέσουμε x=α στη συνάρτηση μηδενίζεται ο αριθμητής της και ο παρονομαστής της είμαστε σίγουροι ότι και στον αριθμητή αλλά και στον παρονομαστή είναι «κρυμμένος» ο παράγοντας x-α. Σκοπός είναι να τον «εμφανίσουμε» πάνω και κάτω στο κλάσμα έτσι ώστε να τον απλοποιήσουμε (να τον «εξαφανίσουμε» γιατί αυτός ευθύνεται για το 0/0). Μετά την απλοποίηση αυτή είμαστε σε θέση να υπολογίσουμε πολύ απλά το όριο αντικαθιστώντας όπου x το α.

Για να δούμε όμως αναλυτικά πως θα εμφανίσουμε το x-α θα χωρίσουμε τη διαδικασία σε δύο περιπτώσεις. Στην περίπτωση που οι όροι του κλάσματος είναι πολυώνυμα και στην περίπτωση που στο κλάσμα έχουμε τετραγωνική ρίζα. Κάντε κλικ στις παρακάτω μπάρες να δείτε λυμένα βασικά παραδείγματα με την απαραίτητη μεθοδολογία
[wpspoiler name=»Πολυώνυμα»]

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=\frac{x^3-x^2+x-1}{2x^2-2}$ . Να βρεθεί το όριο $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}f(x)$ .

Λύση: Παρατηρούμε ότι ο παρονομαστής για x=1 μηδενίζεται (2^.1²-2=2-2=0). Είμαστε σίγουροι ότι και ο αριθμητής μηδενίζεται για x=1 αλλά το τσεκάρουμε (1³-1²+1-1=0). Τώρα κάνουμε γινόμενο τον αριθμητή και τον παρονομαστή (μπορείτε να θυμηθείτε την παραγοντοποίηση εδώ):

x³-x²+x-1=(x³-x²)+(x-1)[ref] κάναμε ομαδοποίηση[/ref]=x²(x-1)+(x-1)=(x-1)(x²+1). Βλέπουμε ότι εμφανίστηκε το x-1 άρα είμαστε εντάξει

2x²-2=2(x²-1)=2(x-1)(x+1)[ref]κοινός παράγοντας και διαφορά τετραγώνων[/ref] κι εδώ εντάξει, οπότε:

$f(x)=\frac{x^3-x^2+x-1}{2x^2-2}=\frac{(x-1)(x^2+1)}{2(x-1)(x+1)}=\frac{x^2+1}{2(x+1)}$

επομένως

$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}f(x)=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\frac{x^2+1}{2(x+1)}=\frac{1^2+1}{2(1+1)}=\frac{1}2$

Όπως βλέπουμε αν έχουμε υπόψη μας τι ακριβώς θέλουμε (να εμφανίσουμε τον παράγοντα x-1 και να τον απλοποιήσουμε) ο υπολογισμός ενός ορίου είναι εύκολη υπόθεση. Κι επειδή το μάθημα αυτό αφορά και μαθητές θεωρητικής κατεύθυνσης που ίσως αντιμετωπίζουν κάποιες δυσκολίες στην παραγοντοποίηση θα σας προτείνω κι έναν άλλο τρόπο που θεωρώ ευκολότερο και ίσως πιο σύντομο, το σχήμα Horner που διδαχθήκαμε στη Β΄τάξη του Λυκείου. Ας δούμε λοιπόν την ίδια άσκηση λυμένη με αυτή τη μέθοδο:

Για να κάνω γινόμενο τον αριθμητή x³-x²+x-1 κάνω σχήμα Horner με τον αριθμό 1

1	-1	1	-1	1
	1	0	1
1	0	1	0

Η γαλάζια περιοχή περιέχει τους συντελεστές του πολυωνύμου x³-x²+x-1 που θέλω να κάνω γινόμενο

Η πορτοκαλί περιοχή θα έχει πάντα τον αριθμό στον οποίο τείνει το x (εδώ είναι το 1)

Η ροζ περιοχή θα είναι πάντα 0

Η πράσινη περιοχή μας δίνει τους συντελεστές του πολυωνύμου που θα μείνει όταν απλοποιηθεί το «ενοχλητικό» x-1. Έτσι η νέα μας συνάρτηση θα έχει αριθμητή τον x²+1 αφού το από το σχήμα Horner προκύπτει ότι x³-x²+x-1=(x-1)(x²+1) και το x-1 θα απλοποιηθεί.

Με την ίδια διαδικασία βρίσκω τον νέο παρονομαστή της συνάρτησης

2	0	-2	1
	2	2
2	2	0

οπότε ο παρονομαστής 2x²-2(το γαλάζιο) θα γίνει 2x+2(το πράσινο), αφού από το σχήμα Horner προκύπτει 2x²-2=(x-1)(2x+2) και το x-1 θα απλοποιηθεί.

Τελικά η συνάρτηση f θα γίνει

$f(x)=\frac{x^3-x^2+x-1}{2x^2-2}=\frac{x^2+1}{2x+2}$

κι επομένως το όριο είναι

$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}f(x)=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\frac{x^2+1}{2x+2}=\frac{1^2+1}{2 \cdot 1+2}=\frac{1}{2}$

Το να ξεφύγεις από την απροσδιόριστη μορφή 0/0 στην περίπτωση που στη συνάρτηση έχεις πολυώνυμο το σχήμα Horner είναι το πιο εύκολο. Το δύσκολο είναι να το περιγράψω πλήρως μέσα από αυτό το άρθρο γι’ αυτό αν κάπου σας μπέρδεψα ζητήστε από τον καθηγητή σας να σας το θυμίσει (είναι υπόθεση δύο λεπτών) ή στείλτε μου μήνυμα να λύσουμε ότι απορία έχετε. Καλού κακού όμως θα λύσουμε ένα παράδειγμα ακόμη:

Να βρεθεί το $lim_{x \to 2}\frac{2x^2-3x-2}{(x-2)\sqrt{3x-2}}$ .
Λύση: Για x=2 μηδενίζονται παρονομαστής και αριθμητής άρα πρέπει να εξαλειφθεί ο παράγοντας x-2.

Στον παρονομαστή υπάρχει το x-2 άρα δεν χρειάζεται να κάνουμε κάτι.

Στον αριθμητή θα κάνουμε σχήμα Horner με το 2 γιατί το x τείνει στο 2,

2	-3	-2	2
	4	2
2	1	0

οπότε 2x²-3x-2=(x-2)(2x+1) άρα

$\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\frac{2x^2-3x-2}{(x-2)\sqrt{3x-2}}=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\frac{(x-2)(2x+1)}{(x-2)\sqrt{3x-2}}$

$=\underset{x \to 2}{\mathop{\lim}}\frac{2x+1}{\sqrt{3x-2}}=$

$\frac{2 \cdot 2 +1}{\sqrt{3 \cdot 2 -2}}=\frac{5}{2}$

[/wpspoiler]

[wpspoiler name=»Ριζικά»]

Για να ξεφύγω από το 0/0 όταν το x τείνει στο α, πρέπει να «εμφανίσω» και μετά να «εξαφανίσω» το x-α από αριθμητή & παρονομαστή

Έστω ότι έχουμε τη συνάρτηση $f(x)=\frac{\sqrt{x}-\sqrt{5}}{x-5}$ και θέλουμε να βρούμε το όριο της όταν το τείνει στο 5. Παρατηρούμε ότι για x=5 μηδενίζονται παρονομαστής και αριθμητής, πράγμα που σημαίνει ότι έχω απροσδιόριστη μορφή 0/0, και σύμφωνα με τα όσα έχουμε πει μέχρι τώρα στον αριθμητή αλλά και στον παρονομαστή της συνάρτησης υπάρχει ο παράγοντας x-5 ο οποίος ευθύνεται για τα μηδενικά. Εγώ πρέπει λοιπόν να τον «εμφανίσω» για να τον «εξαφανίσω» . Ευτυχώς στο παράδειγμά μας θα πρέπει να ασχοληθούμε μόνο με τον αριθμητή αφού στον παρονομαστή υπάρχει το x-5 και δεν χρειάζεται να κάνω κάτι. Ο αριθμητής όμως δεν είναι πολυώνυμο για να χρησιμοποιήσω σχήμα Horner ή έστω τους κανόνες της παραγοντοποίησης που έχουμε μάθει μέχρι τώρα. Υπάρχουν αρκετά «κόλπα» για να καταφέρουμε αυτό που θέλουμε αλλά θα αναφερθώ πρώτα στο πιο συνηθισμένο:

Κάνουμε χρήση της γνωστής ταυτότητας «διαφορά τετραγώνων». Ας την θυμηθούμε $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$ . Την ταυτότητα αυτή μπορούμε να την χρησιμοποιήσουμε και με αυτές τις μορφές:

$(\sqrt{A}-\sqrt{B})(\sqrt{A}+\sqrt{B})=(\sqrt{A})^2-(\sqrt{B})^2$

ή ακόμη καλύτερα
$(\sqrt{A}-\sqrt{B})(\sqrt{A}+\sqrt{B})=A-B$
$(\sqrt{A}-B)(\sqrt{A}+B)=A-B^2$
$(A-\sqrt{B})(A+\sqrt{B})=A^2-B$

Για να δούμε τώρα τι κερδίζουμε από αυτό; Όταν θα μας τυχαίνει μία από τις παραστάσεις που βρίσκονται στις παραπάνω παρενθέσεις εμείς θα πολλαπλασιάζουμε αριθμητή αλλά και παρονομαστή με την διπλανή παρένθεση (λέγεται «συζυγής παράσταση» π.χ. η συζυγής παράσταση της $\sqrt{A}+B$ είναι η $\sqrt{A}-B$ ) ώστε σύμφωνα με την ταυτότητα να φύγουν οι ρίζες. Ας το δούμε όμως στη πράξη, στη συνάρτηση f έχω την παράσταση $\sqrt{x}-\sqrt{5}$ η συζυγής παράσταση αυτής είναι η $\sqrt{x}+\sqrt{5}$ πολλαπλασιάζω λοιπόν αριθμητή και παρονομαστή με αυτή

$f(x)=\frac{\sqrt{x}-\sqrt{5}}{x-5}$

$f(x)=\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{5})(\sqrt{x}+\sqrt{5})}{(x-5)(\sqrt{x}+\sqrt{5})}$

$f(x)=\frac{x-5}{(x-5)(\sqrt{x}+\sqrt{5})}$

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{5}}$

οπότε αφού καταφέραμε και διώξαμε το x-5 μπορούμε να υπολογίσουμε το όριο

$\underset{x\to 5}{\mathop{\lim }}f(x)=\underset{x\to 5}{\mathop{\lim }}\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{5}}=\frac{1}{2\sqrt{5}}$

Ένα παράδειγμα ακόμη για να το καταλάβουμε καλύτερα. Να βρεθεί το $\underset{h \to 0}{\mathop{\lim}}\frac{\sqrt{1+h}-1}{h}$
Λύση: Βάζοντας όπου h το 0 παίρνουμε 0/0. Φταίει ο παράγοντας h-0, δηλαδή το h. Κάτω το βλέπουμε και δεν κάνουμε τίποτα. Πάνω έχουμε $\sqrt{1+h}-1$ η συζυγής της είναι η $\sqrt{1+h}+1$ με την οποία πολλαπλασιάζω πάνω και κάτω και παίρνω

$\underset{h \to 0}{\mathop{\lim }}\frac{\sqrt{1+h}-1}{h}=$

$\underset{h \to 0}{\mathop{\lim }}\frac{(\sqrt{1+h}-1)(\sqrt{1+h}+1)}{h(\sqrt{1+h}+1)}=$

$\underset{h \to 0}{\mathop{\lim }}\frac{(1+h)-1^2}{h(\sqrt{1+h}+1)}=$

$\underset{h \to 0}{\mathop{\lim }}\frac{1+h-1}{h(\sqrt{1+h}+1)}=$

$\underset{h \to 0}{\mathop{\lim }}\frac{h}{h(\sqrt{1+h}+1)}=$

$\underset{h \to 0}{\mathop{\lim }}\frac{1)}{\sqrt{1+h}+1}=$

$\underset{h \to 0}{\mathop{\lim }}\frac{1}{\sqrt{1+h}+1}=\frac{1}{\sqrt{1+0}+1}=\frac{1}{2}$

Κι εδώ τελειώνουν οι περιπτώσεις υπολογισμού ορίων που μπορεί να συναντήσει ένας μαθητής Γ΄Λυκείου στα Μαθηματικά της Γενικής Παιδείας (για την κατεύθυνση έχουμε πολλά να πούμε ακόμη). Καταλαβαίνω ότι το άρθρο είναι τεράστιο, θα μπορούσε να είχε γίνει τριλογία, αλλά θεώρησα καλύτερο να υπάρχουν όλες οι περιπτώσεις μαζί για να έχετε μια ολοκληρωμένη εικόνα. Προτείνω να το διαβάσετε περισσότερες από μία φορά και εξασκηθείτε με τις ασκήσεις που σας δίνω στο παρακάτω link.[/wpspoiler]

Επιστροφή^^^
[/su_tab]

[/su_tabs]

[wpspoiler name=»Δείτε την μεθοδολογία» style=»wpui-quark»]

[/wpspoiler]

Θέλω να μάθω…πως βρίσκουμε το Πεδίο Ορισμού μιας συνάρτησης

Τι είναι το Πεδίο Ορισμού μιας συνάρτησης; Πως το υπολογίζω και γιατί;

Γ ‘ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ & ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Ας φανταστούμε τη συνάρτηση σαν μια “προξενήτρα” μιας και η δουλειά της είναι να “ζευγαρώνει” αριθμούς. Πάρτε για παράδειγμα τη συνάρτηση $f(x)=2x$ η οποία παίρνει τον αριθμό x και τον παντρεύει με τον αριθμό 2x, ζευγαρώνει δηλαδή κάθε αριθμό με τον διπλάσιό του, έτσι δημιουργεί ζεύγη αριθμών όπως το (1,2) αφού για χ=1, δίνει f(1)=2, το (3,6) αφού για χ=3 έχουμε f(3)=6. Η συγκεκριμένη συνάρτηση μπορεί να ζευγαρώσει οποιοδήποτε αριθμό και να της ζητήσουμε. Υπάρχουν όμως συναρτήσεις που δεν μπορούν να το κάνουν αυτό σε όλους τους αριθμούς, έχουν δηλαδή κάποιους περιορισμούς. Ας δούμε για παράδειγμα την $g(x)=\frac{1}x$ η οποία “παντρεύει” έναν αριθμό με τον αντίστροφό του, δηλαδή το 5 με το 1/5 αφού g(5)=1/5, το 3/5 με το 5/3 γιατί g(3/5)=5/3 κ.τ.λ.. Το μοναδικό αριθμό όμως που δεν μπορεί να ταιριάξει είναι το 0 γιατί όπως έχουμε μάθει από το Γυμνάσιο ήδη το 0 δεν έχει αντίστροφο (για να μην αναφέρω και το Δημοτικό που μάθαμε ότι δεν ορίζεται διαίρεση με το 0). Όταν λοιπόν μας δίνουν τον τύπο μιας συνάρτησης το πρώτο πράγμα που πρέπει να κάνουμε πριν καν ξεκινήσουμε να την βάλουμε να δουλέψει είναι να βρούμε για ποιούς αριθμούς μπορεί να δουλέψει και για ποιούς όχι. Δεν δίνουμε στη συνάρτηση αριθμούς να παντρέψει χωρίς να δούμε πρώτα αν επιτρέπεται ένας τέτοιος γάμος γιατί υπάρχει περίπτωση αυτός ο γάμος να γεννήσει “τέρατα”. Έτσι λοιπόν όταν μιλάμε για Πεδίο Ορισμού μιας συνάρτησης στη πραγματικότητα εννοούμε το σύνολο των αριθμών που η συνάρτηση μπορεί να πάρει και να τους βρει σύντροφο. Και για να γίνουμε λίγο πιο τυπικοί Πεδίο Ορισμού μιας συνάρτησης f είναι το σύνολο των αριθμών x για τους οποίους υπάρχει το f(x).

Πως όμως μπορούμε να βρούμε το Πεδίο Ορισμού μιας συνάρτησης;

Αυτό είναι αρκετά απλό θα έλεγα αρκεί να ξέρουμε να λύνουμε εξισώσεις, ανισώσεις και να γνωρίζουμε ποιοί είναι οι
περιορισμοί που προκύπτουν από τον τύπο της συνάρτησης που μας έχει δοθεί. Το να γνωρίζουμε να λύνουμε εξισώσεις και ανισώσεις θα το θεωρήσουμε δεδομένο και θα σταθούμε λίγο στο ποιοι είναι οι περιορισμοί που έχουμε μάθει μέχρι τώρα.

Δεν επιτρέπεται ο παρονομαστής να πάρει την τιμή 0:

Έτσι λοιπόν όταν μας δοθεί συνάρτηση που να έχει στον παρονομαστή της μεταβλητή (αυτές οι συναρτήσεις λέγονται ρητές) θα πρέπει εμείς να εξαιρέσουμε εκείνους τους αριθμούς που μηδενίζουν τον παρονομαστή της συνάρτησης.
Π.χ.1 Η συνάρτηση $f(x)=9+\frac{x}{2x-4}$ έχει παρονομαστή το 2x-4 πρέπει να δούμε για ποιές τιμές του x μηδενίζεται και να τις εξαιρέσουμε. Για το λόγο αυτό λύνουμε την εξίσωση

$2x-4=0\Leftrightarrow 2x=4\Leftrightarrow x=4/2=2$

και απαντάμε ότι η συγκεκριμένη συνάρτηση έχει Πεδίο Ορισμού όλους τους (πραγματικούς) αριθμούς εκτός από τον αριθμό 2. Πιο καλά είναι να γράφουμε τον τύπο της συνάρτησης και δίπλα τον περιορισμό, δηλαδή $f(x)=9+\frac{x}{2x-4}$ με $x\neq2$ . Ή ακόμη καλύτερα $D_f=\mathbb{R}-\left\{2\left\}$ , όπου με D_f έχουμε συμβολίσει το Πεδίο Ορισμού της συνάρτησης f. Χρήσιμο είναι όπως θα δείτε αργότερα, όταν θα χρειαστεί να “μελετήσετε” τι ακριβώς δουλειά κάνει η συνάρτηση, να έχετε το Πεδίο Ορισμού σε μορφή διαστημάτων, έτσι σε αυτή τη περίπτωση θα μπορούσαμε να γράψουμε το αποτέλεσμα και ως εξής, $D_f=(-\infty,2)\cup(2,+\infty)$ .
Π.χ.2 Η συνάρτηση $g(x)=\frac{x-1}{x^2-5x+6}+\frac{3}{x+1}$ έχει παρονομαστές τις παραστάσεις:
x+1 η οποία μηδενίζεται για x= –1
( $x+1=0\Leftrightarrow x=-1$ ) και
x²-5x+6 η οποία μηδενίζεται για x=2 ή για x=3
(x²-5x+6=0, Δ=β²-4αγ=1 και $x=\frac{-\beta\pm\sqrt{\Delta}}{2\alpha}=\frac{5\pm1}{2}$ άρα x=2 ή x=3)
Η συνάρτηση g λοιπόν δεν μπορεί να δεχτεί στη θέση του x τους αριθμούς {-1,2,3} έτσι λέμε ότι το Πεδίο Ορισμού της είναι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί εκτός από αυτούς και γράφουμε $D_g=\mathbb{R}-\left\{-1,2,3\right\}$ ή $D_g=(-\infty,-1)\cup(-1,2)\cup(2,3)\cup(3,+\infty)$ .
Τελικά καταλήγουμε στο ότι:

[su_box type=»info» title=»Tip 1″ color=»#0000FF»] όταν θέλουμε να βρούμε το πεδίο ορισμού μιας ρητής συνάρτησης της μορφής $f(x)=\frac{h(x)}{g(x)}$ λύνουμε την εξίσωση g(x)=0 και γράφουμε Df=R-{οι λύσεις της εξίσωσης g(x)=0}[/su_box]

Δεν επιτρέπεται οι υπόρριζες ποσότητες να παίρνουν αρνητικές τιμές:

Αν ο τύπος της συνάρτησης που μας έχει δοθεί περιέχει ριζικά που το υπόρριζο (υπόρριζο είναι η παράσταση που βρίσκεται κάτω από το ριζικό) περιέχει μεταβλητή (τέτοιες συναρτήσεις λέγονται άρρητες), τότε απαιτούμε το υπόρριζο να είναι μεγαλύτερο ή ίσο με το 0.
π.χ.1 Η συνάρτηση $h(x)=3\sqrt{x-4}-2$ ανήκει σε αυτή τη κατηγορία αφού στον τύπο της εμφανίζεται μια τουλάχιστον (τετραγωνική) ρίζα. Το υπόρριζο λοιπόν θα πρέπει να είναι μεγαλύτερο ή ίσο με το 0. Έτσι θα πρέπει να δεχτούμε στο Πεδίο Ορισμού μόνο εκείνες τις τιμές του x για τις οποίες ισχύει: $x-4\geq0 \Leftrightarrow x\geq4$ . Συμπεραίνουμε τώρα ότι το Πεδίο Ορισμού της συνάρτησης h είναι: $D_h=[4,+\infty)$ .
π.χ.2 Στη συνάρτηση $t(x)=\frac{\sqrt{2x-8}+1}{\sqrt{x-8}}$ υπάρχουν δύο υπόρριζα (η παράσταση 2x-8 και η παράσταση x-8) και ένας παρονομαστής (η παράσταση $\sqrt{x-8}$ ). Γι’ αυτό το λόγο απαιτούμε τα παρακάτω:

$\left{\begin{matrix}2x-8\geq 0\Leftrightarrow 2x\geq 8\Leftrightarrow x\geq 4\\ \mathit{\kappa \alpha \iota }\\ x-8\geq 0\Leftrightarrow x\geq 8\\ \mathit{\kappa \alpha \iota }\\ \sqrt{x-8}\neq0\Leftrightarrow x-8\neq0\Leftrightarrow x\neq8\end{matrix}$

αλλά όλα αυτά μαζί μας δίνουν x>8 . Επομένως το Πεδίο Ορισμού της συνάρτησης t είναι το $D_t=(8,+\infty)$ .
Καταλήγουμε τελικά στο εξής:

[su_box type=»info» title=»Tip 2″ color=»#0000FF»] όταν θέλουμε να βρούμε το πεδίο ορισμού μιας άρρητης συνάρτησης της μορφής $f(x)=\sqrt{g(x)}$ λύνουμε την ανίσωση $g(x)\geq0$ και γράφουμε Df={οι λύσεις της ανίσωσης $g(x)\geq0$ }[/su_box]

Δεν επιτρέπεται το περιεχόμενο του λογάριθμου να παίρνει αρνητικές τιμές αλλά ούτε και τη τιμή 0:

Στη Β΄ Λυκείου είδαμε για πρώτη φορά τους λογάριθμους και «μελετήσαμε» τη λογαριθμική συνάρτηση $lnx$ όπου μάθαμε, εκτός των άλλων, ότι το Πεδίο Ορισμού της είναι το $(0,+\infty)$ . Γι’ αυτό όταν σε μια συνάρτηση συναντήσουμε λογάριθμο θα πρέπει να αναζητάμε τα x εκείνα για τα οποία το «περιεχόμενο» του λογάριθμου να είναι θετικό. Για παράδειγμα η συνάρτηση $\phi(x)=ln(x-6)+4x^2$ , έχει Πεδίο Ορισμού το σύνολο $D_\phi = (6,+\infty)$ αφού πρέπει x-6>0 δηλαδή x>6.

Συμπέρασμα,

[su_box type=»info» title=»Tip 3″ color=»#0000FF»] όταν θέλουμε να βρούμε το πεδίο ορισμού μιας λογαριθμικής συνάρτησης της μορφής $f(x)=lng(x)$ λύνουμε την ανίσωση g(x)>0 και γράφουμε Df={οι λύσεις της ανίσωσης g(x)>0}[/su_box]

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ – ΣΧΟΛΙΑ:

Αν η συνάρτηση της οποίας ζητάμε το Πεδίο Ορισμού δεν έχει ούτε παρονομαστές, ούτε ρίζες, ούτε λογάριθμους που να περιέχουν μεταβλητή, τότε δεν υπάρχουν περιορισμοί κι επομένως το Πεδίο Ορισμού αυτής της συνάρτησης θα είναι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί ( $\mathbb{R}$ ).

π.χ. η $g(x)=\frac{x^2-3x+ln2}{4\sqrt{5}}$ έχει $D_g=\mathbb{R}$ αφού δεν υπάρχει x σε παρονομαστή, ρίζα ή λογάριθμο.

Απ’ την άλλη μεριά όμως αν από τον τύπο μιας συνάρτησης f(x) προκύπτουν περισσότεροι του ενός περιορισμοί, είμαστε υποχρεωμένοι να τους χρησιμοποιήσουμε όλους για να βρούμε ποια είναι τελικά αυτά τα x που πληρούν τις προϋποθέσεις που θέλουμε. Ένα τέτοιο παράδειγμα είδαμε παραπάνω με την συνάρτηση $t(x)=\frac{\sqrt{2x-8}+1}{\sqrt{x-8}}$ η οποία είχε x και σε παρονομαστή αλλά και σε ρίζες. Στο παράδειγμα αυτό πήραμε τους απαραίτητους περιορισμούς και για τις ρίζες αλλά και για τον παρονομαστή κι αφού λύσαμε τον καθένα ξεχωριστά βρήκαμε την κοινή τους λύση (στην πραγματικότητα λύσαμε ένα σύστημα).
Επειδή στη Γ΄ Λυκείου θα συναντήσουμε πολλές φορές τριγωνομετρικές συναρτήσεις καλό είναι να επισημάνουμε ότι η εφαπτομένη αλλά και η συνεφαπτομένη έχουν παρονομαστές παρότι δεν φαίνονται (αρκεί να θυμηθούμε ότι $\varepsilon \phi x=\frac{\eta \mu x}{\sigma \upsilon \nu x}$ και $\sigma \phi x=\frac{\sigma \upsilon \nu x}{ \eta \mu x}$ ). Έτσι θα χρειαστεί να πάρουμε τους παρακάτω περιορισμούς:

για την $f(x)=\epsilon\phi x$ , $x\neq\kappa\pi+\frac{\pi}2$ με $\kappa \in \mathbb{Z}$
για την $f(x)=\sigma\phi x$ , $x\neq\kappa\pi$ με $\kappa \in \mathbb{Z}$

Το Πεδίο Ορισμού της συνάρτησης είναι το κόκκινο διάστημα πάνω στον οριζόντιο άξονα

Το Πεδίο Ορισμού μιας συνάρτησης θα μπορούσε να βρεθεί και από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης ( στη περίπτωση που δίνεται αυτή ). Για να δείτε πως κάντε κλικ στην εικόνα.
Για τους μαθητές που παρακολουθούν τα μαθήματα της θετικής ή τεχνολογικής κατεύθυνσης θα πρέπει να αναφέρουμε και δύο ακόμη περιπτώσεις που θα συναντήσουν:
- Συναρτήσεις της μορφής $f(x)=(g(x))^{h(x)}$ : Πρέπει η βάση g(x) να είναι θετική και διάφορη του 1 (στη περίπτωση που το g(x)=1 ορίζεται η f αλλά είναι σταθερή αφού f(x)=1^h(x)=1 για κάθε x)
- Συναρτήσεις οι οποίες έχουν προκύψει από την «σύνθεση» δύο άλλων συναρτήσεων: Για την περίπτωση της «σύνθεσης συναρτήσεων» όμως θα αναφερθούμε αναλυτικά σε άλλο άρθρο.

Αν θέλετε να κάνετε εξάσκηση στα παραπάνω μπορείτε να κατεβάσετε ένα αρχείο με ασκήσεις κάνοντας κλικ στον παρακάτω σύνδεσμο. Μη διστάσετε να στείλετε τις λύσεις ή να ρωτήσετε τυχόν απορίες , στέλνοντας ένα e-mail ή αφήνοντας ένα σχόλιο στο τέλος του άρθρου.

folder_download — Κατεβάστε το αρχείο με τις ασκήσεις

Oops!… I Did It Again

Στα τέλη του 19ου αιώνα, στις έρευνες που πραγματοποιούσε για τη χολέρα σε κοτόπουλα, ο Λουί Παστέρ μόλυνε τα πειραματόζωα με βακτήρια, πιστεύοντας ότι θα τα σκοτώσει. Εκανε λάθος, όχι μόνο τα κοτόπουλα επέζησαν, αλλά επιπλέον ενισχύθηκε το ανοσοποιητικό τους σύστημα. Κάνοντας, όμως, αυτό το λάθος ανακάλυψε ένα εμβόλιο. Από ένα λάθος του Αλέξανδρου Φλέμινγκ, γεννήθηκε η πενικιλίνη και σε ένα λάθος οφείλουμε την ύπαρξη του φούρνου μικροκυμάτων, των ελαστικών των αυτοκινήτων αλλά και της τηγανιτής πατάτας. Από τον κανόνα δεν ξέφυγε ούτε ο Αλβέρτος Αϊνστάιν. Από τα 180 επιστημονικά άρθρα που δημοσίευσε τουλάχιστον καμιά σαρανταριά περιείχαν σημαντικά λάθη.
Γιατί λοιπόν πρέπει να στερείται η δυνατότητα στα παιδιά να κάνουν λάθη; Για να προσεγγίσουν οι νέοι την επιστήμη δεν πρέπει να μάθουν από μικρότερη ηλικία να τολμούν, να πειραματίζονται να προτείνουν νέες ιδέες, να τους δοθούν τελικά περιθώρια στο λάθος; Γιατί πρέπει να διδάσκονται ότι «λάθος» σημαίνει απόκλιση από τον ορθό δρόμο και τίποτε περισσότερο; Αυτά τα ερωτήματα βρίσκονται πίσω από το «Φεστιβάλ του Λάθους» που άνοιξε προχθές τις πύλες του στο Παρίσι.
Το μότο αυτού του πρωτότυπου φεστιβάλ είναι ότι κανένας επιστήμονας δεν έφτασε σε μια μεγάλη ανακάλυψη χωρίς να διασχίσει πρώτα μια θάλασσα από λανθασμένες υποθέσεις και λανθασμένα συμπεράσματα.
Οι επισκέπτες του Φεστιβάλ μαθαίνουν ότι ο υγιής σκεπτικισμός είναι καλοδεχούμενος ακόμη και για τα πιο προφανή πράγματα και ότι σε ένα σωστό συμπέρασμα μπορεί να φτάσει κανείς μέσα από διαφορετικούς δρόμους.
«Για την πλειονότητα των αντικειμένων που μας περιβάλλουν δεν υπάρχει μια «ορθή χρήση» και μόνο.
Η φαντασία και η ικανότητα στην καινοτομία είναι προσόντα που πρέπει να καλλιεργήσουμε, εξηγεί στην εφημερίδα La Repubblica ο Τζιρόλαμο Ραμούνι, ένας από τους εμπνευστές του Φεστιβάλ και καθηγητής στο γαλλικό Εργαστήρι Τεχνών και Επαγγελμάτων. Η είσοδος στο «Φεστιβάλ του Λάθους» είναι δωρεάν για τους επισκέπτες.Σκοπός των διοργανωτών στη φετινή έκδοση είναι να σπάσουν το λογικό κρίκο που συνδέει τα λάθη με τους κακούς βαθμούς στα διαγωνίσματα και να αποδείξουν ότι μια λανθασμένη απάντηση δεν έχει μόνο μια όψη.
Η διοργάνωση του Φεστιβάλ κρίθηκε απαραίτητη έπειτα από έρευνα του ΟΑΣΕ που έδειξε ότι Γάλλοι μαθητές προτιμούν να μην σηκώνουν το χέρι τους για να απαντήσουν σε μια ερώτηση όταν φοβούνται ότι θα κάνουν λάθος. «Ως επιστήμη – διευκρινίζει ο Τζιρόλαμο Ραμούνι – δεν εννοούμε μόνο τα μαθηματικά και τη φυσική αλλά και τους ανθρωπιστικούς κλάδους. Τα παιδιά πρέπει να μάθουν πόσο σημαντικό είναι να αναγνωρίζουν τα λάθη τους χωρίς να ντρέπονται, να λένε «έκανα λάθος, πρέπει να αλλάξω δρόμο». Ο διάλογος, η συζήτηση και η σύγκριση είναι οι βασικοί πυλώνες της επιστήμης, αλλά και ένα από τα βασικά συστατικά της κοινωνικής συμβίωσης».
Πολύ συχνά, προσθέτει, η διδασκαλία στα σχολεία επικεντρώνεται στην επανάληψη του «σωστού ορισμού» και τα κουίζ των πολλαπλών απαντήσεων που χρησιμοποιούνται όλο και πιο συχνά στην εκπαίδευση είναι μια πραγματική φυλακή για τη δημιουργική φαντασία.
Γι’ αυτό στο φεστιβάλ του λάθους και των παραδόξων της λογικής τίποτε δεν είναι αδύνατο για τα παιδιά.

πηγή: http://www.express.gr

Ναι ή Όχι στα βιντεοπαιχνίδια;

Και όμως, τα βιντεοπαιχνίδια με την καταιγιστική δράση μπορεί να κάνουν (και) καλό αναφέρει Το Βήμα (15/9/2010). Για πολλούς γονείς, τέτοια βιντεογκέιμ είναι πηγή μόνιμης ανησυχίας για την ψυχική υγεία των παιδιών τους. Λένε ότι εξαιτίας τους οι μικροί γίνονται δύστροποι, επιθετικοί και κλείνονται στο δωμάτιό τους με τις ώρες, παραμελώντας τα μαθήματά τους.

Να όμως που μετά τις πολυάριθμες έρευνες οι οποίες προειδοποιούν για τις αρνητικές συνέπειες του να περνάει κανείς ατελείωτες ώρες μπροστά σε μια κονσόλα, νέα μελέτη αποκάλυψε ότι τα βιντεοπαιχνίδια με έντονη δράση σε καταιγιστικούς ρυθμούς μάς εκπαιδεύουν να παίρνουμε ταχύτερες και καλύτερες αποφάσεις. Προσοχή όμως: αυτό δεν ισχύει για παιδιά μικρότερα των 15 ετών. Για αυτά, ο κίνδυνος από τη συστηματική έκθεση στην ψηφιακή βία παραμένει. Επιστήμονες του πανεπιστημίου του Ρότσεστερ στη Νέα Υόρκη διεξήγαγαν μία σειρά από δοκιμασίες για να εκτιμήσουν τον βαθμό στον οποίο μπορούν να βελτιώνουν τις γνωστικές ικανότητες των παικτών τέτοια βιντεοπαιχνίδια.

Οι ερευνητές εξέτασαν δεκάδες άτομα ηλικίας 18 ως 25 ετών που γενικά δεν έπαιζαν βιντεοπαιχνίδια και τους χώρισαν σε δύο ομάδες. Από την πρώτη ομάδα ζήτησαν να παίξει ένα παιχνίδι που ανεβάζει την αδρεναλίνη, όπως για παράδειγμα το «Call of Duty 2», όπου οι συμμετέχοντες έπρεπε να «τρέχουν» σε διάφορες πίστες στο Διαδίκτυο πυροβολώντας ο ένας τον άλλον. Στη δεύτερη ομάδα δόθηκε το παιχνίδι «Sims 2», ένα πολύ πιο ήρεμο βιντεοπαιχνίδι στρατηγικής, το οποίο ακολουθεί τους ρυθμούς της καθημερινής ζωής. Υστερα από 50 ώρες παιχνιδιού, και στις δύο ομάδες δόθηκε μια σειρά από τεστ με σκοπό να διαπιστωθεί ποια θα απαντούσε πιο γρήγορα. Όσοι είχαν εκπαιδευτεί στο παιχνίδι δράσης απάντησαν κατά 25% πιο γρήγορα και είχαν τον ίδιο αριθμό σωστών απαντήσεων με όσους έπαιζαν το παιχνίδι στρατηγικής.

Βρήκαμε ότι οι παίκτες βιντεοπαιχνιδιών καταιγιστικής δράσης έλαβαν περισσότερες σωστές αποφάσεις ανά μονάδα χρόνου… Αν είσαι χειρουργός ή αν βρίσκεσαι στο μέσον μιας μάχης,αυτό μπορεί να κάνει μεγάλη διαφορά » λέει η επικεφαλής της έρευνας, η οποία μελετά για περισσότερο από μία δεκαετία τις επιπτώσεις των βιντεοπαιχνιδιών στα μάτια και στον εγκέφαλο. Παίρνουμε αποφάσεις με βάση πιθανότητες τις οποίες αξιολογούμε συνεχώς στο μυαλό μας… Φάνηκε ότι τα βιντεοπαιχνίδια με γρήγορη δράση βελτιώνουν τις δεξιότητες του εγκεφάλου να λαμβάνει μια σειρά από αποφάσεις σε κλάσματα δευτερολέπτου.

Πέρυσι, η ίδια ερευνητική ομάδα είχε διαπιστώσει την ευεργετική δράση των βιντεοπαιχνιδιών στον συντονισμό ματιού και χεριού και στην ικανότητά μας να εντοπίζουμε χρωματικές αντιθέσεις. Αν και δεν πρόκειται για την πρώτη έρευνα η οποία δείχνει ότι τα βιντεοπαιχνίδια μπορεί να έχουν οφέλη για τη σωματική και την ψυχική υγεία, μέχρι προσφάτως οι έρευνες επικεντρώνονταν στις αρνητικές συνέπειές τους, όπως είναι ο εθισμός και το γεγονός ότι περιορίζουν τις κοινωνικές δεξιότητες των παιδιών.

πηγή: e-Paideia

Πρακτορείο ειδήσεων στα… αρχαία ελληνικά!

Ισπανός καθηγητής δημιούργησε το Αcropolis World Νews στο Ίντερνετ.

Η αγάπη του για τα αρχαία ελληνικά γεννήθηκε στο γυμνάσιο και από τότε του έχει γίνει δεύτερη φύση, όπως την αποκαλεί. «Στο ισπανικό γυμνάσιο είχαμε την επιλογή να επιλέξουμε και τα αρχαία ελληνικά ως δεύτερη γλώσσα. Αυτό έκανα και μαγεύτηκα». Άρχισε να διαβάζει τους Έλληνες φιλοσόφους στο πρωτότυπο, τις τραγωδίες, την ιστορία του Πελοποννησιακού Πολέμου και τον Ηρόδοτο.
«Ο Περικλής ίσως αποτελεί την αγαπημένη μου προσωπικότητα από την Αρχαία Ελλάδα και ειδικά την Αθήνα του Χρυσού Αιώνα. Στην πραγματικότητα όμως αυτό που με ενθουσιάζει στην αρχαιότητα είναι πως το μεγαλείο το δημιούργησαν οι Έλληνες πολίτες και οι πολιτικοί τους ήταν απλώς το ΄΄κεφάλι΄΄ αυτού του κόσμου, το οποίο φαινόταν»λέει ο 41χρονος καθηγητής Juan Coderch.

Η απάντησή του στην ερώτηση τι ξεχωριστό έχουν τα αρχαία ελληνικά, «Είναι μια γλώσσα που παίζει συνεχώς με το μυαλό σου. Σε βοηθάει να σκεφτείς με τη λογική. Η χρήση του υποθετικού λόγου, η ξεκάθαρη διαφοροποίηση μεταξύ του παρατατικού, του αορίστου και του ενεστώτα. Είναι σαν να συμμετέχεις σε ένα εγκεφαλικό άθλημα. Είναι η γλώσσα της λογικής».

Θέλω να μάθω…πως δείχνουμε ότι τρία σημεία είναι συνευθειακά

Η βασική μεθοδολογία με την οποία αποδεικνύουμε ότι τρία σημεία με γνωστές συντεταγμένες είναι συνευθειακά (βρίσκονται και τα τρία στην ίδια ευθεία). Στο άρθρο θα βρείτε τρεις διαφορετικούς τρόπους επίλυσης τέτοιων προβλημάτων.

Συνευθειακά Σημεία

(Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου)

Μπορούμε να αποδείξουμε ότι τρία σημεία είναι συνευθειακά με τρεις διαφορετικούς τρόπους ανάλογα με το σημείο στο οποίο έχουμε φτάσει στην ύλη μας στο σχολείο (Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου).
Έστω λοιπόν ότι έχουμε τα σημεία Α(1,3), Β(2,5) και Γ(4,9)

1ος τρόπος, με διανύσματα
Κατ’ αρχάς φτιάχνουμε δύο διανύσματα με άκρα αυτά τα σημεία έστω τα $\overrightarrow{AB}$ και $\overrightarrow{B\Gamma}$ (Υπενθύμιση 1η),

$\overrightarrow{AB}=(2-1,5-3)=(1,2)$

και
$\overrightarrow{B\Gamma}=(4-2,9-5)=(2,4)$

στη συνέχεια αποδεικνύουμε ότι αυτά τα διανύσματα είναι παράλληλα είτε με τους συντελεστές διεύθυνσης (Υπενθύμιση 2η)
$\lambda_{\overrightarrow{AB}}=2/1=\lambda_{\overrightarrow{A\Gamma}}=4/2=2$

είτε με την ορίζουσα (Υπενθύμιση 3η)
$\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{B\Gamma})=\begin{vmatrix}1 \:2 \\ 2\: 4\end{vmatrix}=1\cdot 4-2\cdot2=0$

Αυτό όμως ταυτόχρονα μας δείχνει ότι τα σημεία Α,Β και Γ είναι συνευθειακά γιατί για να είναι παράλληλα τα δύο διανύσματα θα πρέπει είτε να βρίσκονται σε παράλληλους φορείς πράγμα αδύνατο αφού έχουν ένα κοινό σημείο, το Β είτε να βρίσκονται στον ίδιο φορέα στην ίδια ευθεία δηλαδή.

[box type=»info»] Υπενθύμιση 1η:

αν $A(x_A,y_A)$ και $B(x_B,y_B)$ δύο σημεία τότε το διάνυσμα

$\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,y_B-y_A)$

[/box]

[box type=»info»] Υπενθύμιση 2η:

Ένα διάνυσμα $\overrightarrow{a}=(x,y)$ έχει συντελεστή διεύθυνσης $\lambda=\frac{y}{x}$ εννοείται $x \neq0$ [/box]

[box type=»info»] Υπενθύμιση 3η:

$\det(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\begin{vmatrix}x_a \: y_a \\ x_b \:y_b\end{vmatrix}$ [/box]

Επιστροφή ^^^

2ος τρόπος, με ευθείες
Με το ίδιο σκεπτικό μπορούμε να δείξουμε ότι τα τρία σημεία βρίσκονται στην ίδια ευθεία αποδεικνύοντας ότι δύο ευθείες από αυτές που διέρχονται από τα Α,Β, και Γ είναι παράλληλες (δηλαδή έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης).Έτσι λοιπόν βρίσκουμε το συντελεστή διεύθυνσης της ΑΒ και ΒΓ(Υπενθύμιση 4η) κι έχουμε
$\lambda_{AB}=\frac{5-3}{2-1}=\lambda_{B\Gamma}=\frac{9-5}{4-2}=2$

Δύο ευθείες όμως με ένα κοινό σημείο (το Β) δεν γίνεται να είναι παράλληλες. Τι συμβαίνει τότε; Οι δύο ευθείες ταυτίζονται δηλαδή δεν είναι δύο αλλά μόνο μία ευθεία.

[box type=»info»] Υπενθύμιση 4η:

αν μια ευθεία (ε) διέρχεται από τα σημεία $A(x_A,y_A)$ και $B(x_B,y_B)$ τότε ο συντελεστής διεύθυνσής της είναι:

$\lambda=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$

[/box]

3ος τρόπος, με τρίγωνα
Κάντε κλικ στην εικόνα για να «παίξετε»

Αρκεί να δείξουμε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ έχει εμβαδό ίσο με 0, γιατί αυτό απλά σημαίνει ότι δεν υπάρχει τρίγωνο ΑΒΓ δηλαδή τα σημεία Α,Β και Γ δεν σχηματίζουν τρίγωνο γιατί βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία (συνευθειακά). Έτσι λοιπόν στο παράδειγμά μας έχουμε
$(AB\Gamma)=\frac{1}{2}\left|\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{B\Gamma})\right|=0$

$\Leftrightarrow \det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{B\Gamma})=0$

που ισχύει (τις πράξεις τις κάναμε προηγούμενα στον 1ο τρόπο).

Θέλω να μάθω … να λύνω κλασματικές εξισώσεις

Ας δούμε ποια εξίσωση λέγεται κλασματική, πως βρίσκουμε τις λύσεις της και πως τους περιορισμούς. Δείτε πόσο σημαντικό είναι να μην ξεχνάμε να παίρνουμε περιορισμούς κάθε φορά που μια μεταβλητή εμφανίζεται σε παρονομαστή.

Κατ’ αρχάς ας δούμε τι εννοούμε όταν λέμε «κλασματικές εξισώσεις». Πολλοί μπορεί να θεωρούν ότι μια εξίσωση που έχει κλάσματα είναι μια κλασματική εξίσωση. Αυτό όμως δεν είναι σωστό γιατί μια εξίσωση τη λέμε κλασματική μόνο στη περίπτωση που υπάρχει άγνωστος σε ένα τουλάχιστον παρονομαστή της. Έτσι λοιπόν η εξίσωση $\frac{x^2-1}3-\frac{x+3}5=x-2$ ναι μεν έχει κλάσματα αλλά δεν είναι κλασματική αφού δεν υπάρχει άγνωστος σε κανένα παρονομαστή, ενώ η εξίσωση $\frac{6}{x^2+3x}+\frac{x+2}{x}=\frac{x+1}{x+3}$ σύμφωνα με αυτά που προαναφέραμε είναι μια κλασματική εξίσωση αφού ο άγνωστος x «κυκλοφορεί» σε παρονομαστές. Δηλαδή ο x «δουλεύει υπογείως (ύπουλα)» πράγμα επικίνδυνο όπως θα δούμε παρακάτω.

Στη συνέχεια θα επιλύσουμε μια κλασματική εξίσωση για να δούμε ποια μέθοδο ακολουθούμε και τι πρέπει να προσέξουμε.

Να βρείτε τις λύσεις της παρακάτω εξίσωσης $\frac{6}{x^2+3x}+\frac{x+2}{x}=\frac{x+1}{x+3}$

[wptabs mode=»horizontal»] [wptabtitle] Επίλυση[/wptabtitle] [wptabcontent]


$\frac{6}{x^2+3x}+\frac{x+2}{x}=\frac{x+1}{x+3}$ Όπως σε όλες τις κατηγορίες εξισώσεων το πρώτο πράγμα που πρέπει να κάνουμε είναι να απαλλαγούμε από τους παρονομαστές (αν υπάρχουν)
$\frac{6}{x(x+3)}+\frac{x+2}{x}=\frac{x+1}{x+3}$ Για να το πετύχουμε αυτό πρέπει να παραγοντοποιήσουμε όσους από τους παρονομαστές παραγοντοποιούνται. Στην άσκησή μας ο μόνος που μπορεί να παραγοντοποιηθεί είναι ο $x^2+3x=x(x+3)$ (βγάλαμε κοινό παράγοντα το x). Στη συνέχεια αντικαθιστούμε τους παρονομαστές με τους νέους τους παραγοντοποιημένους.
$x(x+3)\frac{6}{x(x+3)}+x(x+3)\frac{x+2}{x}=x(x+3)\frac{x+1}{x+3}$ Τώρα είμαστε σε θέση να βρούμε το Ε.Κ.Π., που είναι το γινόμενο όλων των παρονομαστών με την προϋπόθεση όμως κάθε παράγοντας να εμφανίζεται μία μόνο φορά και μάλιστα στη μεγαλύτερη δύναμη. Στο παράδειγμά μας το Ε.Κ.Π.=χ(χ+3). Πολλαπλασιάζουμε τώρα όλους τους όρους της εξίσωσης με το Ε.Κ.Π.
$6+(x+3)(x+2)=x(x+1)$ Μετά από τις απλοποιήσεις έχουμε μια εξίσωση χωρίς παρονομαστές, όπως φαίνεται δίπλα. Σειρά τώρα για «αποχώρηση» έχουν οι παρενθέσεις ώστε να απελευθερώσουμε το x. Αυτό γίνεται με τη βοήθεια της επιμεριστικής ιδιότητας
$6+x^2+2x+3x+6=x^2+x$ $6+x^2+5x+6=x^2+x$ $12+4x=0$ $4x=-12$ $x=-\frac{12}4$ Συμμαζεύοντας λίγο (κάνουμε αναγωγή όμοιων όρων) θα προκύψει μια εξίσωση 1ου (οπότε χωρίζουμε γνωστούς – άγνωστους κτλ) ή 2ου βαθμού (τα μεταφέρουμε όλα στο ένα μέλος, υπολογίζουμε τη διακρίνουσα κτλ). Στην άσκηση που προσπαθούμε να λύσουμε τώρα παρότι δείχνει δεύτερου βαθμού (αφού έχει x²) αν τη δουλέψουμε λίγο θα δούμε ότι μετά την αναγωγή των όμοιων όρων θα προκύψει μια εξίσωση πρώτου βαθμού οπότε
$x=-3$ βρίσκουμε τελικά πως η εξίσωση που μας δόθηκε έχει λύση τον αριθμό -3.

Μετά από αρκετό κόπο θα έλεγα φτάσαμε στο να βρούμε ότι η εξίσωση $\frac{6}{x^2+3x}+\frac{x+2}{x}=\frac{x+1}{x+3}$ έχει λύση το x=-3.

Κι όμως έχουμε κάνει ΜΕΓΑΛΟ ΛΑΘΟΣ κι αν έχεις κάνει το κόπο να φτάσεις μέχρι εδώ καλό θα ήταν να κάνεις κλικ στην καρτέλα «Περιορισμοί» για να δεις ποιο είναι το λάθος που κάναμε και πόσο σοβαρό είναι.

Επιστροφή^^^
[/wptabcontent]

[wptabtitle]Περιορισμοί[/wptabtitle] [wptabcontent]Όταν έχουμε να λύσουμε μια εξίσωση αναζητούμε ποια τιμή (ή ποιες τιμές) μπορεί να πάρει η άγνωστη μεταβλητή έτσι ώστε αν την αντικαταστήσουμε στην εξίσωση να προκύψει μια αληθής ισότητα (για παράδειγμα η λύση της εξίσωσης 2χ-8=0 είναι ο αριθμός 4 γιατί αν αντικαταστήσουμε το χ με τον αριθμό 4 θα προκύψει 2^.4-8=0 που είναι μια σωστή πρόταση.

Στο προηγούμενο όμως άρθρο είχαμε αναφερθεί στους περιορισμούς (κάντε κλικ εδώ για να το δείτε). Εκεί λοιπόν είπαμε ότι δεν έχει νόημα στα μαθηματικά κλάσμα με παρονομαστή το 0. Γιαυτό όταν λύνουμε κλασματικές εξισώσεις θα πρέπει εκ των προτέρων να θέτουμε περιορισμούς για τον άγνωστο. Δηλαδή από την αρχή να δηλώνουμε ότι για τον άγνωστο, έστω χ, δεν μπορούμε να δεχτούμε κάποιες τιμές γιατί μηδενίζουν κάποιον από τους παρονομαστές της εξίσωσης.

Κατά την επίλυση μιας εξίσωσης σε όποια κατηγορία κι αν ανήκει αυτή (1ου ή 2ου βαθμού ή και κλασματική) σε κάθε μας βήμα (όταν διώχνουμε παρονομαστές, παρενθέσεις κτλ) δημιουργούμε μια άλλη εξίσωση πιο απλή από την αρχική που έχει ως λύσεις της τις λύσεις της προηγούμενης αλλά πιθανόν να έχει κι άλλες (περισσότερες). Στο τέλος τις επιπλέον λύσεις θα πρέπει να τις απορρίψουμε, να μην τις δεχτούμε δηλαδή ως λύσεις της αρχικής εξίσωσης. Αυτό ακριβώς έχει συμβεί και με την εξίσωση $\frac{6}{x^2+3x}+\frac{x+2}{x}=\frac{x+1}{x+3}$ γιατί στην πορεία πήρε διάφορες μορφές μέχρι που κατέληξε να γίνει 4χ=-12. Εμείς βρήκαμε ότι χ=-3 αυτή όμως η λύση είναι η λύση της 4χ=-12 (γιατί αν βάλουμε όπου χ το -3 προκύπτει μια αληθής πρόταση η 4^.(-3)=-12 και όχι της $\frac{6}{x^2+3x}+\frac{x+2}{x}=\frac{x+1}{x+3}$ γιατί εδώ δεν μπορούμε καν να βάλουμε όπου χ το -3 αφού θα μας μηδενίσει κάποιους παρονομαστές (τον χ²+3χ και τον χ+3).

Τι πρέπει να κάνουμε λοιπόν σε τέτοιες περιπτώσεις;

Πρέπει να παίρνουμε τα μέτρα μας, δηλαδή να παίρνουμε περιορισμούς.

ΚΑΘΕ ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΗΣ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΜΗΝ ΓΙΝΕΤΑΙ ΙΣΟΣ ΜΕ 0

κι επειδή μέσα στο Ε.Κ.Π. είναι «κρυμμένοι» όλοι οι παρονομαστές της εξίσωσης είναι αρκετό να απαιτούμε

ΤΟ Ε.Κ.Π. ΝΑ ΜΗΝ ΓΙΝΕΤΑΙ ΠΟΤΕ ΙΣΟ ΜΕ 0 ( $E.K.\Pi.\neq 0$ ).

Στη συγκεκριμένη επομένως άσκηση θα έπρεπε την ώρα που βρήκαμε το Ε.Κ.Π. να γράφαμε: $E.K.\Pi.=x(x+3)\neq 0$ πράγμα που σημαίνει ότι και το x αλλά και το x+3 πρέπει να είναι διάφορα του 0 δηλαδή με άλλα λόγια δεν μπορούμε να δεχτούμε σαν λύσεις ούτε το 0 αλλά ούτε και το -3. Πιο σύντομα και πιο «μαθηματικά» όλα τα παραπάνω θα μπορούσαν να γραφούν ως εξής:

$E.K. /Pi=x(x+3)\neq 0 \Leftrightarrow$

$x\neq 0 \kappa\alpha\iota x+3\neq 0\Leftrightarrow$

$x\neq 0 \kappa\alpha\iota x\neq -3$

Βλέπουμε λοιπόν ότι η εξίσωση που λύναμε τελικά δεν έχει λύση το -3 , άρα δεν έχει καμία λύση ήταν δηλαδή αδύνατη. Ξεχνώντας όμως τους περιορισμούς «την πατήσαμε». Επιστροφή^^^
[/wptabcontent]

[wptabtitle]Σε Έκτακτη Περίπτωση[/wptabtitle] [wptabcontent]Αν σε κάποια περίπτωση αδυνατούμε να βρούμε τους περιορισμούς είτε γιατί κάποιος δυσκολεύεται είτε γιατί δεν προλαβαίνει (π.χ. σε διαγώνισμα) τότε μπορεί να αποφύγει τα παραπάνω και απλώς να ελέγξει αν οι λύσεις που βρήκε μηδενίζουν το Ε.Κ.Π. και
αν το Ε.Κ.Π. μηδενίζεται, τότε η λύση απορρίπτεται αν όχι γίνεται δεκτή.
Στην άσκησή μας το Ε.Κ.Π. = $x(x+3)$ για x=-3 γίνεται Ε.Κ.Π.=-3^.(-3+3)=-3^.0=0 κι επομένως η λύση x=-3 απορρίπτεται.

Μπορεί να σας κούρασα με την μεγάλη έκταση που είχε το άρθρο αλλά θεωρώ τις κλασματικές εξισώσεις λιγάκι δύσκολες για μαθητές Γ΄ Γυμνασίου αλλά και πολύ σημαντικές για τη συνέχεια. Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε τελικά είναι πως οι κλασματικές εξισώσεις λύνονται όπως και όλες οι υπόλοιπες δηλαδή:

διώχνουμε παρονομαστές (πολλαπλασιάζοντας με το Ε.Κ.Π.)
διώχνουμε παρενθέσεις (με επιμεριστική)
συμμαζεύουμε λίγο (αναγωγή όμοιων όρων)

έτσι προκύπτει μια εξίσωση 1ου ή 2ου βαθμού που λύνουμε ανάλογα και

τέλος

ΔΕΝ ΞΕΧΝΑΜΕ ΝΑ ΕΛΕΓΞΟΥΜΕ ΑΝ ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΠΟΥ ΒΡΗΚΑΜΕ ΠΕΡΝΟΥΝ ΤΟ (CRASH) TEST ΤΩΝ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΩΝ (δηλαδή να μην μηδενίζουν το Ε.Κ.Π.).

[/wptabcontent][/wptabs]

Οι Περιορισμοί στα Μαθηματικά του Γυμνασίου

Όταν μαθαίνουμε κάποιους καινούργιους ορισμούς στα μαθηματικά θα πρέπει να είμαστε πολύ προσεκτικοί, να προσέχουμε και την παραμικρή λεπτομέρεια. Έτσι ξεκινώντας από την πρώτη τάξη όπου μάθαμε τι είναι το κλάσμα (το $\frac{a}{b}$ με $b\neq0$ λέγεται κλάσμα) στον ορισμό δηλώσαμε ότι ο παρονομαστής ενός κλάσματος δεν μπορεί να είναι ποτέ ίσος με το μηδέν. Δεν υπάρχει περίπτωση στην αριθμητική ποτέ να δούμε κάτι τέτοιο $\frac{5}{0}$ . Αριθμητική όμως κάναμε μόνο στο Δημοτικό, στο Γυμνάσιο και στο Λύκειο κάνουμε Άλγεβρα. Η βασική διαφορά που υπάρχει είναι ότι στην αριθμητική χρησιμοποιούμαι μόνο αριθμούς ενώ στην άλγεβρα χρησιμοποιούμε και γράμματα (τις μεταβλητές όπως λέγονται πιο σωστά). Έτσι λοιπόν από ‘δω και πέρα θα συναντήσουμε πάρα πολλές φορές κλάσματα που στον παρονομαστή τους θα περιέχουν και μεταβλητές, όπως αυτά $\frac{5}{a}$ , $\frac{a-1}{b-2}$ ή $\frac{13y}{5-x}$ . Στις περιπτώσεις λοιπόν αυτές θα πρέπει να δηλώνουμε δίπλα από κάθε τέτοιο κλάσμα ότι ο παρονομαστής δεν μπορεί να γίνει μηδέν και για να διευκολύνουμε και αυτόν που πρόκειται να διαβάσει αυτό που γράψαμε είναι καλύτερο να γράφουμε ποια τιμή δεν επιτρέπεται να πάρει η μεταβλητή που βρίσκεται στον παρονομαστή που έχουμε. Τα κλάσματα επομένως που γράψαμε παραπάνω το σωστό θα ήταν να τα γράψουμε κάπως έτσι: Continue reading «Οι Περιορισμοί στα Μαθηματικά του Γυμνασίου»